學習:如何設計一個單透鏡

2023年12月30日發(作者：蹈水)

如何設計一個單透鏡

如圖所示，所謂單透鏡，是指由兩個折射曲面圍成的透明體。其中一個折射面可以是平面。

本資料包括8個方面的內容：

? 確定系統參數，包括孔徑大小，透鏡單位，視場，以及波長；

? 輸入透鏡性能參數；

? 用solve強化設計約束條件；

? 在優化前，分析系統性能；

? 確定系統自由度，設置系統變量；

? 設置缺省的評價函數；

? 優化并分析最終的設計性能。

一、引言，透鏡的性能，及設計約束條件

單透鏡(英文專用詞singlet)，在定義上有爭論，但它是ZEMAX所能仿真的最簡單的成像系統。單透鏡的結構雖簡單，但這種簡單成像系統的設計過程，有助于我們認識ZEMAX的界面，學習基本的設計理念和策略，初步掌握ZEMAX的基本分析工具。

下面，我們將設計并優化一個F/4單透鏡，材質選用N-BK7玻璃。設計完成的單透鏡需滿足如下要求：

? 焦距100mm；

? 單視場角5?；

? 波長??632.8nm；

? 中心厚度介于2mm~12mm間；

? 邊緣厚度大于2mm；

? 在限定波長下，在全視場范圍內，對單透鏡進行優化，保證RMS Spot Size最小；

? 物位于無窮遠。

在給定的ZEMAX界面內，利用ZEMAX的各種工具，可便利地對單透鏡進行仿真和優化。

二、透鏡數據編輯器

在用計算機進行序列模式下的透鏡設計時，對所有的面預先指定一個順序，然后按照這個順序從一面到下一面對光線進行追跡。在追跡的過程中，ZEMAX采用了一種稱為Lens Data Editor (LDE，透鏡數據編輯器)的電子表格結構。

打開ZEMAX，在主窗口內，馬上會出現一個空白的LDE。ZEMAX的主窗口有一塊很大的空白區，空白區的上端是標題欄、菜單欄和工具欄。透鏡的大部分數據都要送入到LDE中，這些數據包括：

Surf: Type

表面類型(可以設為Standard，Even Asphere，Diffraction

Grating，等等)

描述表面性質的注釋項，用戶可自由填寫

表面的曲率半徑(即曲率的倒數)，單位取透鏡的單位

厚度，單位取透鏡的單位，是指從當前面的頂點到下一面的頂點間的距離

材料類型(可設為glass, air, 等等)，是指從當前面到下一面間的介質所用的材料

面在橫向尺寸的一半，單位取透鏡的單位

Comment

Radius

Thickness

Glass

Semi-Diameter

LDE的每一行對應單獨的一個面。ZEMAX在序列模式下，每個光學系統的第一面都是物(OBJ)，最后一面都是像(IMA)。除物面和像面外，還必須定義一個孔徑光闌面(STO)。

要想把某一數值填入LDE的某一單元格內，只需用左鍵單擊該單元格，然后直接手動輸入。可通過鼠標或光標的移動改變所選定的單元格。

三、定義系統參數

Each of the types are defined in more detail in the following ction of the ZEMAX Ur's

Guide: “Chapter 6: System Menu > General > Aperture.”

通常，在開始設計一個新系統時，定義的第一個參數是系統孔徑。在ZEAMX中，系統孔徑的作用有兩個方面，一是規定在整個光學系統中，ZEMAX需要追跡的的光束的寬度；二是規定在OBJ面上，由每個場點所發出的光線的初始方向余弦。系統孔徑可用不同的方式定義，可心定義為Entrance Pupil Diameter

(EPD，入瞳直徑)，Image Space F/#(像空間F數)，Object Space NA(物空間數值孔徑)，Float By Stop Size(大小可變的浮動光闌)，等等。關于這些系統孔徑的詳細信息用戶可查閱ZEMAX用戶手冊第6章，System Menu > General > Aperture中的相關內容。

Entrance Pupil Diameter是最常用的一種系統孔徑，對我們這個單透鏡設計實例而言也是最便利的一種形式。在ZEMAX中，EPD定義為光瞳在物空間的直徑值，以透鏡單位為單位。

對我們這個單透鏡，確定其EPD值很容易。如前所述，這是一個F/4透鏡，意即F#?4。同時，有效焦距為100mm。F#定義為，當物和像都位于無窮遠時，近軸有效焦距同近軸入瞳直徑之比。據此，我們這個單透鏡的EPD應為25mm：

