2022-2023學(xué)年湖北省鄂東南省級示范高中教育教學(xué)改革聯(lián)盟學(xué)校高一(上

2023年12月31日發(fā)(作者：屋面防水規(guī)范)

2022-2023學(xué)年湖北省鄂東南省級示范高中教育教學(xué)改革聯(lián)盟學(xué)校高一（上）期中數(shù)學(xué)試卷

一、單項選擇題（本大題共有8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是最符合題目要求的.注意：答在試卷上無效）

1．已知集合A＝{x|﹣3≤x＜9}，集合??={??|√???1＜4}，則A∩B＝（ ）

A．{x|﹣3≤x＜3} B．{x|﹣3≤x＜9} C．{x|1≤x＜3} D．{x|1≤x＜9}

2．已知條件p：a＝b（ab≠0），條件q：??+1??=??+1??，則p是q的（ ）

A．充分不必要條件 B．必要不充分條件

C．充要條件 D．既不充分也不必要條件

3．下列各組函數(shù)圖象相同的是（ ）

A．y＝x2與??=??3?? B．y＝|x|與??=(√??)2

C．??=√??2與y＝x D．??=3√(??+1)3與y＝x+1

4．下列推斷正確的是（ ）

A．若a2＞b2，則a＞b B．若a＞b，c＞d，則ac＞bd

C．若a＞b，則a3＞b3 D．若a＞b，c＞d，則a﹣c＞b﹣d

5．函數(shù)f（x）＝ax2+2x+1，g（x）＝x+a，則f（x）與g（x）的圖象在同一坐標(biāo)系中可能是（ ）A． B．

C． D．

6．已知點P（m，n）位于函數(shù)y＝﹣3x+4的圖象在第一象限內(nèi)的部分上，則3??+1??的最小值為（

A．5 B．4 C．3 D．2

第1頁（共13頁）

）

7．若函數(shù)f（x﹣1）的定義域是[﹣1，3]，則函數(shù)??(√???2)的定義域是（ ）

A．[1，5] B．[0，4] C．[1，25] D．[0，16]

??(??)???(??)?????8．若函數(shù)f（x）的定義域為R，且f（3）＝5．若對任意不相等的實數(shù)x，y，恒有不等式f（2x﹣1）＜4x﹣3的解集為（ ）

A．（﹣∞，﹣1） B．（﹣1，+∞） C．（﹣∞，2）

＞?2，則D．（2，+∞）

二、多項選擇題（本大題共有4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合要求，全部選對得5分，部分選對得2分，有選錯的得0分.注意：答在試卷上無效）

9．設(shè)集合A＝{y|y＝x2+1}，B＝{y|y＝x2+4x+5}，全集U＝R，下列說法正確的是（ ）

A．A∩B＝{﹣1} B．A∩B＝{2} C．（?UA）∩B＝? D．A∪B＝B

10．下列命題正確的是（ ）

A．“xy＞6”的一個充分不必要條件是“x＞2且y＞3”

B．命題“?x≥1，x2+2x﹣3≥0”的否定是“?x＜1，x2+2x﹣3＜0”

C．若集合{x|ax2+2x+1＝0}只有兩個子集，則a＝1

D．函數(shù)??(??)=??2+3√??2+1

的最小值為2√2

11．下列函數(shù)在區(qū)間（2，+∞）上單調(diào)遞增的是（ ）

A．??=??+

1??B．??=???

3????1??C．??=4????1

4???D．??=√??2?4??+3

12．若正數(shù)a，b滿足a+b＝2，則A．4 B．6

+的值可能為（ ）

C．8 D．10

三、填空題（本大題共有4小題，每小題5分，共20分.注意：答在試卷上無效）

13．設(shè)集合??={??|2??+1≤1}，B＝{x||x+2|≤3}，則A∩B＝ ．

??+314．設(shè)函數(shù)f（x）滿足f（3﹣x）+2f（x）＝x+3，則f（3）＝ ．

15．設(shè)函數(shù)f（x）＝x+1，g（x）＝x2﹣x+2a，若對?x1∈[﹣2，0]，?x2∈[﹣1，1]，使得f（x1）＝g（x2），則a的取值范圍為 ．

