熱力學與統計物理_試題及答案

一． 填空題（共40分）

1．N個全同近獨立粒子構成的熱力學系統，如果每個粒子的自由度為

r，系統的自由度為（ Nr ）。系統的狀態可以用（ 2Nr ）維Г空間

中的一個代表點表示。

2 對于處于平衡態的孤立系統，如果系統所有可能的微觀狀態數為

Ω，則每一微觀狀態出現的概率為（ 1/? ），系統的熵為

（ kln ? ）。

3．玻色統計與費米統計的區別在于系統中的粒子是否遵從（泡利不相

容原理 ）原理，其中（費米）系統的分布必須滿足0 ≤ fs ≤ 1。

4．玻色系統和費米系統在滿足（ 經典極限條件(或e <<1) 或e

- α

α

>>1）條件時，可以使用玻爾茲曼統計。

ll

5．給出內能變化的兩個原因，其中

（ ）項描述傳熱，（ ）項描述做功。

??

?

llll

daad

?

ll

dU?ad?da

??

llll

??

6．對粒子數守恒的玻色系統，溫度下降會使粒子的化學勢（ 升

高 ）；如果溫度足夠低，則會發生（ 玻色——愛因斯坦凝聚 ）。

這時系統的能量U＝（0），壓強p＝（0），熵S＝（0）。

000

7．已知粒子遵從經典玻爾茲曼分布，其能量表達式為

1

222

?

?(p?p?p)?ax?bx

xyz

2

2m

，粒子的平均能量為（2kT－

b/4a ）。

2

8．當溫度（ 很低 ）或粒子數密度（ 很大 ）時，玻色系統與費米系

統的量子關聯效應會很強。

9．如果系統的分布函數為ρ，系統在量子態s的能量為E，用ρ和E

ssss

表示：系統的平均能量為（ ），能量漲落為

E?E

?

?

ss

s

（ ）（如寫成也得分）。

?

?

ss

(E?E)

2

E?(E)

22

s

10．與宏觀平衡態對應的是穩定系綜，穩定系綜的分布函數ρ具有特

s

點（ dρ/ dt=0 或與時間無關等同樣的意思也得分 ），同時ρ

s s

也滿足歸一化條件。

二．計算證明題（每題10分，共60分）

1．假定某種類型分子（設粒子可以分辨）的許可能及為0，ω，2ω，

3ω，。。。， 而且都是非簡并的，如果系統含有6個分子，問：

（1）與總能量3ω相聯系的分布是什么樣的分布？分布需要滿足的

條件是什么？

（2）根據公式計算每種分布的微觀態數?；

?a??

?

l

?

N!

?

a

l

?a!

l

l

l

（3）確定各種分布的概率。

解：能級： ε， ε， ε， ε，…

1234

能量值： 0， ω， 2ω，3ω，…

簡并度： 1， 1， 1， 1，…

分布數： a, a, a, a, …

1234

分布要滿足的條件為：

??

a

l

?

a?N?6

l

l

?

a?E?3

ll

??

l

滿足上述條件的分布有：A：

????

a?5,0,0,1,0,...

l

B：

????

a?4,1,1,0,0,...

l

C：

????

a?3,3,0,0,0,...

l

6!

?1?6;??

5!?1!

6!

?1?30;??

各分布對應的微觀態數為：

B

4!?1!?1!

6!

???1?20

C

3!?3!

A

所有分布總的微觀態數為：

????????6?30?20?56

ABC

p??/??6/56?0.107;

AA

各分布對應的概率為：

p??/??30/56?0.536;

BB

p??/??20/56?0.357;

CC

2．表面活性物質的分子在液面（面積為A）上做二維自由運動，可以

看作二維理想氣體，設粒子的質量為m，總粒子數為N。

（1）求單粒子的配分函數Z；

1

（2）在平衡態，按玻爾茲曼分布率，寫出位置在x到x＋dx， y到y

＋dy內，動量在到＋， 到＋內的分子數dN；

ppdpppdp

xxxyyy

（3）寫出分子按速度的分布；

（4）寫出分子按速率的分布。

解：（1）單粒子的配分函數

1A

(p?p)

xy

22

?

2m

?

z?edxdydpdp?(2mkT)

1xy

22

????

?

hh

（2）

dN?e?e

?(?)?

?????

dxdydpdpdxdydpdp

xyxy

hZh

22

N

1

（3）將（1）代入（2），并對dxdy積分，得分子按速度的分布為

m

?

2kT

m

dN?N()e(v?v)dvdv

vxyxy

22

2kT

?

（4）有（3）可得分子按速率的分布為：

2N()evdv?N()evdv

?

mm

2kTkT

?

??

mvmv

22

2kT2kT

3．定域系含有N個近獨立粒子，每個粒子有兩個非簡并能級ε＝－ε

1

0200

，ε＝ε，其中ε大于零且為外參量y的函數。求：

（1）溫度為T時處于激發態的粒子數與處于基態的粒子數之比，并說

明在極端高溫和極端低溫時粒子數比的特點；

（2）系統的內能和熱容量；

（3）極端高溫和極端低溫時系統的熵。

解：（1）單粒子的配分函數為：

Z?e?e?e?e?e

1

?

??

??????

l00

??

????

12

l

Nee

?

??

