普師

第1頁，共18頁

2021

年廣東省揭陽市普寧市普師高級中學高考數學熱身

試卷

一、單選題（本大題共

8

小題，共

40.0

分）

1.

(2021

浙江省杭州市

單元測試

)

設集合

={|<4}

，集合={|2<4}，則

()

A.?B.?C.??

D.??

2.

(2021

廣東省揭陽市

模擬題

)

已知

i

為虛數單位，則2021

等于

()

.1C.?D.?1

3.

(2021

廣東省廣州市

期中考試

)

函數()=+ln||

的圖象大致為

()

A.B.

C.D.

4.

(2021

黑龍江省哈爾濱市

模看人 擬題

)

若

=3

4

，則cos

2+22=()

A.64

25

B.48

25

C.1D.16

25

5.

(2021

江西省吉安市

期中考試

)

數列

?1

，

3

，

?5

，

7

，

?9

，

…

的一個通項公式為

()

A.

=2?1B.

=(?1)(1?2)

C.

=(?1)(2?1)D.

=(?1)+1(2?1)

6.

(2020

全國

同步練習

)

若

()=+1

?2

(>2)

在

=

處取得最小值，則

=()

A.1B.3C.7

2

D.4

7.

(2017

云南省昆明市

期中考試

)

正四棱錐的頂點都在同一球面上，若該棱錐的高為

4

，

底面邊長為

2

，則該球的表面積為

(??????)

A.81

4

B.16C.9D.27

4

第2頁，共18頁

8.

(2020

寧夏回族自治區石嘴山市

期中考試

)

在

(22?1

)5

的二項展開式中，

x

項的系

數為

()

A.10B.?10C.40D.?40

二、多選題（本大題共

4

小題，共

20.0

分）

9.

(2021

廣東省揭陽市

模擬題

)

在平面直角坐標系

xOy

中，拋物線2=6的焦點為

F

，

準線為

l

，

P

為拋物線上一點，

⊥

，

A

為垂足

.

若直線

AF

的斜率

=?

√

3

，則下

列結論正確的是

()

A.準線方程為

=?3B.焦點坐標

(

3

2

,0)

C.點

P

的坐標為

(

9

2

,3

√

3)

的長為

3

10.

(2021

廣東省揭陽市

模擬題

)

對于函數

()=||++1

，下列結論中錯誤的是

()

A.()

為奇函數B.()

在定義域上是單調遞減函數

C.()

的圖象關于點

(0,1)

對稱D.()

在區間

(0,+∞)

上存在零點

11.

(2021

安徽省蚌埠市

單元測試

)

已知函數

()=

√

3sin(2+

6

)

，則下列選項正確的

有

()

A.()

的最小正周期為

B.曲線

=()

關于點

(

3

,0)

中心對稱

C.()

的最大值為√

3

D.曲線

=()

關于直線

=

6

對稱

12.

(2021

湖北省黃石市

單元測試

)

已知函數

()=(+1)

，

()=(+1)

，則

()

A.函數

()

在

R

上無極值點

B.函數

()

在

(0,+∞)

上存在唯一極值點

C.若對任意

>0

，不等式()≥(2)恒成立，則實數

a

的最大值為

2

D.若

(

1

)=(

2

)=(>0)

，則

1

(

2

+1)

的最大值為

1

三、單空題（本大題共

4

小題，共

20.0

分）

13.

(2021

廣東省揭陽市

模擬題

)

若向量

?=(1,2)

，

?

??=(?2,1)

，則

??

?

=

______

．

14.

(2021

廣東省揭陽市

模擬題

)

設離散型隨機變量

X

服從兩點分布，若

(=0)=1

3

，

則

(=1)=

______

．

第3頁，共18頁

15.

(2020

上海市

月考試卷

)

已知橢圓2

9

+2

4

=1

的左、右焦點分別為

1

、

2

，若橢圓上

的點

P

滿足

|

1

|=2|

2

|

，則

|

1

|=

______

．

16.

(2021

廣東省揭陽市

模擬題

)

已知三棱錐

?

中，二面角

??

的大小為

120

，

△

是邊長為

4

的正三角形，

△

是以

P

為直角頂點的直角三角形，則

三棱錐

?

外接球的表面積為

______

．

四、解答題（本大題共

6

小題，共

70.0

分）

17.

(2021

廣東省

模擬題

)

已知數列

{

}

滿足：

+1=2

?1

(≥2,∈?)

