高二數(shù)學人教A版(2019)選擇性必修第一冊第三章3.1.1橢圓及其標準方程

橢圓及其標準方程（第一課時）教學設計

一、教材分析：

本節(jié)課是《普通高中教科書數(shù)學·選擇性必修第一冊》（人教A版）第三章

第一節(jié)《橢圓及其標準方程》第一課時。

用一個平面去截一個對頂?shù)膱A錐，當平面與圓錐的軸夾角不同時，可以得到

不同的截口曲線，它們分別是圓、橢圓、拋物線、雙曲線，我們將這些曲線統(tǒng)稱

為圓錐曲線。圓錐曲線的發(fā)現(xiàn)與研究始于古希臘，當時人們從純粹幾何學的觀點

研究了這種與圓密切相關的曲線，它們的幾何性質是圓的幾何性質的自然推廣。

17世紀初期，笛卡爾發(fā)明了坐標系，人們開始在坐標系的基礎上，用代數(shù)方法

研究圓錐曲線。在這一章中，我們將繼續(xù)用坐標法探究圓錐曲線的幾何特征，建

立它們的方程，通過方程研究它們的簡單性質，并用坐標法解決一些與圓錐曲線

有關的簡單幾何問題和實際問題，進一步感受數(shù)形結合的基本思想。

解析幾何是數(shù)學一個重要的分支,它溝通了數(shù)學中數(shù)與形、代數(shù)與幾何等最

基本對象之間的聯(lián)系。在第二章中學生已初步掌握了解析幾何研究問題的主要方

法,并在平面直角坐標系中研究了直線和圓這兩個基本的幾何圖形，在本章，教

材利用三種圓錐曲線進一步深化如何利用代數(shù)方法研究幾何問題。由于教材以橢

圓為重點說明了求方程、利用方程討論幾何性質的一般方法,然后在雙曲線、拋

物線的教學中應用和鞏固，因此“橢圓及其標準方程”起到了承上啟下的重要作

用。

本節(jié)內(nèi)容蘊含了許多重要的數(shù)學思想方法，如：數(shù)形結合思想、化歸思想等。

因此，教學時應重視體現(xiàn)數(shù)學的思想方法及價值。

二、教學目標：

按照教學大綱的要求，根據(jù)教材分析和學情分析，確定如下教學目標：

1．知識與技能目標：

①理解橢圓的定義。

②掌握橢圓的標準方程，在化簡橢圓方程的過程中提高學生的運算能力。

2．過程與方法目標：

①經(jīng)歷橢圓概念的產(chǎn)生過程，學習從具體實例中提煉數(shù)學概念的方法，由形

象到抽象，從具體到一般，掌握數(shù)學概念的數(shù)學本質，提高學生的歸納概括能力。

②鞏固用坐標化的方法求動點軌跡方程。

③對學生進行數(shù)學思想方法的滲透，培養(yǎng)學生具有利用數(shù)學思想方法分析和

解決問題的意識

3．情感態(tài)度價值觀目標：

①充分發(fā)揮學生在學習中的主體地位，引導學生活動、觀察、思考、合作、

探究、歸納、交流、反思，促進形成研究氛圍和合作意識

②重視知識的形成過程教學，讓學生知其然并知其所以然，通過學習新知識

體會到前人探索的艱辛過程與創(chuàng)新的樂趣

③通過對橢圓定義的嚴密化，培養(yǎng)學生形成扎實嚴謹?shù)目茖W作風

④通過經(jīng)歷橢圓方程的化簡,增強學生戰(zhàn)勝困難的意志品質并體會數(shù)學的簡

潔美、對稱美

⑤利用橢圓知識解決實際問題，使學生感受到數(shù)學的廣泛應用性和知識的力

量，增強學習數(shù)學的興趣和信心

三、教學重難點：

1

重點：橢圓定義的形成過程、橢圓的標準方程、坐標化的基本思想

難點：橢圓標準方程的推導與化簡，坐標法的應用

