輕沙走馬路無塵--談數學解題的三重境界

2024年3月14日發(作者：最溫暖的家)

輕沙走馬路無塵--談數學解題的三重境界

徐成武

【期刊名稱】《中學數學》

【年(卷),期】2015(000)007

【總頁數】3頁(P89-91)

【作 者】徐成武

【作者單位】江蘇省海安縣曲塘中學

【正文語種】中 文

高中數學解題教學的初級目的是為了提高學生應試的水平，提高其在高考中的應試

分數，這是絕大部分學生在中學數學解題教學中比較切合實際的目標.另一方面，

課程改革在穩步前行，課程改革的目標非常清晰：要致力于學生對形式化數學本質

的理解，加強學生對數學應用的實踐，逐步滲透數學思想方法于數學教學之中，不

斷培養學生在數學問題解決過程中的創新意識和思維導向的指導，既形成扎實的基

本功，也形成一定的運用、創新能力.

陜西師大羅增儒教授在談到如何解題時，曾經這樣談及：對教師而言，首先要會做

題，這是起碼的基本能力，其次是會變題，能通過一個問題變換到一類問題，進而

解決是更高思維邏輯的體現，最后是用思想方法歸類解題，這是最高境界的體現，

當學會了從思想方法的高度來看如何解數學問題，那么中學數學解決問題的方法永

遠是那么幾類.筆者思索羅教授在《解題學導論》中的一席話，將其落地生根、更

接中學數學解題而言，應該恰好可以理解為中學數學解題教學的三種境界：其一，

如何解一般問題，這里不外乎數學問題解決的基本手段（包括熟練化、系統化、反

思等），筆者稱之為一維數軸式的解題；其二，如何解一類問題，稍難的數學問題

都可以深化、研究，將其歸納小結，通過一個問題可以引導學生解決一類問題，筆

者稱之為二維坐標式的解題；最后，針對一系列問題，總結其問題解決的思想方法，

站在更高的位置來看待問題的解決，這是數學解題的更高境界，筆者稱之為三維空

間式的解題.將解題教學用三種螺旋式上升關系進行合理銜接，正是解題教學的三

重境界.本文從案例結合的角度，探討解題教學如何層層遞進，讓師生在不知不覺

中感受數學解題的魅力.

單一的解題，是指僅僅孤立地解決問題.在新知學習階段，學生往往處于一維數軸

式的處理模式.為何如此比喻呢？數學家王元說過：數學知識像分布在數軸上的數，

比方說數字0猶如集合，隨著認識的增加，我們認識了數字1，這就是集合之后的

函數內容，只有一個個數字的學習、認知才能將數軸上的數字逐一認識，這里的過

程正是單一模式的解決問題.筆者認為，教師解題教學的首要問題是如何學會一維

數軸式解題，這需要學生三個方面的提升：首先是數學概念的認知和內化，用王元

教授的話說即是基本保障；其次是典型問題的感知、感悟，這是將概念落到實處的

體現；最后是一定的鞏固訓練，對于單一數軸式解題的提高和培養，不必要以題海

訓練模式進行低效反復操作從而使學生喪失學習積極性.因此，將上述環節有條不

紊、循序漸進地展開，是做好解題教學第一重境界的基本.

案例1：判斷△ABC解的個數（必修5第一章正弦定理習題）.

問題：在△ABC中，由下列各組條件求解三角形，其中有兩個解的是

_________________.

①b=20，A=45°，C=80°；②a=30，c=28，B=60°；

③a=14，b=16，A=45°；④a=12，c=15，A=120°；

利用正弦定理判斷△ABC解的個數的可能性，從實際教學效果來看，學生掌握的程

度離教師的期望是比較遠的.筆者認為學生并沒有認識到該知識的一維數軸式上的

重點：（1）何種三角形才會有兩解？（2）有多解的三角形如何判斷？因此筆者

認為，解決問題之前，先解決該知識的基本環節（如表1和表2）.

在學生掌握上述基礎知識后，繼續解決給出的相關問題.

分析：對于①，AAS，必定一解；

對于②，SAS，必定一解；

對于③，SSA，sinA＜1且a＜b，兩解；

對于④，SSA，且C＞A=120°，無解；

對于⑤，SSS，必定一解；

對于⑥，SSA，sinB=1，一解.

說明：從本題的教學可以看出，筆者引導學生解決問題的步驟是按照學生認知的三

個步驟進行的，既有數學概念、性質的回顧，也有對其問題解決過程的啟發和引導，

并在問題解決最后以同一知識類型問題給予鞏固，這樣的解決方式對于單一知識的

問題解決是比較完備的，在一維數軸式上的知識點解決也是線性的、系統化的，讓

學生在解題第一重境界的領悟上做到扎實有序、循序漸進.