，

1

=3

．

(1)

求證：數列

{ln(

?1)}

是等差數列，

(2)

求數列

{

}

的前

n

項和

．

18.

(2021

浙江省杭州市

單元測試

)

在

△

中，角

A

，

B

，

C

所對的邊分別為

a

，

b

，

c

，

且

=+(?)

．

(1)

求

B

；

(2)

若

3=2

，且

△

的面積為

6

√

3

，求

b

．

19.

(2021

廣東省揭陽市

模擬題

)2020

年初，湖北出現由新型冠狀病毒引發的肺炎

.

為防

止病毒蔓延，各級政府相繼啟動重大突發公共衛生事件一級響應，全國人民團結一

心抗擊疫情

.

某社區組織了

80

名社區居民參加防疫知識競賽，他們的成績全部在

40

分至

100

分之間，現將成績按如下方式分成

6

組：第一組，成績大于等于

40

分且

小于

50

分；第二組，成績大于等于

50

分且小于

60

分；

???

第六組，成績大于等于

第4頁，共18頁

90

分且小于等于

100

分，據此繪制了如圖所示的頻率分布直方圖．

(1)

求社區居民成績的眾數及

a

的值；

(2)

我們將成績大于等于

80

分稱為優秀，成績小于

60

分稱為不合格

.

用分層抽樣的

方法從這

80

個成績中抽取

20

個成績繼續分析，成績不合格和優秀各抽了多少個？

再從抽取的不合格成績和優秀成績中任選

3

個成績，記優秀成績的個數為

x

個，求

x

的分布列和數學期望．

20.

(2020

安徽省合肥市

單元測試

)

如圖，四棱錐

?

中，

⊥

底面

ABCD

，

//

，

∠=90

，

=2

，

M

為

PD

的中點．

(

Ⅰ

)

證明：

//

平面

PAB

；

(

Ⅱ

)

若

△

是等邊三角形，求二面角

??

的余弦值．

第5頁，共18頁

21.

(2020

山東省

月考試卷

)

已知雙曲線2

2

?2

2

=1(

其中

>0

，

>0)

，點

(,0)

，

(0,?)

，離心率為2

√

3

3

，且原點到直線

AB

的距離是

√

3

2

．

(1)

求雙曲線的方程；

(2)

已知直線

=+5(≠0)

交雙曲線于

C

，

D

兩點，且

C

，

D

都在以

B

為圓心的

圓上，求

k

的值．

22.

(2021

湖北省

模擬題

)

已知函數()=22+2

．

(1)

當

=1

時，求

()

的導函數

′()

在

[?

2

,

2

]

上的零點個數；

(2)

若關于

x

的不等式2(2)+22≤()在

(?∞,+∞)

上恒成立，求實數

a

的取值范圍．

第6頁，共18頁

答案和解析

1.【答案】

B

【知識點】補集運算、集合包含關系的判斷

【解析】

【分析】

本題考查集合間的包含關系的判斷，屬基礎題．

求出集合

={|?2<<2}

，畫數軸即可得出結論．

【解答】

解：集合

={|<4}

，集合={|

2<4}={|?2<<2}，如圖所示，

可知

?

，

故選：

B

．

2.【答案】

A

【知識點】復數的概念

【解析】解：因為

20214

余

1

，

故

2021

等于

i

．

故選：

A

．

利用

i

的周期性進行求解即可．

本題考查了復數的運算，解題的關鍵是掌握

i

的運算法則，考查了運算能力，屬于基礎

題．

3.【答案】

A

【知識點】函數圖象的應用、函數的奇偶性、函數圖象的作法

【解析】解：函數

=()

為奇函數，所以

B

選項錯誤；

又因為

(1)=1>0

，所以

C

選項錯誤；

又因為

(2)=2+

2

2

>0

，所以

D

選項錯誤．

故選：

A

．

第7頁，共18頁

先判斷函數的奇偶性和對稱性，利用特殊值符號的對應性進行排除即可．

本題主要考查函數圖象的識別和判斷，利用函數奇偶性，對稱性以及特殊值的符號的對

應性進行排除是解決本題的關鍵．

4.【答案】

A

【知識點】二倍角正弦公式、正余弦齊次式的計算

【解析】

【分析】

本題主要考查三角函數的化簡求值，同角三角函數的關系式，二倍角公式的應用，“弦”

