博弈論復(fù)習(xí)題及答案

博 弈 論

判斷題（每小題1分，共15分）

囚徒困境說明個(gè)人的理性選擇不一定是集體的理性選擇。（√ ）

子博弈精煉納什均衡不是一個(gè)納什均衡。（× ）

衡。（√ ）

多個(gè)純戰(zhàn)略納什均衡博弈的有限次重復(fù)博弈子博弈完美納什均衡路徑：

兩階段都采用原博弈同一個(gè)純戰(zhàn)略納什均衡，或者輪流采用不同純戰(zhàn)略

納什均衡，或者兩次都采用混合戰(zhàn)略納什均衡，或者混合戰(zhàn)略和純戰(zhàn)略

分）

參與人(player)

即各博弈方同時(shí)決策，且所有博弈方對各方得益都了解的博弈。

上策：

不管其它博弈方選擇什么策略，一博弈方的某個(gè)策略給他帶來的得

益始終高于其它的策略，至少不低于其他策略的策略

上策均衡：

一個(gè)博弈的某個(gè)策略組合中的所有策略都是各個(gè)博弈方各自的上策，

必然是該博弈比較穩(wěn)定的結(jié)果

嚴(yán)格下策：

階段博弈

重復(fù)博弈中的每次博弈稱為“階段博弈”。

貼現(xiàn)因子

下一期的一單位支付在這一期的價(jià)值。

觸發(fā)戰(zhàn)略（Trigger Strategy）

首先試探合作，一旦發(fā)現(xiàn)對方不合作，則也用不合作相報(bào)

復(fù)的戰(zhàn)略。

子博弈精煉納什均衡

（夫妻博弈） 一對新婚夫妻為晚上看什么電視節(jié)目爭執(zhí)不下，丈夫

（記為I方）要看足球比賽節(jié)目，而妻子（記為Ⅱ方）要看戲曲節(jié)目.他

求納什均衡。

博弈的穩(wěn)定狀態(tài)有兩個(gè)：都不漲價(jià)或者都漲價(jià)（均衡），均衡稱為博弈

的解。

3、豬圈里有一頭大豬和一頭小豬，豬圈的一頭有一個(gè)飼料槽，另一頭

裝有控制飼料供應(yīng)的按鈕。按一下按鈕就會有10個(gè)單位飼料進(jìn)槽，但誰

按誰就要付出2個(gè)單位的成本。誰去按按紐則誰后到；都去按則同時(shí)

到。若大豬先到，大豬吃到9個(gè)單位，小豬吃到一個(gè)單位；若同時(shí)到，

大豬吃7個(gè)單位，小豬吃3個(gè)單位；若小豬先到，大豬吃六個(gè)單位，小豬

吃4個(gè)單位。各種情況組合扣除成本后的支付矩陣可如下表示（每格第

一個(gè)數(shù)字是大豬的得益，第二個(gè)數(shù)字是小豬的得益）：

小豬

按 等待

(2)Pure NE (A, a); (B, b)

都是Pareto有效，僅(B, b)是Ｋ－Ｈ有效。

(3)Mixed NE ((2/5, 3/5); (2/3, 1/3))

5、用反應(yīng)函數(shù)法求出下列博弈的所有純戰(zhàn)略納什均衡。

參與人

2

bacd

2,33,23,40,3

4,45,20,11,2

3,14,11,410,2

3,14,1-1,210,1

A

B參與

C

D

人1

解答：

者）選擇是否與新企業(yè)展開競爭。在位者可能有兩種類型，溫柔型（左

圖）和殘酷型（右圖），回答下面問題。

.

進(jìn)入者

在位者

進(jìn)入

不進(jìn)入

默許

斗爭

（20，30）

（-10，0）

（0，100）

進(jìn)入者

在位者

進(jìn)入

不進(jìn)入

默許

斗爭

（-10，25）

（0，100）

（10，20）

9、北方航空公司和新華航空公司分享了從北京到南方冬天度假勝地的

市場。如果它們合作，各獲得500000元的壟斷利潤，但不受限制的競爭

會使每一方的利潤降至60000元。如果一方在價(jià)格決策方面選擇合作而

另一方卻選擇降低價(jià)格，則合作的廠商獲利將為零，競爭廠商將獲利

900000元。

（1）將這一市場用囚徒困境的博弈加以表示。

（2）解釋為什么均衡結(jié)果可能是兩家公司都選擇競爭性策略。

答：（1）用囚徒困境的博弈表示如下表：

北方航空公司

合作競爭

新華航空公司

合作500000，5000000，900000

售中，A企業(yè)可以獲得20萬元利潤，B企業(yè)可獲得8萬元利潤；若A企業(yè)做

廣告，B企業(yè)不做廣告，A企業(yè)可獲得25萬元利潤，B企業(yè)可獲得2萬元利

潤；若A企業(yè)不做廣告，B企業(yè)做廣告，A企業(yè)可獲得10萬元利潤，B企業(yè)