如果說一維數軸式解題教學是橫向的一種實施，那么教師完善解題教學的第二境界

需要對解題教學進行縱向的嘗試.一維數軸式解題是對單一知識的解決，但是單一

知識存在著知識點運用的簡單性、直接性，使得學生無法將復雜問題通過純粹單一

解題進行鞏固訓練提升，必須依賴對知識更深程度的分析，通過縱向的一種變化來

加強.筆者認為這種方式加強的數學解題教學，是對知識間聯系的一種整合，它有

利于知識之間交叉混合解決問題，是對前一種境界的提升.華師大張奠宙教授專門

就新課程下與時俱進的“雙基”提出了獨到的見解：傳統的“雙基”是指加強學生

的基礎知識和基本技能，但是這遠遠不夠，而今數學教學還需要將這些基礎知識進

行合理整合的使用，我認為方式可以是一題多解加深知識間的銜接，或者是一題多

變的探索，通過一個問題加深一類問題的解決，這種方式才是與時俱進的“雙基”.

筆者認為，二維坐標式的數學解題教學正是符合了這一精神的教學所在.

案例2：在△ABC中，M是BC的中點，AM=3，BC=10，則___________.

分析：學生思考后提出兩種解法，一是根據問題結論的普適性，通過特例“正三角

形”得出答案；二是利用平面向量基本定理將未知向量用已知向量進行分解的一般

化處理方法.教師在對這兩種方法做出評價，肯定了學生的思考后，提問有沒有更

好的方法.在學生思考不得其所時，給出“平行四邊形兩條對角線的平方和等于四

條邊的平方和”的證明過程，啟發學生通過自主閱讀，從該命題證明|a+b|2+|a-

b|2的過程中來尋找啟動問題的原型a·b的處理方式，由學生來推導得到最終將其

應用于啟動問題，起到了最大程度簡化的作用，使學生初步認識到了該恒等式的價

值所在.

變式1：在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=2，D、E是線段BC上兩點，且的

取值范圍是________.（在學生思維的最近發展區進行鞏固，即學即用，使學生進一

步看到“極化恒等式”的應用價值，從而引出學生繼續深入學習的熱情）

變式2：在半徑為1的扇形AOB中，∠AOB=60°，C為弧上的動點，AB與OC

交于點P，則的最小值是_______.

變式3：已知a·b=0，向量c滿足（c-a）·（c-b）=0，|ab|=5，|a-c|=3，則a·c

的最大值為________.（難度逐次遞進，但與啟動問題同根同源.通過習題的巧妙編

排，使學生不斷地思考，在思考中鞏固、深化、提高）

歸納：上述“向量恒等式”使用的適用條件：共起點的向量求數量積的值或范圍，

在已知三角形中有一邊確定或其范圍一定.

說明：從本題的變換可以看出，一個問題涉及數個一維數軸式的知識點，將一個問

題進行變化探究和多角度分析，可以較為高效地提高從一個典型問題輻射一類問題，

即在用數量積求取值范圍相關問題時如何利用向量恒等式這是新課程教學在指導我

們解題教學時需要注意的.

如果說將高中數學解題教學的基本功和常規問題熟練化做得非常完美的話，也就是

上述兩個緯度的解題做到了比較完善，筆者認為還能對學生更好的指導來自數學思

想方法的教學.課程標準制定參與者北師大張英伯教授對于數學解題教學給出了這

樣的總結性話語：中學數學要傳授解題，但更要傳授在這背后所呈現的思想方法，

我認為能力性的思想方法主要是轉化與化歸思想，這一思想方法是貫穿中學數學教

學的始終，除此之外諸如函數與方程思想、數形結合思想、分類討論思想等知識性

的思想方法屬于第二層次，中學數學教學中教師要多給予這種轉換的指導，有利于

學生問題解決能力的培養以及數學解題能力的提高.因此，筆者將思想方法滲透的

解題教學稱之為三維空間式的解題，站在系統的高度解決數學問題，做到輕沙走馬

路無塵. 2）2+（y-2）2=2，這是一個以點（2，2）為圓心、√2為半徑的圓，作

出圖像（如圖1），從圖中可知兩向量、的夾角的取值范圍是

說明：反觀本題的解決并非太難，甚至很多學生都覺得不過如此，按照自身實際能

力也能解決.但問題真正難在哪里？難在具備數學思想方法的眼光！拋開問題給出

的答案，筆者曾經嘗試過，四十五位同學中具備利用正確的數學思想方法解決問題

的人不超過五位，可見學生往往在問什么想什么！根本不可能站在系統的高度思考

一個問題.反思本題，用到的數學基礎知識并不難，知識之間的鏈接整合也不是觸

摸不到，難的是無法找到合適的切入點找到正確的思想方法，進而選取最簡捷的數

形結合方式.

總之，新課程數學解題教學不能仿似傳統解題教學以大量訓練替代，而且課程改革

改變了數學解題教學的理念，讓教師不斷從效率角度提升解題教學，筆者經過思考

認為層層遞進、螺旋式上升的解題教學是提升學生問題解決能力的關鍵.從知識點

的熟練扎實，到知識橫縱整合，到最后從思想方法的高度進行滲透，將優秀學生的

問題解決能力進行更好的提升，久而久之形成體系的解題教學才能成為適應新課程

的高效教學.

1.羅增儒.數學解題導論［M］.西安：陜西師范大學出版社，2002.

2.張奠宙.再談數學雙基［J］.數學教學，2013（8）.

3.金鳳明.庖丁解牛與數學解題［J］.上海中學數學，2008（4）.A