16．若x＞1時，4x2﹣（3a+2）x+3a+7≥0恒成立，則a的取值范圍為 ．

四、解答題（本大題共有6小題，共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.注意：答在試卷上無效）

17．（10分）已知集合A＝{x|m﹣1＜x＜2m+1}，??={??|???2＞2}．

（1）當(dāng)m＝2時，求A∩B；

第2頁（共13頁）

??+3

（2）若A∪B＝B，求m的取值范圍．

18．（12分）設(shè)正實數(shù)x，y滿足2x+3y＝xy，試求：

（1）x+y的最小值；

（2）xy的最小值．

??2???2，??≥??19．（12分）定義運(yùn)算a☆b={，設(shè)f（x）＝（2x﹣1）☆3．

????，??＜??（1）求f（x）的解析式；

（2）解不等式f（x）＜7．

20．（12分）假設(shè)某冷藏運(yùn)輸車以不低于30km/h的速度從甲地向相距300km的乙地運(yùn)送某種冷鮮食品時，總耗油量P（L）與行駛速度v（km/h）的關(guān)系為??=??1??+??2（k1，k2為常數(shù)），冷藏成本Q（元）與行??駛速度v成反比．已知該車某次以60km/h的速度從甲地向乙地運(yùn)送該冷鮮食品時，共耗油32L，冷藏成本為108元；另一次以75km/h的速度從甲地向乙地運(yùn)送該冷鮮食品時，共耗油31L．供貨商每次按0.9元/（km?t）的價格付給司機(jī)運(yùn)費(fèi)，設(shè)貨車油價保持8.1元/L不變．（該車從起步至速度達(dá)到30km/h過程中的耗油量忽略不計）

（1）求該車從甲地向乙地運(yùn)送該冷鮮食品的總成本f（v）（元）與行駛速度v（v≥30）的關(guān)系式．

（2）根據(jù)《道路交通安全法》規(guī)定，該車在此路段限速80km/h，若該車從甲地運(yùn)輸5t該冷鮮食品到乙地，則該車以多大的速度行駛時，收益最大？最大收益是多少元？

21．（12分）設(shè)冪函數(shù)f（x）＝（m2﹣3m﹣3）xm（1）求f（x）的解析式；

（2）設(shè)不等式f（x）≤4x+5的解集為函數(shù)g（x）＝2f（x）+a[f（x+1）﹣f（x）]的定義域，記g（x）的最小值為h（a），求h（a）的解析式．

22．（12分）設(shè)定義在R上的函數(shù)f（x）滿足：①對?x，y∈R，都有??(??+??)=f（x）＞0；③不存在x∈R，使得|f（x）|＝1．

（1）求證：f（x）為奇函數(shù)；

（2）求證：f（x）在R上單調(diào)遞增；

4+5??(????)1+2??(????2)1（3）設(shè)函數(shù)g（x）＝x﹣x﹣3，??(1)=2，不等式＞對?x∈R恒成立，試求g5+4??(????)2+??(????2)2﹣2在（0，+∞）單調(diào)遞增．

??(??)+??(??)；②x＞0時，1+??(??)??(??)（m）的值域．

第3頁（共13頁）

2022-2023學(xué)年湖北省鄂東南省級示范高中教育教學(xué)改革聯(lián)盟學(xué)校高一（上）期中數(shù)學(xué)試卷

參考答案與試題解析

一、單項選擇題（本大題共有8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是最符合題目要求的.注意：答在試卷上無效）

1．已知集合A＝{x|﹣3≤x＜9}，集合??={??|√???1＜4}，則A∩B＝（ ）

A．{x|﹣3≤x＜3}

解：∵√???1＜4，

∴1≤x＜17，

故B＝{x|1≤x＜17}，

又∵A＝{x|﹣3≤x＜9}，

∴A∩B＝{x|1≤x＜9}，

故選：D．

2．已知條件p：a＝b（ab≠0），條件q：??+A．充分不必要條件

C．充要條件

11=??+，則p是q的（ ）

????B．{x|﹣3≤x＜9} C．{x|1≤x＜3} D．{x|1≤x＜9}

B．必要不充分條件

D．既不充分也不必要條件

11=??+，充分性成立，

????解：當(dāng)a＝b（ab≠0）時，則a≠0，b≠0，必有??+當(dāng)??+111=??+時，則a＝b（ab≠0）或??=（ab≠0），必要性不成立，

??????故選：A．

3．下列各組函數(shù)圖象相同的是（ ）

??3A．y＝x與??=??

