最低投資比例約束下的證券組合模型及有效邊界解析式

2024年3月2日發(作者：母親作文500字)

２００９年６月　Ｊｕｎｅ，２００９　運籌學學報　０Ｒ　ＴＲＡＮＳＡＣＴＩＯＮＳ　第１３卷第２期　Ｖ－０Ｉ．６　Ｎｏ．２　最低投資比例約束下的證券組合模型及有效邊界解析式　姚海祥　，ｚ李仲飛　摘要利用傳統的均值－方差模型研究了具有最低投資比例約束時的證券投資組合問　題，首先得到了模型的前沿邊界及有效邊界存在的充要條件及其本質特征，然后根據這些　結論給出了確定其前沿邊界及有效邊界解析表達式的具體方法和步驟．該方法是一種解析　分析法，計算量比較小且幾乎無誤差，可以準確且快速的確定最低投資比例約束下證券組　合有效邊界的解析式．最后作為結論的直接應用和說明，利用中國股票市場數據給出了一　個實例分析．　關鍵詞運籌學，有效邊界解析式，最低投資比例約束，有效指標集，二次凸規劃　學科分類號（ＧＢ／Ｔ　１３７４５－９２）１１０．７４　Ｐｏｒｔｆｏｌｉｏ　Ｍｏｄｅｌ　ａｎｄ　Ｉｔｓ　Ｅｘｐｌｉｃｉｔ　Ｅｘｐｒｅｓｓｉｏｎｓ　ｏｆ　Ｐｏｒｔｆｏｌｉｏ　Ｅｆｉｆｃｉｅｎｔ　Ｆｒｏｎｔｉｅｒ　ｗｉｔｈ　Ｍｉｎｉｍｕｍ　Ｉｎｖｅｓｔｍｅｎｔ　Ｐｒｏｐｏｒｔｉｏｎ　Ｃｏｎｓｔｒａｉｎｔ　Ｙａｏ　Ｈａｉｘｉａｎｇ　?。Ｌｉ　Ｚｈｏｎｇｆｅｉ　Ａｂｓｔｒａｃｔ　Ｔｈｉｓ　ｐａｐｅｒ　ｅｘｐｌｏｒｅｓ　ｔｈｅ　ｍｅａｎ．ｖａｒｉａｎｃｅ　ｍｏｄｅｌ　ｔｏ　ｓｔｕｄｙ　ｔｈｅ　ｐｏｒｔｆｏｌｉｏ　ｓｅｌｅｃ．　ｔｉｏｎ　ｐｒｏｂｌｅｍ　ｗｉｔｈ　ｍｉｎｉｍｕｍ　ｉｎｖｅｓｔｍｅｎｔ　ｐｒｏｐｏｒｔｉｏｎ　ｃｏｎｓｔｒａｉｎｔ．Ｆｉｒｓｔ　ｗｅ　ｏｂｔａｉｎ　ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ　ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ　ａｎｄ　ｆｅａｔｕｒｅｓ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｅｆｉｆｃｉｅｎｔ　ｆｒｏｎｔｉｅｒ　ａｎｄ　ｂｏｕｎｄａｒｙ　ｏｆ　ｍｅａｎ—ｖａｒｉａｎｃｅ　ｍｏｄｅｌ，ｔｈｅｎ　ｗｅ　ｐｒｏｐｏｓｅ　ａ　ｓｐｅｃｉｉｆｃ　ｓｏｌｕｔｉｏｎ　ｍｅｔｈｏｄ　ａｎｄ　ｐｒｏｃｅｄｕｒｅ　ｔｏ　ｏｂｔ￣ｎ　ｔｈｅ　ｅｘｐｌｉｃｉｔ　ｅｘｐｒｅｓｓｉｏｎ　ｏｆ　ｅｍｃｉｅｎｔ　ｆｒｏｎｔｉｅｒ　ａｎｄ　ｂｏｕｎｄａｒｙ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｍｏｄｅ１．Ｆｉｎａｌｌｙ．ａｓ　ａｎ　ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ　ａｎｄ　ａ　ｄｅｍｏｎｓｔｒａ－　ｔｉｏｎ　ｏｆ　ｏｕｒ　ｒｅｓｕｌｔｓ．ｗｅ　ｐｒｅｓｅｎｔ　ａ　ｎｕｍｅｒｉｃａｌ　ｅｘａｍｐｌｅ　ｕｓｉｎｇ　ｔｈｅ　ｒｅａｌ　ｄａｔａ　ｏｆ　Ｃｈｉｎｅｓｅ　ｓｔｏｃｋ　ｍａｒｋｅｔ．　Ｋｅｙｗｏｒｄｓ　Ｏｐｅｒａｔｉｏｎｓ　ｒｅｓｅａｒｃｈ，ｔｈｅ　ｅｘｐｒｅｓｓｉｏｎｓ　ｏｆ　ｅｍｃｉｅｎｔ　ｆｒｏｎｔｉｅｒ，ｍｉｎｉｍｕｍ　ｉｎ．　ｖｅｓｔｍｅｎｔ　ｐｒｏｐｏｒｔｉｏｎ　ｃｏｎｓｔｒａｉｎｔ，ｅｆｉｆｃｉｅｎｔ　ｉｎｄｅｘｅｄ　ｓｅｔ，ｃｏｎｖｅｘ　ｑｕａｄｒａｔｉｃ　ｐｒｏｇｒａｍｍｉｎｇ　．Ｓｕｂｊｅｃｔ　Ｃｌａｓｓｉｉｆｃａｔｉｏｎ（ＧＢ／Ｔ　１３７４５．９２）１１０．