矩法估計的分析及應用

2024年3月6日發(作者：尿毒癥治療)

矩法估計的分析及應用

金融數學10本 黃小聽 17

摘要：矩法估計就是根據子樣所提供的信息，對母體的分布或分布的數字特征等作出合理的統計推斷的一種方法。它不僅在數學領域應用廣泛，對于解決實際問題(比如預測股市行情，教育統計學等），也有很大的用途。

關鍵字：矩法估計；應用；評選標準；優缺點

一 什么是矩法估計

對于隨機變量來說，矩是其最廣泛，最常用的數字特征，母體?的各階矩一般與?的分布中所含的未知參數有關，有的甚至就等于未知參數。由辛欽大數定律知，簡單隨機子樣的子樣原點矩依概率收斂于相應的母體原點矩E?r,r = 1,2，…。這就啟發我們想到用子樣矩替換母體矩（替換原則），進而找出未知參數的估計，基于這種思想求估計量的方法稱為矩法。用矩法求得的估計稱為矩法估計，簡稱矩估計。它是由英國統計學家皮爾遜Pearson于1894年提出的。

二 矩法估計的理論依據

由辛欽大數定律知：

即對任意

或

，有

…

三 如何求解矩法估計

設母體?具有已知類型的概率函數f(x;?1,?2,?,?n)，

(?1，?2，…，?k)∈?

?1，是k個未知參數。…，?n是取自母體?的一個子樣，假設?的k階矩?k=E?k存在，顯然?j，j

j1nj=??i。

ni?1

?j(?1，?2，…，?n)=?，j=1,2, …，k （＊）

j得到含k個未知數?1，?2，…，?k的k個方程式，解這k個聯立方程組就可以得到?1，?2，…，?k的一組解：

??i=??i（?1，?2，…，?n），i=1,2, …，k

用（＊）中的解??i估計參數?i就是矩法估計。

由于??i是?1，?2，…，?n子樣的函數，所以??i是統計量。

(在數理統計中，我們一般用表示?的估計量。)

四 矩法估計在解決數學問題與實際問題上的應用

例1： 母體均值E?與方差D?為矩法估計。

解 ：設?1，?2，…，?n是母體?的子樣。母體具有均值E?和方差

D?=E?2-（E?)2

按照（＊）式得方程式組

?1= E?=?

?2= E?2=（E?)2+ D?=?

2 解這一方程組得E?和D?的矩法估計

1n?E??????i

ni?1?

D????2?(?)2

1n =?(?i??)

ni?1 =Sn

例2: 已知大學生英語四級考試成績?~N(μ,σ2)，均值μ,方差σ2均未知，

22?1,…,?n為取自母體?的一個子樣，(x1,…,xn)是子樣的一組觀測值,求μ與σ2的

矩法估計。

解：注意到有兩個未知參數，由矩法估計知需兩個方程，按照(＊)式得方程組

22?=?，??2=??(?) 解這一方程組得μ與σ的矩法估計量?分析：注意到我們這里求出μ與σ2的矩法估計未用到母體?的分布。這樣對μ,σ2作出了估計，也就對整個母體分布作出了推斷，進而對大學生英語四級考試成績?相關的其它數字特征（如標準分、標準差、偏態系數等）作出了估計。

矩法估計還有很多其他實際應用，如根據幾天前的交易數據估計當天的股市行情、根據隨機抽樣的結果估計生產線上螺絲釘的合格率、教育統計學等。

五 估計量的評選標準

1.一致估計

?=??（?1，?2，定義：設母體?具有概率函數f(x;?)，?∈?為未知參數。?…，nn?n）為?的一個估計量，n為子樣容量。若對任意?>0，式

limPn???????????0

?為?參數的一致估計。 成立，則稱?n?是母體均值E?的一個一致估計，?r是的E?r一個一致估計，子樣方差Sn是母體方差D?的一致估計。

2.無偏估計

2

估計的一致性是大子樣所呈現的性質，當子樣容量不大時，估計的這種性質就不存在。現在給出另一種對任何子樣容量都適用的評價估計量的準則，沒有系統偏差的性質在統計學上稱作無偏性，顯然它可以作為衡量一個估計量好壞的另一準則。

?=??（?2，…，?）為母體?的概率函數定義： 設?n?f(x;?):????的未知參數?的一個估計量。若對一切?∈?，關系式

?(?，

E?[?1?,?n)]=0

?(?，成立。則稱?1?,?n)為?的無偏估計，否則稱為有偏的。

顯然，子樣均值?是母體E?的無偏估計，子樣原點矩?是母體原點矩E?k的無偏估計，子樣方差Sn不是母體方差D?的無偏估計。一般地，二階或二階以上的子樣中心矩就不是母體中心矩的無偏估計。

若我們取

S?2n=n12n(???)SE=

?in?1i?1n?1k22n作為母體方差D?的估計，則有

?2 ESn=nn?12n?SEn= D?= D?

n?1nn?1?2S由此推出n是母體方差D?的無偏估計。

2?是參數?，…，?的無偏估?，…，?S從n不是D?的無偏估計也可看出，若?1kk1?,?,??)并不一定是?(?1,?,?k)的無偏估計。 計，函數?(?1k?是參數?由有偏估計Sn修改成無偏估計Sn是一種常用的方法，一般說來，如果?2?2?=a+b?，這里a、b是常數（b?0）的有偏估計，并且E?，于是我們能構造的一個?=無偏估計????ab?。

?不一定無偏，但當n??時，E????,則稱??為?的漸近無偏若?的一個估計?估計。

顯然，子樣方差S3.有效估計

2n1n2=?(?i??)是母體方差的一個漸近無偏估計。

ni?1????定義：設?1??1(X1,?,Xn)和?2??2(X1,?,Xn)都是參數?,的無偏估計量，

若對任意???，

??上式中的不等號成立，則稱

??1 較

??2 有效。

?? D(

?1 ) ≤D(

?2 )

且至少對于某個?六 矩法估計的優缺點

矩法估計原理簡單、使用方便，使用時可以不知母體的分布，而且具有一定的優良性質（如矩估計?為E?的一致最小方差無偏估計），因此在實際問題，特別是在教育統計問題中被廣泛使用。

但在尋找參數的矩法估計量時，對母體原點矩不存在的分布柯西分布如等不能用，另一方面它只涉及母體的一些數字特征，并未用到母體的分布，因此矩法估計量實際上只集中了母體的部分信息，這樣它在體現母體分布特征上往往性質較差，只有在樣本容量較大時，才能保障它的優良性,因而理論上講，矩法估計是以大樣本為應用對象的。

參考文獻：

[1] 魏宗舒．概率論與數理統計教程[M].北京：高等教育出版社.1983.

[2] 楊宗義.教育統計學[M].重慶：科技文獻出版社重慶分社.1990.

[3] 克拉美H著.統計學教學方法.魏宗舒等譯.上海：上海科學技術出版社．1966．