化“切”是關鍵，屬于基礎題．

將所求的關系式的分母“

1

”化為(cos

2+sin2)，再將“弦”化“切”即可得到答案．

【解答】

解：

∵=

3

4

，

∴cos2+22

=

2+4

2+2

=

1+4

2+1

=

1+4

3

4

9

16

+1

=64

25

．

故選

A

．

5.【答案】

C

【知識點】數列的通項公式

【解析】

【分析】

本題考查了數列通項公式，屬于基礎題．

分別考慮數列的符號與數值變化規律即可得出．

【解答】

解：觀察數列

?1

，

3

，

?5

，

7

，

?9

，

…

，

得通項公式為

=(?1)(2?1)

．

故選

C

．

第8頁，共18頁

6.【答案】

B

【知識點】利用基本不等式求最值

【解析】

【分析】

()=?2+1

?2

+2

，再利用基本不等式，即可得出結論，本題考查基本不等式的運

用，恰當轉化，利用基本不等式是關鍵．

【解答】

解：

∵>2

，

∴?2>0

，

∴()=?2+1

?2

+2≥2√(?2)?1

?2

+2=4

，

當且僅當

?2=

1

?2

，即

=3

時，函數取得最小值

4.∴=3

．

故選

B

．

7.【答案】

A

【知識點】球的表面積、棱錐的結構特征、球的切、接問題

【解析】

【分析】

本題主要考查四棱錐外接球的表面積，屬于基礎題．

利用正四棱錐的底面邊長和高求出外接球的半徑，進而可得球的表面積．

【解答】

解：由題可知正四棱錐

?

的外接球的球心在它的高

1

上，記為

O

，

設球的半徑為

R

，

∵

棱錐的高為

4

，底面邊長為

2

，

∴2=(4?)2+(

√

2)2，

∴=9

4

，

第9頁，共18頁

∴

該球的表面積為

4(9

4

)2=81

4

．

故選

A

．

8.【答案】

D

【知識點】二項式定理的應用、二項展開式的特定項與特定項的系數

【解析】解：

(2

2?1

)5

的二項展開式的通項為

+1

=

5

(22)5?(?1

)=

5

25?(?1)10?3

令

10?3=1

，得

=3

故

x

項的系數為

5

325?3(?1)3=?40

故選

D

由題意，可先由公式得出二項展開式的通項

+1

=

5

(22)5?(?1

)=

5

25?(?1)10?3

，再令

10?3=1

，得

=3

即可得出

x

項的系數

本題考查二項式的通項公式，熟練記憶公式是解題的關鍵，求指定項的系數是二項式考

查的一個重要題型，是高考的熱點，要熟練掌握

9.【答案】

BC

【知識點】拋物線的性質及幾何意義

【解析】解：由拋物線方程為

2=6，

∴

焦點坐標

(3

2

,0)

，準線方程為

=?3

2

，故

A

選項錯誤，

B

選項正確，

∵

直線

AF

的斜率為

?

√

3

，

∴

直線

AF

的方程為

=?

√

3(?3

2

)

，

當

=?

3

2

時，

=3

√

3

，

∴(?

3

2

,3

√

3)

，

∵⊥

，

A

為垂足，

∴

點

P

的縱坐標為

3

√

3

，可得點

P

的坐標為

(9

2

,3

√

3)

，故

C

選項正確，

根據拋物線的定義可知

||=||=

9

2

?(?3

2

)=6

，故

D

選項錯誤，

故選：

BC

．

根據拋物線的性質，即可判斷

A

、

B

選項，直線

AF

的方程為

=?

√

3(?

3

2

)

，將

A

的

橫坐標

=?

3

2

代入直線

AF

方程中，可得

A

點的縱坐標，再結合條件

⊥

，即可判斷

第10頁，共18頁

C

選項，根據拋物線的性質，即可判斷

D

選項．

本題主要考查了拋物線的性質，需要學生熟練掌握公式，屬于中檔題．

10.【答案】

ABD

【知識點】函數的奇偶性、函數的單調性與單調區間

【解析】解：

()=||++1=

{

2++1,≥0

?2++1,<0

，

由題意可知，圖象關于點

(0,1)

對稱，

因此不是奇函數，在定義域內函數為增函數，

在

(?∞,0)