７４　１　引言　１９５２年Ｍａｒｋｏｗｉｔｚ提出的均值一方差模型【１１２】開創了利用定量分析的方法研究現　代資產組合投資理論，被譽為金融領域的一場革命．　Ｍａｒｋｏｗｉｔｚ資產組合理論是幫助　投資者如何有效的將資金按一定的比例投資在不同的證券中，使得總體上盡可能的風　收稿日期：２００７年１０月１２日．　國家杰出青年科學基金（７０８２５００２），　國家自然科學基金（７０５１８００１），廣東省自然科學基金　（８１５１０４２００１０００００５），廣東高等院校學科建設專項資金和廣東外語外貿大學校級科研團隊（ＧＷ２００６．ＴＢ一００２）　資助項目．　１．中山大學嶺南學院，廣州５１０２７５；Ｌｉｎｇｎａｎ　Ｃｏｌｌｅｇｅ，Ｓｕｎ　Ｙａｔ—ｓｅｎ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｇｕａｎｇｚｈｏｕ　５１０２７５，Ｃｈｉｎａ　２．廣東外語外貿大學信息科學與技術學院，廣州５１０００６；Ｓｃｈｏｏｌ　ｏｆ　Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ　Ｓｃｉｅｎｃｅ　ａｎｄ　Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，　Ｇｕａｎｇｚｈｏｕ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　ｏｆ　Ｆｏｒｅｉｇｎ　Ｓｔｕｄｉｅｓ，Ｇｕａｎｇｚｈｏｕ　５１０００６，Ｃｈｉｎａ　

１２０　姚海祥，李仲飛　１３卷　險小收益大．國內外很多學者在這基礎上，提出了各種各樣的帶約束條件的投資組合　問題，例如文［２－５］等研究了不允許賣空時的投資組合問題，文［６—７］研究了安全第一　準則約束下的投資組合問題，文［８］研究了帶機會約束下的投資組合問題．但現實證　券市場中，證券的交易數量通常是有限制的，例如：我國深滬證券市場股票正常交易　的最小數量是１００股，低于１００股的交易是不受理的（即有最低投資比例約束的）．而有　些國家證券雖然是允許賣空，但需要保證金作抵押，從而并不能無限量的賣空，即賣　空是有上界的（此時最低投資比例下界為負數）．以上的這些都可以歸結為具有最低投　資比例約束時的證券投資組合問題，事實上不允許賣空的投資組合問題也可看成是具　有最低投資比例約束時（此時最低投資比例下界為０）的一種特殊情形．所以研究具有　最低投資比例約束時的證券投資組合問題具有更一般性，且有著重要的現實意義、理　論和應用價值．目前這方面的研究很少，文［９】研究了限制投資下界時的證券組合問　題，在一定的條件下得到了求解有效投資比例系數的算法，但并沒有研究組合邊界和　有效邊界的性質特征及解析表達式的確定方法，而且需要特定的條件．　本文則取消所有條件的限制，利用傳統的均值一方差模型研究了具有最低投資比　例約束時的證券組合問題，首先得到了模型的前沿邊界及有效邊界存在的充要條件及　其本質特征，證明了此時ｎ種風險資產組合的前沿邊界及有效邊界是由有限段拋物線　相互平穩聯結而成的，并利用有效指標集的方法研究了這些拋物線段之間是如何過渡　和聯系的，然后根據這些結論，給出了確定模型前沿邊界及有效邊界解析表達式的有　效指標集法．該方法是一種精確的解析分析法，計算量比較小且幾乎沒有誤差，每次　能夠確定其中一段拋物線的解析表達式及對應投資組合的解析式，從而可以精確且快　速的確定模型的前沿邊界和有效邊界的解析式．有利于我們對前沿邊界及有效邊界的　整體認識，對基金公司經理和個體投資者也有著重要的應用價值和指導意義．最后作　為結論的直接應用和說明，利用中國股票市場數據給出了一個實例分析．　