【數(shù)學(xué)】湖北省鄂東南省級(jí)示范高中教育教學(xué)改革聯(lián)盟學(xué)校2020屆高三上學(xué)

2023年12月31日發(fā)(作者：教育心得)

湖北省鄂東南省級(jí)示范高中教育教學(xué)改革聯(lián)盟學(xué)校2020屆高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題（文）

一、選擇題：在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.已知復(fù)數(shù)z滿足5

21?2i?1?i，則z?( )

zB.

A.

32

2C.

10

2D.

3

【答案】C

【解析】因?yàn)??2i?1?i,

z所以z?1?2i,

1?i所以|z|?|故選:C

1?2i|1?2i|1?4510.

|????1?i|1?i|21?122.若函數(shù)f?x??11?x與g?x??ln?x?1?的定義域分別為M和N，則MB.

x?1?x?1

D.

x?1?x?1

N?（

）

A.

x?1?x?1

C.

x?1?x?1

【答案】A

【解析】函數(shù)f(x)?????????1的定義域M??x|x?1?

1?x函數(shù)g(x)?ln(1?x)的定義域N??x|x??1?

故MN??x|?1?x?1?

故選：A．

?1?3.已知a???，b?log10.2，c?ab，則a、b、c的大小關(guān)系為（

）

3?3?0.2A.

a?b?c

C.

a?c?b

【答案】B

B.

c?a?b

D.

b?c?a

?1?0.2【解析】由題意可知：a???3????0,1?，b?log10.2?log131?133，

0.2b因?yàn)閏?ab???1??3??，a??0,1?，b?1，

所以c?a，

即c?a?b，

故選:B.

4.已知等差數(shù)列?an?的前3項(xiàng)和為30，后3項(xiàng)和為90，且前n項(xiàng)和為200，則n?（

A. 9 B. 10 C. 11 D. 12【答案】B

【解析】依題意，a1?a2?a3?30，an?2?an?1?an?90，

所以a1?a2?a3?an?2?an?1?an?3(a1?an)?120，

所以a1?an?40，

所以Sa1?ann?200?2?n?20n，解得n?10．

故選：B．

5.函數(shù)f?x??ln1?x1?x的大致圖像為（

）

A. B.

C. D.

【答案】D

）

【解析】函數(shù)f?x??ln排除B和C；

1?x11的定義域?yàn)閧x|x??1}，當(dāng)x?時(shí)，f()??ln3?0，

1?x22當(dāng)x??2時(shí)，f(?2)?ln3?0，排除A.

故選：D.

1?2a,0?a?n?4?n26.設(shè)數(shù)列?an?前n項(xiàng)和為Sn，已知a1?，an?1??，則S2020?（

）

15?2a?1,?a?1nn??2A. 1009

【答案】C

【解析】由已知得：a1?B.

5048

5C. 1010 D.

5054

543124,a2?,a3?,a4?,a5?.......T?4，

55555S2020?505?(a1?a2?a3?a4)?505?2?1010.

故選：C.

7.已知???0,??，且sin??A.

???3?，則tan?????（

）

4?5?C.

?1

7B. 7

1或－7

7D.

1或7

7【答案】D

234???3??【解析】已知???0,??，且sin??，當(dāng)???0,?，∴cosα＝1????＝，

55?2??5??3?1??sin?3?4?4?7；

?，∴tan?????則tan???34?1?tan?tancos?4?1??144tan??tan2sin?34???3????，

當(dāng)???,??，∴cosα＝?1????＝?，則tan??5cos?4?2??5??3??11???4?4?；

∴tan??????34?1?tan?tan?1??1744tan??tan

綜上：tan???故選：D

????1??或7

4?78.若非零向量a、b滿足a?b且2a?b?b，則a與b的夾角為（

）

A.

??π

6B.

π

3C.

2π

3D.

5π

6【答案】C

【解析】設(shè)a與b的夾角為?，

2由已知得：2a?b?b，2a?bb?0，則2a?b?b?0，

????12?a?b，?2cos??1?0，cos???，解得??.

32故選：C.

9.古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德的墓碑上刻著一個(gè)圓柱，圓柱內(nèi)有一個(gè)內(nèi)切球，這個(gè)球的直徑恰好與圓柱的高相等，相傳這個(gè)圖形是阿基米德最引以為自豪的發(fā)現(xiàn)．現(xiàn)有一底面半徑與高的比值為1:2的圓柱，則該圓柱的體積與其內(nèi)切球的體積之比為（

）

A.