上有零點

故選：

ABD

．

先對函數解析式進行化簡，然后結合函數圖像

分別檢驗各選項即可判斷．

本題主要考查了函數性質的應用，體現了數形結合思想，屬于基礎題．

11.【答案】

ACD

【知識點】函數

y=Asin(x+)

的圖象與性質、正弦、余弦函數的圖象與性質

【解析】解：函數

()=

√

3sin(2+

6

)

，

A

：由于函數

()

的最小正周期

=

2

2

=

，所以

A

正確；

B

：因為

(

3

)=

√

3sin(2

3

+

6

)=√

3

2

≠0

，所以

B

不正確；

C

：

()

=

√

3

，所以

C

正確；

D

：因為

(

6

)=

√

3sin(2

6

+

6

)=

√

3

為函數的最值，所以

D

正確；

故選：

ACD

．

由函數的周期的求法及函數的性質可得所給命題的真假．

本題考查三角函數的性質，屬于基礎題．

12.【答案】

AD

【知識點】利用導數研究閉區間上函數的最值、利用導數研究函數的極值

【解析】解：對于

A

：

′()=(+1)

+1

，令

()=(+1)+1

，則

′()=(+

2)

，

第11頁，共18頁

令

′()>0

，解得：

>?2

，令

′()<0

，解得：

，

故

′()

在

(?∞,?2)

遞減，在

(?2,+∞)

遞增，

故′()

=′(?2)=1??2>0，故

()

在

R

遞增，

故函數

()

在

R

上無極值點，故

A

正確；

對于

B

：

′()=1+

1

+

，令

()=1+1

+

，則

′()=?1

2

，

令

′()>0

，解得：

>1

，令

′()<0

，解得：

0<<1

，

故

′()

在

(0,1)

遞減，在

(1,+∞)

遞增，

故

′()

=′(1)=2>0

，故

()

在

(0,+∞)

遞增，

函數

()

在

(0,+∞)

上無極值點，故

B

錯誤；

對于

C

：由

A

得：

()

在

(0,+∞)

遞增，

不等式()≥(

2)恒成立，

則≥

2

恒成立，故

≥

2

，

設

?()=

2

，則

?′()=

2(1?)

2

，

令

?′()>0

，解得：

0<<

，令

?′()<0

，解得：

>

，

故

?()

在

(0,)

遞增，在

(,+∞)

遞減，

故

?()

=?()=2

，故

≥

2

，故

C

錯誤；

對于

D

：若

(

1

)=(

2

)=(>0)

，

則

1

(

1+1)=(

2

+1)

2

=

，

∵>0

，

∴

1

>0

，

2

>1

，

當

2

=

1時，

1

(

2

+1)

=ln[

1

(

1+1)]

1

(

1+1)

，

設

=

1

(

1+1)

，設

()=

，則

′()=

1?

2

，

令

′()>0

，解得：

0<<

，令

′()<0

，解得：

>

，

故

()

在

(0,)

遞增，在

(,+∞)

遞減，

故

()

=()=1

，此時

=

1

(

1+1)=(

2

+1)

2

，

故

1

(

2

+1)

的最大值是

1

，故

D

正確；

故選：

AD

．

求出函數

()

的導數，根據函數的單調性判斷

A

，求出函數

()

的導數，根據函數的單

調性判斷

B

，若對任意

>0

，不等式()≥(

2)恒成立，則

≥2

，設

?()=

2

，

根據函數的單調性判斷

C

，當

2

=

1時，

1

(

2

+1)

=ln[

1

(

1+1)]

1

(

1+1)

，設

=

1

(

1+1)

，

第12頁，共18頁

設

()=

，根據函數的單調性判斷

D

．

本題考查了函數的單調性，最值問題，考查導數的應用，是一道中檔題．

13.【答案】

5

【知識點】向量的數量積

【解析】解：由題意向量

?=(1,2)

，

?

??=(?2,1)

，

可得

?

=(1,2)+(?2,1)=(?1,3)

，

故

??

?

=1(?1)+23=5

，

故答案為：

5

．

利用向量的坐標運算，轉化求解向量的數量積即可．

本題考查向量的坐標運算法則的應用，向量的數量積的求法，是基礎題．

14.【答案】

2

3

【知識點】

n

次獨立重復試驗與二項分布

【解析】解：因為離散型隨機變量

X

服從兩點分布，且

(=0)=

1

3

，

所以

(=1)=1?(=0)=1?

