近世代數(shù)課后習(xí)題參考答案(張禾瑞)-2

2023年12月28日發(fā)(作者：窮人創(chuàng)業(yè))

近世代數(shù)課后習(xí)題參考答案

第二章 群論

1 群論

1. 全體整數(shù)的集合對于普通減法來說是不是一個群?

證 不是一個群,因為不適合結(jié)合律.

2. 舉一個有兩個元的群的例子.

證

G?{1,?1} 對于普通乘法來說是一個群.

3. 證明, 我們也可以用條件1,2以及下面的條件

4'.

G至少存在一個右單位元e,能讓ae?a 對于G的任何元a都成立

'?1

5. 對于G的每一個元a,在G里至少存在一個右逆元a,能讓

aa?e

?1

4,5來作群的定義:

'' 證 (1) 一個右逆元一定是一個左逆元,意思是由aa 因為由4G有元a能使aa?e

所以(aa)e?(aa)(aa)

?[a(aa)]a?[ae]a?aa?e

即

aa?e

?1?1?1'?1'?1'?1?1?1'?1?e 得a?1a?e

''?1' (2) 一個右恒等元e一定也是一個左恒等元,意即

由

ae?a 得

ea?a

ea?(aa)a?a(aa)?ae?a

即

ea?a

這樣就得到群的第二定義.

(3) 證

ax?b可解

取x?ab

a(ab)?(aa)b?be?b

這就得到群的第一定義.

反過來有群的定義得到4,5是不困難的.

''?1?1?1?1?12 單位元,逆元,消去律

1. 若群G的每一個元都適合方程x?e,那么G就是交換群.

證 由條件知G中的任一元等于它的逆元,因此對a,b?G有ab?(ab)

2. 在一個有限群里階大于2的元的個數(shù)是偶數(shù).

?1證 (1) 先證a的階是n則a的階也是n.a?e?(a)?(a)n?1nn?1?12?b?1a?1?ba.

?e?1?e

若有m?n 使(a)?e 即

(a)是n矛盾.?a的階等于a的階

(2)

?1?1mm?1?e因而

am?e?1

?am?e 這與a的階a的階大于2, 則a?a?1 若

a?a?1?a2?e 這與a的階大于2矛盾

?1(3)

a?b 則

a?b?1

總起來可知階大于2的元a與定是偶數(shù)

a?1雙雙出現(xiàn),因此有限群里階大于2的元的個數(shù)一3. 假定G是個數(shù)一個階是偶數(shù)的有限群,在G里階等于2的元的

個數(shù)一定是奇數(shù).

證 根據(jù)上題知,有限群G里的元大于2的個數(shù)是偶數(shù);因此階

?2的元的個數(shù)仍是偶數(shù),但階是1的元只有單位元,所以階

?2的元的個數(shù)一定是奇數(shù).

4. 一個有限群的每一個元的階都是有限的.

證

a?G

故

a,a,?,a,?,a,??G

由于G是有限群,所以這些元中至少有兩個元相等:

a?a

(m?n) 故

amn2mnn?m?e

n?m是整數(shù),因而a的階不超過它.

4 群的同態(tài)

假定在兩個群G和G的一個同態(tài)映射之下,a?a，a和a的階是不是一定相同?

證 不一定相同

例如

G?{1,

G?{1}

?????1?i3?1?i3,}

22? 對普通乘法G,G都作成群,且?(x)?1(這里x是

G的任意元,1是G的元)

由

?可知

G∽G

但

???1?i3?1?i3,的階都是3.

22

而1的階是1.

5 變換群

1. 假定?是集合的一個非一一變換,?會不會有一個左逆元?證 我們的回答是回有的A?{1,2,3,?}

?1,使得??1????

?1: 1→1

?2 1→1

2→1 2→3

3→2 3→4

4→3 4→5

… …

?顯然是一個非一一變換但

??1???

2. 假定A是所有實數(shù)作成的集合.證明.所有A的可以寫成x?ax?b,a,b是有理數(shù),a?0形式的變換作成一個變換群.這個群是不是一個交換群?

