初中數學平行線教學案

2024年1月4日發(作者：云瀑)

第1章 平行線

【課標點擊】

1. 了解同位角、內錯角、同旁內角，明白一條直線截兩條平行直線所得的同位角相等，進一步探討平行線的性質.

2. 明白同位角相等的兩條直線平行，并探討判定兩直線平行的其它方式.

3. 體會兩條直線之間距離的意義，會氣宇兩條平行線之間的距離.

同位角、內錯角、同旁內角

【要點預習】

1. “三線八角”的概念：

兩條直線被第三條直線所截，組成 個角,咱們通常稱之為“三線八角”.

2.同位角、內錯角、同旁內角的概念：

“三線八角”中,其中位于兩條直線同側，第三條直線同旁的兩個角叫 ；位于兩條直線之間，第三條直線異側的兩個角叫 ，位于兩條直線之間，第三條直線同側的兩個角叫 .

【課前熱身】

1. 如圖1，組成的八個角是直線 與 被第三條直線 所截而成的.

答案：AB CD EF

2. 如圖1，∠1與∠5都在直線AB、CD同側，且在第三條直線EF同旁，如此的一對角叫 .

圖1

答案：同位角

3. 如圖1，∠3與∠5在直線AB、CD之間，且在第三條直線EF異側，如此的一對角叫__________ .

答案：內錯角

4. 如圖1，∠3與∠6在直線AB、CD之間，且在第三條直線EF同側，如此的一對角叫 .

答案：同旁內角

【講練互動】

【例1】如圖2，以下說法錯誤的選項是……………………………………圖2

（ ）

A. ∠C與∠1是內錯角 B. ∠2與∠3是內錯角

C. ∠A與∠B是同旁內角 D. ∠A與∠3是同位角

【分析】 A, C, D別離符合內錯角、同旁內角、與同位角的概念，而∠2與∠3不符合內錯角的概念，它們是一對鄰補角.

【答案】B

【綠色通道】要判定一對角是不是為同位角、內錯角或同旁內角，第一要看它們是哪兩條直線被第三條直線所截而形成的，再依照各自的特點進行分辨.

【變式訓練】

1. 如圖3，∠B的同旁內角是________.

圖3

【解析】依照同旁內角的概念，由直線AB、CD被直線BC所截可得∠B的同旁內角，再由直線BC、AD被直線AB所截可得∠B的另一外同旁內角.

【答案】∠BCD與∠BAD

【例2】如圖4，指出圖中所有的同位角、內錯角、同旁內角.

【分析】解此類題的關鍵是第一判定是哪兩條直線被哪一條直線所截.

B圖中有直線AC、DE被直線AD所截，直線AC、DE被直線CE所截，直線AD、EC被直線AC所截.

【解】同位角是∠1與∠A，∠2與∠C，∠3與∠5，∠2與∠6；

內錯角是∠1與∠3，∠2與∠4，∠5與∠A；

同旁內角是∠1與∠2，∠3與∠4，∠A與∠C，∠4與∠A，∠3與∠C.

【變式訓練】

2．如圖5，以下判定正確的選項是…………………………（ ）

A. 圖中有4對同位角, 4對內錯角, 2對同旁內角

圖5

F6154A23E圖4CB. 圖中有4對同位角, 4對內錯角, 4對同旁內角

C. 圖中有6對同位角, 4對內錯角, 4對同旁內角

D. 圖中有6對同位角, 4對內錯角, 2對同旁內角

【答案】C

圖6

【例3】如圖6, 兩條直線AB, CD被第三條直線EF所截, 交點別離為G、H. 已知∠AGE=∠DHF.請別離說出以下各式成立的理由.

(1)∠1=∠3；(2)∠2+∠3=180o；(3)∠3=∠4.

【解】(1)∵∠AGE+∠1=180o, ∠DHF+∠3=180o, ∠AGE=∠DHF,

∴∠1=∠2(等角的余角相等).

(2) ∵∠AGE=∠DHF, ∠AGE=∠2, ∴∠DHF=∠2.

又∵∠DHF+∠3=180o, ∴∠2+∠3=180o.

(3) 由(1)知∠1=∠3, 又∠1=∠4, ∴∠3=∠4.

【變式訓練】

3. 如圖7，Rt△ABC中，∠C＝Rt∠，DE⊥AC，交AB于點D.

(1) 說出當BC、DE被AB所截時，∠3的同位角、內錯角和同旁內角.

(2) 試說明∠1＝∠2＝∠3的理由.

【解】(1)∠3的同位角是∠1, ∠3的內錯角是∠2, ∠3的同旁內角是∠BDE.

(2) ∵∠C=Rt∠, ∴∠3+∠A=90o.

又DE⊥AC, ∠1+∠A=90o.

∴∠1=∠3. (同角的余角相等)

又∠1=∠2, ∴∠1=∠2=∠3.

【同步測控】

基礎自測

圖7

1．如圖8，兩條直線被第三條直線所截，形成的同位角有……………………………（ ）

A. 2對 B. 4對 C. 6對 D. 8對

2．如圖9，∠1的內錯角是………………………………………………………………（ ）

A.∠2 B.∠3 C.∠4 D.∠5

圖8

51m234naD1FACD2bA圖1045321DEB5A2314E6圖9BC圖11B圖12C3．以下圖形中，∠1與∠2不是同位角的是……………………………………………（ ）

12121122 A. B. C. D.

4．兩條直線被第三條直線所截，組成的8個角中，一對同位角的對頂角是…………（ ）

A．同位角 B. 內錯角 C. 同旁內角 D. 對頂角

5．如圖10，∠1與∠2是直線 ，直線 被直線 所截而得的 角.

6．如圖11，∠1的同位角是 ；∠1與 是內錯角；∠1與∠3是 角.

7. 如圖11，假設一對同位角∠1＝∠4，那么∠1與 也相等.

8．如圖12，∠6的同旁內角有 個.

9．如圖13，請找出兩對內錯角，兩對同旁內角，并指出它們是由哪兩條直線被哪一條直線所截而成的.

10．如圖14，直線l1,l2被直線l3所截，假設一對同位角∠1=∠3，那么一對內錯角∠2=∠4嗎？說明理由.（填空）

解：∵∠1＋∠2＝ （平角的意義）, ∠1=∠3,

∴∠3＋ ＝180o，∴∠2與∠3互補（互補的意義）.

又∵∠4與 互補（平角的意義）,

∴∠2＝∠4（ ）.

能力提升

11．以下圖中∠1和∠2是同位角的是…………………………………………………（ ）

4312圖13

l3l1l2圖14

A. ⑴, ⑵, ⑶ B. ⑵, ⑶, ⑷ C.⑶, ⑷, ⑸， D. ⑴, ⑵, ⑸

12. 如圖15,能與∠1組成內錯角的有………………………………（ ）

個 個 個 個

13.如圖16，當直線BC，DC被AB所截時，∠1的同位角是 ，同旁內圖15

角是 ；當直線AB，AC被BC所截時，∠1的同位角是 ；當直線AB，BC被CD所截時，∠2的內錯角是 .

14.若是三條直線兩兩相交(不交于同一點),那么此圖形中能找到 對內錯角.

ADB1243

C1

圖17圖16

圖18

15.請在圖17中添加一條直線,使得有兩個角(記作∠2, ∠3)別離與∠1組成同位角, 而且∠2

與∠3是同旁內角.

16.如圖18,在ΔABC中,D、E別離是AB、AC邊上的點.

(1)指出∠B的同位角和同旁內角;

(2)若是∠B=∠ADE, 求∠B+∠BDE的大小;

(3)若是∠B=∠ADE, 那么∠C=∠AED,請說明理由.

創新應用

17.如圖19，平行直線AB、CD與相交直線EF、GH相交，圖中的同旁內角共有…………………………………………………………（ ）

A．4對 B．8對 C．12對 D．16對

圖19

參考答案

基礎自測

1．如圖8，兩條直線被第三條直線所截，形成的同位角有……………………………（ ）

A. 2對 B. 4對 C. 6對 D. 8對

答案：B

2．如圖9，∠1的內錯角是………………………………………………………………（ ）

A.∠2 B.∠3 C.∠4 D.∠5

答案：A

3．以下圖形中，∠1與∠2不是同位角的是……………………………………………（ ）

A. B. C. D.

1251m234naD1AF45321CD2bA圖10EDB5A2314E6圖8

圖9BC圖11B圖12C121122

答案：D

4．兩條直線被第三條直線所截，組成的8個角中，一對同位角的對頂角是…………（ ）

A．同位角 B. 內錯角 C. 同旁內角 D. 對頂角

答案：A

5．如圖10，∠1與∠2是直線 ，直線 被直線 所截而得的 角.