F#?efl

EPD又從哪里將該值送入ZEMAX中呢？系統孔徑，以及其他的系統參數，都是由System General dialog(系統總體性能對話框)控制的。要訪問System General

dialog，可從ZEMAX主菜單上，選擇System > General，或者單擊工具欄(通常叫作按鈕欄)上的“Gen”按鈕。

打開System General dialog后，就可輸入當前設計方案的系統孔徑的類型和數值大小。對我們這個單透鏡，可在System General dialog的Aperture框內，將

"Aperture Type"(孔徑類型)設為Entrtance Pupil Diameter，并且"Aperture Value"(孔

徑值)設為25。

孔徑值的單位是透鏡的單位。ZEMAX的多數電子表格編輯器都以透鏡單位定義有關尺寸的測量值。這些尺寸包括半徑，厚度，EPD，以及ZEMAX的多數其他參數值。這里提醒用戶注意，在開始具體的方案設計前，必須先定義系統單位。用戶必須確保，系統的透鏡單位剛好是自己所需要的值。

在ZEMAX中，透鏡單位有millimeters(毫米)、centimeters(厘米)、inches(英寸)，或meters(米)四種選擇。對我們這個單透鏡，將采用millimeters。在System

General dialog的Units框內，選擇Millimeters作為透鏡單位。

單擊"OK"退出System General dialog。對我們這個單透鏡，其他參數可忽略，就了ZEMAX給定的缺省值。

四、在ZEMAX中定義視場

在ZEMAX中，視場是在Field Data dialog中定義的。要進入Field Data dialog，可從主菜單中選擇System > Fields，或在按鈕欄單擊“Fie”按鈕。

在ZEMAX中定義視場有四種途徑。

Angle (Deg)

角度(單位度)

主光線與物空間的Z軸所成的角，以度為單位。需要強調的是，按定義，主光線會通過入瞳的中心，視場角是沿入瞳中心測量的。正的視場角表示，沿傳播方向，光線的斜率是正的，與此相對應，物的坐標是負的。當物和像分別位于無窮遠時，建議采用此方案。

物面上，X和Y方向物的直接高度。物高采用透鏡單位。當物和像均位于無窮遠時，此方案無效。

像面上，像的近軸高度。此方案適于畫面格式和大小固定的情形，例如攝影機中的攝影膠片。如果一個光學系統滿足近軸光學的要求，則可以采用此方案。

像面上的真實像高。此方案也適于前面的固定畫面情況。但在此方案下，光線的追跡速度有些慢，因為ZEMAX必須以交互方式決定主光線在像面上的坐標。

Object Height

(物高)

Paraxial Image Height

(近軸像高)

Real Image Height

(真實像高)

對我們這個單透鏡，我們將以角度來定義其視場。因為透鏡的單視場大小是5?，因此需設置3組視場角，(0, 0)，(0, 3.5)，和 (0, 5)。

在Field Data dialog內，一共可輸入12組視場值。每組視場值都可設置一個權，這個權主要是在優化過程中使用。對我們這個單透鏡，可將所有視場值的權都缺省設為1。將上述3組視場值送入Field Data dialog的前3行，如下圖所示：

單擊"OK"退出Field Data dialog。

五、波長設置

ZEMAX中，波長的設定與視場類似，所不同只是波長要送入Wavelength

Data dialog。訪問Wavelength Data dialog，可從主菜單選擇System > Wavelengths，或在按鈕欄單擊“Wav”按鈕。

這個單透鏡是純單色的(屬于單個波長)。初始設計要求已經明確，波長為0.6328?m，這是He-Ne激光器的波長。

這個波長值可手動送入到Wavelength Data dialog中，也可從Wavelength Data

dialog下端的下拉菜單中選擇軟件已經預先設定好的波長值。

F, d, C (Visible)是缺省項中的首選。但對我們這個單透鏡，要從下拉菜單中選擇HeNe (.6328)，然后單擊下拉菜單旁的“Select ->”按鈕。完成此操作，ZEMAX將自動地將該波長值送入Wavelength Data dialog的第一行。

注：ZEMAX中，不管透鏡的單位怎樣設置，波長的單位永遠都是微米。

單擊"OK"退出Wavelength Data dialog。此時，透鏡的波長已設為632.8nm。

另外還需注意，波長也有加權設置，在ZEMAX中有多種用途。對我們這個單透鏡，只需將波長的權置保持為缺省的1即可。

六、在ZEMAX中插入面

完成系統參數設置后，即可開始在LDE中設定各面的參數。在此，我們再

強調一次，LDE的每一行，對應單獨的一個面。也正因此，兩個由玻璃隔開的面就組成一個單透鏡。所以，在ZEMAX，在完整地描述一個單透鏡，共需要4個面。

object surface (OBJ):

