解三角形(面積問題(含定值,最值,范圍問題))(典型例題+題型歸類練)(解析

2024年1月4日發(作者：20年后的世界)

專題07 解三角形（面積問題（含定值，最值，范圍問題））

(典型例題+題型歸類練)

一、必備秘籍

基本公式1、正弦定理及其變形

abc???2RsinAsinBsinC(R為三角形外接圓半徑）

（）1a?2RsinA,b?2RsinB,c?2RsinC(邊化角公式）

（2）sinA?abc(角化邊公式）,sinB?,sinC?

2R2R2R（3）a:b:c?sinA:sinB:sinC

基本公式2、余弦定理及其推論

b2?c2?a2cosA?2bca2?b2?c2?2bccosA222a?c?b

b2?a2?c2?2accosB

?

cosB?2ac222c?a?b?2abcosCa2?b2?c2cosC?2ab基本公式3、常用的三角形面積公式

（1）S?ABC?（2）S?ABC?1?底?高；

2111absinC?bcsinA?casinB（兩邊夾一角）；

222核心秘籍1、基本不等式

①ab?a?b

2②a2?b2?2ab

核心秘籍2：利用正弦定理化角（如求三角形面積取值范圍，優先考慮化角求范圍）

利用正弦定理a?2RsinA，b?2RsinB，代入面積公式，化角，再結合輔助角公式，根據角的取值范圍，求面積的取值范圍.

二、典型例題

角度1：求三角形面積（定值問題）

例題1．（2022·陜西省安康中學高二期末（理））在ABC中，2b?3ccosA?3acosC．

(1)求?A的大小；

(2)若c?3b，a?2．求ABC的面積．

【答案】(1)?A?

所以.

根據余弦定理：，且；即，解得，所以

解答過程：

第（2）問思路點撥：由（1）知，且，可利用余弦定理結合，求出

??利用面積公式求解

?6(2)3

(1)解：因為2b?3ccosA?3acosC，由正弦定理可得2sinBcosA?3sinCcosA?3sinAcosC，

即2sinBcosA?3?sinAcosC?cosAsinC??3sin?A?C??3sinB，

又在ABC中，sinB?0，所以cosA????3，A??0,??，所以A?；

62b2?3b2?43b2?c2?a2(2)解：由余弦定理得cosA??，即，

22bc2b?3b解得b?2，所以c?23，又sinA?1，

2111所以S?bcsinA??2?23??3；.

222

角度2：求三角形面積（最值問題，優先推薦基本不等式）

例題2．（2022·青?！ず|市第一中學模擬預測（文））在ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c，1a2?b2?bc?accosB．

2(1)求角A；

(2)若bsin A?3sinB，求ABC面積的最大值．

第（2）問思路點撥：由（1）知

【答案】(1)A?(2)22，且本不等式

，要求面積的最大值，可優先考慮基解答過程：

由，因為

利用余弦定理+基本不等式求解

，（當且僅當時等號成立）

則則

，（當且僅當時等號成立）

π333

41a2?c2?b21b2?c2?a2122222?，(1)由a?b?bc?accosB，

?bc，可得a?b?ac?得b?c?a?bc，則cosA?2bc222ac2由于0?A?π，所以A?．

(2)由bsinA?3sinB，可得asinB?3sinB，又sinB?0，則a?3，

則a2?b2?c2?2bccosA?b2?c2?bc?2bc?bc，（當且僅當b?c時等號成立），則bc?3，（當且僅當b?c?3時等號成立），則S△ABC?π31133333，即ABC面積的最大值為．

bcsinA??3??22244

角度3：求三角形面積（范圍問題，優先推薦正弦定理化角）

例題3．（2022·黑龍江·哈師大附中高一期中）在銳角ABC中，內角A,B,C的對邊分別為a,b,c，向量1m?(a,c)，n?(acosA,b?a)，滿足m//n.

2(1)求角C的值；(2)若c?3，求ABC的面積的取值范圍．

第（2）問思路點撥：由（1）知，

銳角，

求角的取值范圍

先拆后合

化角合一（將兩個角化成一個角）

解答過程：

且，要求的面積的取值范圍，涉及到三角形面積取值范圍問題，優先推薦正弦定理化角求解

【答案】(1)C???333?,(2)??

