2022版新教材高中數(shù)學(xué)第二章直線和圓的方程2

直線的一般式方程

基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練

題組一求直線的一般式方程

1(2021江西臨川二中高二上第一次月考)已知直線過(guò)點(diǎn)(0,3),且與直線--1=0平行,則的方程是

.lxyl

()

A.+-2=0 B.-+2=0

xyxy

C.+-3=0 D.-+3=0

xyxy

2過(guò)點(diǎn)(2,3)且垂直于直線2+-5=0的直線方程為 ()

.Axy

A.-2+4=0 B.2+-7=0

xyxy

C.-2+3=0 D.-2+5=0

xyxy

3在平面直角坐標(biāo)系中,直線2--2=0繞它與軸的交點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90所得的直線方程是

.xyyA°

()

A.-2+4=0 B.+2-4=0

xyxy

C.-2-4=0 D.+2+4=0

xyxy

4已知直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,3),且斜率為-

.lP.

3

2

(1)求直線的一般式方程;

l

(2)求與直線平行,且過(guò)點(diǎn)(-3,1)的直線的一般式方程;

l

(3)求與直線垂直,且過(guò)點(diǎn)(-3,1)的直線的一般式方程

l.

題組二直線方程幾種形式的相互轉(zhuǎn)化

5(2021重慶八中高二上月考)直線3++1=0的傾斜角為 ()

.xy

√

A.

ππ2ππ

6333

B. C. D.?

6(2020湖北宜昌高二上期末)直線3+2+6=0在軸上的截距為,則= ()

.xyybb

A.3 B.-2 C.2 D.-3

7已知直線-+1-3=0,當(dāng)變化時(shí),所有直線都恒過(guò)點(diǎn)()

.kxykk

A.(0,0) B.(0,1) C.(3,1) D.(2,1)

1

8若<0,<0,則直線++=0的圖形可能是 ()

.acbcaxbyc

9直線+=1(≠0)與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積是 ()

.axbyab

A. B.

2222||

????

||

????

C. D.

????????

題組三直線一般式方程的綜合應(yīng)用

10(2020北京清華大學(xué)附中高二上期中)若直線+2-1=0與-2-1=0垂直,則的值為 ()

.axyxya

A.1 B.-1 C.4 D.-4

1111

11(2021河北保定唐縣一中高二上月考)若直線+(1+)-2=0和直線+2+4=0平行,則的值為 ()

.xmymxym

A.1 B.-2

C.1或-2 D.-

3

2

12(2020浙江溫州高二上期末)已知直線:(+1)-2+1=0(為常數(shù)),若直線的斜率為,則=,

.lmxymlm

2

2

1

若=-1,則直線的傾斜角為

ml .

13如圖,某地長(zhǎng)途汽車客運(yùn)公司規(guī)定旅客可隨身攜帶一定質(zhì)量的行李,如果超過(guò)規(guī)定,則需要購(gòu)買行李票,行

.

李票費(fèi)用(元)與行李質(zhì)量(千克)的關(guān)系用直線的方程表示

yxAB.

(1)求直線的方程;

AB

(2)問(wèn)旅客最多可免費(fèi)攜帶多少千克的行李?

能力提升練

題組一求直線的一般式方程

1()已知直線++1=0和直線++1=0都過(guò)點(diǎn)(2,1),則過(guò)點(diǎn)(,)和點(diǎn)(,)的直線方程是

.axbyaxbyAPabPab

()

1122111222

2

A.2++1=0 B.2-+1=0

xyxy

C.2+-1=0 D.+2+1=0

xyxy

2()已知過(guò)點(diǎn)(2,1)的直線與軸、軸分別交于,兩點(diǎn)若為線段的中點(diǎn),則這條直線的方程為

.MxyPQ.MPQ

()

A.2--3=0 B.2+-5=0

xyxy

C.+2-4=0 D.-2+3=0

xyxy

3()已知點(diǎn)(0,1),點(diǎn)在直線:+=0上運(yùn)動(dòng),則當(dāng)線段最短時(shí),直線的一般式方程

.ABlxyABAB

為

.