(物面)

2. The front surface of the lens:

(透鏡的前表面)

3. The back surface of the lens:

(透鏡的后表面)

4. The image surface (IMA):

(像面)

按照缺省設置，LDE只有3個面。用戶想另外加入新的面，可用鍵盤上的“Inrt”鍵，或者從LDE的菜單欄，選擇Edit > Inrt Surface。這兩種操作的結果，都是在當前光標實際所在行的前一行加一個新的面。如果想在當前行之后加一個面，可執行“Ctrl + Inrt”，或Edit > Inrt After。

對我們這個單透鏡，光闌位于前表面，因此需將光標置于像面所在行，然后按“Inrt”鍵。此操作的結果是在像面之前加入了一個新的面，它對應透鏡的后表面。

對應發出光線的位置

對應光線進入透鏡的位置。對我們這個單透鏡，它也是光闌面(STO)。

從該面始，光線離開透鏡進入空氣

對光線的追跡，在該面終止。LDE中，像面后再不能有其他面。這里提請用戶注意，該面不一定是實際的像面。

不要忽視LDE注釋欄的作用，它有助于用戶記憶各面的物理意義。要對各面加注，只需將光標置相應位置，然后手動輸入文本內容。加注完成，需擊“Enter”鍵，或者用“?”、“?”等鍵，將光標移開。

為各面加注，是ZEMAX用戶應該養成的好習慣。對現在這個單透鏡，我們在LDE的對應位置，加入如下內容：

七、輸入透鏡數據

我們這個單透鏡的材質采用N-BK7玻璃。在ZEMAX中，所謂透鏡的材質是指制造將透鏡前、后表面分隔開的物質的材料。在ZEMAX中輸入分隔兩面的玻璃類型，只需在LDE的適當單元格內，手動寫入玻璃的名稱(本例中是N-BK7)。

ZEMAX有內建的玻璃庫，如上所述，只要手動輸入玻璃類型，軟件就會自動對其加以識別。玻璃庫由全球范圍內的著名玻璃制造商提供，內含幾百種玻璃的信息。用戶輸入玻璃名稱后，ZEMAX會在庫內自動進行查找，以確定與用戶確定的各波長相對應的玻璃的折射率。

在LDE中送入玻璃類型后，就可在Surface 1的厚度欄內輸入單透鏡的厚度。這個厚度是指沿光軸方向上從當前面到下一面的距離，因此它也就是這個單透鏡的中心厚度。因為我們這個單透鏡的孔徑是25mm，作為初始值可把厚度設為4mm，這是一個合理的中心厚度。在Surface 1的厚度欄內鍵入4。這里提請用戶注意，稍后，優化時，我們將把該參數設為變量。

類似地，Surface 1的半徑，以及透鏡的后表面到像面的厚度值都不需預先設定，優化時它們都將設為變量。現在，我們Surface 1的半徑設為Infinity，并將Surface 2的厚度設為100mm。將100鍵入Surface 2的厚度欄。

八、優化方案(Solves)

在光學設計時，要滿足給定的約束條件，兩種方法：

1. 將對約束條件有影響的參數設為變量，并且在Merit Function Editor(評價函數編輯器，將在稍后介紹)中，添加邊界約束條件。或者

2. 采用特殊的solves，以強化約束條件，同時消除不必要的變量。

在這兩種方法，后一種更好。雖然兩種方法都能通過調整透鏡參數，達到維持特定邊界條件的目的，但額外添加的邊界約束條件，會減慢評價函數的運行速度。

ZEMAX中有很多種不同的solve，各有不同的功能。但這個單透鏡的性能要求只能用一個solve，即取系統的F/#方案，以便維持焦距值。

可用兩種不同的方法打開solve dialog，一是用右鍵單擊對應的單元格；二是用鼠標選中該單元格，然后鍵盤上的“Enter”鍵。待優化的參數類型不同，對應的solve選項也不同。

為了保持系統的F/#，可在Surface 2的半徑上加F Number優化方案。F

Number方案的作用是調整最后一個光學面的曲率，從而維持系統的焦距不變。右擊Surface 2的Radius單元格，以激活surface 2 dialog的Curvature方案。從下拉菜單的中選擇"Solve Type"選擇F Number，并在"F/#"旁的空格內鍵入4。

單擊"OK"退出solve dialog。

設定了F Number優化方案后，ZEMAX會自動地對半徑進行調整，以保持所需要的F/#。換言之，一旦透鏡的參數發生變化，軟件將會自動地重新對solve進行計算。半徑旁的字母"F"表示已設定了F Number方案。