２　模型的建立與預備結論　設市場上有ｎ種風險資產，其指標集為Ｓ＝｛１，２，…，ｎ），收益率為∈　，∈２，…，　，　期望向量和協方差矩陣分別為　＝（，“ｌ，Ｕ　，…，ｕ　）１’和∑（和大多文獻一樣，本文假定可　逆），投資組合（比例向量）為Ｗ＝（Ｗ　，Ｗｚ，…，Ｗ　）１’，　為各分量為１的禮維向量．設　組合收益率為　，　的期望和標準差分別為Ｕ，　．　則具有最低投資比例約束的種風險資產的均值一方差模型可由給定組合期望收益　率為７２的最優化問題（Ｍ１）得到：　ｌ　ｍｉｎ盯２＝ＷＴ∑Ｗ　‘Ｍ１）１　ｓ　Ｔ　：　；　Ｔ　：１；　≥ｄｔ，　∈ｓ　其中ｄｉ（ｉ＝１，２，…，ｎ）為任意常數，為保證最優化問題（Ｍ１）的約束集為非空，本文　扎　假定∑ｄｉ＜１．令　ｉ＝１　

２期　最低投資比例約束下的證券組合模型及有效邊界解析式　１２１　ｍｉｎ　＝（ａｒｉｎｕｉ）（１一∑ｄ。）＋∑ｄｓｕ　，ｍａｘｕ＝（ｍａｘｕｉ）（１一∑ｄｓ）ｌ＋∑ｄｓｕ　，　ｓ＝１　ｓ￣－Ｉ　‘　ｓ＝１　ｓ＝１　，●●，　●●　顯然最優化問題（Ｍ１）最優解存在的充要條件是：ｍｉｎ¨≤Ｕ≤ｍａｘｕ，從而［ｍｉｎＵ，ｍａｘｕ］　即為前沿邊界的定義域，有效邊界則為前沿邊界在“∈　ｎｉ　，ｍａｘｕ】的部分，其中亂ｎｍｉ　為具有最低投資比例約束時最小風險（方差）對應的期望．為研究最優化問題（Ｍ１），我　們先來研究一些輔助問題．　設　Ｊ　，　，…，∈Ｊｒ為∈　，…，矗任意子集部分組，對應的指標集為Ｓｊ＝｛　，…，　），　下面我們引入輔助問題即最優化問題（Ｍ２）：　Ｉ　ｍｉｎ盯２＝ＷＴ∑Ｗ　Ｍ２　１　ｓ　Ｔ　：　；　Ｔ　：１；叫。：ｄｓ　ｊＶｓ　我們總可以經過適當調整∈１，∈２，…，　的順序變為∈Ｊ。，∈Ｊ　，…，∈厶，使得指標集　對　應的　‘，。，　，…，　剛好排在前ｒ位，設∑，Ｗ和Ｕ也作相應的調整分別變為∑Ｊ、　ＷＪ和ＵＪ，設　Ｊ２，…，　對應的期望向量和協方差矩陣分別為　和∑　．由于　Ｖｓ　，Ｗ　＝ｄ　，故有　甜　其中　一　＝（ｄｊ…，…，ｄ＾）Ｔ．對∑Ｊ，Ｉ，ＵＪ也作相應的分塊，有　Ｔ　篡　），　則最優化問題（Ｍ２）轉化為最優化問題（Ｍ３）：　可以利用Ｌａｇｒａｎｇｉａｎ方法求解，設０表示零向量，其維數隨具體情況定，則其一階條　件為．　｛Ｉ，　菩＝　（　）Ｔ　　－　ｍ　Ｊ　￣ｘｕＪ　．（～ｗＪ）Ｔ　＝一叫１　（　一　）Ｔ　一．　　一（１）　解之得　＾一＝　———　一一’，ｙ一　———　一，’　最優解為：　＝　（∑　＋盟　（∑　Ｈ∑　∑Ｊ　Ｊ．　…＝　ｕ　＋　Ｊ　∑　Ｊ　；　＋　一　　一踢　

１２２　姚海祥，李仲飛　１３卷　其中：　。　Ｊ＝（　）Ｔ（∑　）一　‘　＝（　）Ｔ（∑ｊ）一　，ｃＪ　＝（　）Ｔ（∑　）一ｔ　，ｄ　：６　ｃＪ　一（。；）。，　＝（　）Ｔ（∑　）一　∑　Ｊ２ｐ…Ｊ一（　）ＴＵ—Ｊ　，　＝１一（　一　）Ｔ厶一，＋（　）Ｔ（∑ｊ）一　∑　Ｊ　…Ｊ　再令　＝盟　，　Ｎ　＝　二　！　二　：　ｄＪ　±　二竺　３　一（∑　）～　∑Ｊｌ２ｐ　Ｊ～　則　可簡化為：　＝　扎＋　，代入目標函數得方差最小值，即前沿邊界為　。：（　）Ｔ∑　＋２（Ｗ／）Ｔ∑１Ｊ２ｐ　Ｊ一　＋（　一　）Ｔ∑２Ｊ２　Ｊ一　＝ａＪ　。＋２６Ｊ札＋ｃｔ，　為Ｅ一　。坐標上的一條開口向上的拋物線，有效邊界則前沿邊界的右半支（最小方差　期望的右邊部分）．其中：　０‘，＝（　）Ｔ∑ｊ　，ｂＪ＝（　）Ｔ∑ｊ　＋．（　）Ｔ∑　Ｊ２　Ｊ　，　ｃＪ＝２（　）Ｔ∑１Ｊ２　Ｊ　＋（　）Ｔ∑　Ｊ　＋（　一　）Ｔ∑２Ｊ２　…Ｊ　．　３　主要結果及其證明　現在我們來研究最優化問題（Ｍ２）和（Ｍ３）（它們等價）的最優解　Ｊ：ｆ＼　　／　１在　一ｒ什么條件下也是最優化問題（　１）的最優解．