證 (1)

?:

x?ax?b

?:

x?cx?d

??:

x?c(ax?b)?d?cax?cb?d

ca,cb?d是有理數(shù)

ca?0

? 是關(guān)閉的.

(2) 顯然時候結(jié)合律

(3)

a?1

b?0 則

?:

x?x

(4)

?:

ax?b

??1?1:x?而

????所以構(gòu)成變換群.

又

?1:

x?x?1

?2:

x?2x

?1?2:

x?2(x?1)

?2?1:

x?2x?1

故?1?2??2?1因而不是交換群.

3. 假定S是一個集合A的所有變換作成的集合,我們暫時仍用舊符號?:a?a??(a)

來說明一個變換?.證明,我們可以用?1?2:

a??1[?2(a)]??1?2(a)來規(guī)定一個S的乘法,這個乘法也適合結(jié)合律,并且對于這個乘法來說?還是S的單位元.

證

?1:

a??1(a)

?2:

a??2(a)

'1bx?(?)

aa

那么?1?2:

a??1[?2(a)]??1?2(a)

顯然也是A的一個變換.

現(xiàn)在證這個乘法適合結(jié)合律:

(?1?2)?3:a?(?1?2)[?3(a)]??1[?2[?3(a)]]

?1(?2?3):a??1[?2?3(a)]??1[?2[?3(a)]]

故

(?1?2)?3??1(?2?3)

再證?還是S的單位元

?:

a?a??(a)

???:

a??[?(a)]??(a)

??:

a??[?(a)]??(a)

?

?????

4． 證明一個變換群的單位元一定是恒等變換。

證 設(shè)?是是變換群G的單位元

??G ，G是變換群，故?是一一變換，因此對集合

A的任意元a，有A的元b，

?:

b?a??(b)

?(a)??(?(a))=??(b)??(b)?a

?1

?

?(a)?a

另證

?(x)???(x)

根據(jù)1.7.習(xí)題3知??(x)?x

??(x)?x

5. 證明實數(shù)域上一切有逆的n?n矩陣乘法來說，作成一個群。

證

G={實數(shù)域上一切有逆的n?n矩陣}

?1A,B?G 則B?1A?1是AB的逆

從而

A,B?G

對矩陣乘法來說，G當(dāng)然適合結(jié)合律且E（n階的單位陣） 是G的單位元。

故

G作成群。

6 置換群

1. 找出所有S3的不能和(231)交換的元.

3 證

S3不能和(231)交換的元有

(132),(213),(321) 這是難驗證的.

123

2. 把S3的所有的元寫成不相連的循環(huán)置換的乘積

解:

S3的所有元用不相連的循環(huán)置換寫出來是:

(1), (12), (13), (23), (123), (132).

3. 證明:

(1) 兩個不相連的循環(huán)置換可以交換

?1 (2)

(i1i2?ik)?(ikik?1?i1)

證(1)

(i1i2?ik)(ik?1?im)=(k?1k?2mm?1n =((i12i23?ik)

1ik?2ik?3?ik?1im?1?ii1i2?ikik?1?imim?1?ini2i3?ik?1?imim?1?in)(i1i2?ikik?2?ik?3?ik?1im?1?in)

ii?ii?ii?ii1i2?ikik?1ik?2?imim?1?inii?iiiii?in2kk?1mm?1n 又

(ik?1ik?2?im)(i1i2?ik)=(i1i2?ikik?2ik?3?ik?1im?1?in)(i1)

2i3?i1ik?1?imim?1?in2kk?1k?2mm?1n =(i1),故(i1i2?ik)(ik?1?im)?(ik?1?im)(i1i2?ik)

2i3?i1ik?2ik?3?ik?1im?1?ini1i2?ikik?1ik?2?imim?1?inii?iii?ii?i (2)

(i1i2?ik)(ikik?1?i1)?(i1),故(i1i2?ik)

3. 證明一個K一循環(huán)置換的階是K.

