擺線公式等

2024年2月12日發(作者：征稿)

擺線公式等

擺線方程

它是這樣定義的：一個圓沿一直線緩慢地滾動，則圓上一固定點所經過的軌跡稱為擺線

x＝a（φ－sinφ），y＝a（1－cosφ）

設該點初始坐標為（0，0）,圓心坐標為（0,a)

當圓轉動φ時，圓心坐標為（aφ, a)

該點相對于圓心坐標為（-asinφ，-acosφ）

所以該點坐標為（a（φ－sinφ），a（1－cosφ））

即x＝a（φ－sinφ），y＝a（1－cosφ）

擺線[編輯]

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一條由滾動的圓所生成的擺線

在數學中，擺線 (Cycloid) 被定義為，一個圓沿一條直線運動時，圓邊界上一定點所形成的軌跡。它是roulette曲線的一個例子。

擺線也是最速降線問題和等時降落問題的解。

目錄

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[隱藏]

1 歷史

2 方程

3 面積

4 弧長

5 其它相關聯的曲線

6 應用

7 參考

8 外部連結

歷史[編輯]

擺線的研究最初開始于Nicholas of Cusa，之后梅森 (Marin Mernne) 也有針對擺線的研究。1599年伽利略為擺線命名。1634年G.P. de Roberval指出擺線下方的面積是生成它的圓面積的三倍。1658年克里斯多佛·雷恩也向人們指出擺線的長度是生成它

的圓直徑的四倍。在這一時期，伴隨著許多發現，也出現了眾多有關發現權的爭議，甚至抹殺他人工作的現象，而因此擺線也被人們稱作“幾何學中的海倫”(The Helen of Geometers)。[1].

方程[編輯]

由半徑為2的圓所生成的擺線

過原點半徑為r的擺線參數方程為

在這里實參數t 是在弧度之下，圓滾動的角度。對每一個給出的t ，圓心的坐標為 (rt, r)。 通過替換解出 t 可以求的笛卡爾坐標方程為

擺線的第一道拱由參數 t 在 (0, 2π) 區間內的點組成。

擺線也滿足下面的微分方程。

面積[編輯]

一條由半徑為 r 的圓所生成的拱形面積可以由下面的參數方程界定：

微分，

于是可以求得

弧長[編輯]

弧形的長度可以由下面的式子計算出：

其它相關聯的曲線[編輯]

一些曲線同擺線緊密相關。當我們弱化定點只能固定在圓邊界上時，我們得到了短擺線 (curtate cycloid) 和長擺線 (prolate cycloid)，兩者合稱為次擺線

(trochoid），前面的情形是定點在圓的內部，后者則是在圓外。trochoid則是上述三種曲線的統稱。更進一步，如果我們讓圓也沿著一個圓滾動而不是直線的話，我們會得到 外擺線 (epicycloid)（沿著圓的外部運動， 定點在圓的邊緣），內擺線 (hypocycloid)（沿著圓內部滾動，定點在圓的邊緣）以及外旋輪線

(epitrochoid)和內旋輪線 (hypotrochoid)（定點可以在圓內的任一點包括邊界。）

小圓邊緣沿大圓轉動：圓外螺線/外擺線 · 圓內螺線/內擺線

小圓短徑外轉：外旋輪線 · 小圓長徑內轉：內旋輪線

小圓邊緣沿直線轉動：擺線

外擺線[編輯]

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不同的外擺線

外擺線 是所有形式為

的曲線，其中 n 為正實數。

軌跡定義[編輯]

n = 4的外擺線軌跡

假設有一個定圓，若有另一個半徑是剛才的圓形的一條外擺線。

倍的圓在上滾動，則圓周上的一定點在滾動時劃出的軌跡就是

心臟線[編輯]

心臟線

心臟線是外擺線的一種，其 n 為 2。它亦可以極坐標的形式表示：

r = 1 + cos

θ

這樣的心臟線的周界為 8，圍得的面積為心臟線亦為蚶線的一種。

。

在 曼德博集合 正中間的圖形便是一個心臟線。

心臟線的英文名稱“Cardioid”是 de Castillon 在 1741年 的《Philosophical Transactions of the Royal Society》發表的；意為“像心臟的”。

腎臟線[編輯]

腎臟線亦是外擺線的一種，其 n 為 3。

圓內螺線[編輯]

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內擺線（圓內螺線）是所有形式為

的曲線，其中 n 為正實數。

軌跡定義[編輯]

假設有一個定圓，若有另一個半徑是剛才的圓形的跡就是一條內擺線（圓內螺線）。

倍的圓在其內部滾動，則圓周上的一定點在滾動時劃出的軌

三尖瓣線和星形線[編輯]

三尖瓣線（Deltoid，字自“Delta”Δ）是內擺線（圓內螺線）一種，其 n 為 2（或1/2）。[1]

星形線是內擺線（圓內螺線）一種，其 n 為 3。

外旋輪線[編輯]

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R = 3, r = 1 和 d = 1/2 的外旋輪線

外旋輪線(Epitrochoid - IPA [?p??tr?k??d, -?tr??-])是追蹤附著在圍繞半徑為 R 的固定的圓外側滾轉的半徑 r 的圓上的一個點而得到的轉跡線，這個點距離外部滾動的圓的中心的距離是 d。

外旋輪線的參數方程是

特殊情況包括 R = r 的蝸牛線和 d = r 的外擺線。

經典的玩具萬花尺追蹤外旋輪線和內旋輪線。

轉子活塞發動機的定子是外旋輪線。

內旋輪線[編輯]

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紅色曲線是 R = 5.0, r = 3, d = 5 的內旋輪線

內旋輪線(hypotrochoid)是追蹤附著在圍繞半徑為 R 的固定的圓內側滾轉的半徑為 r 的圓上的一個點得到的轉跡線，這個點到內部滾動的圓的中心的距離是 d。

內旋輪線的參數方程是:

特殊情況包括 d = r 的內擺線和 R = 2r 的橢圓。

經典的玩具萬花尺追蹤出內旋輪線和外旋輪線。