和最優化問題（Ｍ２）一樣，按照ｆ‘，　，∈Ｊ。，…，∈Ｊ　的順序及Ｓｊ，對∑，　Ｕ作相應的調整和分塊，則最優問題（Ｍ１）可變為最優化問題　（Ｍ４）：　ｆ　４　＝（　）Ｔ∑＃　＋２（　）ＴＥ…Ｊ　ＶＶ￣Ｊ…＋（ｗＬ　）Ｔ∑２Ｊ２　Ｊ一　【ｓ．ｔ．（　）Ｔ　＋（　）ＴｕＬ　＝　；（　）Ｔ　＋（　）Ｔ　一　＝１；訓　≥ｄ＾，　∈Ｓ　最優化問題（Ｍ１）和（　４）（它們等價）是帶線性等式和線性不等式約束的二次凸規劃，　可用Ｋｕｈｎ‘Ｔｕｃｋｅｒ條件（也為充要條件）來求解．即為最優化問題（Ｍ１）的最優解等價于　存在　，７和Ⅱ　：（丌　，丌　，…，７ｒ　）Ｔ，Ⅱ　＝一　（丌　一，丌　）Ｔ，滿足Ｋｕｈｎ．Ｔｕｃｋｅ　條件：　ｆ∑　＋∑　＿　一　一　：ｎ　Ｊ∑２Ｊ２　Ｊ一　＋（∑　）Ｔ　一　味　一７厶一　＝Ⅱ　～　…　Ｉ（Ｉ　　）Ｔ　＋（畦　）Ｔ味　＝“；　（　）Ｔ　＋（Ｗ—Ｊ　）Ｔ厶一　：１　７ｒ　≥０，訓　≥ｄ　，７ｒ　（叫　一ｄ　。）：０，　ｓ∈Ｓ．　

２期　最低投資比例約束下的證券組合模型及有效邊界解析式　‘，Ｌ，Ｌ　１２３　令　∑　ｊ　－　ｊ＋∑１Ｊ２　Ｊ一　一　～　＝Ⅱ　，（∑Ｊ２）Ｔ　＋∑２Ｊ２　Ｊ一　一　一　厶一　＝Ⅱ　一　，　注意到　＝　一　，則由（１）式，容易驗證ＶＶｊ＝（（　）Ｔ，（　一　）Ｔ）Ｔ滿足如下條件：　，●●％　，一　一　　比　＝０，Ｖｓ∈Ｓ　（３）　小比較（２）式和（３）式（取相同的　，Ａ，７），容易發現　Ｊ是最優化問題（　１）的最優解　一　　。＼充要條件是：　（３）式中的７ｒ　，面　滿足：　７ｒｓ＝　Ｊ≥０，ｓ＝ｒ＋１，…，ｎ叫－ｊ≥ｄ　，ｓ＝１，２，…，７＇　ｓ由前面知　＝　一　，四　＝Ｍ　ｕ　ｊｒ　Ｎ　，　代入（３）式中Ⅱ　一　的表達式得Ⅱ　一　＝　ｕ＋Ｑ　一　，其中　味　－（∑　＋　監　Ｑ　一　＝（∑　）Ｔ　－Ｆ∑２Ｊ２　Ｊ一　＋　（０ｒＪ　２Ｊ—ｃＪｒ　１Ｊ　ｕｎＪ一，ｒ　＋（ｎ　ｆ一６　Ｊ　２Ｊ）厶一　７ｒ　≥０，ｓ＝ｒ＋１，…，ｎ；叫－。Ｊ≥ｄｊ８＝１，２，…，ｒ成立，即要下面方程組（所以要　４）式　。，成立：　一．扎一ｒ　２，…，ｒ　令　＝｛ｓＩｐ　＞０），　＝｛￣ｌｐｆ＜０），　＝｛ｓＩｐ　＝０），　磚＝｛ｓｌｍ；＞０），　＝｛ｓＩｍ　＜０），　＝｛ｓＩｍ　＝０）　若　，　，　，　非空，令　叼　ｍａｘ｛　ｓ∈　），＇／ｍｔ　＝ｍｉｎ｛　ｄ　一ｎ　＝ｍａｘ　∈　）　ｊｓ∈　），　ｓ∈磚），　＝ｍｉｎ｛　ｄ　一ｎ　

１２４　姚海祥，李仲飛　１３卷　若　為空集，叩　Ｊ　＝一。。，若　為空集，叩　ｉ　＝＋∞，若琺為空集，　＝一∞，若　為空集，　ｉ　＝＋ｏ。令　《　＝ｍａｘ｛￣Ｊ　，　），　ｉ　＝ｍｉｎ｛￣ｇｉ　，　ｉ　），　易得不等式組（４）有解的充要條件是《ｉ　≥　，ｇ　≥０（Ｖｓ∈ｉｏ）和ｎ　Ｊ≥ｄｄ　（Ｙｓ　Ｅ　ｉｏ），　且解集為［　，　】　．定理１最優化問題（Ｍ２）的最優解是最優化問題（Ｍ１）的最優解的充要條件是：　ｉ　≥《　，ｇ　≥０（Ｙｓ∈１ｏ）和ｎ　Ｊ≥ｄｊ．（Ｙｓ∈ｘｏ），且ｕ∈［　，　ｉ　］．　反過來我們也有類似的結論，即如下定理２．　定理２設　為最優化問題（Ｍ１）對應期望ｕ的最優解，若滿足當８∈Ｓｊ時，　面。＞ｄ。；當８岳Ｓｊ時，　＝ｄ　．則也是最優化問題（Ｍ２）的最優解．　證明先證明　是下面最優化問題（Ｍ５）的最優解：　Ｉ　ｍｉｎ　０－２＝ＷＴ∑　‘Ｍ５　１　ｓＷ＿ｔ．　Ｔ　：ｕ；ｗＴＩ＝１；　。≥　ｖｓ　因　為最優化問題（Ｍ１）的最優解，故存在　，７和ＩＩ＝（７ｒ１，７ｒ２，…，丌　）Ｔ，滿足Ｋｕｈｎ—　Ｔｕｃｋｅｒ條件（為充要條件）（５）式：　Ｉ∑　一Ａｕ一７　一ＩＩ＝０；　Ｔ　＝１；ＶｖｒＴＵ＝ｕ　ｌ　７ｒ　≥０；面　≥ｄ。