答案：AD BC BD 內錯

6．如圖11，∠1的同位角是 ；∠1與 是內錯角；∠1與∠3是 角.

答案：∠4 ∠2 同旁內

7. 如圖11，假設一對同位角∠1＝∠4，那么∠1與 也相等.

答案：∠2

8．如圖12，∠6的同旁內角有 個.

答案：2

9．如圖13，請找出兩對內錯角，兩對同旁內角，并指出它們是由哪兩條直線被哪一條直線所截而成的.

解：內錯角：∠DAB與∠B(直線DE, BC被AB所截而成)；∠EAC與∠C(直線DE, BC被除數AC所截而成).

同旁內角：∠DAC與∠C(直線DE, BC被AC所截而成)；∠EAB與∠B(直線DE, BC被AB所截而成).

10．如圖14，直線l1,l2被直線l3所截，假設一對同位角∠1=∠3，那么一對內錯角∠2=∠4嗎？說明理由.（填空）

解：∵∠1＋∠2＝ （平角的意義）, ∠1=∠3,

∴∠3＋ ＝180o，∴∠2與∠3互補（互補的意義）.

又∵∠4與 互補（平角的意義）,

∴∠2＝∠4（ ）.

答案：180o ∠2 ∠3 同角的補角相等

能力提升

11．以下圖中∠1和∠2是同位角的是…………………………………………………（ ）

4312圖13

l3l1l2圖14

A. ⑴, ⑵, ⑶ B. ⑵, ⑶, ⑷ C.⑶, ⑷, ⑸， D. ⑴, ⑵, ⑸

答案：D

12. 如圖15,能與∠1組成內錯角的有………………………………（ ）

個 個 個 個

答案：A

13.如圖16，當直線BC，DC被AB所截時，∠1的同位角是 ，同旁內角是 ；當直線AB，AC被BC所截時，∠1的同位角是 ；當直線AB，BC被CD所截時，∠2的內錯角是 .

答案：∠2 ∠BDC ∠3 ∠4

14.若是三條直線兩兩相交(不交于同一點),那么此圖形中能找到 對內錯角.

答案：6

15.請在圖17中添加一條直線,使得有兩個角(記作∠2, ∠3)別離與∠1組成同位角, 而且∠2與∠3是同旁內角.

解：如圖.

16.如圖18,在ΔABC中,D、E別離是AB、AC邊上的點.

(1)指出∠B的同位角和同旁內角;

(2)若是∠B=∠ADE, 求∠B+∠BDE的大小;

(3)若是∠B=∠ADE, 那么∠C=∠AED,請說明理由.

解：(1)∠B的同位角是∠ADE, ∠B的同旁內角是∠BDE.

(2)∵∠B=∠ADE, ∠ADE+∠BDE=180o, ∴∠B+∠BDE=180o.

(3)∵∠C=180o-∠A-∠B, ∠AED=180o-∠A-∠ADE, 又∵∠B=∠ADE, ∴∠C=∠AED.

創新應用

圖18

1圖15

ADB1243圖16C321圖17圖17圖19

17.如圖19，平行直線AB、CD與相交直線EF、GH相交，圖中的同旁內角共有…………………………………………………………（ ）

A．4對 B．8對 C．12對 D．16對

解析：每一個“三線八角”大體圖形都有兩對同旁內角，從對原圖形進行分解人手．原圖形可分解出如下八個大體圖形.

答案：D。

平行線的判定(1)

【要點預習】

1.平行線的判定1.

兩條直線被第三條直線所截,若是 相等, 那么這兩條直線平行.簡單地說,

相等,兩直線平行.

2.平行線的判定1的特殊情形：在同一平面內, 于同一條直線的兩條直線相互平行.

【課前熱身】

1.兩條平行線被第三條直線所截,共有 對同位角.

答案：4

2.街道雙側路燈的柱子的位置關系是 .

答案：平行

3. 如圖1，直線AB、CD被直線EF所截，若是∠1＝∠2，那么 .理由是（ ）.

答案：AB∥CD 同位角相等, 兩直線平行

4.在同一平面內,假設a?b,a?c,那么a與c的位置關系是 .

答案：a∥c

圖1

【講練互動】

【例1】如圖2, 直線AB, CD被直線EF, GH所截,以下結論：(1)假設∠1=∠2, 那么AB∥CD；(2)假設∠1=∠2, 那么EF∥GH；(3)假設∠1=∠3, 那么AB∥CD；(4)假設∠1=∠3, 那么EF∥GH. 其中正確的選項是……………………………（ ）

A. (1)(3) B. (1)(4) C. (2)(3) D. (2)(4)

【解析】∠1與∠2是直線EF, GH被AB所截取得的同位角；∠1與∠3是AB,CD被EF所截形成的同位角.

【答案】C

【變式訓練】

1. 如圖3所示,若是∠D=∠EFC,那么…………………………（ ）

∥BC ∥BC ∥DC ∥EF

【答案】D

【例2】如圖4，直線a,b被直線c所截,且∠2+∠3＝180o，那么a∥b嗎?請說明理由.

【分析】只要說明同位角∠1=∠3即可.

【解】∵∠2+∠3=180o, ∠1+∠2=180o, ∴∠1=∠3, ∴a∥b.

【綠色通道】利用轉化思想是解決平行線問題要緊方式.

圖4

圖2

AEB圖3

DFC【變式訓練】

2. 如圖5, 已知直線EF和AB, CD別離相交于K, H, 且EG⊥AB, ∠CHF=60o, ∠E=30o, 試說明AB∥CD.

【解】∵EG⊥AB, ∴∠EGK=90o. ∵∠E=30o, ∴∠EKG=60o.

∵∠CHF=60o, ∠CHF=∠EHD, ∴∠EHD=60o.

∴∠EKG=∠EHD, ∴AB∥CD.

【例3】如圖6,在海上有兩個觀測所A和B,且觀測所B在A的正東方向.假設在A觀測所測得船M的航行方向是北偏東50o,在B觀測所得船N的航行方向也是北偏東50o,問船M的航向AM與船N的航向BN是不是平行.請說明理由.

【解】AM與BN平行.

∵∠MAC=∠NBC=50o, ∴AM∥BN.

圖6

EACFH圖5

KGBDC

【變式訓練】

3. 一輛貨車在倉庫裝滿貨物預備運往超市，駛出倉庫門口后開始向東行駛，途中向右拐了50o角，接著向前行駛，走了一段路程后，又向左拐了50o角，如下圖. 現在汽車和原先的行駛方向相同嗎？你的依照是什么？

【解】相同. 理由如下：

∵∠AOB=∠A/O/B/=50o, ∴OA∥O/A/,

即汽車和原先的行駛方向相同.

圖7

【同步測控】

基礎自測

1.如圖8,假設∠ADE=∠ABC,那么…………………………………………………………（ ）

∥BF ∥BF ∥BC ∥BC

2.如圖8,假設∠ACD=∠F,那么………………………………………………………………（ ）

A. DE∥BF B. DC∥BF C. DE∥BC D. DC∥BC

圖8

D

B

圖9

C

圖10

E

A

F

A

B

圖11

E

D

C3.如圖9，能判定EB∥AC的條件是………………………………………（ ）

A. ∠C＝∠ABE B. ∠A＝∠EBD C. ∠C＝∠ABC D. ∠A＝∠ABE

4. 如圖10，假設∠1=52o，問應使∠C= 度時，能使直線AB∥CD.

5. 若是l1⊥l2，l3⊥l2，那么l1 l3. 理由是 .

6.如圖11，請你填寫一個適當的條件： ，使AD∥BC．

7. 如圖12，假設∠1＋∠2=180o，那么l1∥l2. 試說明理由（填空）.

解：∵∠2＋∠3= （平角的意義），

又∵∠1＋∠2=180o（ ），

∴∠1= （ ），

∴l1∥l2（ ）.

23l31l1l2圖12

8.如圖13,已知ΔABC及AC上一點D.過D作DE∥BC,交AB于點E;作DF∥AB,交BC于點F.

9. 如圖14，∠ABC＝∠DEC，BP平分∠ABC，EF平分∠DEC，試找出圖中的各組平行線.

10. 如圖15, 在△ABC中, 點D, E別離在AC, BC上.已知∠C=30o, ∠CDE=115o, ∠B=35o,那么DE與AB是不是平行?請說明理由.