可獲得12萬元利潤；若A、B兩企業(yè)都不做廣告，A企業(yè)可獲得30萬元利

潤，B企業(yè)可獲得6萬元利潤。

（1）畫出A、B兩企業(yè)的支付矩陣。

（2）求納什均衡。

3. 答：（1）由題目中所提供的信息，可畫出A、B兩企業(yè)的支付矩

陣（如下表）。

B企業(yè)

做廣告不做廣告

A企業(yè)

做廣告20，825，2

不做廣告10，1230，6

（2）因?yàn)檫@是一個(gè)簡單的完全信息靜態(tài)博弈，對于純策納什均衡

解可運(yùn)用劃橫線法求解。

如果A廠商做廣告，則B廠商的最優(yōu)選擇是做廣告，因?yàn)樽鰪V告所獲

得的利潤8大于不做廣告獲得的利潤2，故在8下面劃一橫線。如果A廠商

由劃線法易知，該矩陣博弈沒有純策略Nash均衡。

可得如下不等式組

Q=a+d-b-c=7,q=d-b=4,R=0+5-8-6=-9,r=-1

可得混合策略Nash均衡((),()

16、 某產(chǎn)品市場上有兩個(gè)廠商，各自都可以選擇高質(zhì)量，還是低質(zhì)

量。相應(yīng)的利潤由如下得益矩陣給出：

(1) 該博弈是否存在納什均衡？如果存在的話，哪些結(jié)果是納什均衡?

參考答案：

由劃線法可知，該矩陣博弈有兩個(gè)純策略Nash均衡，即(低質(zhì)量, 高質(zhì)

量)， (高質(zhì)量,低質(zhì)量)。

乙企業(yè)

高質(zhì)量低質(zhì)量

50,50100,800質(zhì)

甲

企

業(yè)

發(fā)

解：用劃線法找出問題的純策略納什均衡點(diǎn)。

所以可知該問題有兩個(gè)純策略納什均衡點(diǎn)(開發(fā),不開發(fā))和(不開發(fā),開

發(fā))。

該博弈還有一個(gè)混合的納什均衡((),())。

如果乙企業(yè)所在國政府對企業(yè)開發(fā)新產(chǎn)品補(bǔ)貼a個(gè)單位,則收益矩陣變

為：,要使(不開發(fā),開發(fā))成為該博弈的唯一納什均衡點(diǎn),只需a>10。此

時(shí)乙企業(yè)的收益為100+a。

18、博弈的收益矩陣如下表：

（1）列出收益矩陣。

（2）如果參與者以1/3的概率選擇每一個(gè)數(shù)字，證明該混合策略存

在一個(gè)納什均衡，它為多少？

答：（1）此博弈的收益矩陣如下表。該博弈是零和博弈，無納什

均衡。

John

123

13，-3-1，1-1，1

Smith2-1，13，-3-1，1

3-1，1-1，13，-3

對壟斷企業(yè)2來說：

這是壟斷企業(yè)2的反應(yīng)函數(shù)。

其等利潤曲線為：

在達(dá)到均衡時(shí)，有：

均衡時(shí)的價(jià)格為：

兩壟斷企業(yè)的利潤分別為：

均衡點(diǎn)可圖示為：

0

企業(yè)1

95

200

190

企業(yè)2

企業(yè)1的反應(yīng)線

均衡點(diǎn)