?243??11(1)m//n，?a(b?a)?cacosA，a?0,?b?a?ccosA，

2211由正弦定理得sinCcosA?sinB?sinA?sin(A?C)?sinA，

2211可得sinCcosA?sinAcosC?cosAsinC?sinA，即sinAcosC?sinA，

22由sinA?0，可得cosC?(2)因為c?3，C?1?，由C??0,??，可得C?．

232?2?,B??A，

33?3，A?B?abc3????2由正弦定理得sinAsinBsinC，

?sin3?a?2sinA，b?2sinB，

?S?ABC1??absin

2332?ab?3sinA?sinB?3[sinA?sin(?A)]

4331332cosA?sinA)]?sinAcosA?sinA

2222?3[sinA(3333?3，

?sin2A?cos2A??sin(2A?)?444264銳角ABC，?0?A??26,0??2?????A?,??A?，

3262???3?2A??,??6?2A??5?1?,??sin(2A?)?1，

62633?3，

?sin(2A?)?4262?S?333???ABC?2,4?.

??

例題4．（2022·浙江·瑞安市瑞祥高級中學高一階段練習）ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c，A?C??已知m??a,b?,n??sinA,sin?，且m//n.

2??(1)求B；

(2)若ABC為銳角三角形，且a?23，求ABC的面積的取值范圍.

所以

，即.

因為在單調遞增，所以，

由為銳角三角形，且，則，解得

求角的取值范圍

代入面積公式，其中，

統一角：代入化簡

由（1）知，，結合正弦定理：，

積取值范圍問題，優先推薦正弦定理化角求解

第（2）問思路點撥：由（1）知，且，要求的面積的取值范圍，涉及到三角形面解答過程：

【答案】(1)B???33?,63(2)???2?

3??A?C??(1)解：由題意，向量m??a,b?,n??sinA,sin?，

2??因為m//n，可得asinA?C?bsinA，

2A?C?sinBsinA，

2A?C?sinB，

2又由正弦定理得sinAsin因為A?(0,?)，所以sinA?0，所以sin即sinB?sin可得cos??B2?cosBBBB，所以2sincos?cos，

2222B?B?BB12sin?1?0cos?0sin?，

，所以或??2?2?222又因為B??0,??，所以B??3.

23bcabc????(2)解：由（1）結合正弦定理，可得sinA?sinC，

sinsinAsinBsinC3所以c?所以S23sinC23sin?A?B?3sinA?3cosA，

??sinAsinAsinAABC?133sinA?3cosA9133，

acsinB???22sinA2tanA2??0?A??????2又由ABC為銳角三角形，且B?，則?，解得?A?，

362?0?2??A???32?????3因為y?tanx在x??,?單調遞增，所以tanA?，

?62?333所以?S2?63，即SABC?33??,63??ABC?2?

??三、題型歸類練

1．（2022·全國·模擬預測）在ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，tanB?(1)求角B；

(2)若a?3，b?7，D為AC邊的中點，求△BCD的面積．

【答案】(1)B?2?153(2)

38cosC?2cosA，a?b．

sinC

(1)由tanB?cosC?2cosA，有tanBsinC?cosC?2cosA，兩邊同乘cosB得sinCsinBsinC?cosBcosC?2cosAcosB，故cos?B?C??2cosAcosB，即?cosA?2cosAcosB．

1因為a?b，所以A為銳角，cosA?0，所以cosB??．

2又因為B??0,??，所以B?2?．

3a2?c2?b219?c2?491(2)在ABC中，由余弦定理cosB???，即??，故c2?3c?40?0，解得c?5或2ac26c2c??8舍）．

112?153故S△BCD?S△ABC???3?5?sin．

?22382．（2022·湖南·長沙一中高一階段練習）在△ABC中，AB?1,AC?2，B?C?(1)求tanC的值；

(2)求△ABC的面積S.

【答案】(1)333(2)

5142?.

3(1)由正弦定理知sinBAC2???2，得sinB?2sinC，又B?C?，所以3sinCAB2??2sinC?sin?C?3?所以cosC?13???sinC?cosC，

?22?5sinC，從而tanC?3.

355?sinC，代入sin2C?cos2C?1得sinC?21,cosC?57，因為A???B?C??2C，

331414(2)由（1）知cosC?所以S?131???AB?AC?sinA?sin??2C??cos2C?sin2C22?3?2?33115333cos2C?sin2C?sinCcosC????.