4

3B.

3

2C. 2 D.

8

3【答案】B

【解析】設(shè)球的半徑為R，

則圓柱的底面半徑為R，高為2R，

4?V圓柱??R2?2R?2?R3，V球??R3．

3?V球V圓柱2?R33??432．

?R3故選：B．

10.已知O、A、B為平面內(nèi)三點(diǎn)，滿足OA?OB?5，點(diǎn)C在直線AB上，且OCmin?3，

則tOA?OB?t?R?的最小值為（

）

A.

24

5B. 4 C.

16

5D.

12

5【答案】A

【解析】因?yàn)镺A?OB?5，所以O(shè)AB為等腰三角形，

當(dāng)OC?AB時(shí)，OC取得最小值3，

此時(shí)，cos?AOC?22372，cos?AOB?cos2?AOC?2cos?AOC?1??，

5252tOA?OB?t2OA?2tOA?OB?OB?25t2?2t?25?(?27576時(shí)，tOA?OB取得最小值，

252524.

所以tOA?OB的最小值為57)?25?25t2?14t?25，

25當(dāng)t?故選：A.

c，11.已知?ABC的內(nèi)角A、B、b、且cosB?3sinB?C的對(duì)邊分別為a、點(diǎn)D是?ABC的重心，AD?3，則?ABC的外接圓半徑為（

）

A.

b?cb?3，，a3 B. 3 C.

33

2D.

6

【答案】A

【解析】由已知得：cosB?3sinB?b?c，

a利用正弦定理可得sinA(cosB?3sinB)?sinB?sinC，

3sinAsinBsinBcosAsinB，又sinB?0，所以3sinA?cosA?1，

??1??sin?A???,A?，

6?23?點(diǎn)D是?ABC的重心，

?AD?22211AB?AC?AD?AB?AC?2AB?AC?3，

39?2???化簡得AB?3AB?18?0，解得AB?3，

所以ABC是等邊三角形，則?ABC的外接圓半徑為2R?3?23，R=3.

32故選：A.

12.已知函數(shù)y?12?1?x的圖象在點(diǎn)?x0,x02?處的切線為直線l，若直線l與函數(shù)y?lnx，2??2x??0,1?的圖象相切，則x0必滿足條件（

）

A.

0?x0?1

C.

B.

1?x0?2

D.

2?x0?3

3?x0?2

【答案】D

【解析】函數(shù)y?12?1?x的圖像在點(diǎn)?x0,x02?處的切線的斜率k?x0，

2??2x02x02所以切線方程：y?x0?x?x0??即y?x0x?；

22y?lnx，x??0,1?設(shè)切點(diǎn)為?m，lnm?，切線的斜率k?所以切線方程：y?lnm?1；

m11?x?m?，即y?x?lnm?1，m??0,1?

mm若直線l與函數(shù)y?lnx，x??0,1?的圖像相切，

1?x?0??mx02則方程組?有解，所以?lnx0?1?0有解，

22??x0?lnm?1??2x2構(gòu)造函數(shù)f(x)??lnx?1，?x?1?，

2x2顯然f(x)??lnx?12且f(3)?所以x0?故選：D.

?1,???上單調(diào)遞增，

3?ln3?1?0；f(2)?2?ln2?1?0；

23,2.

??

二、填空題：

13.曲線y??x?2?ex?0在點(diǎn)?0,?2?處的切線方程為________.

【答案】x?y?2?0

【解析】y??x?2?e，y??(x?1)ex，

x令x=0，y???1，切線斜率為-1，

所以曲線在點(diǎn)?0,?2?處的切線方程為x?y?2?0.

故答案為：x?y?2?0

14.若函數(shù)f?x??mx2?lnx?x在定義域內(nèi)有遞減區(qū)間，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________．

【答案】m?1

81，(x?0)

x【解析】根據(jù)題意，函數(shù)f(x)?mx2?lnx?x，其導(dǎo)數(shù)f?(x)?2mx?1?若函數(shù)f(x)?mx2?lnx?x在定義域內(nèi)存在單調(diào)遞減區(qū)間，

則f?(x)?2mx?1?若f?(x)?2mx?1?1?0在(0,??)上有解；

x11111111?0，變形可得m?(?2)??(?)2?，

x2xx2x2811121則m??(?)?在(0,??)上能成立，

2x28設(shè)t?，則t?0，則?(?)???(t?)?，

2x282288x則必有m?1，

81；

8故m的取值范圍為m?故答案為：m?1．

8?π?15.已知函數(shù)f?x??sin?2x???，其中?為實(shí)數(shù)，若f?x?≤f??對(duì)?x?R恒成立，且?3?