1

3

=2

3

．

故答案為：

2

3

．

利用兩點分布的概率之和為

1

，求解即可．

本題考查了兩點分布的理解和應用，屬于基礎題．

15.【答案】

4

【知識點】橢圓的性質及幾何意義

【解析】解：橢圓

2

9

+2

4

=1

的左、右焦點分別為

1

、

2

，

橢圓上的點

P

滿足

|

1

|=2|

2

|

，

因為

|

1

|+|

2

|=2=6

，所以

|

1

|=4

．

故答案為：

4

．

利用橢圓的定義，結合已知條平面創意 件轉化求解即可．

本題考查了橢圓的標準方程及橢圓的性質的應用，屬于基本知識的考查，是基礎題．

16.【答案】

208

9

第13頁，共18頁

【知識點】球的表面積和體積

【解析】解：如圖所示，設三棱錐

?

外接球的球心為

O

，

△

的外接圓的圓心為

1

，

△

外接圓的圓心為

2

，連結

1

，則

1

⊥

平面

ABC

，

連結

1

并延長交

AB

于點

D

，

因為

△

為正三角形，所以點

D

為

AB

的中點，

又因為

△

是以

P

為直角頂點的直角三角形，

所以點

D

為

△

外接圓的圓心，即

D

與

2

重合，

所以連接

OD

，則

⊥

平面

PAB

，

又因為二面角

??

的大小為

120

，所以

∠

1

=30

，

又在正

△

中，由

=4

，則

1

=1

3

=2

√

3

3

，

在

△

1

中，

cos∠

1

=

1

，解得

=

1

30°

=

2

√

3

3

√

3

2

=4

3

，

故外接球的半徑為

=

√2+2=

√16

9

+4=2

√

13

3

，

所以外接球的表面積為

=4

2=208

9

．

故答案為：

208

9

．

找到三棱錐

?

外接球球心的位置，求出外接球的半徑，由球的表面積公式求解即

可．

本題考查了棱錐的外接球問題，球的表面積公式的運用，解題的關鍵是確定球心的位置，

考查了邏輯推理能力與化簡運算能力，屬于中檔題．

17.【班徽設計 答案】

(1)

證明：

∵

+1=2

?1

(≥2,∈?)

，

1

=3

，

∴

?1=2(

?1

?1)

，

≥2

，

又

1

?1=2

，

∴

?1=2

，

∴ln(

+1

?1)?ln(

?1)=ln

+1

?1

?1

=2

，

∴

數列

{ln(

?1)}

是公差為

ln2

的等差數列；

(2)

解：由

(1)

知：

?1=2

，

∴

=2+1

，

∴

=(2+22+23+?+2)+=2(1?2)

1?2

+=2+1?2+

．

【知識點】等差數列的性質、數列求和方法

第14頁，共18頁

【解析】

(1)

先由題設推導出：

?1=2(

?1

?1)

，

≥2

，進而說明數列

{

?1}

是

首項、公比均為

2

的等比數列，求得其通項公式，再利用等差數列的定義證明結論即可；

(2)

先由

(1)

求得

，再利用分組求和法求得其前

n

項和即可．

本題主要考查等差、等比數列的定義及基本量的計算、分組求和在數列求和中的應用，

屬于中檔題．

18.【答案】解：

(1)△

中，角

A

、

B

、

C

的對邊分別為

a

、

b

、

c

，且

=+

(?)

．

所以：

2=2+(?)，

整理得：

=

2+2?2

2

=1

2

，

由于：

0<<

，

故：

=

3

．

(2)∵3=2

，

∴

由正弦定理可得：

3=2

，

①

∵△

的面積為

6

√

3=1

2

=√

3

4

，解得：

=24

，

②

∴

由

①②

解得：

=6

，

=4

，

∴

由余弦定理可得：

=

√2+2?2=

√36

+16?2641

2

=2

√

7

．

【知識點】余弦定理、正弦定理

【解析】

(1)

化簡已知等式利用余弦定理可求

=

1

2

，結合范圍

0<<

，可求

=

3

．

(2)

由已知利用正弦定理可得

3=2

，利用三角形面積公式可求

=24

，解得

a

，

c

的

值，由余弦定理可得

b

的值．

本題考查的知識要點：三角函數關系式的恒等變換，余弦定理和正弦定理的應用，屬于

基礎題．

19.【答案】解：

(1)