22142814??3．（2022·北京市第三十五中學高一階段練習）在銳角ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c，已知a?3,b?2，2sinB?3sinA?5

2(1)求角A的大小；

(2)求ABC的面積.

【答案】(1)?3?3(2)

34

(1)解：由正弦定理ab2sinA32?，又a?3,b?2，所以，所以sinB?，

?sinAsinBsinAsinB3又2sinB?3sinA?又0?A?52sinA53?3sinA?，即sinA?，所以2?，

2223?2，所以A??3；

(2)解：由（1）可得sinB???2sinA2?，又0?B?，所以B?，

4223????所以sinC?sin?A?B??sin???

?34??sin??3cos?4?cos?3sin?4

2321????2222ABC6?2，

4所以S?116?23?3；

absinC??3?2??22444．（2022·甘肅·高臺縣第一中學高二階段練習（理））在ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且a?b?sinC?cosC?.

(1)求B；

(2)若b?1，求ABC面積的最大值.

π1?2

【答案】(1)(2)44(1)因為a?b?sinC?cosC?，由正弦定理得sinA?sin?B?C??sinBsinC?sinBcosC，整理得sinCcosB?sinBsinC，

因為sinC?0，所以sinB?cosB，即tanB?1，由B為三角形內角得B?π；

422222(2)由余弦定理得，b?a?c?2accosB?a?c?2ac?2?2ac，當且僅當a?c時取等號，解得??ac?2?2，

2ABC面積S?acsinB?1221?21?2.

，所以ABC面積的最大值ac?4445．（2022·遼寧·建平縣實驗中學高一階段練習）已知ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，2cosC?acosB?bcosA??c．

(1)求C；

(2)若c?7，求ABC面積的最大值．

【答案】(1)C?π73

；(2)34(1)由2cosC?acosB?bcosA??c，

可得2cosC?sinAcosB?sinBcosA??sinC

即2cosCsin?A?B??2cosCsinC?sinC，又sinC?0，則cosC?又0?C?π，則C?π

3π

31，

2(2)ABC中，c?7，C?則由余弦定理可得7?a2?b2?ab，即7?ab?a2?b2

則7?ab?2ab，（當且僅當a?b時等號成立）

解之得ab?7（當且僅當a?b?7時等號成立）

則SABC?1373（當且僅當a?b?c?7時等號成立），

absinC?ab?24473

4即ABC面積的最大值為B，C所對的邊分別為a，b，c，6．（2022·福建·三明一中模擬預測）已知ABC的內角A，且c?2b?2acosC．

(1)求角A；

(2)若M為BC的中點，AM?3，求ABC面積的最大值．

【答案】(1)A?(2)3

(1)解法一：因為c?2b?2acosC，

由正弦定理得：sinC?2sinB?2sinAcosC，

所以sinC?2sin(A?C)?2sinAcosC?2sinAcosC?2cosAsinC?2sinAcosC?2cosAsinC，

因為sinC?0，

所以2cosA?1,cosA?為0?A?π，

所以A?．

解法二：因為c?2b?2acosC，

π3π31，

2a2?b2?c2由余弦定理得：c?2b?2a?，

2ab整理得bc?b2?c2?a2，

即a2?b2?c2?bc，

又由余弦定理得a2?b2?c2?2bccosA

所以2cosA?1,cosA?因為0?A?π，

所以A?．

π31，

2(2)解法一：因為M為BC的中點，

1所以AM?(AB?AC)，

2所以AM?即3?2221AB?2AB?AC?AC，

4??1?2??2c?b?2bc?cos??，

4?3?即b2?c2?12?bc，

而b2?c2?2bc，

所以12?bc?2bc即bc?4，當且僅當b?c?2時等號成立

所以ABC的面積為S△ABC?113bcsinA??4??3．

222即ABC的面積的最大值為3．

解法二：設BM?MC?m，

在ABM中，由余弦定理得c2?3?m2?2?3?cos?AMB，①

在△ACM中，由余弦定理得b2?3?m2?2?3?cos?AMC，②

因為?AMB??AMC?π，所以cos?AMB?cos?AMC?0

所以①+②式得b2?c2?6?2m2．③

在ABC中，由余弦定理得4m2?b2?c2?2?bccosA，

而A?，所以4m2?b2?c2?bc，④

聯立③④得：2b2?2c2?12?b2?c2?bc，即b2?c2?12?bc，

而b2?c2?2bc，

所以12?bc?2bc，即bc?4，當且僅當b?c?2時等號成立．

所以ABC的面積為S△ABC?113bcsinA??4??3．

222π3即ABC的面積的最大值為3．

7．（2022·河北邯鄲·高一期中）已知銳角△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，csinAsinA?C?bsinCsin?B?C?.