?π?f???f???，則f?x?的單調(diào)遞增區(qū)間是________．

?2?【答案】????2???k?,??k??(k?Z)

6?3?????2???π??????1，

【解析】由f?x?≤f??對(duì)?x?R恒成立可得，f???sin??3??3??3?則2???????k?，即????k?(k?Z)，

6325??π????又f???f???，即sin(?k?)?sin???k??，

6?6??2?5??2k??(k??Z)，

65?)

所以f?x??sin?2x???=sin(2x?6?5????2k?(k?Z)，

令??2k??2x?2622???k??x???k?(k?Z)，

解得?36易得k為奇數(shù)，則??所以5?????2???k?,??k??(k?Z).

f?x??sin?2x??的單增區(qū)間是??66??3????2???k?,??k??(k?Z).

6?3?故答案為：??16.若m、n表示直線，?、?、?表示不同平面，下列四個(gè)命題：

①???m，n??，m?n，則???；

②m??，n??，m?n，則???；

③?④???m，???n，mn，則?∥?；

??m，n與?、?所成的角相等，則m?n.

其中真命題的有________.（請(qǐng)?zhí)钊刖幪?hào)）

【答案】②

【解析】①若???m，n??，m?n，如圖，則?與?不一定垂直，①錯(cuò)誤；

②若m??，n??，m?n，則???，②正確；

③三棱柱的三個(gè)側(cè)面分別記為?、?、?，?交，③錯(cuò)誤；

④當(dāng)直線m與n平行時(shí)，直線m與兩平面?、?所成的角也相等均為0，④錯(cuò)誤.

【點(diǎn)睛】本題考查空間中線面、線線關(guān)系和面面關(guān)系，要證明一個(gè)結(jié)論是錯(cuò)誤的只需舉出反例即可，屬于基礎(chǔ)題.

三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟，每個(gè)試題考生都必須作答.

17.設(shè)命題p：不等式x?5?x?1?a2?5a對(duì)?x?R恒成立；命題q：方程ax2?6x?a?8?0有兩個(gè)不同的正根.當(dāng)命題p和命題q不都為假命題時(shí)，求實(shí)數(shù)a的取值??m，???n，mn，但?與?相范圍.

解：∵x?5?x?1?6，∴a2?5a?6?0，解得?1?a?6；

∵方程ax2?6x?a?8?0有兩不同正根，∴a?0，利用判別式和韋達(dá)定理可得：

??36?4a?a?8??0?6?解得8?a?9，

?x1?x2??0a??a?8x?x??012?a?∵p?q為真，∴a???1,6???8,9?.

18.已知正項(xiàng)等差數(shù)列{an}滿足a2?a5?9，a3a4?20，等比數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn滿足Sn?2n?c，其中c是常數(shù)．

（1）求c以及數(shù)列{an}、{bn}的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)cn?anbn，求數(shù)列{cn}解：（1）前n項(xiàng)和Tn．

數(shù)列{an}為正項(xiàng)等差數(shù)列，?公差d?0，

a2?a5?a3?a4?9，又a3a4?20，

?a3?4，a4?5，可得d?1，即可得an?n?1；

Sn?2n?c?①

當(dāng)n?1時(shí)，b1?2?c，

當(dāng)n?2時(shí)，Sn?1?2n?1?c?②

①?②即可得bn?2n?1，n?2，又{bn}為等比數(shù)列，

?b1?20?1?2?c，即可得c?1，?bn?2n?1，n?N*；

（2）由題意得cn?(n?1)2n?1，

Tn?220?321???(n?1)2n?1，?③

2Tn?221???n2n?1?(n?1)2n，?④

③?④可得：?Tn?2?2?2???212n?12(1?2n?1)?(n?1)2?2??(n?1)2n??n2n．

1?2n?Tn?n2n．

19.在三角形ABC中，a、b、c分別為角A、B、C的對(duì)邊，且sinB（1）求角B的大小；

（2）若b?3，求ABC面積的最大值．

?3cosB?sinB??3．

23312sin2B?cos2B?1，

解：（1）由題意得3sinBcosB?sinB?，化簡得222??????∴sin?2B???1，即可得2B??，∴B?；

6??623a2?c2?31?

