湖北省鄂東南省級示范高中教育教學改革聯盟學校2023屆高三上學期期中聯

2023年12月31日發(fā)(作者：我的天空歌詞)

2022年秋季鄂東南省級示范高中教育教學改革聯盟學校期中聯考

高三數學試卷

考試時間：2022年11月1日下午15：00-17：00 試卷滿分：150分

一、單項選擇題：（本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求。）

1．命題“?x?Z,|x|?N”的否定為（ ）

A．?x?Z,|x|?N B．?x?Z,|x|?N C．?x?Z,|x|?N D．?x?Z,|x|?N

2．己知集合A?x∣y?log0.5(4x?3),B?x∣3x2?8x?4?0，則AA．?????B?（ ）

?3??2??2??3?,2? B．?,2? C．?,1? D．?,1?

?4??3??3??4?3．下列函數中周期為π，且為偶函數的是（ ）

A．y?cos|x| B．y?tanxπ?? C．y?|cosx| D．y?sin?4x??

2?2?4．已知△ABC的外接圓圓心為O，且AB?AC?2OA?0,|AB|?|AO|，則向量BC在向量BA上的投影向量為（ ）

A．BA B．?BA C．11BC D．?BC

445．已知函數f(x)的定義域為R，g(x)?f(2?x)?f(2?x),h(x)?f(2?x)?f(x)，則下述正確的是（ ）

A．g(x)的圖象關于點(1,0)對稱 B．g(x)的圖象關于y軸對稱

C．h(x)的圖象關于直線x?1對稱 D．h(x)的圖象關于點(1,0)對稱

?ABC?6．在△ABC中，角A，B，C，所對的邊分別為a，b，c，則a?2c的最小值為（ ）

2ππ，D點為AC上一點且?DBC?,BD?3，32A．23 B．93 C．63 D．3

7．已知a?e?2,b?1?ln2,c?e?e，則（ ）

A．c?b?a B．a?b?c C．a?c?b D．c?a?b

e2

?3x?3,x?11?8．己知函數f(x)??3，則函數F(x)?f[f(x)]?3f(x)?的零點個數是（ ）

2?log3(x?1),x?1?A．6 B．5 C．4 D．3

二、多項選擇題：（本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合要求。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。）

9．若a,b?R，則使“a?b?1”成立的一個必要不充分條件是（ ）

A．ln(a?b)?1 B|a|?|b|?1 C．3?3?1 D．eaba?b?1

10．水車是我國勞動人民創(chuàng)造發(fā)明的一種灌溉工具，作為中國農耕文化的組成部分，充分體現了中華民族的創(chuàng)造力，見證了中國農業(yè)文明．水車的外形酷似車輪，在輪的邊緣裝有若干個水斗，借助水勢的運動慣性沖動水車緩緩旋轉，將水斗內的水逐級提升．如圖，某水車輪的半徑為6米，圓心距水面的高度為4米，水車按逆時針方向勻速轉動，每分鐘轉動2圈，當其中的一個水斗A到達最高點時開始計時，設水車轉動t（分鐘）時水斗A距離水面的高度（水面以上為正，水面以下為負）為f(t)（米），下列選項正確的是（ ）

A．f(t)?6cos4πt?4(t?0) B．f(t)?6sin?πt???π???4(t?0)

2?C．若水車的轉速減半，則其周期變?yōu)樵瓉淼?

2D．在旋轉一周的過程中，水斗A距離水面高度不低于7米的時間為10秒

11．設等比數列?an?的公比為q，其前和項和為Sn，前n項積為Tn，且滿足條件a1?1，a2022a2023?1，?a2022?1??a2023?1??0，則下列選項正確的是（ ）

A．0?q?1 BS2022?1?S2023 C．T2022是數列?Tn?中的最大項 D．T4043?1

12．己知函數f(x)?2x1，令x1?,xn?1?f?xn?，則下列正確的選項為（ ）

x?122n?1,n?N* A．數列?xn?的通項公式為xn?n?12?1

B．x1?x2?21?xn?n?