2(1)求B；

(2)若a?2，求△ABC面積的取值范圍.

?3??,23【答案】(1)(2)???2?

3??(1)解：根據題意csinAsinA?C?bsinCsin?B?C?，

2A?C?sinBsinCsin?B?C?，

2由正弦定理得sinCsinAsin因為根據題意A?B?C??，所以B?C???A，所以sin?B?C??sinA，

故sinCsinAsin由0?A?A?C?sinBsinCsinA，

2?2，0?C??2，故sinA?0，sinC?0，

A?C?sinB.

2消去sinA，sinC，得sin0?B??2，0?A?C?A?C??，故?B，而根據題意A?B?C??，所以B?.

3222(2)解：因為ABC是銳角三角形，由（1）知B??2，A?B?C??得到A?C??，

33??0?A?????ac2?故?，解得?A?.又由正弦定理，a?2，

2??62sinAsinC?0??A??32?由三角形面積公式有：?2??3sin??A?11c1sinC?3?

?ac?sinB?a2?sinB?a2sinB?22a2sinAsinAS△ABCsin?32?2?cosA?cossinA2?12??33?3?sin?cossinA3tanA3?31

?????2tanA2又因?6?A??2，tanA?333133，故???23，故?S△ABC?23.

322tanA22故S?3?,23?ABC的取值范圍是??2?.

??8．（2022·黑龍江·哈爾濱三中高一階段練習）在ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，滿足π??bsinA?asin?B??

3??(1)設a?3，c?2，過B作BD垂直AC于點D，點E為線段BD的中點，求BE?EA的值；

(2)若ABC為銳角三角形，c?2，求ABC面積的取值范圍．

【答案】(1)?3?27,23；(2)???2?.

28??

π??(1)bsinA?asin?B??，由正弦定理得：

3??π?13?sinBsinA?sinAsin?B???sinAsinB?sinAcosB，

322??13所以sinAsinB?sinAcosB?0，

22因為A??0,π?，所以sinA?0，

13所以sinB?cosB?0，即tanB?3，

22因為B??0,π?，所以B?，

因為a?3，c?2，由余弦定理得：b2?a2?c2?2accosB?9?4?6?7，

因為b?0，所以b?7，

其中S△ABC?所以BD?11333，

acsinB??3?2??2222π32SABC33321??，

AC77321，

14因為點E為線段BD的中點，所以BE?由題意得：EA?ED?DA?BE?DA，

所以BE?EA?BE?BE?DA?BE?0?(2)由（1）知：B?，又c?2，

ac??由正弦定理得：sinAsinC2π3??227.

28π?

?sin?A??，3??所以a?2sinA2sinA4??π??，

sin?A??1sinA?3cosA1?33?2?2tanA??π?A??0,????2??ππ?因為ABC為銳角三角形，所以?，解得：A??,?，

?62??C?2π?A??0,π????3?2???3?33tanA?,??則???3?，tanA??0,3?，1?tanA??1,4?，

??故a?431?tanA??1,4?，

?3?13a??,23ABC面積為S?acsinB???2?

22???3?,23故ABC面積的取值范圍是???2?.

??9．（2022·四川綿陽·高一期中）在ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且(1)求角A的大?。?

(2)若ABC是銳角三角形，b?2，求ABC面積的取值范圍．

【答案】(1)A?(1)解：由即2tanBb?．

tanA?tanBc?3；(2)(3,23).

22sinBcosAsinB2tanBb?得?，

tanA?tanBcsinAcosB?cosAsinBsinC2cosA1?，

sin?A?B?sinC又sin(A?B)?sinC，所以cosA?因為0?A??，故A?(2)解：S?1

2?3.

ABC13bcsinA?c

，

22???2sin?B??bsinC3.

由正弦定理知：3??c???1?sinBsinBtanB??0?B???2,

因為ABC是銳角三角形，所以?2??0?C???B??32?所以?6?B??2，

于是tanB?3?S23，則1?c?4.

3故ABC?23.