2k證 設(shè)??(i1i2?ik)?(i1)

2i3?i1?1?(ikik?1?i1).

ii?i

i?2?(ii??i)

1k32 …………

i?k?1?(ii??i)

11kk?1i?k?(ii??i)?(i1)

11kk設(shè)h?k, 那么

i?h?(ii??i)?(i1)

1kh?1h５． 證明Sn的每一個元都可以寫成(12),(13),?,(1n)這n?1個２－循環(huán)置換

中的若干個乘積。

證 根據(jù)2.6.定理２。Sn的每一個元都可以寫成若干不相干循環(huán)置換的乘積

而我們又能證明

(i1i2?ik)?(i1i2)(i1i3)?(i1ik)

同時有(i1il)?(1i1)(1il)(1i1), 這樣就得到所要證明的結(jié)論。

n則??(i1)

3?i12i?ii??1?(ii??i)

11kk?1

7 循環(huán)群

1． 證明 一個循環(huán)群一定是交換群。

證G?(a)

a，a?G

則aa?a

mnm?nmn?an?m?anam

2． 假設(shè)群的元a的階是n，證明a的階是n這里d?(r,n)是r和n的最大公因子

d證 因為(r,n)?d 所以r?dr1,n?dn1,而

(r1,n1)?1

r

3.假設(shè)a生成一個階n是的循環(huán)群G。

證明a也生成G，假如(r,n)?1(這就是說r和n互素)

證

a生成一個階n是的循環(huán)群G，可得生成元a的階是n，這樣利用上題即得所證，

或者，由于(r,n)?1有sr?tn?1

ra?asr?tn?asratn?(ar)n 即a?(ar)

故(a)?(a)

4 假定G是循環(huán)群，并且G與G同態(tài)，證明G也是循環(huán)群。

證 有2。4。定理1知G也是群，

設(shè)

G 且?(a)?a(?是同態(tài)滿射)

?r??b?G則存在b?G使?(b)?b

b?a 因而G∽G

故?(a)?a 即?(b)?a

因而b?a 即?=（?）

5．假設(shè)G是無限階的循環(huán)群，G是任何循環(huán)群，證明G與G同態(tài)。

證 ⅰ）設(shè)G是無限階的循環(huán)群，

????k???k?k?k?k???G?(a)

G?(a) 令?(a)?a

且?(a?a)?a?s?????s???aa??(as)?(a?)

???s??所以G∽G

ⅱ）設(shè)G?(a)而a的階是n。

令?：ah2h1??a 當(dāng)且只當(dāng)h1?nq1?k1,

??k10?k1?n易 知?是G到G的一個滿射

a?a

h2?nq2?k2

0?k2?n

設(shè)k1?k2?nq?k則h1?h2?n(q1q2)?k1?k2?n(q1?q2?q)?k

那么

aah1h2?k1?aa?a??k?q?k?q?a?k1?k2?aa

?k1?k2

?G∽G

8 子群

1．找出S3的所有子群

證S3={(1),(12),(13),(23),(123),(132)}的子群一定包含單位元(1)。

ⅰ）S3本身及只有單位元(1)都是子群

ⅱ）包含(1)和一個2一循環(huán)的集合一定是子群因(1)(ij)?(ij),(ij)?(1)

2H2={(1),(12)}，H3 ={(1),(13)}，

H4={(1),(23)}亦為三個子群

ⅲ）包含(1)及兩個3—循環(huán)置換的集合是一個子群

(ijk)2?(ijk)，

(ijk)(ikj)?(1)

H5={(1),(123),(132)}是子群，S3有以上6個子群，

今證只有這6個子群，

ⅳ）包含(1)及兩個或三個2—循環(huán)置換的集合不是子群因(ij)(ik)?(ijk)不屬于此集合

ⅴ)若一集合中3—循環(huán)置換只有一個出現(xiàn)一定不是子群

因(ijk)?(ikj)