36?f?a6??12 C．若數列?an?為等差數列a1?a2?a3?a4?a5?a6??6，則f?a1??f?a2??D．x1?x2?x3xn?1?1

2e三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分。）

13．已知????π,?,?均為銳角，則(1?tan?)(1?tan?)?___________．

414．已知向量a,b不共線，且向量?a?b與a?(2??1)b的方向相反，則實數?的值為___________．

15．若項數為n的數列?an?滿足：ai?an?1?i(i?1,2,3n)我們稱其為n項的“對稱數列”．例如：數列1，2，2，1為4項的“對稱數列”；數列1，2，3，2，1為5項的“對稱數列”．設數列?cn?為2k?1(k?2)項的“對稱數列”，其中c1,c2,c3,?,ck是公差為2的等差數列，數列?cn?的最大項等于8．記數列?cn?的前2k?1項和為S2k?1，若S2k?1?32，則k?___________．

16．若不等式sinx?ln(x?1)?e?1?x?ax?x21x恒成立，則a的取值范圍為___________．

3四、解答題（本題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。）

17．（本題滿分10分）已知等差數列?an?和等比數列?bn?滿足a1?2,b2?4,an?2log2bn，n?N．

*（1）求數列?an?，?bn?的通項公式：

（2）設數列?an?中不在數列?bn?中的項按從小到大的順序構成數列?cn?，記數列?cn?的前n項和為Sn，求S50．

18．（本題滿分12分）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足acosC?3asinC?b?2c．

（1）求角A；

（2）己知AB?2，AC?6，M點為BC的中點，N點在線段AC上且|AN|?交點，求?MPN的余弦值．

1|AC|，點P為AM與BN的319．（本題滿分12分）如圖，在三棱柱ABC?A1B1C1中，AB?AC?AA1?3,AB?AC,?A1AB??A1AC，

D是棱B1C1的中點．

（1）證明：BC?平面A1AD；

（2）若三棱錐B1?A1BD的體積為92，求平面A1BD與平面CBB1C1的夾角?．

820．（本題滿分12分）在一次數學隨堂小測驗中，有單項選擇題和多項選擇題兩種．單項選擇題，每道題四個選項中僅有一個正確，選擇正確得5分，選擇錯誤得0分；多項選擇題，每道題四個選項中有兩個或三個選項正確，全部選對得5分，部分選對得2分，有選擇錯誤的得0分．

（1）小明同學在這次測驗中，如果不知道單項選擇題的答案就隨機猜測．己知小明知道單項選擇題的正確答案和隨機猜測的概率都是擇題正確答案的概率．

（2）小明同學在做多選題時，選擇一個選項的概率為1．問小明在做某道單項選擇題時，在該道題做對的條件下，求他知道這道單項選222，選擇兩個選項的概率為，選擇三個選項的概率為551．己知某個多項選擇題有三個選項是正確的，小明在完全不知道四個選項正誤的情況下，只好根據自己的經5驗隨機選擇，記小明做這道多項選擇題所得的分數為X，求X的分布列及數學期望．

21．（本題滿分12分）設點P為圓C:x?y?4上的動點，過點P作x軸垂線，垂足為點Q，動點M滿足222MQ?3PQ（點P、Q不重合）

（1）求動點M的軌跡方程E；

（2）若過點T(4,0)的動直線與軌跡E交于A、B兩點，定點N為?1,?3??，直線NA的斜率為k1，直線NB的2??斜率為k2，試判斷k1?k2是否為定值．若是，求出該定值；若不是，請說明理由．

22．（本題滿分12分）己知函數f(x)?asin(1?x)?lnx,a?R．

（1）討論函數f(x)在x?(0,1)上的單調性．

（2）證明：sin

111?sin?sin?223242?sin11?11??ln2????．

(1?n)22?n?1n?

2022年秋季鄂東南省級示范高中教育教學改革聯盟學校期中聯考

高三數學參考答案

一、單選題

1-4 ADCA 5-8 CBDB

二、多選題

9．BCD 10．AD 11．ACD 12．ACD

三、填空題

13．2 14．?1 15．k?4或k?5 16．a?1

2四、解答題

17．解析：（1）設等差數列?an?的公差為d，等比數列?bn?的公比為q，

由a1?2,b2?4,an?2log2bn，可得b1?2,a2?4，

則d?2,q?2,an?2n,bn?2n,n?N*； 5分

（2）由（1）bn?2n?2?2n?1?a2n?1

即bn是數列?an?中的第2n?1項．

設數列?an?的前n項和為Pn，數列?bn?的前n項和為Qn，

因為b7?a64,b6?a32

所以數列?cn?的前50項是由數列?an?的前56項去掉數列?bn?的前6項后構成的，

(2?112)?562?1?2?所以S50?P56?Q6?21?218．解析：（1）6??3066． 10分

acosC?3?asinC?b?2c

sinAcosC?3sinAsinC?sinB?2sinC?sin(A?C)?2sinC

sinAcosC?3sinAsinC?sinB?2sinC?sinAcosC?cosAsinC?2sinC

化簡得：2sinC?cosAsinC?3sinAsinC 3分

π?π???2?cosA?3sinA?2sin?A??，求得sin?A???1

6?6???