，７ｒ　（面　一ｄ。）＝０，Ｙｓ∈Ｓ．　由于當８∈Ｓ．，時，面　一ｄ　＞０，故當Ｓ∈ＳＪ時必有７ｒ　＝０，所以由（５）式有：　ｆ∑　一　一　—Ｈ：ｄ；Ｉ／ｖＴＩ：１；￣／ＶＴＵ：札　Ｉ　７ｒ。≥０，面　≥ｄ　，７１＂ｓ（面　一ｄ　）＝０，Ｖｓ　Ｓｊ；７ｒ　＝０，Ｖｓ　Ｅ　ＳＪ．　易知（６）式即表明滿足最優化問題（Ｍ５）的Ｋｕｈｎ—Ｔｕｃｋｅｒ條件，所以是最優化問題（Ｍ５）　的最優解．由于最優化問題（Ｍ５）比最優化問題（Ｍ２）的約束條件更弱，又易知　也　為最優化問題（Ｍ２）的可行解，所以也是最優化問題（Ｍ２）的最優解．　為了表達方便下面我們給出有效指標集、嚴格有效指標集的概念．若最優化問題　（Ｍ２）的最優解也是最優化問題（Ｍ１）的最優解，則稱指標集ｓＪ為對應期望水平ｕ的　有效指標集．若最優化問題（　１）的最優解　滿足定理２中的條件，則稱　為對應．“　的嚴格有效指標集．由定理１知　為［　，　ｉ　］上的有效指標集，則由定義易知　則為（《ａｘ，　ｉ　）上的嚴格有效指標集．定理２表明若　為對應的嚴格有效指標集，　則　也為對應Ｕ的有效指標集．由定理１、定理２，我們易得如下結論１和結論２．　結論１存在　（Ｊ＝１，２，…，　），滿足ｍｉｎｕ＝　＜面　＜…＜面　＝ｍ＆ｘｕ，使得每　個區間（面　，　Ｊ＋　）對應同一（嚴格）有效指標集，不同區間對應不同（嚴格）有效指標　集．　

２期　最低投資比例約束下的證券組合模型及有效邊界解析式　１２５　設（面Ｊ，　Ｊ＋　）的（嚴格）有效約束集為Ｓｊ，則由定理１有　Ｊ＝　由前面分析知當Ｖｕ∈［　，　ｉ　］時前沿邊界為一段拋物線．所以有：　，　Ｊ＋　＝　ｉ　，　結論２具有最低投資比例約束時證券組合的前沿邊界和有效邊界是由有限段拋　物線相互平穩聯結而成．　由結論１知組成前沿邊界和有效邊界的每段拋物線對應一個有效指標集　及區　間．為此，我們研究這些有效指標集及對應區間之間有何聯系，它們如何過渡和變化　的？　下面定理３將回答這些問題．　定理３設　為有效指標集，　（ａ）．若一　＝　（ｂ）．若　令Ｓｊ＋Ｉ：Ｓｊ　Ｕ｛　＋￡）；　＝　ｉ　，令Ｓｊ＋１＝Ｓｊ一｛　）；　（ｃ）．若一　ｑＪ＝　，令　一１＝Ｓｊ　Ｕ｛　＋。）；　（ｄ）．若　＝　，令　一１＝Ｓｊ一｛　）．　則　＋　和　一　也為有效指標集，且有　：　，　Ｊｉ－　＝　．　證明由定理１知當Ｕ＝　ｉ　時最優化問題（Ｍ２）的最優解　Ｊ是最優化問題（　１）　的最優解，且滿足（３）式．　（ａ）．若一　ｑＪ＝　．ｎ）則（３）式中的丌ｒＪ￡＝０，令　＋１＝Ｓｊ　ｕ｛Ｊｒ＋￡）不難驗證　Ｊ也　＋滿足如下最優化問題（Ｍ６）的一階條件，從而　Ｊ也是（Ｍ６）的最優解：　Ｉ　ｍｉｎ０－２＝ＷＴ∑　ｆＭ６）＜Ｉ　ｗ　　ｓ．ｔ．ＷＴＵ：亂；ＷＴＩ＝１；ｗｓ＝ｄｓ，Ｖｓ　ＳＪ＋１．　所以　＋ｌ也為　＝　ｉ　對應的有效指標集，由定理１有　≤　ｉ　≤　＋ｎ１．若　＜　則Ｓｊ和ＳＪ＋Ｉ都是區間（　，　）ｎ（《　，　）對應的嚴格有效指標集，　矛盾．所以有　＝　ｉ　．　（ｂ）．若蘭ＪＪ　＝《ｉ　，則當ｕ＝　ｉ　時有面，＝ｄｊ，，此時令　＋　：Ｓｊ一｛　）容易　驗證　Ｊ也是最優化問題（Ｍ６）的可行解，顯然最優化問題（Ｍ６）的約束條件比最優　化問題（Ｍ２）的約束條件更強，從而　為ｕ＝　也是最優化問題（Ｍ６）最優解，所以Ｓｊ＋１也　＝　對應的有效指標集，類似前面同理可證　對于（ｃ），（ｄ）情形同理可證　一　也為有效指標集，且有　ｉ＿ｎ＝《　．。　４　模型的前沿邊界與有效邊界解析式的確定方法　定理３表明，從某個有效指標集ｓＪ及其對應的區間【　ａｘ，　ｉ　】開始，我們可以連　鎖反應求出其余所有的有效指標集及其對應的區間，而且這些區間都是首尾相接的，　它們的并集剛好是前沿邊界的定義域［ｍｉｎｕ，ｍａｘｕ］．所以關鍵是先尋找一個已知有效　指標集及其對應的區間［　ａｘ，　ｉ　】．我們可以用如下方法得到：在區間（ｍｉｎｕ，ｍａｘｕ）　