能力提升

11．∠1與∠2是兩條直線被第三條直線所截的同位角，假設∠1＝50o，那么∠2為……（ ）

A. 50° B. 130° C. 50°或130° D. 不能確信

12.一輛汽車在筆直的公路上行駛,兩次拐彎后,仍在原先的方向上平行前進,那么這兩次拐彎的角度是…………………………………………………………………………………（ ）

A.第一次向右拐40o, 第二次向左拐140o B. 第一次向左拐40o, 第二次向右拐40o

C.第一次向左拐40o, 第二次向左拐140o D. 第一次向右拐40o, 第二次向右拐40°

13.如圖16, A, B, C, D四點在同一直線上, E, F是直線同側的點.已知∠A=50o,∠E=70o, ∠圖15

圖14

AB圖13

C

FBD=30o, 假設要使CE∥DF, 那么∠F= 度.

圖16

圖17

14.如圖17, 已知AB⊥BC, ∠1=126o, 當∠2= 度時, l1∥l2.

15.如圖18,在△ABC中，AE是外角∠DAC的平分線.

(1) 已知∠B＝∠C＝40o，AE、BC是不是平行？請說明理由.

(2) 已知∠B＝∠C＝xo，試用x的代數式表示∠DAE的度數，并說明AE, BC是不是平行？

16.如圖19,已知∠1=∠2, DE⊥AB, CF⊥AB.判定FG與BC是不是平行,并請說明你的理由.

創新應用

17.甲、乙兩車別離從A、B兩個車站動身.甲車朝北偏東60o方向直線行駛,乙車朝南偏西60o方向行駛.這兩車的線路相互平行嗎?請畫出行駛線路示用意,并說明理由.

圖19

北

1CA432BD參考答案

基礎自測

1.如圖8,假設∠ADE=∠ABC,那么…………………………………………………………（ ）

∥BF ∥BF ∥BC ∥BC

答案：C

圖8

D

B

圖9

C

圖10

E

A

F

A

B

圖11

E

D

C2.如圖8,假設∠ACD=∠F,那么………………………………………………………………（ ）

A. DE∥BF B. DC∥BF C. DE∥BC D. DC∥BC

答案：B

3.如圖9，能判定EB∥AC的條件是………………………………………（ ）

A. ∠C＝∠ABE B. ∠A＝∠EBD C. ∠C＝∠ABC D. ∠A＝∠ABE

答案：D

4. 如圖10，假設∠1=52o，問應使∠C= 度時，能使直線AB∥CD.

答案：52

5. 若是l1⊥l2，l3⊥l2，那么l1 l3. 理由是 .

答案：∥ 在同一平面內, 垂直于同一條直線的兩條直線相互平行.

6.如圖11，請你填寫一個適當的條件： ，使AD∥BC．

答案：如∠FAD=∠FBC, ∠ADB=∠DBC等

7. 如圖12，假設∠1＋∠2=180o，那么l1∥l2. 試說明理由（填空）.

解：∵∠2＋∠3= （平角的意義），

又∵∠1＋∠2=180o（ ），

∴∠1= （ ），

∴l1∥l2（ ）.

答案：180o 已知 ∠3 同角的補角相等 同位角相等, 兩直線平行

8.如圖13,已知ΔABC及AC上一點D.過D作DE∥BC,交AB于點E;作DF∥AB,交BC于點F.

解：如圖.

B圖13

32l31l1l2圖12

AAECDFCB9. 如圖14，∠ABC＝∠DEC，BP平分∠ABC，EF平分∠DEC，試找出圖中的各組平行線.

解：∵∠ABC＝∠DEC，∴AB∥DE.

∵BP平分∠ABC，EF平分∠DEC，

∴∠CBP=11∠ABC, ∠CEF=∠DEC,

22圖14

∴∠CBP=∠CEF, ∴BP∥EF.

10. 如圖15, 在△ABC中, 點D, E別離在AC, BC上.已知∠C=30o, ∠CDE=115o, ∠B=35o,那么DE與AB是不是平行?請說明理由.

解：平行. 理由如下：

∵∠C=30o, ∠CDE=115o, ∴∠DEC=35o.

又∵∠B=35o, ∴∠B=∠DEC, ∴DE∥AB.

能力提升

圖15

11．∠1與∠2是兩條直線被第三條直線所截的同位角，假設∠1＝50o，那么∠2為……（ ）

A. 50° B. 130° C. 50°或130° D. 不能確信

答案：D

12.一輛汽車在筆直的公路上行駛,兩次拐彎后,仍在原先的方向上平行前進,那么這兩次拐彎的角度是…………………………………………………………………………………（ ）

A.第一次向右拐40o, 第二次向左拐140o B. 第一次向左拐40o, 第二次向右拐40o

C.第一次向左拐40o, 第二次向左拐140o D. 第一次向右拐40o, 第二次向右拐40°

答案：B

13.如圖16, A, B, C, D四點在同一直線上, E, F是直線同側的點.已知∠A=50o,∠E=70o, ∠FBD=30o, 假設要使CE∥DF, 那么∠F= 度.

答案：90

14.如圖17, 已知AB⊥BC, ∠1=126o, 當∠2= 度時, l1∥l2.

答案：36

15.如圖18,在△ABC中，AE是外角∠DAC的平分線.

(1) 已知∠B＝∠C＝40o，AE、BC是不是平行？請說明理由.

(2) 已知∠B＝∠C＝xo，試用x的代數式表示∠DAE的度數，并說明AE, BC是不是平行？

解：(1) ∵∠B=∠C=40o, ∴∠DAC=80o. ∵AE平分∠DAC, ∴∠DAE=40o.

∴∠DAE=∠B, ∴AE∥BC.

(2) ∵∠B=∠C= x o, ∴∠DAC=2 x o. ∵AE平分∠DAC, ∴∠DAE= x o.

∴∠DAE=∠B, ∴AE∥BC.

16.如圖19,已知∠1=∠2, DE⊥AB, CF⊥AB.判定FG與BC是不是平行,并請說明你的理由.

解：平行. 理由如下：

∵DE⊥AB, ∴∠DEB=90o, ∴∠B=90o-∠1.

∵CF⊥AB, ∴∠CFB=90o, ∴∠AFG=90o-∠2.

圖16

圖17 圖18

圖19

又∵∠1=∠2, ∴∠B=∠AFG, ∴FG∥BC.

創新應用

17.甲、乙兩車別離從A、B兩個車站動身.甲車朝北偏東60o方向直線行駛,乙車朝南偏西60o方向行駛.這兩車的線路相互平行嗎?請畫出行駛線路示用意,并說明理由.

解：如圖, ∠1=∠2=60o.

北∵∠2+∠3=90o, ∠3+∠4=90o,

∴∠4=∠2=60o=∠1, ∴AC∥BD.

1CA432BD 平行線的判定(2)

【要點預習】

1.平行線的判定2：

兩條直線被第三條直線所截, 若是 相等, 那么這兩條直線平行.簡單地說, 相等, 兩直線平行.

2.平行線的判定3：

兩條直線被第三條直線所截, 若是 互補, 那么這兩條直線平行.簡單地說, 互補, 兩直線平行.

【課前熱身】

1. 如圖1, 若∠1＝∠2, 那么AB∥CD, 理由圖1

是 .

答案：同位角相等, 兩直線平行

2. 如圖1, 若∠3＝∠2, 那么AB∥CD, 理由是 .

答案：內錯角相等, 兩直線平行

3. 如圖1,假設∠2+∠4=180o, 那么AB∥CD, 理由是 .

答案：同旁內角互補, 兩直線平行

圖2

4.如圖，假設∠1＝∠4，那么 ∥ ；假設∠2＝∠3，那么 ∥ .

答案：AD BC DC AB

【講練互動】

【例1】如圖3,一條河流的兩個拐角∠ABC與∠BCD均為130o,那么河流AB與河流CD的位置關系是 ,理由是： .

【答案】AB∥CD 內錯角相等, 兩直線平行

【變式訓練】

1.在A、B兩地之間要修一條公路(如圖4所示)．從A地測得公路的走向是北偏東60o．若是A、B兩地同時動工，那么在B地公路按∠α= 度施工，能使公路準確接通．

【答案】120

【例2】如圖5,已知∠1=∠2, AC平分∠DAB,試說明DC∥AB.

【解】∵AC平分∠DAB, ∴∠1=∠CAB.

∵∠1=∠2, ∴∠2=∠CAB, ∴DC∥AB.

【變式訓練】

2.如圖6,已知AE與CE別離是∠BAC與∠ACD的平分線,且∠E=90o. 試說明AB∥CD的理由.

【解】∵∠E=90o, ∴∠EAC+∠ECA=90o.

∵AE平分∠BAC, ∴∠BAC=2∠EAC.

又∵CE平分∠ACD, ∴∠ACD=2∠ECA.

∴∠BAC+∠ACD=90o×2=180o, ∴AB∥CD.

【例3】如圖7，已知：∠B+∠BED+∠D=360o.試說明AB∥CD.

【解】連結BD.