?A?π6?π2即A?π3． 5分

（2）M點為BC的中點?AM?12(AB?AC)

|AN|?13|AC|,BN?AN?AB

?BN?13AC?AB 7分

?AM?BN???1?2AB?12AC????1??3AC?AB??12112???2AB?3AB?AC?6AC?2

|AM|2?AM2?14(AB?AC)2?13?|AM|?13

|BN|2?BN22???1?3AC?AB????4?|BN|?2 10分

?cosAM,BN??AM?BN213|AM|?|BN|?13?2?13．即?MPN的余弦值為1313．

19．解析：（1）證明：（1）取BC中點O，連接AO，AO1，AC1，

因為AB?AC，所以AO?BC，

因為?A1AB??A1AC,AB?AC,AA1?AA1，所以△A1AB≌△A1AC 2分所以A1B?AC1，所以AO1?BC，

因為AOAO1?O,AO,AO1?平面A1AOD，

所以BC?平面A1AOD，即BC?平面A1AD． 6分

分 12

（2）連接OD，則平面AAO1即為平面AA1DO，

由（1）知BC?平面AA1DO，因為BC?平面ABC，且BC?平面BCC1B1，

故平面AA1DO?平面ABC，平面AA1DO?平面BCC1B1，

過O作OM?A1D于M，則OM?平面ABC，過A1作A1H?OD于H，則A1H?平面BCC1B1，

因為DO∥BB1∥AA1知DO?BC，

在△ABC中：AB?AC?A1A?3,BC?32，

所以S△BDB1?19DB1?DO?2

2419VB1?A1BD?VA1?BDB1?S△BDB1?A1H?2

38所以A1H?3 6分

2方法一（空間向量法）：

設?MOD??，則?DA1H??，

3AH2在Rt△A1HD中cos??1?2?

A1D3222所以DM?DO?sin??323232,OM?OD?cos??又A1D?，所以，所以點M與點A1重合以O222為原點，分別以OA,OB,OM分別為x，y，z軸正方向建立空間直角坐標系，

?32??32??32??32?A??2,0,0??,B??0,2,0??,C??0,?2,0??,A1??0,0,2??，

?????????323232??3232?B1???2,2,2??,D???2,0,2?? 8分

????設面A1BD的法向量為n1??x1,y1,z1?，則有

n1?BA1??3232323232y1?z1?0,n1?BD??x1?y1?z1?0

22222令x1?0,y1?1則z1?1，所以n1?(0,1,1)

設面CBB1C1的法向量為n2??x2,y2,z2?，則有

?n2?CB?32y2?0?

?3232x2?32y2?z2?0?n2?CB1???22令y2?0,x2?1則z2?1

所以n2?(1,0,1) 10分

設二面角的夾角為?，

則有cos??n1?n2n1?n2∣?π1，即??． 12分

32方法二（幾何法）：

過H做HE?BD，連接A1E，A1H?面BCC1B1，

?A1H?DB，則DB?面A1HE，

?A1E?BD，則?A1EH即為所求二面角． 8分

在Rt△A1DH中，A1H?3332,A1D?，則DH?

2223236,DB?

22在Rt△DOB中，OD?3,OB?由Rt△DEH與Rt△DOB相似可得：HEDH?

OBDB?HE?322，則A1E?A1H?HE?3 10分

2?cos?A1EH?1π，即平面A1BD與平面CBB1C1的夾角?為． 12分

2320．解析：（1）設事件A為“題回答正確”，事件B為“知道正確答案”，則

1115P(A)?P(B)P(A∣B)?P(B)P(A∣B)??1???， 3分

22481?1P(AB)P(B)P(A∣B)24所以P(B∣A)????． 5分

5P(A)P(A)58（2）設事件Ai表示小明選擇了i個選項，事件C表示選擇的選項是正確的，則

232C321P(X?2)?P?AC???2?，

1??P?A2C??545C42111P(X?5)?P?A3C???3?，

5C420P(X?0)?1?P(X?2)?P(X?5)?9，

201212C31C329???2??3?．（或者P(X?0)?P?AC）

1??P?A2C??P?A3C??545C45C420隨機變量X的分布列如下：

X

P

0 2 5

9

201

21

20115?E(X)??2??5?． 12分

2204

21．解析：（1）設點P為?x0,y0?，動點M為(x,y)，則Q點為?x0,0?