１２６　姚海祥，李仲飛　１３卷　任意取一點Ｕ０，求解最優化問題（Ｍ７）：　（Ｍ７）｛Ｉ　Ｗ　　Ｉ　ｍｉｎ０－２＝ＷＴ∑　ｓ．ｔ．ＷＴＵ＝ｒ“０；ＷＴＩ＝１；　Ｗｔ≥ｄ　，ｉ∈Ｓ　得最優解Ｗ　＝（Ｗ　，Ｗ２　，…，　）１、，則Ｗ　中所有滿Ｗｉ　＞ｄｉ的指標ｉ的集合即為一有效　指標集，然后由定理１求出其對應的區間．最優化問題（Ｍ７）與最優化問題（Ｍ１）不同　的地方在于這時期望是已知常數　ｏ，而不是任意參數ｕ，所以最優化問題（Ｍ７）的求解　容易很多，目前求解方法比較完善且很多，例如可用文［１０］中的積極集法（具體可由　數學軟件Ｍａｔｌａｂ優化工具中的二次規劃函數ＱＰ或ＱＵＡＤＰＲＯＧ實現，詳見文［１１］）．　我們不妨稱以上方法為有效指標集法，它的具體步驟為：第一步：用前面介紹的　方法求出初始有效指標集及其對應的區間；第二步：利用定理３的結論求出已知有效　指標集　相鄰兩邊的有效指標集　一　和ＳＪ＋１；第三步：求解第二步中每個新的有效　指標集對應的最優化問題（Ｍ３），并利用定理１確定其對應的區間，并求出在該區間上　前沿邊界的解析表達式，然后重復第二步，直到《　＝ｍｉｎ　Ｚｔ或　ｉ　＝ｍａｘｕ為止．　確定完前沿邊界那么有效邊界就容易確定了．　具有最低投資比例約束時有效邊界的確定：我們只需求出“　ｊ　，則前沿邊界在　［ｒ“ｍｎｉ　，ｍａｘｕ］的部分即為有效邊界．　ｎｍｉ　有兩個方法來確定，方法１：利用已確定　的前沿邊界０－。＝０－２（ｕ）的解析表達式求最小方差期望　ｎｍｉ　．方法２：通過求解最優化　問題（Ｍ８）：　８　１　ｆ　ｍｉｎ０－２＝ＷＴ∑　１，　∈　．　則其最優解Ｗｍ＊ｉ　對應的期望即為ｕｎｍｉ　，最優化問題（Ｍ８）也不含參數ｕ，它的求　解與最優化問題（Ｍ７）的類似，可用Ｍａｔｌａｂ優化工具中的ＱＰ函數或ＱＵＡＤＰＲＯＧ函　數實現［１１］．　５　實例分析　作為結論的直接應用和說明，下面我們利用中國股票市場數據給出了一個實例分　析．　。　隨機選取深滬證券交易所的１１支股票，代號分別為：０００５９９、００００６１、０００６９５、　００２０３４、００２０４３、６００１７０、６００２３３、６００６５２、６０００１９、６００１２１、６００５５７．選取時間為　２００６年１月４日至２００６年１２月２９日所有交易Ｅｔ的原始數據，得收益率的期望向量為　Ｕ＝（０．０４６０，０．２６０３，０．２２５４，０．０３３２，０．０３８８，０．０８９３，０．０７２０，０．０４９５，０．１７８６，０．０８８１，０．１４３３）　，　協方差矩陣：　

２期　最低投資比例約束下的證券組合模型及有效邊界解析式　１２７　１．３９５３　０．３１９５　０．４８３５　０．６２９２　０．６５０４　０．５１７０　０．５７６６　０．５９５３　０．３５６７　０．７６０４　０．４４３３　０．３１９５　３．３７５３　０．２６３１　０．１４７４　０．３２２９　０．３５７１　０．１７１３　０．３４６６　０．１５７１　０．１９９５　０．３２０５　０．４８３５　０．２６３１　３．１７９４　０．５０５７　０．４０５３　０．３６１２　０．７５７４　０．５３８４　０．１７１７　０．７８６１　０．８０５６　０．６２９２　０．１４７４　０．５０５７　１．３７１３　０．７７６６　０．３３３７　０．７５５８　０．３５６８　０．