2B．y＝|x|與??=(√??)2

3

C．??=√??2與y＝x

??3D．??=√(??+1)3與y＝x+1

解：因為函數(shù)y＝x2，（x∈R），??=??=x2，（x≠0），解析式相同，定義域不同，不是同一函數(shù)，圖象不同；

函數(shù)y＝|x|，x∈R與??=(√??)2=x，x≥0，解析式與定義域均不相同，不是同一函數(shù)，圖象不同；

函數(shù)??=√??2=|x|與y＝x定義域相同，解析式不同，不是同一函數(shù)，圖象不同；

函數(shù)??=√(??+1)3=x+1與y＝x+1定義域與解析式均相同，是同一函數(shù)，從而圖象相同．

故選：D．

第4頁（共13頁）

3

4．下列推斷正確的是（ ）

A．若a2＞b2，則a＞b

C．若a＞b，則a3＞b3

B．若a＞b，c＞d，則ac＞bd

D．若a＞b，c＞d，則a﹣c＞b﹣d

解：A：當(dāng)a＝﹣1，b＝0時，a＜b，故A錯誤；

B：當(dāng)a＝c＝0，b＝d＝﹣1，ac＜bd，故B錯誤；

C：當(dāng)a＞b時，a3＞b3成立，故C正確；

D：當(dāng)a＝c＝1，b＝0，d＝﹣1時，a﹣c＜b﹣d，故D錯誤．

故選：C．

5．函數(shù)f（x）＝ax2+2x+1，g（x）＝x+a，則f（x）與g（x）的圖象在同一坐標(biāo)系中可能是（ ）

A． B．

C． D．1??

解：①當(dāng)a＜0時，f（x）的圖象開口向下，且對稱軸x=?在y軸右側(cè)，g（x）的圖象與y軸交于負(fù)半軸，

所以A錯誤，C正確；

②當(dāng)a＞0時，f（x）的圖象開口向上，g（x）的圖象與y軸交于正半軸，故D錯誤，

又因為a＞0時，f（x）圖象的對稱軸x=???在y軸左邊，

所以B錯誤．

故選：C．

6．已知點P（m，n）位于函數(shù)y＝﹣3x+4的圖象在第一象限內(nèi)的部分上，則A．5 B．4 C．3 D．2

3??1+的最小值為（ ）

??1解：由題意知n＝﹣3m+4，且m＞0，n＞0，

第5頁（共13頁）

故3??+??43??=1，

1??所以+=(3??+)???13??+??4=14(9+1+3????+3????)≥4，當(dāng)且僅當(dāng)3????=3????且3m+n＝4即m＝n＝1，等號成立．

故選：B．

7．若函數(shù)f（x﹣1）的定義域是[﹣1，3]，則函數(shù)??(√???2)的定義域是（ ）

A．[1，5] B．[0，4] C．[1，25] D．[0，16]

