CVaR的定義

2023年12月24日發(作者：中國地理位置)

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CVaR的定義

VaR是英文“Value-at-Risk”的縮寫，字面含義是處在風險之中的價值，也常常被稱為“在險價值”。VaR方法在金融風險度量、確定內部經濟資本需求、設定風險限額以及績效評估等方面有著廣泛的應用，但是其作為風險度量本身存在著缺陷，因此，Rockfall[17]首次提出了風險度量CVaR（條件在險價值，Conditional Value at Risk）的定義，并引發了大量的理論和實踐工作。下面首先給出VaR與CVaR的定義。

2.1VaR與CVaR的定義

設x?(x1,???,xn)T表示投資組合中對應資產占總資產的比率，r?(r1,???,rn)T表示相應的資產

損失率，f(x,r)表示投資組合的預期損失函數，?表示置信度，則

VaR??min???R:P?f(x,r)?????? （1）

由VaR得定義可以看出，風險價值VaR是在給定的置信度下，資產或證券組合可能遭受的最大可能損失值，描述了相應的損失分布的分位數。從其定義中不難發現VaR僅僅給出了在一定的置信度下損失分布的最大可能值，并沒有充分利用損失的尾部分布信息，而且在某些時候VaR還不能滿足次可加性和凸性，因此下面給出CVaR的定義

CVaR??E[f(x,r)|f(x,r)?VaR?]?VaR??E[f(x,r)?VaR?|f(x,r)?VaR?] （2）

由CVaR的定義可以看出，CVaR給出了超過最大可接受損失的那部分的期望值，CVaR值不僅充分反映了損失的尾部信息，且還滿足次可加性和凸性，是較好的風險度量指標。由（1）和（2）可知在相同置信度下CVaR不會小于VaR。

由于VaR只是度量在置信度下的最大損失，無法估計超出最大損失之外的超額損失，因此不能很好的刻畫尾部風險，而恰恰是這種極端的尾部風險有時能夠徹底摧毀一家龐大的金融機構。而CVaR度量的正是超過VaR值部分的超額損失的平均情況因此它能比較好的預測極端風險情況，而且CVaR關于置信度?是連續的，因此當置信度發生小幅變化時,用CVaR度量的風險不會發生大幅度變化,但VaR被用于非連續分布的情況時,可能對置信度的小幅變化非常敏感，這導致VaR度量的風險值會發生大幅度的跳躍。因此本文選擇CVaR度量商業銀行的整合風險。

2.2CVaR的計算

由（2）可知，要想計算CVaR，首先要知道r的分布。假設r?(r1,???,rn)T是連續型隨機向量，p(r)為r的聯合密度函數，

?(x,?)?f(x,r)??p?(r)dr （3）

則?(x,?)是關于?的非增右連續函數則對于任意??(0,1)

VaR??min{??R:?(x,?)??}. （4）

CVaR??E[f(x,r)|f(x,r)?VaR?]?11??f(x,r)?VaR??f(x,r)p(r)dr

由于公式（5）中的積分，很難得出（5）的解析表達式，因此CVaR的計算，通常采用離散化方法來進行處理，即假設現實中r有J中可能，且每種可能將以1的可能性出現，則（5）可以通過

JCVaR??VaR??E[f(x,r)?VaR?|f(x,r)?VaR?]1

?VaR??(1??)J

?[f(x,rk?1Jk)?VaR?]? （6）