MQ??x0?x,?y?,PQ??0,?y0?

2MQ?3PQ?2?x0?x,?y??3?0,?y0?

求得：???x0?x又?2y??3yx2224y20?y0?4?x??4

??03即點M的軌跡方程為：x24?y23?1(y?0) 4分

（2）設直線AB方程為：x?my?4則

??x?my?4?x2y2消x得?3m2?4?y2?24my?36?0

??4?3?1△?(24m)2?4?36?3m2?4??0

?m?2或m??2

設A點?x1,y1?，B點?x2,ym2?則y1?y2??243m2?4,y1?y362?3m2?4

求得：my1y2??32?y1?y2?

y33?k1?1?k2?2y2?22my1y2????3?32m????y1?y2??9my??3?m2y??9

1?3my21y2?3m?y1?y2?3?2m?y1?y2??9

?32m?y1?y2??3m?y1?y2??9?3m??y1?y2??932

2m?y1?y2??9??1

?k1?k2的值為定值，定值為?1． 12分

22．解析：（1）f?(x)??acos(1?x)?11?axcos(1?x)x?x,0?x?1

8分

0?x?1?cos(1?x)?0

當a?0時0?x?1?f?(x)?0此時f(x)在(0,1)內單調遞增；

0?x?1?0?cos(1?x)?1,f?(x)?0 當0?a?1時．此時f(x)在(0,1)內單調遞增；

當a?1時令h(x)?1?axcos(1?x),0?x?1

h?(x)??a[cos(1?x)?xsin(1?x)]

a?1,cos(1?x)?0,sin(1?x)?0?h?(x)?0?h(x)在(0,1)上為減函數．

又h(0)?1?0,h(1)?1?a?0

?h(x)在(0,1)上存在唯一零點x0，使得h?x0??1?ax0cos?1?x0??0

∴當x??0,x0?時h(x)?0,f?(x)?0，f(x)遞增；

當x??x0,1?時h(x)?0,f?(x)?0，f(x)遞減． 5分

綜上：

當a?1時，此時f(x)在(0,1)內單調遞增；

當a?1時，當x??0,x0?時，h(x)?0,f?(x)?0，f(x)遞增；

當x??x0,1?時，h(x)?0,f?(x)?0，f(x)遞減．

其中x0為方程ax0cos?1?x0??1的根． 6分

（2）由（1）知當a?1時，f(x)?sin(1?x)?lnx在區(qū)間(0,1)上單調遞增

則f(x)?f(1)?0，即sin(1?x)??lnx?ln1(0?x?1) 7分

x?n2?2n?1(1?n)2所以sin?sin?1??ln,n?N*． 8分

22?(1?n)n(n?2)?(1?n)?111因此sin2?sin2?sin2?234?2213242?sin?ln????2(1?n)?1?32?43?5(n?1)2?

??n(n?2)?n?1n?1?n?1??ln??2??ln2?ln?ln2?ln

n?2n?2n??

解法一：令g(x)?lnx?1?2??x?1?x??,x?1，則g?(x)?11?1?x?2??1?x2??

g?(x)?2x?x2?1?x2?2x?1?(x?1)22x2??2x2??2x2?0

?g(x)在x?0上為減函數

x?1

?g(x)?g(1)?0，即lnx?1?1?2??x?x??,x?(1,??)上恒成立．

?ln2?lnn?1n?2?ln2?lnn?1n?ln2?1?n?1n?2??n?n?1??

?ln2?1?11?2??n?n?1??得證． 12分

解法二：

sin1111?223242?(n?1)2?22?sin32?sin42??sin(1?n)2?ln??1?3?2?4?3?5?n(n?2)???ln??n?1?n?2?2??n?1??ln2?lnn?2

lnn?1n?11n?2?0,n?N*?ln2?lnn?2?ln2?ln2??2?1?n?1?n?1??得證．

分

12