四、教法分析：

新課程倡導學生自主學習，要求教師成為學生學習的引導者、組織者、合作

者和促進者，使教學過程成為師生交流、積極互動、共同發(fā)展的過程。本節(jié)課采

用讓學生動手實踐、自主探究、合作交流及教師啟發(fā)引導的教學方法，并以多媒

體手段輔助教學，使學生經(jīng)歷實踐、觀察、猜想、論證、交流、反思等理性思維

的基本過程，切實改進學生的學習方式，使學生真正成為學習的主人．

五、教學過程設計：

（一）新課引入

師：請同學們回顧我們是如何來研究直線和圓的？

師：我們找到確定直線和圓的幾何要素，得到他們的定義。然后通過定義建

立方程，再由方程探索性質，進而解決數(shù)學和實際問題。那么本章我們?nèi)匀挥眠@

個思路來研究圓錐曲線。

師：用一個平面去截圓錐，當截面與軸所成角度不同時，得到的截口曲線也

不同。它們分別是橢圓，雙曲線，拋物線。統(tǒng)稱為圓錐曲線。圓錐曲線在生活中

應用廣泛，例如行星運行的軌道是橢圓，化工煙囪是由雙曲線旋轉而成，雷達的

截面曲線是拋物線。

師：圓、橢圓、雙曲線、拋物線一起構成了我們的圓錐曲線，這也是“圓錐

曲線”名稱的由來，他們之間既有密切的聯(lián)系，也有明顯的區(qū)別.古希臘數(shù)學家

阿波羅尼在他的傳世之作《圓錐曲線論》中就是以截線的定義用幾何的方法創(chuàng)立

了相當完美的理論，但晦澀難懂，前面我們學習了笛卡爾創(chuàng)立的坐標法，我們能

否將橢圓的問題也用坐標法加以解決呢？答案是肯定的，但是我們需要找到將橢

圓問題問題轉化為代數(shù)問題所需要的性質.(展示丹德林雙球試驗，歸納出橢圓的

代數(shù)定義)

橢圓的性質：橢圓上的任意一點到兩個定點的距離之和為常數(shù)。即橢圓滿足

|?|MF|?l|MF

12

的代數(shù)條件為（為定值），回顧圓的定義及畫法，開始下面的

l

實驗及活動。

師：借鑒圓的畫法，如果把繩子兩端固定，用鉛筆尖（M）把細繩拉緊，在

圖紙上慢慢移動，看看能畫出什么圖形？（請三名同學上黑板共同參與實驗活動，

其他同學分組進行）

F?l||F

，3名學生順利完成任務（也為推導橢圓標準方程畫好圖第一幕：

12

形）；

F?l||F

，學生A與學生B固定好繩子后，學生C用粉筆勾不動繩第二幕：

12

子，在其他同學提示性，畫出線段；

F?l||F

，學生A與學生B拉著繩子在拔河似的爭執(zhí)不下，在學生第三幕：

12

笑聲中“表演結束”

師：好，感謝3名同學的精彩表演，哪位同學說說你觀察到了什么？

在圖形定義和丹德林雙球模型的鋪墊下，橢圓的繪制方法和數(shù)量定義（即距

離定義）水到渠成。

2

總結歸納橢圓的定義：平面內(nèi)與兩個定點F、F 的距離的和等于常數(shù)（大

1 2

于）的點的軌跡叫做橢圓，這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點的距離叫

FF

12

做橢圓的焦距。

（在歸納定義時強調定義要滿足三個條件：在平面內(nèi)、任意一點到兩個定點

的距離之和等于常數(shù)、常數(shù)大于）

FF

12

(二) 總結歸納，形成定義

1.橢圓的定義：平面內(nèi)到兩個定點F、F的距離的和等于常數(shù)

12

（大于|FF|）的點的軌跡叫橢圓.

