江蘇省連云港市灌云縣2024年高三下學期期末“3+1”質量調研數學試題

2024年3月31日發(作者：桂平旅游)

江蘇省連云港市灌云縣2024年高三下學期期末“3+1”質量調研數學試題

請考生注意：

1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答

案寫在答題紙相應的答題區內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。

2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規定答題。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1．已知

a?log

3

74

，

b?log

2

m

，

c?

A

．

4 B

．

23

5

，若

a?b?c

，則正數

m

可以為（

）

2

C

．

8 D

．

17

x

2

y

2

2．已知雙曲線

C:

2

?

2

?1

（

a?0

，

b?0

），以點

P

（

b,0

）為圓心，

a

為半徑作圓

P

，圓

P

與雙曲線

C

的一條

ab

漸近線交于

M

，

N

兩點，若

?MPN?90?

，則

C

的離心率為（ ）

A

．

2

B

．

3

C

．

5

2

D

．

7

2

*

3．記

S

n

為數列

?

a

n

?

的前

n

項和數列

?

a

n

?

對任意的

p,q?N

滿足

a

p?q

?a

p

?a

q

?13

.

若

a

3

??7

，則當

S

n

取最小值時，

n

等于（

）

A

．

6 B

．

7 C

．

8 D

．

9

4．甲乙丙丁四人中，甲說：我年紀最大，乙說：我年紀最大，丙說：乙年紀最大，丁說：我不是年紀最大的，若這四

人中只有一個人說的是真話，則年紀最大的是（

）

A

．甲

B

．乙

C

．丙

D

．丁

?

a,a?b

11

a?b?

g(x)?

5．定義，已知函數

f(x)?

，，則函數

F(x)?f(x)?g(x)

的最小值

?

22

2?sinx2?cosx

?

b,a?b

為（

）

A

．

2

3

B

．

1

C

．

4

3

D

．

2

6．以下三個命題：①在勻速傳遞的產品生產流水線上，質檢員每

10

分鐘從中抽取一件產品進行某項指標檢測，這樣

的抽樣是分層抽樣；②若兩個變量的線性相關性越強，則相關系數的絕對值越接近于

1

；③對分類變量

X

與

Y

的隨機

變量

k

2

的觀測值

k

來說，

k

越小，判斷

“

X

與

Y

有關系

”

的把握越大；其中真命題的個數為（

）

A

．

3 B

．

2 C

．

1 D

．

0

7．對某兩名高三學生在連續

9

次數學測試中的成績（單位：分）進行統計得到折線圖，下面是關于這兩位同學的數學

成績分析．

①甲同學的成績折線圖具有較好的對稱性，故平均成績為130

分；

②根據甲同學成績折線圖提供的數據進行統計，估計該同學平均成績在區間

③乙同學的數學成績與測試次號具有比較明顯的線性相關性，且為正相關；

④乙同學連續九次測驗成績每一次均有明顯進步．

其中正確的個數為（ ）

A

．

B

．

C

．

D

．

內；

8．運行如圖程序，則輸出的

S

的值為（ ）

A

．

0 B

．

1 C

．

2018 D

．

2017

9．已知

α

，

β

表示兩個不同的平面，

l

為

α

內的一條直線，則

“α∥β

是

“l∥β”

的（

）

A

．充分不必要條件

B

．必要不充分條件

C

．充要條件

D

．既不充分也不必要條件

10．在

?ABC

中，

D

在邊

AC

上滿足

AD?

A

．

73

BA?BC

88

B

．

BA?

3

8

7

BC

8

1

DC

，

E

為

BD

的中點，則

CE?

（

）

.