解：函數(shù)f（x﹣1）的定義域是[﹣1，3]，﹣1≤x≤3，解得﹣2≤x﹣1≤2，

故f（x）的定義域是[﹣2，2]，

函數(shù)??(√???2)，有?2≤√???2≤2，解得0≤x≤16，

故函數(shù)??(√???2)的定義域是[0，16]，

故選：D．

8．若函數(shù)f（x）的定義域為R，且f（3）＝5．若對任意不相等的實數(shù)x，y，恒有不等式f（2x﹣1）＜4x﹣3的解集為（ ）

A．（﹣∞，﹣1） B．（﹣1，+∞） C．（﹣∞，2）

??(??)???(??)????????????(??)???(??)?????＞?2，則D．（2，+∞）

解：由對任意不相等的實數(shù)x，y，恒有所以對任意不相等的實數(shù)x，y，恒有令g（x）＝f（x）﹣2x，

則對任意不相等的實數(shù)x，y，恒有不妨設(shè)x＞y，則y﹣x＜0，

＞?2，

??(??)???(??)+2???2?????????(??)???(??)+2＞0，即＞0，

??(??)???(??)?????＞0，即??(??)???(??)?????＜0，

所以g（y）﹣g（x）＞0，g（x）＜g（y），

所以g（x）在R上單調(diào)遞減．

所以f（2x﹣1）＜4x﹣3，即為f（2x﹣1）﹣2（2x﹣1）＜﹣1，

又因為f（3）＝5，

所以﹣1＝f（3）﹣2×3，

所以f（2x﹣1）﹣2（2x﹣1）＜f（3）﹣2×3，

即g（2x﹣1）＜g（3），

2x﹣1＞3，

解得x＞2，

所以不等式f（2x﹣1）＜4x﹣3的解集為（2，+∞）．

第6頁（共13頁）

故選：D．

二、多項選擇題（本大題共有4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合要求，全部選對得5分，部分選對得2分，有選錯的得0分.注意：答在試卷上無效）

9．設(shè)集合A＝{y|y＝x2+1}，B＝{y|y＝x2+4x+5}，全集U＝R，下列說法正確的是（ ）

A．A∩B＝{﹣1}

解：y＝x2+1≥1，

則A＝{y|y≥1}，

y＝x2+4x+5＝（x+2）2+1≥1，

則集合B＝{y|y≥1}，故A＝B，故CD符合題意．

故選：CD．

10．下列命題正確的是（ ）

A．“xy＞6”的一個充分不必要條件是“x＞2且y＞3”

B．命題“?x≥1，x2+2x﹣3≥0”的否定是“?x＜1，x2+2x﹣3＜0”

C．若集合{x|ax2+2x+1＝0}只有兩個子集，則a＝1

D．函數(shù)??(??)=??2+3√??2+1B．A∩B＝{2} C．（?UA）∩B＝? D．A∪B＝B

的最小值為2√2

解：A：當(dāng)x＞2且y＞3時一定有xy＞6，當(dāng)xy＞6，如x＝1，y＝7，故A正確，

B：根據(jù)全稱命題與特稱命題的否定關(guān)系即可判斷B錯誤，

C：因為集合{x|ax2+2x+1＝0}只有兩個子集說明該集合是單元素集，即方程ax2+2x+1＝0僅有一個根，

則判別式為4﹣4a＝0或a＝0，解得a＝1或a＝0，故C錯誤；

D：因為??2+3√??2+1=√??2+1+√??2+1≥2√2，當(dāng)且僅當(dāng)x＝±1，等號成立，D正確．

2故選：AD．

11．下列函數(shù)在區(qū)間（2，+∞）上單調(diào)遞增的是（ ）

A．??=??+

1??B．??=???

1??1??C．??=1

4???D．??=√??2?4??+3

解：由“對勾”函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)??=??+在（1，+∞）單調(diào)遞增，在（2，+∞）也單調(diào)遞增，A正確；