∵∠ABE+∠E+∠CDE=360o, ∠DBE+∠E+∠BDE=180o,

∴∠ABD+∠CDB=180o, ∴AB∥CD.

【綠色通道】此題的方式有多種, 也可用EF∥AB, 再通過同旁內角互補說明EF∥CD；還可延長BE(或DE)別離與AB(或CD)相交, 再通過同旁內角互補來講明EF∥CD.

【變式訓練】

3.如圖8,點E在直線AB與CD之間,且∠E=70o,∠B=25o,∠C=45o,那么AB與CD平行嗎?圖7

圖6

1圖3

圖4

D2CA圖5

B

說明理由.

【解】連結BC.

∵∠E=70o, ∴∠EBC+∠ECB=110o.

又∵∠ABE=25o, ∠DCE=45o,

∴∠ABE+∠DCE+∠EBC+∠ECB=180o,

即∠ABC+∠ACB=180o, ∴AB∥CD.

圖8

【同步測控】

基礎自測

1. 如圖9所示, 以下條件中, 能判定AB∥CD的是…………………………………（ ）

A.∠BAD=∠BCD B.∠1=∠2 C.∠3=∠4 D.∠BAC=∠ACD

Ａ

Ｄ

AD141

2

3

DCB32CＢ

Ｃ

圖10

圖11

ABE圖9

圖12

圖13

2.如圖10，已知∠1=70o，要使AB∥CD，那么須具有另一個條件………（ ）

A．∠2=70o B．∠2=100o C．∠2=110o D．∠3=110o

3. 不相鄰的兩個直角,若是它們有一邊在同一直線上,那么另一邊彼此……………（ ）

A.平行 B.垂直 C.平行或垂直 D.平行或垂直或相交

4. 如圖11，以下條件中不能判定直線l1∥l2的是………………………………………（ ）

A. ∠1＝∠3 B. ∠2＝∠3 C. ∠4＝∠5 D.∠2＋∠4＝180°

5. 如圖12所示, BE是AB的延長線,量得∠CBE=∠C.能夠判定______∥______, 依照是_____ _.

6.如圖13,要使AB∥CD請寫出一個條件： .

7.如圖14，由∠1=∠B，取得的一組平行線是________；由∠1=∠D，取得的一組平行線是________.

圖14

圖15

8. 如圖15，一個彎形管道ABCD的拐角∠ABC=110o，要使AB∥CD，那么另一個拐角∠

圖16

BCD應彎成_______度.

9. 當圖16中各角別離知足以下條件時，哪兩條直線平行?并說明理由．

(1)∠1=∠2；(2)∠1=∠3；(3)∠2+∠4=180o.

10. 如圖17 ，已知∠AMB=∠ENF, ∠C＝∠D，試說明DF

能力提升

11．如圖18所示, 直線a, b被直線c所截, 現給出以下四個條件：①∠1=∠5；②∠1=∠7；③∠2+∠3=180°；④∠4=∠7. 其中能說明a∥b的條件序號為……………………（ ）

A. ①② B. ①③ C. ①④ D. ③④

圖17

c

4

6578132ab

圖18

B

圖19

圖20

12. 如圖19，∠B=68o，∠E=20o，那么當∠D為 度時, AB∥CD.

13.如圖20, 已知∠α=∠β,∠A=40o, 那么當∠ECB= 度時, AB∥CE.

14.閱讀以下推理進程，在括號中填寫理由：

已知：如圖21，∠1=78o，∠2=78o，∠3=78o，∠4=102o.

∵∠1=∠2=78o，∴AB∥CD( )

∵∠2=∠3=78o，∴AB∥CD( )

∵∠2+∠4=78o+102o=180o，

A143C2B圖21

D

∴AB∥CD( )

15. 如圖22，EF別離交AB、CD于點F、E，FG平分∠EFC，交AB于G．假設∠１＝80o，∠FGE＝50o，說明AB∥CD的理由.

16.如圖23是一只風箏的骨架的示用意.已知∠1=∠2, ∠3=∠4. 試AB∥CD的理由.

5

創新應用

17.將一張三角形紙片ABC(如圖甲)折疊,如圖乙,點A落在A1. 假設要使折痕DE∥BC,應如何折?

圖23

CFDAG1EB圖22

6

參考答案

基礎自測

1. 如圖9所示, 以下條件中, 能判定AB∥CD的是…………………………………（ ）

A.∠BAD=∠BCD B.∠1=∠2 C.∠3=∠4 D.∠BAC=∠ACD

答案：D

3A12D4Ａ

1

2

Ｄ

DCBC3

Ｂ

Ｃ

圖10

圖11

ABE圖9

圖12

圖13

2.如圖10，已知∠1=70o，要使AB∥CD，那么須具有另一個條件………（ ）

A．∠2=70o

答案：C

3. 不相鄰的兩個直角,若是它們有一邊在同一直線上,那么另一邊彼此……………（ ）

B．∠2=100o C．∠2=110o D．∠3=110o

A.平行 B.垂直 C.平行或垂直 D.平行或垂直或相交

答案：A

4. 如圖11，以下條件中不能判定直線l1∥l2的是………………………………………（ ）

A. ∠1＝∠3 B. ∠2＝∠3 C. ∠4＝∠5 D.∠2＋∠4＝180°

答案：B

5. 如圖12所示, BE是AB的延長線,量得∠CBE=∠C.能夠判定______∥______, 依照是_____ _.

答案：DC AB 內錯角相等, 兩直線平行

6.如圖13,要使AB∥CD請寫出一個條件： .

答案：∠A+∠D=180o或∠B+∠C=180o

7.如圖14，由∠1=∠B，取得的一組平行線是________；由∠1=∠D，取得的一組平行線是________.

答案：DE∥BC AB∥DF

8. 如圖15，一個彎形管道ABCD的拐角∠ABC=110o，要使AB∥CD，那么另一個拐角∠BCD應彎成_______度.

答案：70

9. 當圖16中各角別離知足以下條件時，哪兩條直線平行?并說明理由．(1)∠1=∠2；(2)∠1=∠3；(3)∠2+∠4=180o.

解：(1) ∵∠1=∠2, ∴m∥n(內錯角相等, 兩直線平行).

(2) ∵∠1=∠3, ∴b∥c(同位角相等, 兩直線平行).

(3) ∵∠2+∠4=180o, ∴a∥c(同旁內角互補, 兩直線平行).

10. 如圖17 ，已知∠AMB=∠ENF, ∠C＝∠D，試說明DF解：∵∠A=180o-∠ANC-∠C, ∠F=180o-∠DMF-∠D,

又∵∠AMB=∠ENF, ∠AMB=∠DMF, ∠ENF=∠ANC,

∴∠A=∠F, ∴DF∥AC.

圖17

圖18

6578圖14

圖15

圖16

c4132ab圖20

B

圖19

能力提升

11．如圖18所示, 直線a, b被直線c所截, 現給出以下四個條件：①∠1=∠5；②∠1=∠7；③∠2+∠3=180°；④∠4=∠7. 其中能說明a∥b的條件序號為……………………（ ）

A. ①② B. ①③ C. ①④ D. ③④

答案：A

12. 如圖19，∠B=68o，∠E=20o，那么當∠D為 度時, AB∥CD.

答案：48

13.如圖20, 已知∠α=∠β,∠A=40o, 那么當∠ECB= 度時, AB∥CE.

答案：70

14.閱讀以下推理進程，在括號中填寫理由：

已知：如圖21，∠1=78o，∠2=78o，∠3=78o，∠4=102o.

∵∠1=∠2=78o，∴AB∥CD( )

∵∠2=∠3=78o，∴AB∥CD( )

∵∠2+∠4=78o+102o=180o，

∴AB∥CD( )

答案：同位角相等, 兩直線平行 內錯角相等, 兩直線平行

同旁內角互補, 兩直線平行

15. 如圖22，EF別離交AB、CD于點F、E，FG平分∠EFC，交AB于G．假設∠１＝80o，∠FGE＝50o，說明AB∥CD的理由.

解：∵∠GEF=∠1=80o, ∠FGE=50o, ∴∠EFG=50o.

∵FG平分∠EFC, ∴∠GFC=50o.

∴∠FGE=∠GFC, ∴AB∥CD.

16.如圖23是一只風箏的骨架的示用意.已知∠1=∠2, ∠3=∠4.

試AB∥CD的理由.

解：∵∠5=∠6, ∴∠1+∠2=∠3+∠4.

又∵∠1=∠2, ∠3=∠4, ∴2∠1=2∠4,

即∠1=∠4, ∴AB∥CD.

創新應用

17.將一張三角形紙片ABC(如圖甲)折疊,如圖乙,點A落在A1.

圖23

AG1EA143C2B圖21

DBCFD圖22

5

6

假設要使折痕DE∥BC,應如何折?

