數學中的公理化方法及其對數學教學的啟示

2023年12月28日發(作者：三途河畔)

６０　數學教學研究　第３２卷第１１期２０１３年ｌ１月　數學中的公理化方法及其對數學教學的啟示　楊　琪　（西北師范大學教育學院，甘肅蘭州　７３００７０）　摘要：數學公理化方法是研究數學的重要思想方法，如何正確認識它，不僅對數學科學自身的發　展，而且對于其它相關聯學科的建設與發展都有重要意義．筆者在對公理化方法的發展歷史進行回　顧的基礎上，論述了公理化方法的不同類型及其邏輯特征，淺析了公理化方法的積極作用及其局限　性，并據此探討了公理化方法對數學教學的啟示．　關鍵詞：公理化方法；發展歷程；特征；作用；局限性；啟示　中圖分類號：Ｇ６５　所謂數學公理化方法，就是從一組不加　字面上看很不自明，所以人們從兩個方面對　定義的原始概念和一組不加證明的命題（公　它產生了懷疑：第一，第五公設是否正確地反　理）出發，由原始概念再邏輯地定義其他概念　映了空間的性質；第二，它本身很可能是一個　（派生概念），由公理再邏輯地證明其他命題　定理．通過很多一流數學家近兩千年的努力　（定理），從而建立起一個演繹系統的方法．許　仍無進展．到了１８世紀中葉，意大利數學家　多數學家都希望把自己的研究成果表述成一　薩克利吸收了前人正面直接證明而失敗的教　個完整的公理系統．雖然大多數的研究往往　訓，反其道而行，改用反證法來證明．但隨后　無疾而終或最終證實無法實現，但探索的過　不久，數學家們發現他的證明有問題．雖然薩　程中我們還是發現了無數的“閃光智慧”它們　克利的證明是錯誤的，但他提出的反證法及　從不同側面，不同角度推動了數學的發展。　其所得到的結果卻起了很大的作用，即兩種　ｌ公理化方法發展的歷史回顧　幾何并存的可能．也就是說，除歐氏幾何外，　公理化方法是從數學（主要是幾何學）和　還有非歐幾何．　邏輯學的發展中產生的，其歷史發展可分為　數學家們從薩克利的錯誤中得到了啟　如下幾個階段：首先，亞里士多德在總結前人　發，發現了銳角假設的羅巴切夫斯基幾何系　所發展和創立的邏輯知識的基礎上，已完全　統和鈍角假設的黎曼幾何系統．后來人們稱　三段論作為出發點，用演繹的方法推導出其　這兩種幾何為非歐幾何．隨著微分幾何，射影　余１９種不同格式的所有三段論，創立了人類　幾何的發展，之后人們又找到了非歐幾何的　歷史上第一個公理化方法，即邏輯公理化方　客觀原型。　法，從而為數學公理化方法創造了條件．　非歐幾何的問世打破了傳統的歐氏幾何　在這之后，歐幾里得的《幾何原本》具有　空間概念，為幾何發展史開辟了新的階段．然　封閉的幾何理論演繹體系、抽象化的數學內　而，為了進一步研究兩種幾何平行不悖，以希　容等特點，是實質性公理化階段形成的重要　爾伯特為代表的數學家，掀起了對幾何基礎　標志。但《幾何原本》中的第五公設的陳述從　的研究．與此同時，在數學分析方面以康托、　收稿日期：２０１３—０７—０６　作者簡介：楊琪（１９８８一），女　河北保定人，碩士，從事數學諜程與教學論研究　