4(2021山東濟(jì)寧實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二月考,)直線過(guò)點(diǎn)(4,1)且與軸、軸的正半軸分別交于、兩點(diǎn),為

.lxyABO

坐標(biāo)原點(diǎn),則△面積的最小值為,當(dāng)△面積取最小值時(shí),直線的一般式方程

AOB AOBl

是

.

5(2021山東棗莊八中高二上月考,)求適合下列條件的直線方程:

.

(1)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,-3),并且其傾斜角等于直線-3+1=0的傾斜角的2倍的直線方程;

Axy

√

(2)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(-2,2)并且和兩個(gè)坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積是1的直線方程

A.

題組二直線一般式方程的應(yīng)用

6(2020湖北武漢華中師大一附中高二上期中,)“=1”是“直線(+4)+3+1=0與(-4)+(+4)-5=0

.mmxmymxmy

垂直”的 ()

A.充要條件

B.充分不必要條件

C.必要不充分條件

D.既不充分也不必要條件

7(2020安徽安慶一中高二上月考,)設(shè)(-2,2),(1,1),若直線:++1=0與線段有交點(diǎn),則的取值

.ABlaxyABa

范圍是 ()

A.-∞,-,2]

(

22

]∪[2,+∞) B.[-

C.(-∞,-2]∪[,+∞ D.[-2,

22

)

]

3

33

33

8(多選)(2021山東新泰中學(xué)高二上月考,)已知直線:(++1)-+1=0,其中∈R,下列說(shuō)法正確的是

.laaxya

()

A.當(dāng)=-1時(shí),直線與直線+=0垂直

alxy

B.若直線與直線-=0平行,則=0

lxya

C.直線過(guò)定點(diǎn)(0,1)

l

2

D.當(dāng)=0時(shí),直線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等

al

9()直線sin++2=0(∈R)的傾斜角的取值范圍是

.xαyα .

)直線:+-1-=0過(guò)定點(diǎn),過(guò)此定點(diǎn),且傾斜角為的直10(2020遼寧六校協(xié)作體高二上期中,

lmxym .

2

π

線方程為

.

11()已知直線:+3-5=0,:3-+1=0若,與兩坐標(biāo)軸圍成的四邊形有一個(gè)外接圓,則

.lxylkxy.ll

1212

k .

=

12(2020湖北宜昌高二上期末,)(1)已知直線:2+7+4=0與直線:+3-2=0平行,求的值;

.lxylmxym

12

(2)已知直線:(+2)+(1-)-1=0與直線:(-1)+(2+3)+2=0互相垂直,求的值 深度解析

laxaylaxaya.

12

答案全解全析

基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練

1D設(shè)直線的方程為-+=0(≠-1),由點(diǎn)(0,3)在直線-+=0上得0-3+=0,解得=3,

. lxyccxyccc

因此直線的方程為-+3=0,故選D

lxy.

2A設(shè)垂直于直線2+-5=0的直線方程為-2+=0,由點(diǎn)(2,3)在直線-2+=0上,得2-6+=0,解得=4,

. xyxycxyccc

因此所求的直線方程為-2+4=0,故選A

xy.

3D直線2--2=0與軸的交點(diǎn)為(0,-2),∵直線2--2=0的斜率為2,

. xyyAxy

∴所求直線的斜率為-,

2

∴所求直線的方程為+2=-,即+2+4=0,故選D

yxxy.

2

4解析(1)由題意知直線的方程為-3=-(-2),即3+2-12=0

. lyxxy.

2

3

1

1

4

(2)設(shè)所求直線的方程為3+2+=0(≠-12),因?yàn)樗笾本€過(guò)點(diǎn)(-3,1),所以-9+2+=0,解得=7,故所求直線

xymmmm

的一般式方程為3+2+7=0

xy.

(3)設(shè)所求直線的方程為2-3+=0,因?yàn)樗笾本€過(guò)點(diǎn)(-3,1),所以-6-3+=0,解得=9,故所求直線的一般式

xynnn

方程為2-3+9=0

xy.

5C將直線的方程3++1=0化為斜截式,得=?3-1,

. ??????x

√√

因此直線的斜率=-3,設(shè)直線的傾斜角為,則tan=?3,

k????