（2）當(dāng)壟斷企業(yè)1為領(lǐng)導(dǎo)者時(shí)，企業(yè)2視企業(yè)1的產(chǎn)量為既定，其反

應(yīng)函數(shù)為：

則企業(yè)1的問題可簡化為：

均衡時(shí)價(jià)格為：

利潤為：，

答：該博弈分為兩個(gè)階段，第一階段企業(yè)1選擇產(chǎn)量q，第二階段企業(yè)2

1

和3觀測到q后，他們之間作一完全信息的靜態(tài)博弈。我們按照逆向遞

1

歸法對博弈進(jìn)行求解。

（1）假設(shè)企業(yè)1已選定產(chǎn)量q，先進(jìn)行第二階段的計(jì)算。設(shè)企業(yè)2，3的

1

利潤函數(shù)分別為：

由于兩企業(yè)均要追求利潤最大，故對以上兩式分別求一階條件：

（1）

（2）

求解（1）、（2）組成的方程組有：

（3）

（2）現(xiàn)進(jìn)行第一階段的博弈分析：

對與企業(yè)1，其利潤函數(shù)為；

將（3）代入可得：

（4）

式（4）對q求導(dǎo)：

1

益矩陣或擴(kuò)展形表示

該博弈并作簡單分析。

（2）如果老板無法看出工人是否偷懶，博弈屬于哪種類型？用得益矩

陣或擴(kuò)展形表示該博

弈并作簡單分析。

（1）完全信息動態(tài)博弈。

前進(jìn)停下

甲

2，0前進(jìn)-2，-2

0，0停下0，2

28、給定兩家釀酒企業(yè)A、B的收益矩陣如下表：

A企業(yè)

白酒啤酒

B企業(yè)

白酒700，600900，1000

啤酒800，900600，800

（2）分析混合策略納什均衡。

答：（1）該博弈的支付矩陣如下表：

納稅人

逃稅不逃稅

稅收機(jī)關(guān)

檢查A-C+F， -A-FA-C，-A

不檢查0，0A，-A

（2）先分析稅收檢查邊際：因?yàn)镾為稅務(wù)機(jī)關(guān)檢查的概率，E為納

32、簡要評論博弈論在微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)運(yùn)用中的優(yōu)缺點(diǎn)。

答：博弈論是描述和研究行為者之間策略相互依存和相互作用的一

種決策理論。它被廣泛應(yīng)用于政治、外交、軍事、經(jīng)濟(jì)等研究領(lǐng)域，但

在微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用是最成功的。博弈論的研究方法和特征與經(jīng)濟(jì)學(xué)

結(jié)合得非常緊密。它強(qiáng)調(diào)個(gè)人理性，即在給定的約束條件下追求效用最

大化。但博弈論又比傳統(tǒng)的經(jīng)濟(jì)學(xué)更進(jìn)一步，它研究的不是面臨非人格

化的價(jià)格參數(shù)下的決策問題，而是研究效用隨各個(gè)主體的行為改變而改

變的效用最大化問題。除了國際貿(mào)易、金融、拍賣等經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域，博弈論

在企業(yè)理論特別是寡頭競爭研究方法方面做了大量的有益工作。

20世紀(jì)80年代以來，博弈論開始出現(xiàn)在西方經(jīng)濟(jì)學(xué)的教科書中，都

解釋并討論此例的納斯均衡，為什么其均衡是一種囚徒困境。

廠商1的總收益TR由下式給出：

1

廠商1的邊際收益MR為：

1

MR=30-2Q-Q

112

利用利潤最大化條件MR=MC=0，得廠商1的反應(yīng)函數(shù)(reaction

11

function)或反應(yīng)曲線為：

Q=15-0.5Q (6-1)

12

同理可得廠商2的反應(yīng)曲線為：

Q=15-0.5Q (6-2)

21

均衡產(chǎn)量水平就是兩反應(yīng)曲線交點(diǎn)Q和Q的值，即方程組6-1和6-2的

12

解。可以求得古諾均衡時(shí)的均衡產(chǎn)量水平為：Q=Q=10。

12

因此，在本例中，兩個(gè)寡頭的總產(chǎn)量Q為Q+Q=20，均衡價(jià)格為P=30-

12

Q=10。

剛才我們討論了兩寡頭廠商相互競爭時(shí)的均衡產(chǎn)量。現(xiàn)在我們放松

第(6)條不能串謀的假設(shè)，假定兩寡頭可以串謀。它們能共同確定產(chǎn)量

以使總利潤最大化。

這時(shí)，兩廠商的總收益TR為：

TR=PQ=(30-Q)Q=30Q-Q

2

其邊際收益MR為：

MR=30-2Q

根據(jù)利潤最大化條件MR=MC=0，可以求得當(dāng)Q=15時(shí)總利潤最大。如果兩

廠商同意平分利潤，每個(gè)寡頭廠商將各生產(chǎn)總產(chǎn)量的一半，即

Q=Q=7.5。其實(shí)，任何相加為15的產(chǎn)量Q和Q的組合都使總利潤最大

1212

化，因此，把Q+Q=15稱為契約曲線，而Q=Q=7.5是契約曲線上的一個(gè)

1212

點(diǎn)。

我們還可以求得當(dāng)價(jià)格等于邊際成本時(shí)，Q=Q=15，各廠商的利潤為

12

零。

35、兩家電視臺競爭周末黃金時(shí)段晚8點(diǎn)到10點(diǎn)的收視率，可選擇把較

好的節(jié)目放在前面還是后面。他們決策的不同組合導(dǎo)致收視率如下：

(1)如果兩家是同時(shí)決策，有納什均衡嗎?

