初一競賽班第九講綜合除法與因式定理

2024年3月2日發(fā)(作者：觀后感500字作文)

北京數(shù)學(xué)學(xué)校 初一年級講義

綜合除法、因式定理與待定系數(shù)法

1、如果多項式f(x) 除以多項式g(x)所得的商式為q(x)，余式為r(x)，則有

f(x)?g(x)?q(x)?r(x)

其中r(x)的次數(shù)小于g(x)的次數(shù)，或者r(x)為常數(shù)。當(dāng)r(x)?0時，我們稱f(x)能被g(x)整除。

2、余數(shù)定理：多項式f(x)除以x?a所得的余數(shù)等于f(a)

3、因式定理：（1）如果是x?a多項式f(x)的一個因式，那么f(a)?0，反之亦然。

（2）如果整系數(shù)多項式f（x）=

an?1nx?an?1xn??a1x?a0有因式px?q（p、q是互質(zhì)整數(shù)），那么p是首項系數(shù)an的約數(shù)，q是常數(shù)項a0的約數(shù)。

4、綜合除法 多項式f(x)除以x?a可以采用綜合除法簡化運(yùn)算。

5、待定系數(shù)法的常見步驟：（1）先假定一個恒等式，其中含有待定的系數(shù)，這通常需要知道問題的預(yù)定結(jié)構(gòu)，否則恒等式列不出來，其中待定系數(shù)是整式中的系數(shù)；（2）根據(jù)恒等式的性質(zhì)算出方程（組），通常是比較恒等式對應(yīng)項的系數(shù)或?qū)ψ帜溉√厥庵担唬?）解方程（組）求出各待定系數(shù)，或者從方程（且）中消去待定系數(shù)，找出原來那些已知系數(shù)間所存在的關(guān)系。

例1 用綜合除法計算下列各題

（1）?3x3?7x2?4x?5???x?2?

（2）?x5?6x4?9x3?14x?8???x?4?

（3）?3x4?50x2?12???x?4?

（4）?x4?15x2?10x?24???x?2?

（5）?18x4?9x3?x2?x?1???3x?1?

（6）?6x4?5x3?2x2?x?4???2x?1?

（7）?3a5?2a4b?7a3b2?7a2b3?b5???a?b?

（8）?x4?3x3y?8x2y2?16xy3?24y4???x?2y???x?3y?

例2 多項式f(x)?2x3?x2?kx?2能被2x?12整除，求k的值。

例3 （1）把多項式f(x)?x3?2x2?3x?4表示成?x?1?的降冪形式。

（2）把多項式f(x)?x4?3x3?3x2表示成?x?1?的降冪形式

（3）把多項式f(x)?2(x?2)3?(x?2)2?3x?2表示成x?2的降冪形式。

例4 分解因式

（1）x3?4x2?x?6 （2）x3?5x2?3x?9；

（3）x3?2x2?5x?6 （4）x3?6x2?11x?6

（5）x3?19x?30 （6）x4?x3?7x2?x?6

（7）x4?2x3?9x2?2x?8 （8）2x3?3x2?8x?12

北京數(shù)學(xué)學(xué)校 初一年級講義

（9）2x4?x3?6x2?x?2 （10）9x4?3x3?7x2?3x?2

（11）3x5?3x4?13x3?11x2?10x?6 （12）(x?1)(x?2)(x?3)?6?7?8

例5 當(dāng)y2?my?2除以y－1得商f(y)，余式為r21，當(dāng)y?my?2除以y+1得商g(y)，余式為r2，且r1?r2，求m的值。

例6 如果x3?ax2?bx?8有兩個因式x+1和x+2，求a+b的值。

例7 分解因式：

（1）3x2?5xy?2y2?x?9y?4 （2）x4?x3?4x2?3x?5

（3）x4?x3?x2?2 （4）x4?2x3?27x2?44x?7

（5）2x2?5xy?3y2?3x?5y?2 （6）2x2?3xy?2y2?5x?5y?3

（7）6x4?7x3?36x2?7x?6 （8）4x4?4x3?13x2?6x?9

例8 已知多項式x2?axy?by2?5x?y?6的一個因式是x+y－2，求a+b的值。

例9 判斷x2?2xy?y2?x?y?4能不能分解成兩個一次因式的乘積。并證明你的結(jié)論

例10 分解因式：

（1）(b?c)(b?c)2?(c?a)(c?a)2?(a?b)(a?b)2；

（2）xy(x2?y2)?yz(y2?z2)?zx(z2?x2)

（3）bc(b?c)?ca(c?a)?ab(a?b)?3abc