由y＝x在（2，+∞）單調(diào)遞增，??=??在（2，+∞）單調(diào)遞減，則??=?????在（2，+∞）單調(diào)遞增，B正確；

函數(shù)??=4???在x＝4處無定義，C錯誤；

第7頁（共13頁）

111

函數(shù)??=√??2?4??+3的定義域為（﹣∞，1]∪[3，+∞），因此在（2，3）上沒有定義，D錯誤．

故選：AB．

12．若正數(shù)a，b滿足a+b＝2，則A．4

解：由a+b＝2得而+??14??13????3????+4????的值可能為（ ）

C．8 D．10

?3+92??B．6

+4????24??==3(2???)??12+2(??+??)????????4????=6??+2??=2(+)?3，

????4314=(+)?????414??+??(1+4++)≥，當(dāng)且僅當(dāng)??=2??=，等號成立，

224∴3????+????=2(+)?3≥6，當(dāng)且僅當(dāng)b＝2a且a+b＝2，即a=3，b=3等號成立．

??故選：BCD．

三、填空題（本大題共有4小題，每小題5分，共20分.注意：答在試卷上無效）

13．設(shè)集合??={??|解：∵2??+1??+32??+1≤1}，B＝{x||x+2|≤3}，則A∩B＝ {x|﹣3＜x≤1} ．

??+3≤1，

∴﹣3＜x≤2，

故A＝{x|﹣3＜x≤2}，

∵|x+2|≤3，

∴﹣5≤x≤1，

故B＝{x|﹣5≤x≤1}，

故A∩B＝{x|﹣3＜x≤1}；

故答案為：{x|﹣3＜x≤1}．

14．設(shè)函數(shù)f（x）滿足f（3﹣x）+2f（x）＝x+3，則f（3）＝ 3 ．

解：令x＝0，得f（3）+2f（0）＝3，①

令x＝3，得f（0）+2f（3）＝6，②

聯(lián)立①②解得f（3）＝3．

故答案為：3．

15．設(shè)函數(shù)f（x）＝x+1，g（x）＝x2﹣x+2a，若對?x1∈[﹣2，0]，?x2∈[﹣1，1]，使得f（x1）＝g（x2），則a的取值范圍為 [?2，?8] ．

解：∵對?x1∈[﹣2，0]，?x2∈[﹣1，1]，使得f（x1）＝g（x2），

可得，f（x）在[﹣2，0]上的值域是g（x）在[﹣1，1]上的值域的子集，

易知f（x）在[﹣2，0]上的值域為[﹣1，1]，

第8頁（共13頁）

13

∴g（x）max≥1且g（x）min≤﹣1，

又g（x）＝x2﹣x+2a的對稱軸為直線??=，開口向上，x∈[﹣1，1]時，g（x）max＝g（﹣1）＝2a+2，??(??)??????=??()=2???，2a+2≥1且2???13112141≤?1，

4312解得?2≤??≤?8，即a的取值范圍為[?2，?8]．

故答案為：[?，?]．

16．若x＞1時，4x2﹣（3a+2）x+3a+7≥0恒成立，則a的取值范圍為 （﹣∞，6] ．

4??2?2??+7解：x＞1時，4x﹣（3a+2）x+3a+7≥0恒成立?3a（x﹣1）≤4x﹣2x+7恒成立???≤恒成3(???1)221238立，

令x﹣1＝t（t＞0），則94??2?2??+73(???1)3=4(??+1)2?2(??+1)+73??=13(4??+9??+6)≥6，

當(dāng)且僅當(dāng)4t=??，即??=2時，等號成立，

故a≤6，即a的取值范圍為（﹣∞，6]．

故答案為：（﹣∞，6]．

四、解答題（本大題共有6小題，共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.注意：答在試卷上無效）