３２６５　０．６８８９　０．７６１７　０．６５０４　０．３２２９　０．４０５３　０．７７６６　１．６５７３　０．４３４４　０．６５５７　０．５２９８　０．３１４８　０．５６１０　０．６３６７　Ｅ＝　０．５１７０　０．３５７１　０．３６１２　０．３３３７　０．４３４４　０．８７３８　０．４２６４　０．６０１７　０．２５４７　０．４８７４　０．４３４７　０．５７６６　０．１７１３　０．７５７４　０．７５５８　０．６５５７　０．４２６４　１．３８１４　０．４０８７　０．１９５６　０．７２２９　０．７９７４　０．５９５３　０．３４６６　０．５３８４　０．３５６８　０．５２９８　０．６０１７　０．４０８７　１．５７９０　０．２１９２　０．６７７５　０．５１１５　０．３５６７　０．１５７１　０．１７１７　０．３２６５　０．３１４８　０．２５４７　０．１９５６　０．２１９２　０．９２２４　０．３０９６　０．２３８４　０．７６０４　０．１９９５　０．７８６１　０．６８８９　０．５６１０　０．４８７４　０．７２２９　０．６７７５　０．３０９６　１．６６１３　０．８６６１　０．４４３３　０．３２０５　０．８０５６　０．７６１７　０．６３６７　０．４３４７　０．７９７４　０．５１ｌ５　０．２３８４　０．８６６１　２．３４３０　其中收益率期望的單位為１／５ｏ，方差、協方差的單位為１／２５ｏｏ，我們取最低投資比例為　ｄ＝（ｄ１，ｄ２，…，ｄｌ１）Ｔ＝（一０．００６７，０．１２３８，０．１１７７，一０．００８３，一０．０３８５，一０．０３９７，一０．１４７９，　－０．２２５２，－０．１８５２－０．０６９８，０．Ｏ５６２）１’，通過計算得ｍｉｎ　＝０．０４７４，ｍａｘ　＝０．３７０７，利用　Ｍａｔｌａｂ優化工具中的二次規劃函數ＱＰ求得具有最低投資比例約束時最小方差對應的　期望ｕ　ｉ　＝０．１５０４，并得到此時對應的有效指標集為Ｓｊ＝｛１，４，５，６，７，８，９，ｌｏ｝，然后　利用本文介紹的有效指標集法可求得有效邊界的解析表達式為：　５５．２００８ｕ　一１６．６０１８ｕ＋１．７５１６，ｕ∈【０．１５０４，０．１５７０］，　１＝｛１，４，５，６，７，８，９，ｌｏ｝　６０．４３２２ｕ　一１８．２４４６ｕ＋１．８８０６，　∈［０．１５７０，０．１６９５］，　＝｛４，５，６，７，８，９，ｌｏ｝　４１．０２７０ｕ　一１１．６６８２￣＋１．３２３４，ｕ∈【０．１６９５，０．１７０８］，Ｓａ＝｛４，５，６，７，８，９，１０，２）　４８．８９３６ｕ　一１４．３５５２ｕ＋１．５５２９，　∈［０．１７０８，０．１７３６］，　＝｛５，６，７，８，９，１０，２）　４４．９０５８ｕ　一１２．９７０５ｕ＋１．４３２７，　∈［０．１７３６，０．１７９７］，＆＝｛５，６，７，８，９，１０，２，１１｝　５５．０１５８ｕ　一１６．６０５０ｕ＋１．７５９３，　∈【０．１７９７，０．１８０１］，ｓ６＝｛６，７，８，９，１０，２，１１）　２＝　４０．８６７０ｕ　一１１．５０８７ｕ＋１．３００４，ｕ∈［０．１８０１，０．２５Ｏ５］，ｓ７＝｛６，７，８，９，１０，２，１１，３）　４１．４８９５ｕ　一１１．８２０６ｕ＋１．３３９５，ｕ∈［０．２５０５，０．２６２７］，Ｓｓ＝ｊ｛６，７，８，９，２，１１，３）　５０．５８３２ｕ　一１６．５９８１ｕ＋１．９６６９，缸∈［０．２６２７，０．２６８１Ｉ，　＝｛６，８，９，２，１１，３）　６６．７４９４ｕ　一２５．２６８０ｕ＋３．１２９４，ｔｔ∈【０．２６８１，０．２７７１］，￥１ｏ＝｛６，９，２，１１，３）　２７５．７６０８ｕ　一１４１．１１９７ｕ＋１９．