由頻率分布直方圖得眾數為

65

，

由

(0.005+0.010++0.030+0.015+0.005)10=1

，

解得

=0.035

；

(2)

成績不合格有

3

個，優秀有

4

個，

所以

x

可能取值為

0

，

1

，

2

，

3

，

(=0)=

3

3

7

3

=1

35

，

(=1)=

3

2

4

1

7

3

=12

35

，

第15頁，共18頁

(=2)=

3

1

4

2

7

3

=18

35

，

(=3)=

3

0

4

3

7

3

=4

35

，

所以

x

的分布列為：

x0123

P

1

35

12

35

18

35

4

35

數學期望是

()=

12

35

+36

35

+12

35

=60

35

=12

7

．

【知識點】離散型隨機變量的期望與方差、頻率分布直方圖、離散型隨機變量及其分布

列

【解析】

(1)

由頻率分布直方圖中最高小長方形求得眾數，利用頻率和為

1

求出

a

的值；

(2)

由題意知隨機變量

x

的可能取值，計算對應的概率值，寫出分布列，計算數學期望

值．

本題考查了頻率分布直方圖的應用問題，也考查了離散型隨機變量的分布列與數學期望

計冬蟲夏草的功效 算問題，是中檔題。

20.【答案】解：

(

Ⅰ

)

證明：如圖，取

AD

中點

N

，連結

MN

，

CN

，

∵

為

PD

的中點，

∴//

，

∵=2

，

∴=

，

∵//

，

∴

四邊形

ABCN

是平行四邊形，

∴//

，

∵∩=

，

∩=

，

∴

平面

//

平面

PAB

，

∵?

平面

MNC

，

∴//

平面

PAB

．

(

Ⅱ

)

解：以

A

為原點，

AB

為

x

軸，

AD

為

y

軸，

AP

為

z

軸，建立空間直角坐標系，

∵△

為等邊三角形，

∴==

，

設

=2

，則

(0,

0

，

0)

，

(2,

0

，

0)

，

(0,

2

，

0)

，

∴

??????

=(?2,2

，

0)

，

?????

=(?2,0

，

2)

，

設平面

BDP

的法向理

?=(,

y

，

)

，

則

{

??

??????

=?2+2=0

??

?????

=?2+2=0

，令

=1

，得

?=(1,

1

，

1)

，

∵⊥

平面

PAB

，

∴

平面

PAB

的法向量

?=(0,

1

，

0)

，

∴=|??????|

|??|?|???|

=1

√

31

=√

3

3

．

第16頁，共18頁

∴

二面角

??

的余弦值為√

3

3

．

【知識點】立體幾何綜合題（探索性問題、軌跡問題等）、線面平行的判定

【解析】

(

Ⅰ

)

取

AD

中點

N

，連結

MN

，

CN

，推導出

//

，

//

，從而四邊形

ABCN

是平行四邊形，

//

，進而平面

//

平面

PAB

，由此證明

//

平面

PAB

．

(

Ⅱ

)

以

A

為原點，

AB

為

x

軸，

AD

為

y

軸，

AP

為

z

軸，建立空間直角坐標系，利用向量

法能求出二面角

??

的余弦值．

本題考查線面平行的證明，考查二面角的余弦值的求法，考查空間中線線、線面、面面

間的位置關系等基礎知識，考查運算求解能力，是中檔題．

21.【答案】解：

(1)

過

(,0)

，

(0,?)

的直線方程為

=

?

，即

??=0

，

因為原點到直線

AB

的距離

=

√2+2

=

=√

3

2

，

=

=2

√

3

3

，

所以

=1

，

又因為

2+2=2

，

所以

=

√

3

，

故所求雙曲線方程為

2

3

?2=1

．

(2)

把

=+5

代入2

3

?2=1

中消去

y

，

整理得(1?3

2)2?30?78=0．

設

(

1

,

1

)

，

(

2

,

2

)

，

1

+

2

=30

1?32

，

1

+

2

=(

1

+

2

)+10=10

1?32

，

則

C

，

D

兩點的中點

E

的坐標是

(

15

1?32

,5

1?32

)

，

所以直線

BE

的斜率是

=

5

1?3

2

+1

15

1?3

2

=2?2

5

，

因為

⊥

，

所以，

2?2

5

?=?1

，

解得

=

√

7

，

又因為

①

式中，△=(?30)

2?4(1?32)(?78)=312?362

，

當

=

√

7

，

△=60>0

，

所以

k

的取值是

√

7

．

【知識點】直線與雙曲線的位置關系、雙曲線的性質及幾何意義

第17頁，共18頁

【解析】

(1)

求出過

(,0)

，

(0,?)