17．（10分）已知集合A＝{x|m﹣1＜x＜2m+1}，??={??|（1）當(dāng)m＝2時，求A∩B；

（2）若A∪B＝B，求m的取值范圍．

解：（1）??={??|??+3＞2}={x|2＜x＜7}，

???2??+3＞2}．

???2當(dāng)m＝2時，A＝{x|1＜x＜5}，

故A∩B＝{x|2＜x＜5}；

（2）∵A∪B＝B，

∴A?B，

①當(dāng)m﹣1≥2m+1，即m≤﹣2時，

A＝??B；

②當(dāng)m﹣1＜2m+1，即m＞﹣2時，

2≤m﹣1且2m+1≤7，

解得m＝3；

綜上所述，

第9頁（共13頁）

m的取值范圍為（﹣∞，﹣2]∪{3}．

18．（12分）設(shè)正實數(shù)x，y滿足2x+3y＝xy，試求：

（1）x+y的最小值；

（2）xy的最小值．

解：（1）因為正實數(shù)x，y滿足2x+3y＝xy，

所以+??23??=1，

323??2??3??2??+≥5+2√6，當(dāng)且僅當(dāng)=時取等號，

????????所以x+y＝（x+y）（+）＝5+????故x+y的最小值為5+2√6；

（2）xy＝2x+3y≥2√6????，當(dāng)且僅當(dāng)2x＝3y時取等號，

解得xy≥24，

所以xy的最小值為24．

??2???2，??≥??19．（12分）定義運(yùn)算a☆b={，設(shè)f（x）＝（2x﹣1）☆3．

????，??＜??（1）求f（x）的解析式；

（2）解不等式f（x）＜7．

解：（1）解2x﹣1≥3得x≥2，

(2???1)2?32，??≥24??2?4???8，??≥2∴f（x）={，即??(??)={；

3(2???1)，??＜26???3，??＜2（2）當(dāng)x≥2時，由f（x）＜7得4x2﹣4x﹣8＜7，

解得?2＜??＜2，

又∵x≥2，

∴2≤??＜2，

當(dāng)x＜2時，由f（x）＜7得6x﹣3＜7，

解得x＜，

∴x＜3，

綜上所述，不等式的解集為（﹣∞，）∪[2，）．

325555353520．（12分）假設(shè)某冷藏運(yùn)輸車以不低于30km/h的速度從甲地向相距300km的乙地運(yùn)送某種冷鮮食品時，2總耗油量P（L）與行駛速度v（km/h）的關(guān)系為??=??1??+??（k1，k2為常數(shù)），冷藏成本Q（元）與行第10頁（共13頁）

??

駛速度v成反比．已知該車某次以60km/h的速度從甲地向乙地運(yùn)送該冷鮮食品時，共耗油32L，冷藏成本為108元；另一次以75km/h的速度從甲地向乙地運(yùn)送該冷鮮食品時，共耗油31L．供貨商每次按0.9元/（km?t）的價格付給司機(jī)運(yùn)費(fèi)，設(shè)貨車油價保持8.1元/L不變．（該車從起步至速度達(dá)到30km/h過程中的耗油量忽略不計）

（1）求該車從甲地向乙地運(yùn)送該冷鮮食品的總成本f（v）（元）與行駛速度v（v≥30）的關(guān)系式．

（2）根據(jù)《道路交通安全法》規(guī)定，該車在此路段限速80km/h，若該車從甲地運(yùn)輸5t該冷鮮食品到乙地，則該車以多大的速度行駛時，收益最大？最大收益是多少元？

160??1+2=32??1=560解：（1）依題意，有{，解得{，

??2??2=120075??1+75=31??P=5??+????11200，

????，

60設(shè)Q=，則有108=∴n＝6480，

∴Q=6480，

??∴f（v）＝8.1P+Q＝1.62v+??∴f（v）＝1.62v+9720+684016200=1.62??+（v≥30），

????16200（v≥30）．

??（2）設(shè)收益為g（v），則g（v）＝0.9×5×300﹣f（v）＝1350﹣f（v），

設(shè)h（v）＝v+10000，0＜v＜100，

??設(shè)0＜v1＜v2＜100，則v1﹣v2＜0，v1v2﹣10000＜0，

所以h（v1）﹣h（v2）＝v1+1000010000(??1???2)(??1??2?10000)???2?=＞0，

??1??2??1??2h（v）在（0，100）上是減函數(shù)，

所以f（v）＝1.62v+∵30≤v≤80，

∴f（v）min＝f（80）＝332.1，

∴g（v）max＝1350﹣f（v）min＝1017.9，

∴該車以80km/h的速度行駛時，收益最大，最大收益是1017.9元．

21．（12分）設(shè)冪函數(shù)f（x）＝（m2﹣3m﹣3）xm（1）求f（x）的解析式；

（2）設(shè)不等式f（x）≤4x+5的解集為函數(shù)g（x）＝2f（x）+a[f（x+1）﹣f（x）]的定義域，記g（x）第11頁（共13頁）

﹣21620010000=1.62（v+）在（0，100）上單調(diào)遞減，

????在（0，+∞）單調(diào)遞增．

的最小值為h（a），求h（a）的解析式．

解：（1）∵f（x）＝（m2﹣3m﹣3）xm﹣2是冪函數(shù)且在（0，+∞）單調(diào)遞增，

??2?3???3=1∴{，解得m＝4，∴f（x）＝x2．

???2＞0（2）f（x）≤4x+5即x2﹣4x﹣5≤0，解得﹣1≤x≤5，

∴g（x）的定義域為[﹣1，5]，

g（x）＝2f（x）+a[f（x+1）﹣f（x）]＝2x2+a[（x+1）2﹣x2]＝2x2+2ax+a，

對稱軸為x=?2，

當(dāng)?≤?1，即a≥2時，g（x）min＝g（﹣1）＝2﹣2a+a＝2﹣a；

??????2????2當(dāng)?1＜?2＜5，即﹣10＜a＜2時，??(??)??????=??(?2)=2×(?2)+2??×(?2)+??=?2+??；