1

??

0

處于基態的粒子數為：

N??N;

1

????

00

Ze?e

1

?

Ne

?

??

2

?

??

0

?N;N?e

????

00

處于激發態的粒子數為：

2

Ze?e

1

?

溫度為T時處于激發態的粒子數與處于基態的粒子數之為：

N

2

ee

kT

??

??

0

?

0

Ne

1

e

kT

?

??

0

?

?

0

極端高溫時：ε《kT，, 即處于激發態的粒子數與處于基

0

態的粒子數基本相同；

極端低溫時：ε》kT，, 即粒子幾乎全部處于基態。

0

N

2

?1

N

1

N

2

?0

N

1

（2）系統的內能：

?lnZ

1

?e?e

?

????

00

????

00

?

U??N??Nln(e?e)?N

?

0

?

????

00

??e?e

??

N

?

0

2

??

?U1?Ue?e

?

????

00

2

熱容量：

C?()??()?)1?(

VVV

22

??

?

????

00

?TkT?kTe?e

?

??

（3）極端高溫時系統的熵：

S?kln??kln2?Nkln2

N

極端低溫時系統的熵：=0

S

4．對弱簡并的非相對論費米氣體，求：

（1）粒子數分布的零級近似f與一級修正項Δf；

0 1

（2）證明：與零級近似相比，粒子數的相對修正量和內能的相對修正

?

?

量均正比于。

e

解：費米氣體分布函數為：

f?

（1）

f?e?e(1?e)?e?e

?????????2?2

???????????????

1

e?1

???

?

1

??

???

1?e

，

?f?e?f??e

01

???2?2

???

???

（2）

D()d?CVd

????

?N

???e

N

1

2

??

?fD()deCVd

????

?

fD()d

??

?

eCVd

???

1

0

?2?2

???

??

1

2

1

2

?

?

??

?U

??e

U

?

?fD()d

???

?

?

fD()d

???

1

?

0

5．金屬中的電子可以視為自由電子氣體，電子數密度n，

（1）簡述：T＝0K時電子氣體分布的特點，并說明此時化學勢μ的意

0

義；

（2）證明：T＝0K時電子的平均能量，簡并壓強；

??

00

?

3

5

p?n

00

2

?

5

（3）近似計算：在室溫下某金屬中自由電子的熱容與晶格熱容之比。

f

1

（1）μ表示T＝0K時電子的最能

0

量。電子從ε＝0的能級開始，先占

據低能級，然后占據高能級，遵從泡

利不相容原理。

μ

???

000

T=0

0

f = 1 (ε < μ); f =

0

ε

0 (ε > μ)

0

13

22

(2)

U3

??

00

?????

N5

p???n?n?n

0000

???

????????

fD()dCVdd

?

??

fD()d

??

?

??

CVdd

????

000

0

00

11

22

0

00

2U2UN2232

???

3V3NV3355

111

（?）；f? （＝）；f? （?）f?

??????

(3)T>0K時:

222

T>0K時，只有在μ附近kT量級范圍內的電子可躍遷到高能級，對C

V

有貢獻，設這部分電子的數目為N， 則。每一電子對C

effV

N?N

eff

kT

?

的貢獻為3kT/2, 則金屬中自由電子對Cv的貢獻為

C?k?N?N?()?()?()

Veff

e

33kkT3NkkT3NkkT3NkT

2222kT2T

??

ff

C

V

e

1T

晶格的熱容量為Cv＝3Nk，

??0(T:10?10)

f

45

C2T

Vf

6．固體的熱運動可以視為3N個獨立簡正振動，每個振動具有各自的簡

?

?

U?U?

0

?

?

?

/kT

i

?1e

，式中的求和遍及正頻率ωi，內能的表達式為：

i

所有的振動模式，實際計算時需要知道固體振動的頻譜。

（1）寫出愛因斯坦模型中采用的頻譜和德拜模型中采用的頻譜，并加

以簡單說明；

（2）用愛因斯坦模型求高溫下固體的熱容量；

（3）用德拜模型證明低溫下固體的熱容量正比于T。

3

解：（1）愛因斯坦模型： N個分子的振動簡化為3N同頻率（ω）的

1

簡諧振動，每個振子的能級為；

??

n?(n?)

2

德拜模型：N個分子的振動簡化為3N個簡正振動，每個振子

的頻率不同，且有上限ω，.

D

D()d?Bd

????

2

(2) 愛因斯坦模型: ;

Z?e?e?

1l

??

?

ln

?

??

l

1

?(n?)

??

2

e

2

1?e

?

??

?

??

U??3NlnZ??

?Ue

?

2

?

/kT

C?()?3Nk()

VV

?TkT(e?1)

?

/kT2

高溫時：

e?1?/kT,e?1,C?3Nk

??

/kT/kT

?

V

（3）

?3N3N

??

1

??

?2e?1

?

U?U??U??U?B()d()

000

?

i?1

3N

?

i

e?1e?1e?1kT

?

i

/kT

?

D

??

0

BkT(/kT)

???

33

4

?

D

??

/kT/kT

?

0

上式的第二項與T的4次方成正比，故

C?T

V

3

中 國 海 洋 大 學 命 題 專 用 紙（附頁）

學年第 學期 試題名稱 ： 共 頁 第

頁