ⅵ)一個集合若出現(xiàn)兩個3—循環(huán)置換及一個2—循環(huán)置換不是子群

因(ij)(ijk)?(ik)

ⅶ）3—循環(huán)置換及2—循環(huán)置換都只有兩個出現(xiàn)的集合不是子群

因若(ij),(ik)出現(xiàn) 則(ij)(ijk0?(jk)

故S3有且只有6個子群。

2.證明；群G的兩個子群的交集也是G的子群。

證H1,H2是G的兩個子群，H?H1?H2

2H顯然非空

a,b?H 則a,b?H1 同時a,b?H2

?1因H1,H2是子群，故ab?H1，同時ab?H2

?1所以ab?H1?H2?H

故H是G的子群

3．取S3的子集S?{(12),(123)}，S生成的子群包含哪些個元？一個群的兩個不同的子集不會生成相同的子群？

證

(12)?(1)?S

(123)?(132)?S

(12)(123)?(13)?S

(12)(132)?(23)?S 從而

S?S3

群的兩個不同的子集會生成相同的子群

2?12S1?{(123)}S1生成的子群為{(1),(123),(132)}

S2?{(132)}

S2生成的子群為{(1),(123),(132)}

4．證明，循環(huán)群的子群也是循環(huán)群。

證

G=（a）是循環(huán)群，H是G的子群

設(shè)a?H，而0?h?k時a?H。

任意b?H 則b?G 因而b?a

m?kq?r

0?r?k

a?a因a?H，ammkq?rmkk?akqar

kq?(ak)q所以H?(ak)是循環(huán)群.

5. 找出模12的剩余類加群的所有子群

證 剩余類加群是循環(huán)群故其子群是循環(huán)群.

G={[0],[1],?,[11]}

(ⅰ)

([1])?([5])?([7])?([11])?G

(ⅱ)

H1?([0])

(ⅲ)([2])?([10])即H2?{[0],[2],[4],[6],[8],[10]}

(ⅳ)

([3])?(9[]) 即H3?{[0],[3],[6][9]}

(ⅴ)

([4])?([8])即H4?{[0],[4],[8]}

(ⅵ) ([6]) 即H5?{[0],[6]}

有且只有以上6個 子群.

6.假定H是群G的一個非空子集,并且H的每一個元的階都有限,證明,H作成子群的充要條件:a,b?H推出ab?H

證 必要性 顯然

充分性a,b?H推出ab?H,(*)所以只證a?H推出即可.

a?H,a的階有限 設(shè)為m

am?e 即aam?1?e

所以a?1?am?1

m?1由(*) 可知a?H,因而a?1?H

這樣H作成G的子群.

9 子群的陪群

1. 證明階是素數(shù)的群一定是循環(huán)群

證：設(shè)群G的階是素數(shù)P,

則可找到a?G而a?e, 則a的階p,

根據(jù)2.9.定理3知np, 但p是素數(shù),故,n?p

那么a,a,a?a

2. 證明階是p的群(p是素數(shù))一定包含一個階是p的子群.

m證：設(shè)階是p的群為G,

m是正整數(shù), 可取a?G, 而a?e,

pn根據(jù)2.9.定理3,

a的階是p而n?m, 進一步可得an?1012p?1是G的P個不同元,所以恰是P的不同元,故n?p.

m的階為p.

?H?(a

pn?1)是階為p的G的子群.

3. 假定a和b是一個群G的兩個元,并且ab?ba,又假定a的階是m，

b的階n是并且(mn)?1.證明:ab的階是mn

證

?a?e,b?e?(ab)設(shè)(ab)?e.

則(ab)mr?amrbmr?bmr?e?nmr,(m,n)?1

故nr.

(ab)nr?anrbnr?e?mnr,(m,n)?1

故mr又(m,n)?1

?mnr

因此ab的階是mn.