九、優化有對系統性能進行評估

ZEMAX有很對分析功能，每種都可能于對設計方案的性能進行評估。在我

們這個單透鏡實例中，我們使用其中的4種最基本的分析功能來分析單透鏡系統的性能，以便在優化前對其進行評估。

要打開layout，可從主菜單上選擇Analysis > Layout > 2D

Layout，或者在按鈕欄單擊“Lay”按鈕。2D Layout描繪的是透鏡的YZ向截面圖，且只對軸向旋轉對稱系統有效。對我們這個簡單的單透鏡，layout是一個有效的視覺描述。

要打開spot diagram，可從主菜單上選擇Analysis > Spot

Diagrams > Standard，或者在按鈕欄單擊“Spt”按鈕。spot diagram描述的是點物的像。如果沒有像差，點物會成一個理想像點。按缺省設置，ZEMAX將給出每個視場點的spot diagram。

要打開Optical Path Difference (OPD，光程差)曲線，可從主菜單上選擇Analysis > Fans > Optical Path，或者在按鈕欄單擊“Opd”按鈕。OPD fan描述的是光程差隨光瞳坐標的變化關系。在理想光學系統中，波前的光程差就等于出瞳處的無像差的球面波前。

要打開Ray Fan，可從主菜單上選擇Analysis > Fans > Ray

Aberration，或者在按鈕欄單擊“Ray”按鈕。Ray Fan描述的是光線像差與光瞳坐標間的函數關系。一般來講，一條由物點發出，穿過光學系統，一直傳到像面的光線，其與像面的交點，總是會偏離主光線與像面交點一段非零距離。另外，對一個理想光學系統，在光瞳面上的光線像差總等于零。

Layout

(外形圖)

Spot Diagram

(點列圖)

OPD Fan

(光程差曲線)

Ray Fan

(光線扇曲線)

對透鏡設計師而言，要確定光學系統存在的像差種類和量級，Spot Diagram，

OPD Fan，和Ray Fan Plot是非常重要的工具。但設計師如何依據這些曲線確定光學系統所存在的像差，已經超出了我們這次課設的范疇。在以后的工作和學習過程中，如果同學們對這個問題感興趣，ZEMAX用戶手冊第1章中涉及到的參考文獻。

截止目前，我們這個單透鏡的基本結構已設計完成。打開上面提到的分析曲線，觀察目前透鏡的性能。

從上面的分析曲線可以看出，透鏡中明顯存在比較大的像差，其中不僅有球差、彗差、畸變、離焦、場曲和像散，還有其他的像差。另外，在最大視場處，幾何和RMS半徑(從Spot Diagram的下端可讀到這兩個值)大約分別為734.581

和1774.42μm。

十、快速距焦工具

從上述的四種分析曲線可見，當前這個單透鏡的性能明顯沒有達到最佳。沒過到最佳的一個主要的影響因素是，像面的位置是隨機選擇的。甚至從Layout上就能看出，我們當前所選擇的像面不是在“最佳焦點”處。

即便在優化前，我們也可利用ZEMAX的某個工具，使當前的像面位于一個比較好的位置。該工具就是Quick Focus tool.。Quick Focus是ZEMAX的特色工具，它能調節像面之前一面的厚度，從而使RMS像差最小。

要打開Quick Focus dialog，可從主菜單上選擇Tools > Miscellaneous > Quick

Focus，或者在鍵盤上擊"Shift+Ctrl+Q"鍵。這個“最佳焦點”位置的確定，同用戶選擇的優化原則有關。對這個單透鏡，用戶可選擇關于centroid(形心)的radial

spot size(徑向點大小)。選擇Spot Size Radial，并選中"U Centroid"旁的方框。

單擊"OK"退出Quick Focus tool dialog。

此時，我們要注意，像面之前一面的厚度自動所發生的變化。前面我們打開了4個分析窗口，現在分別點擊各分析窗口的左上角的"Update"選擇，對各分析窗口進行更新。顯然，僅僅因為我們重新選擇了像面位置，各性能曲線就發生了相當明顯變化。特別是，最大視場角處的RMS和Geometrical點大小各減小了將近12。