解：∠A1DE=∠B.

∵△ADE≌△A1DE, ∴∠ADE=∠A1DE.

又∵∠A1DE=∠B, ∴∠ADE=∠B, ∴DE∥BC.

平行線的性質(1)

【要點預習】

平行線的性質1：

兩條平行線被第三條直線所截, 相等.簡單地說,兩直線平行,

相等.

【課前熱身】

1.如圖1，已知直線a∥b，∠1=35o，那么∠2的度數是 ．

答案：35o

c1

2

圖1

a

圖2

圖3

b2.如圖2, 已知EF∥CD, 那么∠AEF= .

答案：∠ACD

3.如圖2, 已知ED∥CB, 那么∠ADE= .

答案：∠B

4.如圖3, 已知ED∥CB, 那么∠1= .

答案：∠B

【講練互動】

【例1】如圖4，在屋架上要加一根橫梁DE，已知DE∥BC,∠ABC=31o，那么∠ADE等于多少度?說出你的理由.

圖4

【解】∵DE∥BC,

∴∠ADE=∠B=31o(兩直線平行, 同位角相等).

1【變式訓練】

1. 用吸管吸易拉罐內的飲料時，如圖5，∠1=110o，那么?2＝ 度（易拉罐的上下底面相互平行）

【答案】70

【例2】如圖6,已知∠1=∠2,那么∠3=∠4.請說明理由.

【解】∵∠1=∠2, ∴l1∥l2(同位角相等, 兩直線平行),

∴∠3=∠4(兩直線平行, 同位角相等).

【變式訓練】

2. 如圖7, 已知直線AB, CD與直線EF, GH相交,

且∠1+∠2=180o，∠3=95o. 求∠4的度數.

【解】如圖. ∵∠1+∠2=180o, ∠1+∠5=180o, ∴∠2=∠5,

∴AB∥CD, ∴∠6=∠4.

∵∠6=∠3=95o, ∴∠4=95o.

【例3】如圖8,在ΔABC中, ∠ACB=90o,CD是斜邊AB邊上的高, EF∥CD別離交AB,BC于點F,E.已知∠A=52o,求∠BEF的度數.

【解】∵∠ACB=90o, ∠A=52o, ∴∠B=38o.

∵CD是AB邊上的高, ∴∠CDB=90o, ∠BCD=52o.

∵EF∥CD, ∴∠BEF=∠BCD=52o.

【變式訓練】

3. 如圖9, 已知∠CEP=50o, EP∥AB, FP∥AC, PD⊥AB于D. 求∠FPD的度數.

【解】∵EP∥AB, ∴∠A=∠CEP=50o.

∵FP∥AC, ∴∠PFD=∠A=50o.

∵PD⊥AB, ∴∠PDF=90o, ∴∠FPD=40o.

圖8

圖6

2圖5

圖①【同步測控】

基礎自測

圖9

1.如圖10，直線c截兩平行直線a、b，那么以下式子中必然成立的是……（ ）

A．∠1=∠5 B． ∠1=∠4 C． ∠1=∠3 D． ∠1=∠2

5

3

4

圖10

c

1

2

a

31°

b

A

D

B

70°

C

圖11

a

b

圖12

2.兩平行直線被第三條直線所截，同位角的平分線…………………………………（ ）

A.相互重合 B.相互平行 C.相互垂直 D.相交

3.如圖11，直線a∥b，那么∠A的度數是…………………………………（ ）

A. 28o B. 31o C. 39o D. 42o

4.如圖12,在ΔABC中,AD是角平分線,E,F別離是AB,BC邊上的點.EF∥AD, ∠EFB=100o,

∠B=60o,那么∠BAC等于………………………………………………………（ ）

A. 60o B. 40o C. 20o D. 100o

5. 設a、b、c為平面內三條不同的直線，若是a∥b，c⊥a，那么b與c的關系是 .

6.如圖13，直線AB∥CD，EF⊥CD于F，若是∠GEF=20o，那么∠1的度數是 .

圖13 圖14

7.如圖14，已知AB∥CD，直線MN別離交AB、CD于E、F，∠MFD＝50o，EG平分∠MFD，那么∠MEG的大小是__ _度.

8. 如圖15，已知∠C＝∠BED，∠A＝90o，DE能垂直于AB嗎？什么緣故？

圖15

9. 如圖16，已知AB∥CD，直線EF別離截AB、CD于點M、N，MG、NH別離是∠EMB與∠END的平分線. 試說明MG∥NH.

能力提升

10．如圖17，AD⊥BC于點D，DE∥AB，那么∠CDE與∠BAD的關系是……………（ ）

A. 相等 B. 互余 C. 互補 D. 不能確信

11.若是兩個角的一邊在同一直線上，另一邊相互平行，那么這兩個角只能………（ ）

A. 相等 B．互補 C．互余 D．相等或互補

A

C

E

圖16

1

圖18

G

B

D

圖19

圖17

12.學習了平行線后，小敏想出了過己知直線外一點畫這條直線的平行線的新方式，她是通過折一張半透明的紙取得的（如圖(1)～(4) ）：

從圖中可知，小敏畫平行線的依據有①兩直線平行，同位角相等；②兩直線平行，內錯角相等；③同位角相等，兩直線平行；④內錯角相等，兩直線平行．……………………（ ）

A．①② B．②③ C．③④ D．①④

13.如圖18，AB14.如圖19，AB∥DE，BC∥EF，∠B=62o，求∠E的度數 .

15.如圖20，兩平面鏡α、β的夾角為θ，入射光線AO平行于β入射到鏡面上，經兩次反射后的出射光線O'B平行于α，求角θ的度數．

創新應用

16.如下圖,已知直線MN的同側有三個點A,B,C,且AB∥MN,BC∥MN,試說明A,?B,C三點在同一直線上.

解：如下圖,過B點任作直線PQ交MN于Q,

∵AB∥MN, ∴∠PBA=∠MQP,?

又∵BC∥MN, ∴∠PBC=∠PQN,

又∵∠PQM+∠PQN=180o, ∴∠ABC=180o,

∴A,B,C三點在同一直線上.

AMBCNPAMQBCN

參考答案

基礎自測

1.如圖10，直線c截兩平行直線a、b，那么以下式子中必然成立的是……（ ）

A．∠1=∠5 B． ∠1=∠4 C． ∠1=∠3 D． ∠1=∠2

解析：依照”兩直線平行,同位角相等”,可知∠1=∠3.

答案：C

5

3

4

圖10

c

1

2

a

31°

A

D

b

B

70°

C

圖11

a

b

圖12

圖13

2.兩平行直線被第三條直線所截，同位角的平分線…………………………………（ ）

A.相互重合 B.相互平行 C.相互垂直

答案：B.

3.如圖11，直線a∥b，那么∠A的度數是…………………………………（ ）

A. 28o B. 31o C. 39o D. 42o

D.相交

解析：∵a∥b,∴?ABa=?ACb=70o,而?ABa=?A??D,可求得∠A=70o-31o=39o.

答案：C

4.如圖12,在ΔABC中,AD是角平分線,E,F別離是AB,BC邊上的點.EF∥AD, ∠EFB=100o,

∠B=60o,那么∠BAC等于………………………………………………………（ ）

A. 60o B. 40o C. 20o D. 100o

解析：由已知條件可先求出∠BEF=20o. ∵EF∥AD, ∴∠BAD=∠BEF=20o.再依照AD是角平分線,那么∠BAC=2∠BAD=40o.

答案：B

5. 設a、b、c為平面內三條不同的直線，若是a∥b，c⊥a，那么b與c的關系是 .

解析：依照題意畫出圖形,依照“兩直線平行,同位角相等”,可得b與c的關系.

答案：b⊥c

6.如圖13，直線AB∥CD，EF⊥CD于F，若是∠GEF=20o，那么∠1的度數是 .

解析：∵AB∥CD, ∴∠1=∠EGD=90o-20o=70o.

答案：70o

7.如圖14，已知AB∥CD，直線MN別離交AB、CD于E、F，∠MFD＝50o，EG平分∠MFD，那么∠MEG的大小是__ _度.

解析：∵AB∥CD, ∴∠MEB=∠MFD.再由EG平分∠MFD，可求∠MEG的大小.

答案：25o.

8. 如圖15，已知∠C＝∠BED，∠A＝90o，DE能垂直于AB嗎？什么緣故？

分析：∵∠A＝90o,故要說明DE垂直于AB,只需說明DE∥AC即可,這可由∠C＝∠BED取得.

解：DE垂直于AB

∵∠C＝∠BED，∴DE∥AC(同位角相等,兩直線平行)

∴∠EDB=∠A＝90o (兩直線平行,同位角相等)，∴DE⊥AB(垂直的意義).