4. 假定~是一個群G的元間的一個等價關(guān)系,并且對于G的任意三個元a,x,x來說,ax~ax?x~x證明與G的單位元e等價的元所作成的集合為H

證 由于~是等價關(guān)系,故有e~e即e?H.a,b,?H,則a~e,b~e

因而ae~aa,be~bb

由題設(shè)可得e~a,e~b

由對稱律及推移律得b再由題設(shè)得ab?1?1?1?1?1?1rmnmn?amnbmn?e.

''''~a?1

?1~e

即

ab?H

這就證明了H是G的一個子群.

5. 我們直接下右陪集Ha的定義如下:Ha剛好包含G的可以寫成

ha

(h?H)

G的每一個元屬于而且只屬于一個右陪集

. 證 任取a?G則a?ea?Ha

這就是說,G的每一個元的確屬于一個右陪集

若x?Ha,x?Hb則x?h1a,x?h2b.

則h1a?h2b,因而a?h1h2b,b?h2h1a

?ha?hh1h2b,hb?hh2h1a

?Ha?Hb,Hb?Ha故Ha=Hb

這就證明了,G的每一個元只屬于一個右陪集.

6. 若我們把同構(gòu)的群看成是一樣的,一共只存在兩個階是4的群,

它們都是交換群.

證 設(shè)G是階為4的群.那么G的元的階只能是1,2,4.

1．若G有一個元的階為4,則G為循環(huán)群;

?1?1?1?1

2. 若G有一個元的階為2,則除單位元外,其他二元的階亦均未2.

就同構(gòu)的觀點看階為4的群,只有兩個; 由下表看出這樣的群的確

存在. 循環(huán)群

0

1

2

3

0 1 2 3

0 1 2 3

1 2 3 0

2 3 0 1

3 0 1 2

非循環(huán)群

循環(huán)群是交換群，由乘法表看出是交換群

e

a

b

c

e a b c

e a b c

a e c b

b c e a

c b a e

10 不變子群、商群

1. 假定群G的不變子群N的階是2,證明,G的中心包含N.

證 設(shè)N?{e,n}

N是不變子群,對于任意a?G有

ana?N

若

ana

ana?1?1?1?e 則an?a ，

n?e 矛盾

?n 則an?na 即n是中心元.

又

e是中心元顯然.

故G的中心包含N.

2. 證明,兩個不變子群的交集還是不變子群令

證

N?N1?N2 ,則N是G的子群.

n?N?n?N1及n?N2，ana?1?N1,ana?1?N2?ana?1?N

故N是不變子群.

3. 證明:指數(shù)是2的子群一定是不變子群.

證 設(shè)群H的指數(shù)是2

則H的右陪集為He,Ha

H的左陪集為eH,aH

He?eH

由

He?Ha?eH?aH 易知Ha?aH

因此不論x是否屬于H均有Hx?xH

4. 假定H是G的子群,N是G的不變子群,證明HN是G的子群。

證 任取

h1n1?HN,h2n2?HN

(h1n1)(h2n2)?h1(n1h2)n2?h1(h2n3)n3?(h1?h)n1n?HN,hn?HN12?21?1?1(hn)?nh?Nh?h?1N

(hn)?1?h?1n'?HN.

至于HN非空是顯然的

!HN是G的子群.

5. 列舉證明,G的不變子群N的不變子群1未必是G的不變子群(取G=!)

證 取G?S4

N???1?,?12??34?,?13??24?,?14??23??N1???1?,?14??23??易知N是G的子群,N1是N的子群

我們說G的不變子群,這是因為i2是i3i4??i'i'

i'?i1N

??i'i'i'i'??iiii??iii?1234??123??i1i2??anai3i4??1?N,a?G,n?N. 此即說明''12''34123????'?i4?i4??

因為N是階為4的群,所以為交換群,故其子群N1是不變子群.

但N1卻不是G的不變子群,原因是:

?1?34???14??23???34???13??24??N1

6. 一個群G的可以寫成abab!形式的元叫做換位子.證明:

i)所有的有限個換位子的乘積作成的集合C是G的一個不變子群;

ii)G/C是交換群;

iii)若N是G的一個不變子群,并且G/N是交換群,那么N?C

證 i)e顯然是有限個換位子的乘積;

e?eeee故e?C

(有限個換位子的乘積)?(有限個換位子的乘積)=

有限個換位子的乘積,故C對G的乘法是閉的.