的直線方程，利用原點到直線

AB

的距離，利用離

心率，求解

a

，

b

，得到雙曲線方程．

(2)

把

=+5

代入2

3

?2=1

中消去

y

，設

(

1

,

1

)

，

(

2

,

2

)

，利用韋達定理，求

解

C

，

D

兩點的中點

E

的坐標是

(

15

1?32

,5

1?32

)

，推出直線

BE

的斜率，結合

⊥

，求

解

k

即可．

本題考查雙曲線方程的求法，直線與雙曲線的位置關系的綜合應用，考查轉化思想以及

計算能力，是金銀銅鐵打一中國地名 中檔題．

22.【答案】解：

(1)

易知

′()=2(?2)

，顯然

′(0)=0

，

所以

=0

是

′()

的一個零點，

令

()=?2(0≤≤

2

)

，則

′()=1?22=0

時，

=

6

，

所以

()

在

(0,

6

)

單調遞減，在

(

6

,

2

)

單調遞增，

則

()

的最小值為

(

6

)=

6

?√

3

2

<0

，

又

(0)=0

，且

(

2

)=

2

>0

，

所以

()

在

(0,

2

)

上存在唯一零點

0

∈(

6

,

2

)

，

則

′()=2()

在

(0,

2

)

上亦存在唯一零點，

因為

′()

是奇函數，所以

′()

在

(?

2

,0)

上也存在唯一零點

?

0

，

綜上所述，當

=1

時，

()

的導函數

′()

在

[?

2

,

2

]

上的零點個數為

3

；

(2)

不等式2(2)+22≤()恒成立，即不等式cos(2)≤2恒成立，

令

=∈[?1,1]

，則等價于不等式2≤(1?

2)…(1)恒成立，

①

若2=1，即

=1

時，不等式

(1)

顯然成立，此時

∈

，

②

若

?1<<1

時，不等式

(1)

等價于

≥2

(1?2)2

…(2)

設

?()=2

(1?2)2

(?1<<1)

，

當

0≤<1

時，

?’()=

2[2?(1?2)2]

(1?2)2

，

令()=2?(1?

2)2(0≤<1,

則’()=(2

2?1)2(0≤<1)，

已知

’(

√

2

2

)=0

，

‘(

4

)=0

，且√

2

2

<

4

，

則

()

在

(0,

√

2

2

)

，

(

4

,1)

上單調遞減，在

(√

2

2

,

4

)

上單調地增，

第18頁，共18頁

又

(0)=0

，

(

4

)=2?1<0

，所以

()<0

在

(0,1)

上恒成立，

所以

?()

在

[0,1)

上王者榮耀刷金幣 單調遞減，則

?()≤?(0)=1

，

顯然函數

?()

為偶函數，故函數

?()

在

[?1,1]

上的最大值為

1

，

因此

≥1

，

綜上所述，滿足題意的實數

a

的取值范圍為

[1,+∞)

．

【知識點】利用導數研究閉區間上函數的最值、函數的零點與方程根的關系、利用導數

研究函數的極值

【解析】

(1)

易知

′()=2(?2)

，顯然

′(0)=0

，對導函數求導得到

′()=1?

22(0≤≤

2

)

，在

(0,

6

)

單調遞減，在

(

6

,

2

)

單調地增，則可得

()=?2(0≤

≤

2

)

在

(0,

2

)

上存在唯一零點

0

∈(

6

,

2

)

，所以

′()=2()

在

(0,

2

)

上亦存在唯一零點，

因為

′()

是奇函數，所以

’()

在

(?

2

,0)

上也存在唯一零點

?

0

，故共

3

個零點；

(2)

條件等價于不等式cos(2)≤2恒成立，令

=∈[?1,1]

，則等價于不等

式2≤(1?

2)…(1)恒成立，則若2=1，即

=1

時，不等式

(1)

顯然成立，此

時

∈

，若

?1<<1

時，不等式

(1)

等價于

≥2

(1?2)2

…(2)

，構造函數，利用導數求

得單調性進而可判斷

a

的范圍．

本題考查函數導數的綜合應用，考查利用導數判斷函數零點個數，導數求函數單調性，

屬于難題．