專題27 圓錐曲線與四心問題 微點3 圓錐曲線與內心問題(學生版)

2024年3月23日發(作者：親子班)

專題27 圓錐曲線與四心問題 微點3 圓錐曲線與

內心問題

專題27 圓錐曲線與四心問題

微點3 圓錐曲線與內心問題

【微點綜述】

三角形的“四心”指重心、外心、內心、垂心，它們是三角形的重要幾何點，與之相關的數學

問題是數學競賽的熱點問題，也是解析幾何的難點問題，這類問題涉及的知識面較廣，富有

挑戰性，是考查學生能力的“好”點，在高考中常充當“把關題”的重要角色．本文對三角形的

“內心”的幾何性質加以歸納，旨在探索解題規律，總結解題方法．

一、三角形內心的定義

三角形的內心：三角形內切圓的圓心，稱為內心，三角形三條內角平分線的交點，就是內心．

二、三角形內心常見結論

設

ABC

的內切圓為圓

I

，切邊

AB

于

P

，則有如下重要結論：

（

1

）

I

是

ABC

的內心

?a?IA?b?IB?c?IC?0

（其中

a

、

b

、

c

為

ABC

的三條邊）；

1

（

2

）

?BIC?90???A

；

2

（

3

）

AP?

r

tan

A

2

?

b?c?a

；

2

?

ax

A

?bx

B

?cx

C

ay

A

?by

B

?cy

C

?

,

（

4

）內心

I

點的坐標為

??

；

a?b?ca?b?c

??

（5）三角形內切圓的半徑求法：

①

任意三角形：

r

①

直角三角形：

r?

2S

（其中

C

為

ABC

的周長，

S

為

ABC

的面積）；

C

a?b?c

（其中

a

，

b

為直角邊，

c

為斜邊）；

2

（6）焦點三角形內心軌跡方程：

x

2

y

2

①

設點

M

為橢圓

2

?

2

?1

?

a?b?0

?

的焦點三角形

PF

1

F

2

的內心，則點

M

的軌跡方程為：

ab

x

2

y

2

??1

?

y?0

?

c

2

?

bc

?

2

，其中

c?a

2

?b

2

．

??

?

a?c

?

證明：如圖

1

，設

M

?

x,y

?

,P

?

x

0

,y

0

?

，連結

PM

交

F

1

F

2

直線于點

D

?

x

1

,0

?

，由三角形內角

答案第1頁，共9頁

MPPF

1

PF

2

PF

1

?PF

2

a

????

，又平分線定性質知

MDF

1

DF

2

DF

1

D?F

2

Dc

cx

0

c

2

x

0

PF

1

?a?,F

1

D?x

1

?c,?x

1

?

2

．

aa

?

a?c

?

y

,

ax

x

0

?,y

0

?

a

cc

又由

MP?MD

，得

c

22

x

0

y

0

x

2

y

2

??1,?

2

??1

?

y?0

?

a

2

b

2

c

?

bc

?

2

．

??

?

a?c

?

圖1 圖2

x

2

y

2

①

設點

I

為雙曲線

2

?

2

?1

?

a?0,b?0

?

的焦點三角形

PF

1

F

2

的內心，則有：

ab

（

1

）當

P

在雙曲線右支上時，點

I

的軌跡方程為

x?a

?

y?b,y?0

?

；

（

2

）當

P

在雙曲線左支上時，點

I

的軌跡方程為

x??a

?

y?b,y?0

?

．

證明：（

1

）當

P

在雙曲線右支上時，如圖

2

，設圓

I

與

PF

1

,PF

2

,F

1

F

2

分別相切于點

A,B,C

，

,PA?PB,F

2

B?F

2

C

．

①

P

在雙曲線右支上，

?PF

1

?PF

2

?2a

，即則有

F

1

A?FC

1

F

1

A?F

2

B?2a

，又

FC?F

2

C?2a

，設

C

?

x

?

,0

?

，則有

x

?

?

?

?c

?

?

?

c?x

?

?

?2a

，化簡，有

1

x

?

?a

．從而知總圓

I

與

x

軸相切于點

C

?

a,0

?

，又

IC?x

軸，故點

I

的軌跡方程為

x?a

．

a

y

?

c

?

c?a

,?y?b

且

y?0

．

?tan?

設

I

的縱坐標為

y,?PF

1

F

2

?

?

，則有

b

c?a2b

c

1?

綜上所述，點

I

的軌跡為

x?a

?

y?b,y?0

?

．

（

2

）仿照（

1

）的證明可證得：當

P

在雙曲線左支上時，圓

I

總與

x

軸相切于點

C

?

?a,0

?

，

點

I

的軌跡為

x??a

?

y?b,y?0

?

．

三、典型例題精析

答案第2頁，共9頁