√√

因?yàn)?/span>∈[0,π),所以=,故選C

αα.

2π2π

33

,即傾斜角為

????

6D將直線的方程3+2+6=0化為截距式,得=1,所以=-3,故選D

. xyb.

+

-2-3

7C將直線方程-+1-3=0化為點(diǎn)斜式方程為-1=(-3),所以直線過(guò)定點(diǎn)(3,1)

. kxykykx.

8C由題意知,直線方程可化為=-?<0,故直線的斜

. y??

????????

,∵<,<,∴>,?>,∴?

????0????0????00

率小于0,在軸上的截距大于0故選C

y..

9D將方程化為截距式為=1,

.

11

+

????

????????

????

∴三角形的面積=

S.

||||=

22||

????????

1111

10C因?yàn)橹本€+2-1=0與-2-1=0垂直,所以-4=0,解得=4故選C

. axyxyaa..

11A由直線+(1+)-2=0和直線+2+4=0平行,

. xmymxy

1×2=(1+),

????

得{解得=1故選A

m..

??

≠-2,

12答案0;45

. °

解析由題得-,∴=0

m.

??

2

+1

-22

=

2

1

若=-1,則直線的斜率=-=1,所以直線的傾斜角為45

mk°.

-2

13信息提取①行李票費(fèi)用(元)與行李質(zhì)量(千克)呈線性關(guān)系;②由圖中標(biāo)出的坐標(biāo)知

. yx

ABAB.

(60,6),(80,10);③,兩點(diǎn)在直線上

數(shù)學(xué)建模以行李票費(fèi)用(元)與行李質(zhì)量(千克)的關(guān)系為背景構(gòu)建直線方程

yx.

解析(1)由題圖知點(diǎn)(60,6),(80,10)

AB.

由直線方程的兩點(diǎn)式得,整理得-5-30=0

80-6010-6

=

xy.

(2)依題意,令=0,解得=30,即旅客最多可免費(fèi)攜帶30千克的行李

yx.

能力提升練

????

-60-6

5

1A因?yàn)辄c(diǎn)(2,1)在直線++1=0上,所以2++1=0,由此可知點(diǎn)(,)在直線2++1=0上因?yàn)辄c(diǎn)

. AaxbyabPabxy.

1111111

AaxbyabPabxy.Pab

(2,1)在直線++1=0上,所以2++1=0,由此可知點(diǎn)(,)在直線2++1=0上所以過(guò)點(diǎn)(,)和

2222222111

點(diǎn)(,)的直線方程是2++1=0

Pabxy.

222

2C設(shè)所求直線的方程為-1=(-2)令=0,得=1-2,所以點(diǎn)坐標(biāo)為(0,1-2),又因?yàn)?/span>為線段的中

. ykx.xykQkMPQ

點(diǎn),點(diǎn)縱坐標(biāo)為0,所以根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式得,故所求直線的方程為+2-4=0

Pxy.

0+(1-2)1

??

22

=1,解得=?

??

3答案-+1=0

. xy

解析當(dāng)線段最短時(shí),⊥,所以=1所以直線的方程為=+1,化為一般式方程為-+1=0

ABABlk.AByxxy.

AB

4答案8;+4-8=0

. xy

解析設(shè)直線的方程為=1(>0,>0)

lab.

????

+

????

由點(diǎn)(4,1)在直線上知=1

41

????

+

.

∵>0,>0,

ab

∴1=≥2·,即=8,=2時(shí)取等號(hào)

4141414

+=,當(dāng)且僅當(dāng)=

√

????????????

√

????

ab.

從而≥4,即≥16,

√

????ab

∴=≥8,

Sab

1

△

AOB

2

∴△面積的最小值為8,此時(shí)直線的方程為=1,即+4-8=0

AOBlxy.

????

82

+

5解析(1)直線-3+1=0的斜率為,所以其傾斜角為30,

. x??°

√

√

3

3

所以所求直線的傾斜角為60,

°

故所求直線的斜率為3,

√

又所求直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,-3),所以其方程為+3=3(?2),即3??3?23=0

Ay??????.