12

在歸納橢圓定義的過程中，教師根據(jù)學生回答的情況，不斷引導他們逐步加

深理解并完善橢圓的定義，在引導中突出體現(xiàn)“常數(shù)”及“常數(shù)的范圍”等關鍵

詞與相應的特征.

2.這兩個定點F、F叫做橢圓的焦點，兩焦點之間的距離叫做焦距.記為2c.

12

（設計意圖：改變單一、被動的學習方式，讓學生成為學習的主人，給他們

提供一個自主探索學習的機會，讓他們通過觀察、討論，歸納概括出橢圓的定義，

這樣既獲得了知識，又培養(yǎng)了學生抽象思維、歸納概括的能力.)

3.教師引導.概念中應說明的幾點

（1）.平面—大前提；

（2）.任意一點到兩個定點的距離的和等于常數(shù)2a；

（3）.常數(shù)2a大于焦距2c.

4.師生共同完善橢圓定義的集合語言：

P?MMF?MF?2a（2a?2c)?0

12

5.概念的深化

平面內(nèi)點M與兩個定點F、F的距離的和等于常數(shù)的點M的軌跡是：

12

當|MF|+|MF|>|FF|時點M的軌跡是為：橢圓

1212

??

思考：在定義中，如果沒有的條件，動點的軌跡又

是什么？

MFMFFF??

1212

當|MF|+|MF|=|FF|時點M的軌跡為:線段

1212

FF

12

當|MF|+|MF|<|FF|時點M的軌跡不存在

1212

M

M

FF

FF

（三）橢圓標準標準方程的推導

1.復習求動點軌跡方程的基本步驟（由學生回答，不正確的教師給予糾正）

2.橢圓標準方程的探求

( 1 ) 建系：（思考：如何建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺?/span>

系？）

學生回答，引導學生總結建系的基本原則. (關注對

21

21

3

稱性，方程的最簡性)

??

x，yM

為橢圓上的任意一點； （2）設點：設

2222

(x?c)?y?(x?c)?y?2a

（3）列式：將條件式代數(shù)化，得

（4）化簡：（通過設問、點撥“怎么化簡帶根式的式子”突破難點學生會提

出兩種方案：一、是直接將根式平方。二、是將其中一個根式平移再平方.這時

教師讓學生進行小組討論，對比、分析這兩種方法的優(yōu)缺點.教師引導，發(fā)現(xiàn)以

上同學們提出的這兩種方法都需要進行兩次平方，只是方法二計算較方法一較簡

單.）

先讓學生各自在練習本上自行化簡，在此過程中，教師一邊巡視，一邊給予

指導和提示，然后選出1—2位學生的推導過程展示出來，并請學生本人作簡要

陳述．

????

a?cx?ay?aa?c

然后教師提出：①怎么能讓方程 更簡潔？

22222222

xy

22

??1

222

②怎么能讓方程更簡潔？

aa?c

22222

?a?ca?cb

b

的引入：你在哪見過？（勾股定理，不妨設,再化簡方

22

xy

??1(a?b?0)

22

程）得橢圓的方程為（注意引導總結的大小關系）該方

ab

a,b

程叫做焦點在x軸上的橢圓的標準方程.

(設計意圖：暴露自然思維，通過比較，得出最簡潔的方案，而不是被動地接受

教材或老師強加給的方法，使學生完全成了學習的主人，由被動的接受變成主動

的獲取。通過討論，讓學生互相交流，互相學習，培養(yǎng)他們的合作意識和謙虛好

學的品質。在師生互動的過程中，讓學生體會數(shù)學的嚴謹，使他們的觀察能力、

運算能力、推理能力得到訓練，滲透數(shù)形結合的數(shù)學思想。并感受橢圓方程、圖

形的對稱美，簡潔美，獲得成功的喜悅！)

引入的幾何意義：

a,c,b

讓點運動到軸正半軸上，由學生觀察圖形自行獲得

M

y

a,c,b

的幾何意義，讓學生在講解的過程中體會數(shù)形結合思想，引出特征

三角形，也為后續(xù)學習做好準備.