盡管目前這個設計方案毫無疑問地要好于之前的設計，但仍然還有改進的余地。

十一、變量設置以及缺省評價函數的構造

一個單透鏡所能達實現的性能一定是有限的，但還是可以利用ZEMAX來找到一個同當前這個相比要相對更好一些的設計方案。這個過程也就是利用ZEMAX進行優化的過程。優化前，特別要注意，一定要首先確定這個優化前方案的自由度。也即，透鏡中有多少個參數可自由調整？對我們這個單透鏡實例而言，有一個參數(即Surface 2的半徑)不再能自由變化，因為為滿足特定的設計約束條件，它是受solve控制的。除此之外，為使透鏡的RMS點半徑最小，透鏡的中心厚度(即Surface 1的厚度)、前表面的曲率半徑(即Surface 1的半徑)、后表面到像面的距離(即Surface 2的厚度)都是可以變化的。

在優化過程中，要使某一參數可自由變化，需在LDE代表該參數的單元格將該參數設為變量。要將某參數設為變量，可右擊對應的單元格；或者用鼠標選中單元格，然后在鍵盤上擊Ctrl+Z鍵。在隨后出現的solve dialog中，將"Solve

Type"設為Variable。再擊"OK."完成設置。參數旁出現的字母“V”表示該參數已設為變量。參照這個過程，將上面提到的3個參數都設為變量。

完成變量的設置后，就可構造Default Merit Function。評價函數是在一個同LDE完全不同的單獨的編輯器內構造的，這個編輯器稱為Merit Function Editor

(MFE，評價函數編輯器)。在ZEMAX中，要打開MFE，可從主菜單上選擇Editors >

Merit Function。

評價函數是從數字方面描述一個光學系統滿足特定目標的程度的函數。在MFE中，ZEMAX會給出一個操作數清單，它們分別代表系統的約束條件或目標。評價函數構造完成后，ZEMAX中的優化算法將使評價函數值盡可能最小。

評價函數的構造可以是手動的，但令ZEMAX自動為我們構造將更容易些。要構造缺省的評價函數，可在MFE的菜單欄上，選擇Tools > Default Merit

Function。

在隨后出現的Default Merit Function dialog中，有多個選項。關于各選項的

含義，請閱讀ZEMAX用戶手冊第14章。

對我們這個單透鏡，優化的目的是使關于形心的RMS Spot Radius最小，各選項已內置在ZEMAX的缺省評價函數功能中。在Default Merit Function dialog中，選擇RMS，Spot Radius，和Centroid。

為防止單透鏡變得太厚或太薄，我們必須為透鏡設置厚度的邊界約束條件。在缺省的評價函數中，有限制玻璃和空氣厚度的邊界約束條件選項。選擇“Glass”選項，在相應的空格內手動填入最小，最大，以及邊緣厚度值。

在本資料最開始的部分，已明確規定單透鏡的中心厚度必須介于2mm~12mm之間，同時邊緣厚度大于2mm。據此，我們在Default Merit Function

dialog的"Min"，"Max"，以及"Edge"玻璃厚度框內填入適當的值。

對我們這個單透鏡實例，除上述選項外，其它選項都可選擇缺省值。

擊"OK"完成設置。

十二、執行優化

接前面第十一部分的內容。在關閉Default Merit Function dialog后，請注意自動插入到MFE中的操作數。其中的每一個操作數都有特定的Target，Weight，和Value，它們都影響著MFE左上方的評價函數值。

在優化過程中，ZEMAX會盡可能降低這個評價函數值。而這個值越小，表示設計方案越接近MEF中所描述的目標。

要執行優化操作，可從主菜單上選擇Tools > Optimization > Optimization，或在按鈕欄擊“Opt”按鈕。隨后將出現Optimization dialog，其中有很多不同的cycle的待選。對我們這個單透鏡，只需選擇“Automatic”。按此選項，ZEMAX將執行優化程序，直到找到一個局部最小值。

注意，ZEMAX會給出初始的和當前的MF (評價函數)值。擊"Automatic"按鈕，開始執行優化，注意MF值的變化。

BEFORE

擊"Exit"退出Optimization dialog。

十三、對最終的系統進行評估

AFTER

現在，優化已經完成，我們要對最終的設計性能進行評估，以確保最初的設計已得到滿足。可從各圖形窗口的菜單欄擊"Update"，以便對已在前面打開的各分析窗口進行更新。

觀察這4個圖，我們可以大體認為，按照約束條件經過優化的這個單透鏡可以滿足最初的設計要求，同優化前相比，RMS和Geometrical Spot radii分別降低了大約910。同時，軟件所確定的透鏡的中心厚度也在要求的范圍之內，邊緣厚度也大小2mm，均滿初始的系統要求。

雖然我們最終得到的這個單透鏡的性能達不到衍射極限的要求，但重要的是整個設計過程。這個過程同樣適用于結構更復雜、參數更豐富的光學系統的設計。