√√√

(2)設(shè)直線方程為=1,

????

????

+

1

則{解得{或{

2

||=1,

????

2,1,==-

-22

????

+=1,

????

????

=1=-2.

故所求的直線方程為+2-2=0或2++2=0

xyxy.

6B兩直線垂直?(+4)(-4)+3(+4)=0?(+4)(-1)=0?=1或=-4

. mmmmmmmm.

∵{1}?{1,-4},

∴“=1”是“直線(+4)+3+1=0與(-4)+(+4)-5=0垂直”的充分不必要條件,故選B

mmxmymxmy.

7C由++1=0得,=--1,

. axyyax

因此直線過(guò)定點(diǎn)(0,-1),若直線斜率存在,則斜率=-

lPlka.

6

如圖所示,當(dāng)直線由直線按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到直線的位置時(shí),符合題意

lPAPB.

易得=

k.

1-(-1)1)2-(-3

PB

1-0-2-02

=2,==?

??????

結(jié)合圖形知,-≥2或-≤-,解得≤-2或≥故選C

aaaa..

33

22

8AC對(duì)于A項(xiàng),當(dāng)=-1時(shí),直線的方程為-+1=0,顯然與+=0垂直,所以正確;

. alxyxy

對(duì)于B項(xiàng),若直線與直線-=0平行,則(++1)·(-1)=1×(-1),

lxyaa

2

解得=0或=-1,所以不正確;

aa

對(duì)于C項(xiàng),當(dāng)=0時(shí),=1,所以直線過(guò)定點(diǎn)(0,1),所以正確;

xy

對(duì)于D項(xiàng),當(dāng)=0時(shí),直線的方程為-+1=0,在軸,軸上的截距分別是-1,1,所以不正確故選AC

alxyxy..

9答案[0,,π

.

π3π

44

]∪[

)

解析直線sin++2=0的斜率=-sin,∵-1≤sin≤1,∴-1≤≤1,

xαykααk

∴直線的傾斜角的取值范圍是[0,,π

π3π

44

]∪[

)

.

10答案(1,1);=1

. x

解析直線的方程可化為(-1)+(-1)=0,

lmxy

令{得{

??

-1=0,

??

-1=0,

??

=1,

??

=1.

故直線過(guò)定點(diǎn)(1,1)

l.

當(dāng)傾斜角為時(shí),直線垂直于軸,所以其方程為=1

π

2

xx.

11答案±1

.

解析如圖所示,直線:+3-5=0分別交軸,軸于,兩點(diǎn),直線:3-+1=0過(guò)定點(diǎn)(0,1)

lxyxyABlkxyC.

12

由點(diǎn)在線段上知⊥或與軸交于點(diǎn),且∠+∠=180

COBlllxDBCDBAD°.

212

①由⊥知,1×3+3×(-1)=0,解得=1

llkk.

12

②由∠+∠=180得,∠=∠

BCDBAD°BADOCD.

7

設(shè)直線的傾斜角為,的傾斜角為,則=180-∠,=90+∠,

lαlαα°BADα°OCD

112212

∴=180-∠=180-∠

α°BAD°

1

OCD°α°α°αα°α°α

=180-(-90)?=270-?tan=tan(270-)=tan(90-)=

212122

cos(90°-)sin

????

22

==

22

sin(90°-)cos

????

1

tan

??

2

1

?tan·tan=1,

αα

12

∴-×3=1?=-1

3

kk.

綜上所述,的值為±1

k.

12解析(1)直線方程可化為:=-?+

. ly????.

1

,2:=?

????

7733

242

??

依題意得,-

377

=?,解得=

??

.

(2)∵⊥,∴(+2)(-1)+(1-)(2+3)=0,解得=±1

llaaaaa.

12

將=±1代入方程,均滿足題意

a.

故當(dāng)=1或=-1時(shí),直線⊥

aall.

12

方法技巧已知直線的一般式方程,如果含參數(shù)的直線不能判斷斜率存在,直接利用一般式的結(jié)論解決問(wèn)題可

以避免分類討論

.

??

26

8