由于a?1b?1ab?1?1??1?1???1?b?1a?1ba1是換位子,故(有限個換位子的乘積)的逆仍為(有限個

換位子的乘積)即有c?1?C,故C是子群;

c?C,g?C

由gcg即gcg?1?1?C 有g(shù)cg?1c?1c?C

?C 所以C是不變子群.

??(ii)x 、y?G

c?C

x?1y?1xy?c 就有xy?yxc

故xy?yxC1

因而xyC?yxC

即(xC)(yC)?(yC)(xC)

所以GN是交換子群;

(iii)因G/N是交換子群

就有

(xN)(yN)?(yN)(xN)

(xy)N?(yx)N

xy?yxN

xy?yxn

n?N

因此

xyxy?N

又由于N是子群,所以N包含有限個換位子的乘積,

即N?C.

?1?111 同態(tài)與不變子群

1． 我們看一個集合A到集合A的滿射?,證明,若S是S的逆象,S一定是S的象;但若???S的S的象,S不一定是S的逆象.

證 ⅰ ) 在?之下的象一定是S;

若有S的元s在?之下的象s?S,則s有兩個不同的象,故矛盾

又S的逆象是S

兩者合起來,即得所證

ⅱ)設(shè)

A?{1,2,3,4,5,6,}A?{1,2}

?:

1?1

2?2

3?3

???????

4?2

5?1

6?2

令S?{1,3}

在?之下S?{1}

但S的逆象是{1,3,5}

2. 假定群G與群G同態(tài),N是G的一個不變子群,??????N是N的逆象.證明:

證 設(shè)?1:x?x是G到G的同態(tài)滿射;

??N?規(guī)定?:x?xN(?(x)?x,?2(x)?xN)

?則?是G到G?的同態(tài)滿射.

??????N事實上,?:y?yN(?1(y)?y,?2(y)?yN)

???2:x?xN是G到G?????????的同態(tài)滿射.

則?1(x?y)??1(x)??1(y)?x?y

????????

?2(x?y)??2(x)??2(y)?xN?yN

故?:x?y?xN?yN

這就是說,G~G???????現(xiàn)在證明同態(tài)滿射?的核是N

N?

x?N 則?1(x)?x

??由于N是N的逆象 故

?1(x)?x

因而?2(x)?xN?N

另一方面,若

x?N

則x?N (N是N的逆象)

根據(jù)2.1 1定理2.

GN?GN

3． 假定G和G是兩個有限循環(huán)群,它們的階各是m和n證明G與G同態(tài),當(dāng)而且只當(dāng)????????????nm的時候

證 （ⅰ）

GN

令N為同態(tài)滿射的核心,GN的階一定整除G的階

但GN?G

故

G的階一定整除G的階.即nm.

（ⅱ）nm.?G~G

設(shè)

G?(a),G?(a)

令?:a?a(i?nq?r,0?r?n)

在?下

a?a

(i?nq1?r1,0?r1?n)

a?a

(h?nq2?r2,0?r2?n)

而

r1?r2?nq?r

(0?r?n)

?k?h?n(q1?q2)?r1?r2

?n(q1?q2?q)?r

aa?a即G~G

?khk?hi?r?????k?r1k?r2?an(q1?q2?q)?r?a?a?r?r1?r2?aa

?r1?r2

4． 假定G是一個循環(huán)群,N是G的一個子群,.證明,GN也是循環(huán)群.

證 設(shè)G?(a)

b?G則b?a

bN?aN?(aN)

另證

G是循環(huán)群,由2.10.習(xí)題1知:

G是交換群,又由!.例3知N是G是一個不變子群,由這一節(jié)定理1得

G~GN

再由2.7.習(xí)題4知GN是循環(huán)群.

mmm