１８３１，　∈ｌ０．２７７１，Ｏ．２８７４ｌ，Ｓ１１＝｛９，２，１１，３｝　５２１．８３９９ｕ　一２８２．５８７２ｕ＋３９．５１５０，札∈１０．２８７４，０．３５２６ｌ，￥１２＝｛９，２，３｝　４９６５．１２８９ｕ　一３４１５．８５６９ｕ＋５９１．８８６２，讓∈［０．３５２６，０．３７Ｏ７］，￥１３＝｛２，３）　下圖中實線部分表示有效邊界，點　以下的圓點虛線表示前沿邊界中無效的部　分，與有效邊界構成完整前沿邊界．有效邊界周圍的虛線束是那些構成有效邊界的拋　物線段所在的拋物線束．　注：本算例的數據及計算結果都取小數點后４位有效數字，利用本文的結論，以　上的計算及圖形的描繪可以編寫成程序在Ｍａｔｌａｂ上運行和實現，詳見文獻［１１］．　

１２８　姚海祥，李仲飛　１３卷　轔　方磬　參考文獻：　【１】Ｍａｒｋｏｗｉｔｚ　Ｈ．Ｐｏｒｔｆｏｌｉｏ　ｓｅｌｅｃｔｉｏｎ［Ｊ］．Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｆｉｎａｎｃｅ，１９５２，４：７７—９１．　［２】Ｍａｒｋｏｗｉｔｚ　Ｈ．Ｐｏｒｔｆｏｌｉｏ　ｓｅｌｅｃｔｉｏｎ：Ｅｆｉｆｃｉｅｎｔ　Ｄｉｖｅｒｓｉｉｆｃａｔｉｏｎ　ｏｆ　Ｉｎｖｅｓｔｍｅｎｔｓ［Ｍ］．Ｃａｍｂｒｉｄｇｅ：Ｂａｓｉｌ　Ｂｌａｃｋｗｅｌｌ，（Ｓｅｃｏｎｄ　ｅｄ）１９５９，１９９１．　ｆ３】Ｖｏｒｏｓ　Ｊ．Ｔｈｅ　ｅｘｐｌｉｃｉｔ　ｄｅｒｉｖａｔｉｏｎ　ｆｏ　ｔｈｅ　ｅｆｉｆｃｉｅｎｔ　ｐｏｒｔｆｏｌｉｏ　ｆｒｏｎｔｉｅｒ　ｉｎ　ｔｈｅ　ｃａｓｅ　ｏｆ　ｄｅｇｅｎｅｒａｃｙ　ａｎｄ　ｇｅｎｅｒａｌ　ｓｉｎｇｕｌａｒｉｔｙ［Ｊ］．Ｅｕｒｏｐｅａｎ　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｏｐｅｒａｔｉｏｎａｌ　Ｒｅｓｅａｒｃｈ，１９８７，３２：３０２．３１０．　ｆ４］．馬永開，唐小我．不允許賣空的證券組合選擇模型研［Ｊ］．預測，　１９９９，２：４９．５２．　【５】范寶珠，腠成業，朱慶華．非負約束下含無風險資證券的投資組合方法［Ｊ］．中山大學學報（自　然科學版），２００１，４０（３）：２５—２８．　【６】Ｐｙｌｅ　Ｄ．Ｈ．，Ｔｕｒｎｏｖｓｋｙ　Ｓ．Ｊ．Ｓａｆｅｌｙ－ｆｒｉｓｔ　ａｎｄ　ｅｘｐｅｃｔｅｄ　ｕｔｉｌｉｔｙ　ｍａｘｉｍｉｚａｔｉｏｎ　ｉｎ　ｍｅａｎ—ｓｔａｎｄａｒｄ　ｄｅｖｉａｔｉｏｎ　ｐｏｒｔｆｏｌｉｏ　ａｎｄ　ａｎａｌｙｓｉｓ［Ｊ］．　ｅ　Ｒｅｖｉｅｗ　ｆｏ　Ｅｃｏｎｏｍｉｃｓ　ａｎｄ　Ｓｔａｔｉｓｔｉｃｓ．１９７０．５２（１）：７５．　８１．　【７］Ｏｒｔｏｂｅｌｌｉ　Ｓ．，Ｒａｃｈｅｖ　Ｓ．Ｓａｆｅｔｙ—ｉｆｒｓｔ　ａｎａｌｙｓｉｓ　ａｎｄ　ｓｔａｂｌｅ　ｐａｒｅｔｉａｎ　ａｐｐｒｏａｃｈ　ｔｏ　ｐｏｒｔｆｏｌｉｏ　ｃｈｏｉｃｅ　ｔｈｅｏｒｙ［Ｊ］．Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ　ａｎｄ　Ｃｏｍｐｕｔｅｒ　Ｍｏｄｅｌｉｎｇ，２００１，３４：１０３７．１０７２．　Ｉ８】王良，楊乃定，姜繼嬌．機會約束基于混合整數規劃的均值一ＶａＲ證券投資基金投資組合選擇　模型［Ｊ】．系統工程，２００７，２５（１）：１０２．１０７．　【９】張衛國，聶贊坎．限制投資下界的風險證券有效組合模型及算法研究【Ｊ］．應用數學，２００３，６（２）：　１２４．１２９．　。　【ｌＯ］袁亞湘，孫文瑜．最優化理論與方法【Ｍ】．北京：科學出版社，２００１．　［１１】蕭樹鐵主編，姜啟源，何青，等著．數學實驗［Ｍ】．＝｛Ｅ京：高等教育出版社，２００３．　’