9. 如圖16，已知AB∥CD，直線EF別離截AB、CD于點M、N，MG、NH別離是∠EMB與∠END的平分線. 試說明MG∥NH.

解：∵AB∥CD, ∴∠EMB=∠END.

∵MG、NH別離是∠EMB與∠END的平分線,

∴∠EMG=圖15

圖14

11∠EMB, ∠ENH=∠END,

22圖16

∴∠EMG=∠ENH, ∴MG∥NH.

能力提升

10．如圖17，AD⊥BC于點D，DE∥AB，那么∠CDE與∠BAD的關系是……………（ ）

A. 相等 B. 互余 C. 互補 D. 不能確信

解析：∵AB∥DE, ∴∠CDE=∠B. ∵AD⊥BC于點D, ∴∠B與∠BAD互余,那么∠CDE與∠BAD互余.

答案：B

11.若是兩個角的一邊在同一直線上，另一邊相互平行，那么這兩個角只能………（ ）

A. 相等 B．互補 C．互余 D．相等或互補

答案：D.

A

C

E

G

1

B

D

圖19

圖17

圖18

12.學習了平行線后，小敏想出了過己知直線外一點畫這條直線的平行線的新方式，她是通過折一張半透明的紙取得的（如圖(1)～(4) ）：

從圖中可知，小敏畫平行線的依據有①兩直線平行，同位角相等；②兩直線平行，內錯角相等；③同位角相等，兩直線平行；④內錯角相等，兩直線平行．……………………………（ ）

A．①② B．②③ C．③④ D．①④

答案：C

13.如圖18，AB答案：40

14.如圖19，AB∥DE，BC∥EF，∠B=62o，求∠E的度數 .

解：∵AB∥DE, ∴∠1=∠B=62o. ∵BC∥EF, ∴∠E=∠1=62o.

15.如圖20，兩平面鏡α、β的夾角為θ，入射光線AO平行于β入射到鏡面上，經兩次反射后的出射光線O'B平行于α，求角θ的度數．

解：∵AO∥β, ∴∠1=θ. ∵∠1=∠2, ∴∠2=θ.

∵O/B∥α, ∴∠3=θ. ∵∠3=∠4, ∴∠4=θ.

∵∠3+∠4+θ=180o, ∴θ=60o.

創新應用

16.如下圖,已知直線MN的同側有三個點A,B,C,且AB∥MN,BC∥MN,試說明A,?B,C三點在同一直線上.

解：如下圖,過B點任作直線PQ交MN于Q,

∵AB∥MN, ∴∠PBA=∠MQP,?

又∵BC∥MN, ∴∠PBC=∠PQN,

又∵∠PQM+∠PQN=180o, ∴∠ABC=180o,

∴A,B,C三點在同一直線上.

AMBCNPAMQBCN 平行線的性質(2)

【要點預習】

1.平行線的性質2：

兩條平行線被第三條直線所截, 相等.簡單地說,兩直線平行,

相等.

2. 平行線的性質3：

兩條平行線被第三條直線所截, 互補.簡單地說,兩直線平行,

互補.

【課前熱身】

1. 如圖1,∵AD∥BC, ∴∠1＝∠B.（ ）

答案：兩直線平行, 同位角相等

2.如圖1,∵AB∥CD, ∴∠3＝∠5.（ ）

答案：兩直線平行, 內錯角相等

3.如圖1,∵BE∥CD, ∴∠1＝∠D.（ ）

答案：兩直線平行, 內錯角相等

4.如圖1,∵AB∥CD, ∴∠B＋∠BCD＝180o.（ ）

答案：兩直線平行, 同旁內角互補

圖1

【講練互動】

【例1】如圖2，Rt△ABC中，?ACB?90°，DE過點C且平行于AB，假設?BCE?35°，那么?A的度數為………（ ）

ADC圖2

BE

A．35° B．45° C．55° D．65°

【解析】∵∠ACB=90o, ∠BCE=35o, ∴∠ACD=55o. 又∵AB∥DE, ∴∠A=∠ACD=55o.

【答案】C

【變式訓練】

1.如圖3，AB∥CD，∠A=40°，∠D=45°，那么∠1=______．

【答案】85o

【例2】如圖4，D、E、F別離是BC、CA、AB上的點，DE∥BA，DF∥CA. 說明∠FDE=∠A成立的理由.

【解】∵DE∥BA, ∴∠FDE=∠BFD.

又∵DF∥CA, ∴∠BFD=∠A. ∴∠FDE=∠A.

【變式訓練】

2.如圖5,AB∥CD,AD平分∠BAC.那么∠CAD=∠CDA.請說明理由.

【解】∵AB∥CD, ∴∠BAD=∠CDA.

圖5

圖4

圖3

∵AD平分∠BAC, ∴∠CAD=∠BAD. ∴∠CAD=∠CDA.

【例3】如圖6，已知AB∥CD，∠ABE=135o，∠EDC=30o，求∠BED的度數.

【解】延長BE, 交CD于F.

∵AB∥CD, ∴∠ABE+∠BFD=180o.

∵∠ABE=135o, ∴∠BFD=45o.

∴∠BED=∠BFD+∠EDC=45o+30o=75o.

【變式訓練】

3. 如圖7所示,AB∥CD,那么∠A+∠E+∠F+∠C等于………………（ ）

° ° ° °

【答案】C

圖6

AEFC圖7

BD【同步測控】

基礎自測

1.一條公路兩次轉彎后又回到原先的方向(即AB∥CD，如圖8)，若是第一次轉彎時的∠B＝

140o，那么∠C應是……………………………………（ ）

A. 140° B. 40° C. 100° D. 180°

C

A

140°

D

ABA

E

B

圖8

F

圖9

2.如圖9，AB∥CD，直線EF別離交AB、CD于E、F兩點，假設∠FEB＝110°，那么∠EFD等于………………………………………………………………………………（ ）

A．50° B．60° C．70° D．110°

3.如圖10，已知AB∥CD，∠C=35o，BC平分∠ABE，那么∠ABE的度數是………（ ）

A. 17.5° B. 35° C. 70° D. 105°

4.將一副直角三角尺如圖11放置，已知AE∥BC，那么∠AFD的度數是…（ ）

A. 45o B. 50o C. 60o D. 57o

C圖10

E圖2B

D圖11

D

C

5.如圖12，AB∥CD，∠B?58，∠E?20，那么∠D的度數為 ．

E

A

C

E

B

C

圖13

DC

A

F

圖12

D

B

D

AB圖14

6.如圖13所示，AB∥CD，∠ABE?110，那么∠ECD? ．

7.如圖14，一個合格的彎形管道，經兩次拐彎后維持平行（即AB∥DC）. 若是∠C=60o，那么∠B的度數是 .

8.如圖15，已知,∠1=82o，∠2= 98o，∠3=80o. 求∠4的度數.

9. 如圖16，已知AB∥CD，直線EF別離交AB，CD于點E，F, EG5

圖15

圖16

平分∠AEF，∠1=40o，求∠2的度數．

10. 如圖17，EF∥AD，∠1 =∠2，∠BAC = 70o. 將求∠AGD的進程填寫完整.

解：∵EF∥AD（ ）

∴∠2 = （ ）

又∵ ∠1 = ∠2（ ）, ∴ ∠1 = ∠3.

∴AB∥ （ ）

∴∠BAC + = 180o.

又∵∠BAC = 70o, ∴∠AGD = .

能力提升

11如圖18，是賽車跑道的一段示用意，其中AB∥DE，測得∠B＝140o，∠D＝120o，那么∠C的度數為…………………………………………………………………（ ）

A. 120° B. 100° C. 140° D. 90°

B

C

E

圖18

D

圖19 圖20

圖17

A

E

D

A

B

G 1

F

C

D?

C?

圖21

12.如圖19，DH∥EG∥BC,且DC∥EF,那么圖中與∠BFE相等的角(不包括∠BFE)的個數是……………………………………………………………………………………………（ ）

A．2 B．4 C．5 D．6

13.如圖20，AB∥CD，∠E＝27o，∠C＝52o，那么∠EAB的度數為………（ ）

A．25° B．63° C．79° D．101°

14.如圖21，把一張長方形紙條ABCD沿EF折疊，假設?1?58，那么?AEG? ．

15.一幅三角板按圖22所示疊放在一路，假設固定△AOB，將△ACD繞著公共極點A，按順時針方向旋轉α度（0<α<180），當△ACD的一邊與△AOB的某一邊平行時，相應的旋轉角α的值是

圖22

___________.

16. 已知：如圖23， AB∥CD，直線EF別離交AB、CD于點E、F，∠BEF的平分線與∠DEF的平分線相交于點P．試說明∠P=

90的理由.