第３２卷第１１期２０１３年１１月　數學教學研究　６１　維爾斯托拉斯、戴德金等為代表的數學家，掀　沒有離開幾何實體，但從本質上講，卻為現代　起了對數學分析基礎的實數理論研究的高　形式化公理系統奠定了基礎，這也正是它被　潮，從而導致了“分析算術化”方向的出現，使　稱為公理化方法發展史上一個里程碑的根本　數學分析的基礎立足于實數理論之上，取代　原因所在．現代形式公理化方法具有高度的　了直觀的幾何說明．就在這個時候，代數也發　形式化和抽象化，采用了現代數理邏輯作為　生了重大變化，即由代數方程的求解導致了　它的演繹推理工具等特點．　群論的產生，使代數的研究對象發生了質的　公理化系統有其自身的邏輯特征．公理　　變化，逐漸變成一門研究各種代數運算系統　化方法的作用在于，由一組公理作為出發點，形式結構的科學．由于形式方法在分析、代數　領域中取得了成功，反過來又將幾何公理化　方法的研究推向一個新的階段，即形式公理　化方法．希爾伯特終于在１８９９年發表了他的　名著《幾何基礎》，這本著作第一次提出了一　個簡明、完整、邏輯嚴密的形式化公理系統．　從此公理化方法不僅是數學中一個重要方　法，而且已被其他學科領域所采用．　由于現代形式公理化方法的發展，需要　研究更復雜的邏輯結構，從而也就導致了現　代數理邏輯的形成和發展．　２公理化方法的特征及作用　２．１公理化方法的不同類型及其特征　在數學公理化的發展過程中出現了實質　公理化和形式公理化兩個發展階段．　所謂實質公理化方法是指在一個公理系　統中的基本概念（包括基本對象和基本關　系），不是原始概念，而是給基本概念下了定　義或確定了它的具體內容．也就是說，一個公　理系統所研究的對象的范圍、涵義和特征先　于公理而被給定，公理只是表達這類特定對　象的基本性質，而且必須是白明的．歐氏《幾　何原本》的公理化方法就是實質公理方法的　一個典型例子．所謂形式化公理方法，其公理　系統中的基本概念雖然先于公理組而陳述，　然而它的屬性是由公理組所規定的，或說是　隱定義的．希爾伯特的《幾何基礎》采用的就　是形式公理化方法，群論的公理系統采用的　也是這種方法．　盡管希爾伯特幾何公理系統從字面上看　以推演規則為工具，把某一范圍內（或系統）　的真命題推演出來．公理要最少，而推出的結　論要最多．同時我們還要求從它不能推出我　們所不要的東西，特別是邏輯矛盾．因而這三　個條件是衡量一個公理系統科學性和嚴密性　的重要標志即無矛盾性、獨立性和完備性．　２．２公理化方法的積極作用及局限性　公理化方法的積極作用是多方面的，簡　略地說有如下幾方面：　一是，從公理化方法的發展歷史來看，公　理化方法的形成和發展推動了整個數學的發　展．由于對公理化方法邏輯特征的研究，發現　了很多新的數學分支和新的數學方法，使得　整個數學體系更加龐大、嚴謹、優美．而且，由　于上個世紀初公理集合論的出現，不僅避開　了康托樸素集合論中的悖論，還使得有些數　學問題也有了進展．其中較為突出的例子就　是上個世紀６Ｏ年代柯恩對連續統假設及選　擇公理所獲得的重要結果．　二是，公理化方法有利于數學教師的教　學和學生知識的系統掌握．首先，公理化方法　可以揭示一個數學系統或分支的內在規律，　從而使它系統化，條理化，邏輯化，有利于人　們學習和掌握．其次，由于公理系統是一個邏　輯演繹系統，所以對培養學生的邏輯思維能　力和演繹推理能力都有其重要意義．現階段　許多教材編寫者也會根據一定水平的公理化　要求來編寫數學教科書，幫助學生培養邏輯　思維能力．　三是，公理化方法對科學方法論有示范　