（設計意圖：對照圖形加以引導，數(shù)形結合讓學生明白方程中

字母的幾何意義，對方程的理解有很大的作用.）

思考：如果橢圓的焦點在軸上，那橢圓的方程又如何？讓學

y

生猜想方程，并說明如何驗證？

(0，?c),F(0,c)F

12

方法1：焦點坐標變?yōu)?/span>，重復推導過程，布置為作業(yè).

y

F

2

x

O

4

F

1

M

方法2：引導學生回答，如果橢圓的焦點在軸上（選取方式不同，調換

yx,y

2222

xyyx

??1??1(a?b?0)

2222

x,y

baab

軸）,只要將方程中的調換，可得 ，這個

方程叫焦點在y軸上的橢圓的標準方程.

（設計意圖：利用類比對稱，劃歸的思想讓學生體會問題的本質所在，只是

位置不同，圖形是一致的，得出焦點在軸上的橢圓的標準方程，避免繁雜計算.）

y

（四） 橢圓的標準方程及方程特點

xy

22

??1

22

b?0a?

ab

焦點在x軸上的標準方程： （）

yx

22

??1

22

b?0a?

ba

焦點在y軸上的標準方程： （）

學生思考：1.橢圓的標準方程中三個參數(shù)的關系怎樣?

a,c,b

2.如何從橢圓的標準方程判斷橢圓焦點的位置？（小組討論，教師引導:看

形式，看細節(jié)）

222

ab?c，a?b?0,a?c?0.?

學生總結方程特征：1.

2．哪個變量下的分母大,焦點就在哪個軸上.

（五）應用

xy

22

??1

94

1．在橢圓中， 3 ， 2 ，其焦點位于軸

a?

b?

x

（?5,0）

上， 焦點坐標是.

22

16x?7y?112

2．在橢圓 中 4 ，， 焦點位于軸上，焦

a?

b?

7

y

點坐標是.

(0,?3)

222

xyyx

??1或??1

a?5,c?4

259259

3．的橢圓標準方程是 .

2

(待定系數(shù)法)

xy

22

??1

25?m16?m

4．若方程表示焦點在軸上的橢圓，則實數(shù)的取值范

xm

9

（-16，）

2

. 圍是

教師總結求解橢圓標準方程的兩個關鍵點：定位，定量.常用方法：待定系

5

數(shù)法

（設計意圖1、讓學生體會橢圓定義在解題中的重要作用; 2、學會用待定

系數(shù)法求橢圓的標準方程; 分析解答中注意發(fā)現(xiàn)學生思維的閃觀點，注重不同思

維、方法的碰撞.） .

(六）回顧反思----歸納提煉

思考:1.本節(jié)課學習的主要知識是什么?

2.求橢圓標準方程常用方法是什么？

3.本節(jié)課涉及到了哪些數(shù)學思想方法？

4.提煉觀點：

一動二定求和常：兩個方程大對焦；三個字母勾股弦；

四個想法留心間：求美，求簡，定義，待定系數(shù)法

活動過程:（師）提問 ----- （生）小結 ----- （師生）補充完善.

教師總結：今天我們類比研究圓的基本方法研究了橢圓的定義及標準方程，

接下來我們也將繼續(xù)利用方程展開研究橢圓的幾何性質.研究圓、橢圓的這一思

想將貫穿于整個圓錐曲線的教學中.

（設計意圖：歸納小結由學生來完成，讓學生回顧本節(jié)所學知識與方法,以

逐步提高學生自我獲取知識的能力，他們及時發(fā)現(xiàn)并糾正自己學習中存在的問

題，培養(yǎng)學生學習的主動性和良好的學習習慣.）

(八)課外作業(yè)

課本109頁第1,2題。

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