17. 咱們在七下中學習了三角形的內角和等于180o，那時，咱們是通過拼圖的方式取得的. 此刻你可否利用平行線的性質來得出“三角形的內角和等于180o”. (提示：過點A作EF∥BC)

圖24

圖23

創新應用

18. 如以下圖所示, 已知AB∥CD, 別離探討以下四個圖形中∠P與∠A, ∠C的關系,?請你從所得的四個關系中任選一個加以說明.

P

ABAPBACPBDACPBDCDCD (1) (2) (3) (4)

參考答案

基礎自測

1.一條公路兩次轉彎后又回到原先的方向(即AB∥CD，如圖8)，若是第一次轉彎時的∠B＝140o，那么∠C應是……………………………………（ ）

A. 140° B. 40° C. 100° D. 180°

解析：依照”兩直線平行,內錯角相等”,可知∠C=∠B＝140°.

答案：A

C

A

140°

ABA

E

D

F

圖11

B

圖8

圖9

C圖10

E圖2B

DD

C

2.如圖9，AB∥CD，直線EF別離交AB、CD于E、F兩點，假設∠FEB＝110°，那么∠EFD等于………………………………………………………………………………（ ）

A．50° B．60° C．70° D．110°

解析：依照“兩直線平行, 同旁內角互補”可知∠FEB+∠EFD=180o, 那么∠EFD=70o.

答案：C

3.如圖10，已知AB∥CD，∠C=35o，BC平分∠ABE，那么∠ABE的度數是………………………………………………………………………………………………（ ）

A. 17.5° B. 35° C. 70° D. 105°

解析：由AB∥CD，可得∠ABC=∠C=35o，而BC平分∠ABE，故∠ABE=2∠ABC=70o.

答案：C

4.將一副直角三角尺如圖11放置，已知AE∥BC，那么∠AFD的度數是…（ ）

A. 45o B. 50o C. 60o D. 57o

解析：∵∠AFD=∠C+∠CDE,由AE∥BC可知∠CDE=∠AED=45o,∴+45o=57o.

∠AFD=30o答案：D

5.如圖12，AB∥CD，∠B?58，∠E?20，那么∠D的度數為 ．

解析：∵∠CFD=∠D+∠E,而由AB∥CD可知∠CFD=∠B?58,∴∠D=58o-20o=38o.

答案：38oE

A

B

C

圖13

DC

E

C

A

F

圖12

D

D

B

AB圖14

6.如圖13所示，AB∥CD，∠ABE?110，那么∠ECD? ．

解析：由AB∥CD可知∠ECD?∠ABC=180?∠ABE,可求得正確答案.

答案：70o

7.如圖14，一個合格的彎形管道，經兩次拐彎后維持平行（即AB∥DC）.

若是∠C=60o，那么∠B的度數是 .

答案：120°

圖15

5

8.如圖15，已知,∠1=82o，∠2= 98o，∠3=80o. 求∠4的度數.

解：∵∠1=82 o, ∴∠5=98 o. 又∵∠2=98 o, ∴∠2=∠5.

∴a∥b, ∴∠4=∠3=80o.

9. 如圖16，已知AB∥CD，直線EF別離交AB，CD于點E，F, EG平分∠AEF，∠1=40o，求∠2的度數．

圖16

解：∵AB∥CD, ∴∠AEG=∠1=40 o.

∵EG平分∠AEF, ∴∠FEG=40 o, ∴∠EFD=∠1+∠FEG=80 o.

∵AB∥CD, ∴∠2+∠EFD=180 o, ∴∠2=180 o-∠EFD =100 o.

10. 如圖17，EF∥AD，∠1 =∠2，∠BAC = 70o. 將求∠AGD的進程填寫完整.

解：∵EF∥AD（ ）

∴∠2 = （ ）

又∵ ∠1 = ∠2（ ）, ∴ ∠1 = ∠3.

∴AB∥ （ ）

∴∠BAC + = 180o.

又∵∠BAC = 70o, ∴∠AGD = .

答案：已知 ∠3 兩直線平行, 同位角相等 已知 DG ∠AGD 110 o

能力提升

11如圖18，是賽車跑道的一段示用意，其中AB∥DE，測得∠B＝140o，∠D＝120o，那么∠C的度數為…………………………………………………………………（ ）

A. 120° B. 100° C. 140° D. 90°

解析：連結BD, 依照“兩直線平行, 同旁內角互補”與“三角形內角和是180o”,可得∠ABC+∠C+∠CDE=∠ABD+∠BDE+∠DBC+∠C+∠BDC=180o+180o=360o, 那么∠C=360o-140o-120o=100o.

答案：B

B

C

E

圖18

D

圖19 圖20

圖17

A

E

D

A

B

G 1

F

C

D?

C?

圖21

12.如圖19，DH∥EG∥BC,且DC∥EF,那么圖中與∠BFE相等的角(不包括∠BFE)的個數是……………………………………………………………………………………………（ ）

A．2 B．4 C．5 D．6

解析：由DH∥EG∥BC, 且DC∥EF, 可知與∠BFE相等的角有∠BCD,∠FEG,∠CAG,∠EAD,與∠CDH共五個.

答案：C

13.如圖20，AB∥CD，∠E＝27o，∠C＝52o，那么∠EAB的度數為………（ ）

A．25° B．63° C．79° D．101°

解析：延長EA交CD于F, 那么∠EFD=∠C+∠E=79 o, 再由AB∥CD即可求得∠EAB的度數.

答案：C

14.如圖21，把一張長方形紙條ABCD沿EF折疊，假設?1?58，那么?AEG? ．

答案：64o

15.一幅三角板按圖22所示疊放在一路，假設固定△AOB，將△ACD繞著公共極點A，按順時針方向旋轉α度（0<α<180），當△ACD的一邊與△AOB的某一邊平行時，相應的旋轉角α的值是___________.

圖22

解析：當CD∥AB時, α=30 o；當AC∥OB時, α=45 o；當CD∥OA時, α=75 o；當AD∥OB時, α=135 o；當CD∥OB時, α=165 o.

答案：30或45或75或135或165

16. 已知：如圖23， AB∥CD，直線EF別離交AB、CD于點E、F，∠BEF的平分線與∠DEF的平分線相交于點P．試說明∠P=

90的理由.

解：∵AB∥CD，∴∠BEF+∠DFE=180o.

又∵∠BEF的平分線與∠DFE的平分線相交于點P，

圖23

11∠BEF，∠PFE=∠DEF.

221∴∠PEF+∠PFE=(∠BEF+∠DFE)=90o.

2∴∠PEF=∵∠PEF+∠PFE+∠P=180o, ∴∠P=90o.

17. 咱們在七下中學習了三角形的內角和等于180o，那時，咱們是通過拼圖的方式取得的. 此刻你可否利用平行線的性質來得出“三角形的內角和等于180o”. (提示：過點A作EF∥BC)

解：過點A作EF∥BC, 那么∠EAB=∠B, ∠FAC=∠C.

∵∠EAB+∠BAC+∠FAC=180 o, ∴∠BAC+∠B+∠C=180 o.

圖24

創新應用

18. 如以下圖所示, 已知AB∥CD, 別離探討以下四個圖形中∠P與∠A, ∠C的關系,?請你從所得的四個關系中任選一個加以說明.

P

ABAPBACPBDACPBDCDCD (1) (2) (3) (4)

解：(1)∠P=360 o-∠A-∠C；

(2) ∠P=∠A+∠C；

(3) ∠P=∠C-∠A；

(4) ∠P=∠A-∠C.

平行線之間的距離

【要點預習】

1.兩條平行線之間的距離的概念：

兩條平行線中,一條直線上的點到另一條直線的 叫做兩條平行線之間的距離.

2.平行線之間的距離的性質：

兩條平行線中,一條直線上的點到另一條直線的距離 .

【課前熱身】

1.如圖1，點A與點B之間的距離是 的長度.

答案：線段AB

2.如圖2, 已知直線l和點P，請量出點P到直線l的距離是 .(精準到0.1cm).

圖1

圖2

圖3

圖4

3. 如圖3，a∥b，A，B是直線a上的兩點，AC⊥b，BD⊥b，垂足別離為C，D. 若是AC=2cm，那么BD=_______cm.

答案：2

4．如圖4,請在圖中畫出表示直線m與直線n之間的距離的線段.

【講練互動】

【例1】如圖5,直線AB與CD不平行,點P在AB上,PQ⊥CD于Q.以下說法正確嗎?正確的在括號內打”T”,錯誤的打”F”.