６２　數學教學研究　第３２卷第１１期２０１３年１１月　作用．從科學方法論的發展歷史來看，數學公　的作用和意義估價要恰當，否則，不論是從認識　理化方法對整個科學方法論的形成和發展起　作用．　到了示范作用．這種方法對現代理論力學及　３　公理化方法對數學教學的啟示　各門自然科學理論的表述方式都起到了積極　基于上述對公理化方法特征及作用的分　的借鑒作用．比如，牛頓曾運用公理化方法陳　析，對數學教學而言，總結出了如下啟示：　述了經典力學理論體系．　首先，公理化是在數學發展到一定程度　四是，公理化方法在形式上所顯現出的　后，建構數學體系的方法，數學教學中對公理　簡潔性、條理性以及結構的和諧性確實符合　化的要求要適當．教師應充分考慮到學生的　美學上的要求，因而為數學活動中貫徹審美　原則提供了范例．學生在參與學習公理化方　法的活動中，不僅要讓他們接受美的薰陶，從　中陶冶性格，豐富精神生活，老師也應該相信　學生可以自己動腦去構建公理系統．　公理化方法有許多的特色和優點，但與　此同時，公理化方法也存在著自身的局限性．　主要表現在以下幾方面：　一是，若使所有的數學分支都要按公理　化方法的三條標準來實現公理化是不可能　的．雖然以希爾伯特為代表的數學家曾試圖　將所有數學分支都按公理化三條標準實現它　的公理化，但正如哥德爾不完備定理指出的，　包括算術內容的任何一個無矛盾的公理系統　都是不完備的，這種公理系統的無矛盾性在　本系統內根本無法證明．　二是，公理化方法一般地講，只能運用于　一個數學分支發展到一定的成熟階段，否則　就有可能對數學的發展起到束縛作用．公理　化方法的優點之一是可使它的內容系統化、　條理化、邏輯化．但如果一個新的數學分支在　起步階段就強調它的系統性與邏輯嚴密性，　反而會適得其反．微積分的產生、發展直至完　善，它所經歷的道路就是一個實例，若人們只　在算術四則運算系統里進行邏輯演繹，沒有　“無窮小方法”超越而成的極限方法，那么，現　代數學的廣泛應用也難以實現．　三是，由于公理化方法主要突出了邏輯思　維，而且它主要用于“回顧”性的“總結”，對“探　索”和“發現”的作用較少．所以，對公理化方法　認知發展水平和已有的知識經驗，根據學生　學習的不同層次與階段，在一定的學習基礎　之上，給予學生適度的公理化，不能急于求　成，也不能過分加重學生的學習負擔．　其次，為了便于理解，降低難度，教師的　授課內容未必采用嚴格的公理體系．應在新　課程基本理念的指導下靈活地幫助學生完成　對公理化體系的認識．例如，在學生的幾何學　習過程中，教師可以幫助學生增強幾何的直　觀程度，加強對學生合情推理能力的培養，這　些并不妨礙公理化體系的學習，相反使得公　理化體系建立在生動形象的幾何圖形基礎之　上，更有利于綜合的培養學生的學習素養．　再次，公理化是數學的特征，教師在數學　教學中要讓學生體會公理化思想的作用．公　理化方法可以揭示一個數學系統或分支的內　在規律性，從而使它系統化、邏輯化，有利于　學生學習和掌握知識．此外，公理系統作為一　個嚴密的邏輯演繹系統，對培養學生的邏輯　思維能力和演繹推理能力都有其重要意義．　參考文獻　［１］王仲春．數學思維與數學方法論［Ｍ］．北京：高　等教育出版杜，１９８９．　［２］　張榮華．數學公理化方法淺談口］．九江師專學　報（自然科學版），１９９ｏ，（１Ｏ）．　［３］唐煌．關于數學公理化方法的教學問題口］．安　慶師范學院學報（自然科學版），２００２，（Ｏ２）．　［４］翟延慧，趙紅發．論數學中的公理化方法口］．　長春師范學院學報，２００４，（１２）．　［５］毛耀忠，許爾偉．公理化方法的發展及其對數　學教育的啟示［Ｊ］．當代教育論壇，２０１０，（Ｏ７）．