有（前面，后面）

(2)如果雙方采用規(guī)避風(fēng)險(xiǎn)的策略，均衡的結(jié)果是什么?

(4)如果兩家談判合作，電視臺1許諾將好節(jié)目放在前面，這許諾可信

嗎？結(jié)果能是什么？

電視臺1 許諾將好節(jié)目放在前面的許諾不可信。

因?yàn)殡娨暸_2，前面為占優(yōu)策略，

而在電視臺2 ，選擇前面的時(shí)候，電視臺1 選擇后面的收益要大于前面

的收益。

所以，最終結(jié)果為（前面，后面）

36、如果將如下的囚徒困境博弈重復(fù)進(jìn)行無窮次，懲罰機(jī)制為觸發(fā)策

略，貼現(xiàn)因子為δ。試問δ應(yīng)滿足什么條件，才存在子博弈完美納什均

衡？

乙坦不坦

甲白白

坦白4,40,5

不坦5,01,1

白

P=a-Q

TR=P*Q=(a-Q)*Q

MR=a-2Q

因?yàn)椋篗R=MC

a-2Q=c

則:Q=(a-c)/2

P=(a+c)/2

π=(P-c)*Q=(a-c)2/4

每家企業(yè)的利潤為(a-c)2/4n

（2）假設(shè)A企業(yè)自主降價(jià)，雖然只是微小的價(jià)格調(diào)整，但足以占領(lǐng)整個(gè)

試求 (a)該廠商的AC,MC及VMP各為多少?

LLL

(b)勞動工資為多少?廠商會雇用多少勞動?

由：S=D解得：W=280

LL

由于產(chǎn)品市場為完全競爭市場，且要素市場也為完全競爭市場

所以，滿足：產(chǎn)品市場均衡：P=MR=MC=W/MP

L

要素市場均衡：W= AC=MC=VMP

LLL

得到：AC=MC=VMP=280

LLL

由：D=S解得：P= 40，q=10

廠商追求利潤最大化的情況下：

W*=VMPL=P*MPL=P*50/L

0.5

L*=[100/2*PW*]=51 (取整數(shù))

2

論述題（每小題20分，共20分）

解釋“囚犯困境”，并舉商業(yè)案例說明。

囚徒困境是博弈論里最著名的例子之一，幾乎所有的博弈論著作中

都要討論這個(gè)例子。這個(gè)例子是這樣的：兩囚徒被指控是一宗罪案的同

案犯。他們被分別關(guān)在不同的牢房無法互通信息。各囚徒都被要求坦白

罪行。如果兩囚徒都坦白，各將被判入獄5年；如果兩人都不坦白，則

很難對他們提起刑事訴訟，因而兩囚徒可以期望被從輕發(fā)落入獄2年；

另一方面，如果一個(gè)囚徒坦白而另一個(gè)囚徒不坦白，坦白的這個(gè)囚徒就

只需入獄1年，而不坦白的囚徒將被判入獄10年。表6-2給出了囚徒困境

的策略式表述。這里，每個(gè)囚徒都有兩種策略：坦白或不坦白。表中的

數(shù)字分別代表囚徒甲和乙的得益。(注意，這里的得益是負(fù)值。)

表6-2 囚徒困境

囚徒乙

坦白不坦白

囚徒甲

坦白-5， -5-1，

不坦白-10，-2， -2

-10

情況下，乙的最優(yōu)策略是坦白；給定乙坦白的情況下，甲的最優(yōu)策略也

是坦白。而且這里雙方都坦白不僅是納什均衡，而且是一個(gè)上策

(dominant strategy)均衡，即不論對方如何選擇，個(gè)人的最優(yōu)選擇是

坦白。因?yàn)槿绻也惶拱祝滋拱椎脑捑捅惠p判1年，不坦白的話就判2

年，坦白比不坦白要好；如果乙坦白，甲坦白的話判5年，不坦白的話

判10年，所以，坦白仍然比不坦白要好。這樣，坦白就是甲的上策，當(dāng)