(1)線段PQ的長度是直線AB,CD之間的距離………………………（ ）

(2)線段PQ的長度是點P到直線CD的距離…………………………（ ）

(3)線段PQ的長度是點Q到直線AB的距離…………………………（ ）

(4)線段PQ的長度是點P與點Q之間的距離………………………（ ）

【解析】關于(1), 由于AB與CD不平行, 故這兩條直線間的距離不能確信；關于(3), 由于QP不垂直于AB, 故不正確；關于(2), (4)均正確.

【答案】F T F T

【變式訓練】

1.如圖6, 直線l∥m,A,B別離在直線l,m上的點. 那么直線l,m之間的距離……………………………………………（ ）

A.大于AB的長度 B.等于AB的長度

C.小于AB的長度 D.無法確信

【答案】D

AlmB圖7

圖6

圖5

【例2】如圖7,已知直線l∥m,測量直線l與m之間的距離,并說明你的測量方式.

【解】在直線l任取一點A, 作AB⊥m于B, 那么線段AB的長度確實是直線l與直線m間的距離.

【變式訓練】

2.如圖，AB∥CD，AD∥BC，請過點B作AD與BC之間的垂線段，并量出AD與BC之間的距離.

圖8

【例3】如圖9,直線l1∥l2,點A在l1上,點B,C在l2上,BC=5cm,ΔABC的面積為20cm2.求l1與l2間的距離.

【解】設l1與l2間的距離為h, 那么S△ABC=∴20=1BC·h.

2圖9

1×5×h, ∴h=8cm.

2【變式訓練】

3.如圖10,已知AB∥CD, AC與BD交于點O.試說明S△OAD=S△OBC的理由.

【解】∵AB∥CD, ∴△DAB與△CAB在AB邊上的高相等.

∴S△DAB=S△CAB, ∴S△DAB-S△OAB=S△CAB S△OAB,

∴S△OAD=S△OBC.

圖10

【同步測控】

基礎自測

1. 過線段AB的中點,畫直線m⊥AB,假設AB=2cm,那么點A到直線m的距離是………（ ）

A. 1 cm B. 2cm C. 3cm D. 不能確信

2. 如圖11,在面積6cm2為長方形ABCD中,AD=2cm,那么AD與BC之間的距離為…（ ）

A. 2cm B. 3cm C. 6cm D.以上都不對

3.在同一平面內,與已知直線的距離等于3cm的直線有………………………………（ ）

A. 一條 B. 兩條 C. 無數條 D. 條數不能確信

4.將一條線段沿某一方向平移, 記平移的距離為m, 線段和它的像與在的兩條直線之間的距離為n, 那么………………………………………………………………………………（ ）

A. m=n B. m>n C. m

5.已知直線m∥n,且A,B是直線m上的不同的兩點.假設點A到直線n的距離為2cm,那么點B到直線n的距離為 cm.

6.如圖12,□ABCD中, ∠A=45o, 那么AB與CD之間的距離 AD.(填”>”,”=”或”<”)

圖11

圖12

圖13

7.如圖13, 已知直線m∥n, 點A, B在直線n上, 點C, D在直線m上, 假設S△ABD=4cm2,那么S△ABC= .

8.已知直線m∥n,且m,n之間的距離為4.假設以直線n為對稱軸作直線m的軸對稱圖形,取得直線p,那么直線m與直線p的位置關系為 ,它們之間的距離為 .

9.如圖14，已知作出一條，不要

圖15

直線l，求作一條直線m，使l與m的距離為2cm(只需l求寫出作法).

10.如圖15, 已知梯形ABCD,它的面積為36cm2,AB=2CD=8cm. 求直線AB與CD之間的距離.

能力提升

11. 如圖16, 甲船從北岸碼頭A向南行駛, 航速為36千米/時. 乙船從南岸碼頭B向北行駛,

航速為27千米/時.兩船均從7:00動身, 江寬為千米. 那么兩船距離最近的時刻是…………………………………………（ ）

A. 7:20 B. 7:19 C. 7:18 D. 7:17

圖16

圖17

圖18

12.如圖17, 在△ABC中, ∠ACB=90o. 把ΔABC沿BC方向平移,取得ΔDEF. 設AB與DE之間的距離為m, AC與DF之間的距離為n, 那么……………………（ ）

=n >n

13.已知ΔABC的面積為15cm2,AC=5cm,直線DE通過點B且平行于AC,那么DE與AC之

間的距離為 cm.

14.已知∠A與∠B的兩邊別離平行, 且∠A=35o,那么∠B= 度.

15.如圖18,已知□ABCD的周長為25cm，對邊的距離別離為DE＝2cm和DF＝3cm，求那個平行四邊形的面積.

16.如圖19,在ΔABC中, ∠B=∠C,過AB邊上作一點D作DE∥BC交AC于點⊥BC,DN⊥BC.

(1) 說明DM∥EN的理由；(2) 說明BM=CN的理由.

創新應用

圖19

17.如圖20,直線AB∥CD∥EF, AP與EP別離平分∠BAC與∠FEC.那么AB與CD之間的距離和EF與CD的之間距離相等嗎?請說明理由.

圖20

參考答案

基礎自測

1. 過線段AB的中點,畫直線m⊥AB,假設AB=2cm,那么點A到直線m的距離是………（ ）

A. 1 cm B. 2cm C. 3cm D. 不能確信

答案：A

2. 如圖11,在面積6cm2為長方形ABCD中,AD=2cm,那么AD與BC之間的距離為…（ ）

A. 2cm B. 3cm C. 6cm D.以上都不對

答案：B

3.在同一平面內,與已知直線的距離等于3cm的直線有………………………………（ ）

圖11

圖12

圖13

A. 一條 B. 兩條 C. 無數條 D. 條數不能確信

答案：B

4.將一條線段沿某一方向平移, 記平移的距離為m, 線段和它的像與在的兩條直線之間的距離為n, 那么………………………………………………………………………………（ ）

A. m=n B. m>n C. m

答案：D

5.已知直線m∥n,且A,B是直線m上的不同的兩點.假設點A到直線n的距離為2cm,那么點B到直線n的距離為 cm.

答案：2

6.如圖12,□ABCD中, ∠A=45o, 那么AB與CD之間的距離 AD.(填”>”,”=”或”<”)

答案：<

7.如圖13, 已知直線m∥n, 點A, B在直線n上, 點C, D在直線m上, 假設S△ABD=4cm2,那么S△ABC= .

答案：4cm2

8.已知直線m∥n,且m,n之間的距離為4.假設以直線n為對稱軸作直線m的軸對稱圖形,取得直線p,那么直線m與直線p的位置關系為 ,它們之間的距離為 .

答案：平行 8

9.如圖14，已知直線l，求作一條直線m，使l與m的距離為2cm(只需作出一條，不要求寫出作法).

解：如圖.

10.如圖15, 已知梯形ABCD,它的面積為36cm2,AB=2CD=8cm. 求直線AB與CD之間的距離.

解：設AB與CD間的距離為h, 那么

圖15

圖14

mlm/A

S梯形ABCD=能力提升

11(CD+AB)·h, ∴36=(4+8)h, ∴h=6cm.

2211. 如圖16, 甲船從北岸碼頭A向南行駛, 航速為36千米/時. 乙船從南岸碼頭B向北行駛, 航速為27千米/時.兩船均從7:00動身, 江寬為千米. 那么兩船距離最近的時刻是…………………………………………（ ）

A. 7:20 B. 7:19 C. 7:18 D. 7:17

答案：C

12.如圖17, 在△ABC中, ∠ACB=90o. 把ΔABC沿BC方向平移,取得ΔDEF. 設AB與DE之間的距離為m, AC與DF之間的距離為n, 那么…………………………………………………………………（ ）

=n >n

答案：C

13.已知ΔABC的面積為15cm2,AC=5cm,直線DE通過點B且平行于AC,那么DE與AC之間的距離為 cm.

答案：

14.已知∠A與∠B的兩邊別離平行, 且∠A=35o,那么∠B= 度.

答案：35或145

15.如圖18,已知□ABCD的周長為25cm，對邊的距離別離為DE＝2cm和DF＝3cm，求那個平行四邊形的面積.

解：設□ABCD的面積為S, 那么AB=?SS?∴2????25, 解得S=15.

?23?圖17

圖16

SSSS?, BC=?,

DE2DF3圖18

16.如圖19,在ΔABC中, ∠B=∠C,過AB邊上作一點D作DE∥BC交AC于點⊥BC,DN⊥BC.

(1) 說明DM∥EN的理由；

(2) 說明BM=CN的理由.

解：(1) ∵DM⊥BC, EN⊥BC, ∴DM∥EN.

(2) ∵DE∥BC, 且DM⊥BC, EN⊥BC,

∴DM=EN, ∠DME=∠ENC=90 o.

又∵∠B=∠C, ∴△DBM≌△ECN, ∴BM=CN.

圖19