??2??當(dāng)?≥5，即a≤﹣10時，??(??)??????=??(5)=2×52+2??×5+??=11??+50．

11??+50，??≤?10

2所以，?(??)=???+??，?10＜??＜2．

2

2???，??≥2{22．（12分）設(shè)定義在R上的函數(shù)f（x）滿足：①對?x，y∈R，都有??(??+??)=1+??(??)??(??)；②x＞0時，f（x）＞0；③不存在x∈R，使得|f（x）|＝1．

（1）求證：f（x）為奇函數(shù)；

（2）求證：f（x）在R上單調(diào)遞增；

4+5??(????)1+2??(????2)1（3）設(shè)函數(shù)g（x）＝x﹣x﹣3，??(1)=，不等式＞對?x∈R恒成立，試求g25+4??(????)2+??(????2)2??2??(??)+??(??)（m）的值域．

解：（1）證明：f（x）的定義域為 R，關(guān)于原點對稱，令 x＝y(tǒng)＝0，得 f（0）=解得 f（0）＝0 或f（0）＝±1，又不存在 x∈R，使得|f（x）|＝1，

故f（0）＝0，令 y＝﹣x，得 f（x﹣x）=1+??(??)??(???)=f（0）＝0，

故 f（x）+f（﹣x）＝0，即f（﹣x）＝﹣f（x），因此f（x）為奇函數(shù)；

（2）證明：x＞0 時，＞0，f（ ）＞0，

22??????(??)+??(???)2??(0)1+??(0)2，

則f（x）＝f（+ ）=22????2??1+??(2)??2??(2)≤1，當(dāng)且僅當(dāng)f（ ）＝1，等號成立，

2????又不存在 x∈R，使得|f（x）|＝1，則f（ ）≠1，于是x＞0 時，0＜f（x）＜1，

2又f（x）為奇函數(shù)，則x＜0 時，f（x）＝﹣f（﹣x）∈（﹣1，0），

第12頁（共13頁）

于是對?x∈R，﹣1＜f（x）＜1，

任取x1＜x2，則x2﹣x1＞0，f（x2﹣x1）＞0，

而f（x2﹣x1）＝f[x2+（﹣x1）]=??(??2)+??(???1)??(??2)???(??1)=＞0，

1+??(??2)??(???1)1???(??2)??(??1)又f（x1），f（x2）∈（﹣1，1），則f（x1）f（x2）∈（﹣1，1），

于是1﹣f（x1）f（x2）＞0，故f（x2）﹣f（x1）＞0，f（x2）＞f（x1），

因此f（x）在 R 上單調(diào)遞增；

（3）f（2）＝f（1+1）=4+5??(????)5+4??(????)2??(1)1+??(??)2=5，

=f（2+mx），

4則 =4+??(????)541+??(????)5=??(2)+??(????)1+??(2)??(????)??(1)+??(????2)1+2??(????2)2+??(????2)=1+??(????2)211+??(????2)2=1+??(1)??(????2)=f（1+mx2），

不等式4+5??(????)5+4??(????)＞1+2??(????2)2+??(????2)對?x∈R恒成立，即f（2+mx）＞f（1+mx2）對?x∈R恒成立，

由（2）知f（x）在 R 上單調(diào)遞增，于是2+mx＞1+mx2，即mx2﹣mx﹣1＜0對?x∈R恒成立，

當(dāng)m＝0時，mx2﹣mx﹣1＜0對?x∈R恒成立，

當(dāng)m≠0時，mx2﹣mx﹣1＜0對?x∈R恒成立?Δ＝m2+4m＜0且m＜0，即﹣4＜m＜0，

綜上，﹣4＜m≤0，

而函數(shù)g（x）＝x2﹣x﹣3在（﹣4，0]上單調(diào)遞減，故g（m）的值域為[﹣3，17）．

第13頁（共13頁）