然也是乙的上策。其結(jié)果是雙方都坦白。這個(gè)組合是納什均衡。

寡頭壟斷廠商經(jīng)常發(fā)現(xiàn)它們自己處于一種囚徒的困境。當(dāng)寡頭廠商

選擇產(chǎn)量時(shí)，如果寡頭廠商們聯(lián)合起來形成卡特爾，選擇壟斷利潤最大

化產(chǎn)量，每個(gè)廠商都可以得到更多的利潤。但卡特爾協(xié)定不是一個(gè)納什

均衡，因?yàn)榻o定雙方遵守協(xié)議的情況下，每個(gè)廠商都想增加生產(chǎn)，結(jié)果

是每個(gè)廠商都只得到納什均衡產(chǎn)量的利潤，它遠(yuǎn)小于卡特爾產(chǎn)量下的利

潤。

解釋“智豬博弈(boxed pigs)”，并舉商業(yè)案例說明。

市場中的大企業(yè)與小企業(yè)之間的關(guān)系類似智豬博弈。大企業(yè)進(jìn)行研

究與開發(fā)，為新產(chǎn)品做廣告，而對小企業(yè)來說這些工作可能得不償失。

所以，小企業(yè)可能把精力花在模仿上，或等待大企業(yè)用廣告打開市場后

再出售廉價(jià)產(chǎn)品。

解釋““夫妻博弈”(battle of the xes)”，并舉商業(yè)案例說

明。

“夫妻博弈”(battle of the xes)的例子講的是一對談戀愛的男

女安排業(yè)余活動，他們有二種選擇，或去看足球比賽，或去看芭蕾舞演

出。男方偏好足球，女方偏好芭蕾，但他們寧愿在一起，不愿分開。表

6-6給出了這個(gè)博弈的得益矩陣。在這個(gè)博弈中，如果雙方同時(shí)決定，

則有兩個(gè)納什均衡，即都去看足球比賽和都去看芭蕾演出。但是到底最

后他們?nèi)タ醋闱虮荣愡€是去看芭蕾演出，并不能從中獲得結(jié)論。如果假

設(shè)這是個(gè)序列博弈，例如，當(dāng)女方先作出選擇看芭蕾演出時(shí)，男方只能

選擇芭蕾；當(dāng)女方先選擇了看足球比賽時(shí)，男方也只能選擇足球。反

比如在美國汽車產(chǎn)業(yè)發(fā)展史中的某些階段，通用汽車就扮演

過這種領(lǐng)導(dǎo)者的角色(這一例子把模型直接擴(kuò)展到允許不止一

個(gè)追隨企業(yè)，如福特、克萊斯勒等等)。根據(jù)斯塔克爾貝里的

假定，模型中的企業(yè)選擇其產(chǎn)量，這一點(diǎn)和古諾模型是一致

的(只不過古諾模型中企業(yè)是同時(shí)行動的，不同于這里的序貫

行動)。

這就是斯塔克爾貝里雙頭壟斷博弈的逆向歸納解。

對斯塔科爾貝里雙頭壟斷博弈的逆向歸納解的評價(jià)：

回顧在古諾博弈的納什均衡中，每一企業(yè)的產(chǎn)量為(a一

c)/3,也就是說，斯塔克爾貝里博弈中逆向歸納解的總產(chǎn)量

3(a-c)/4，比古諾博弈中納什均衡的總產(chǎn)量2(a-c)/3要高，

，其中R (L)為企業(yè)雇傭L名工人可以取得的收入(在最優(yōu)

的生產(chǎn)和產(chǎn)品市場決策下)，假定R (L)是增函數(shù)，并且為凹

函數(shù)。

L保持不變，w降低時(shí)企業(yè)的利潤就會提高，于是較低的等利

表現(xiàn)在圖中的無差異曲線上就是，工會希望選擇一個(gè)工資水

平w，由此得到的結(jié)果(w， L*(w))處于可能達(dá)到的最高的無

差異線上。這一最優(yōu)化間題的解為w*，這樣一個(gè)工資要求將

使得工會通過(w*， L*(w*))的無差異曲線與L*(w)相切于該

從一個(gè)長期來看，兩者的均衡將維持在警察以0.33的概率巡邏犯罪者以

0.4的概率作案上面。現(xiàn)實(shí)中，我們看到，當(dāng)嚴(yán)打的時(shí)候（警察出擊的