（2）∵b?3，B?，由余弦定理得cosB?2ac23即可得a2?c2?3?ac?2ac?ac?3

，∴S△ABC?當(dāng)a?c?3時(shí)等號(hào)成立.

20.如圖，已知四棱錐P?ABCD底面為菱形，且?ABC?11333

acsinB??3??2224?π，E是DP中點(diǎn)．

3

（1）證明：PB平面ACE；

（2）若AP?PB?2，AB?PC?2，求三棱錐C?PAE的體積．

（1）證明：連接BD交AC于F，連接EF

∵四邊形ABCD為菱形，∴F為AC中點(diǎn)，那么EF∥PB

又∵EF?平面ACE，PB?平面ACE∴PB∥平面ACE；

（2）解：由勾股定理易知AP⊥BP且△ABC為正三角形，

1∵E為DP中點(diǎn)，∴VC?PAE?VP?ACD，

2取AB中點(diǎn)M，連接PM、CM，由幾何性質(zhì)可知PM＝1，CM?3，

又∵PC＝2，∴PC2＝PM2＋MC2，即PM⊥MC，∵PM⊥AB，

∴PM⊥平面ABCD，

11313∴VP?ACD??1??2?3?，∴VC?PAE?VP?ACD?．

3232621.為慶祝建國70周年，某高中準(zhǔn)備設(shè)計(jì)一副宣傳畫，要求畫面面積為4840cm2，畫面高與寬的比為a?a?1?，畫的上下部分各留出5cm的空白，左右部分各留出8cm的空白.

（1）當(dāng)a?2時(shí)，該宣傳畫的高和寬分別為多少？

5

（2）如何確定畫面的高與寬，使得宣傳畫所用紙張面積最小，并求出此時(shí)a的值.

解：（1）設(shè)畫面的高為2x cm，寬5x cm，由題意得10x2?4840，解得x?22，

∴該畫的高為：44?10?54 cm，

寬為：110?16?126 cm；

（2）設(shè)畫面的高為x cm，則寬為?4840?4840?16?

cm，根據(jù)題意得S??x?10??x?x??5000?16x?4840048400?5000?216x??6760

xx當(dāng)且僅當(dāng)16x?∴a?555?.

88848404840?88，

即x?55時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)寬為xx22.設(shè)函數(shù)f(x)?ax?sinx,x?(0,（1）若函數(shù)f?x?在?0,?2),a為常數(shù)

?????上是單調(diào)函數(shù)，求a的取值范圍；

2?（2）當(dāng)a?1時(shí)，證明f(x)?13x.

6解：（1）由f?x??ax?sinx得導(dǎo)函數(shù)f??x??a?cosx，其中0?cosx?1.

當(dāng)a?1時(shí)，f??x??0恒成立，

故f?x??ax?sinx在?0,?????上是單調(diào)遞增函數(shù)，符合題意；

2?當(dāng)a?0時(shí)，f??x??0恒成立，

故f?x??ax?sinx在?0,?????上是單調(diào)遞減函數(shù)，符合題意；

2?當(dāng)0?a?1時(shí)，由f??x??a?cosx?0得cosx?a，

則存在x0??0,?????，使得cosx0?a.

2?當(dāng)0?x?x0時(shí)，f??x0??0，當(dāng)x0?x??2時(shí)，

???f??x0??0，所以f?x?在?0,x0?上單調(diào)遞減，在?x0,?上單調(diào)遞增，

2??故f?x?在?0,?????上是不是單調(diào)函數(shù)，不符合題意.

2?綜上，a的取值范圍是??,0???1,??.

（2）由（1）知當(dāng)a?1時(shí)，f?x??x?sinx?f?0??0，

??x?x?即sinx?x，故sin2???.

2?2?令g?x??f?x??2131???x?ax?sinx?x3,x??0,?，

66?2?21x1?x?1則g??x??a?cosx?x2?a?1?2sin2?x2?a?1?2???x2?a?1，

222?2?2當(dāng)a?1時(shí)，g??x??a?1?0，所以g?x?在?0,從而g?x??g?0??0，即f?x??

?????上是單調(diào)遞減函數(shù)，

2?13x.

6