3

3773

C

．

BA?BC

D

．

BA?BC

8888

11．根據黨中央關于

“

精準

”

脫貧的要求，我市某農業經濟部門派四位專家對三個縣區進行調研，每個縣區至少派一位

專家，則甲，乙兩位專家派遣至同一縣區的概率為（ ）

A

．

1

6

B

．

1

4

C

．

1

3

D

．

1

2

12．過拋物線

C

的焦點且與

C

的對稱軸垂直的直線

l

與

C

交于

A

，

B

兩點，

|AB|?4

，

P

為

C

的準線上的一點，則

?ABP

的面積為（

）

A

．

1 B

．

2 C

．

4 D

．

8

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13．已知單位向量

a,b

的夾角為

2π

,

則

|a?2b|

=_________.

3

14．已知關于

x

的不等式（

ax

﹣

a

2

﹣

4

）（

x

﹣

4

）＞

0

的解集為

A

，且

A

中共含有

n

個整數，則當

n

最小時實數

a

的值

為

_____

．

?

2

?x

?1,x?0

3

f(x)?

15．已知函數，若關于

x

的方程

f(x)?x?a

有且只有兩個不相等的實數根，則實數

a

?

2

?

f(x?2),x?0

的取值范圍是

_______________.

?

x?y?2?0

?

16．設

x

、

y

滿足約束條件

?

x?y?2?0

，若

z?2x?y

的最小值是

?1

，則

m

的值為

__________.

?

y?m?0

?

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17．（12分）某工廠為提高生產效率，需引進一條新的生產線投入生產，現有兩條生產線可供選擇，生產線①：有

A

，

B

兩道獨立運行的生產工序，且兩道工序出現故障的概率依次是

0.02

，

0.03.

若兩道工序都沒有出現故障，則生產成本

為

15

萬元；若

A

工序出現故障，則生產成本增加

2

萬元；若

B

工序出現故障，則生產成本增加

3

萬元；若

A

，

B

兩

道工序都出現故障，則生產成本增加

5

萬元

.

生產線②：有

a

，

b

兩道獨立運行的生產工序，且兩道工序出現故障的概

0.01.

若兩道工序都沒有出現故障，率依次是

0.04

，則生產成本為

14

萬元；若

a

工序出現故障，則生產成本增加

8

萬元；

若

b

工序出現故障，則生產成本增加

5

萬元；若

a

，

b

兩道工序都出現故障，則生產成本增加

13

萬元

.

（

1

）若選擇生產線①，求生產成本恰好為

18

萬元的概率；

（

2

）為最大限度節約生產成本，你會給工廠建議選擇哪條生產線？請說明理由

.

?

18．（12分）設函數

f(x)?ax(2?cosx)?sinx

，

f(x)

是函數

f(x)

的導數

.

?

??

?

（

1

）若

a?1

，證明

f

?

(x)

在區間

?

?,

?

上沒有零點；

?

22

?

（

2

）在

x?(0,??)

上

f(x)?0

恒成立，求

a

的取值范圍

.

2na

n

?2

n?1

.

19．（12分）已知首項為

2

的數列

?

a

n

?

滿足

a

n?1

?

n?1

（

1

）證明：數列

?

?

na

n

?

n

?

是等差數列．

2

??

（

2

）令

b

n

?a

n

?n

，求數列

?

b

n

?

的前

n

項和

S

n

.

20．（12分）眼保健操是一種眼睛的保健體操，主要是通過按摩眼部穴位，調整眼及頭部的血液循環，調節肌肉，改

善眼的疲勞，達到預防近視等眼部疾病的目的

.

某學校為了調查推廣眼保健操對改善學生視力的效果，在應屆高三的全

體

800

名學生中隨機抽取了

100

名學生進行視力檢查，并得到如圖的頻率分布直方圖

.

（

1

）若直方圖中后三組的頻數成等差數列，試估計全年級視力在

5.0

以上的人數；

（

2

）為了研究學生的視力與眼保健操是否有關系，對年級不做眼保健操和堅持做眼保健操的學生進行了調查，得到下

表中數據，根據表中的數據，能否在犯錯的概率不超過

0.005

的前提下認為視力與眼保健操有關系？

（

3

）在（

2

）中調查的

100

名學生中，按照分層抽樣在不近視的學生中抽取

8

人，進一步調查他們良好的護眼習慣，

在這

8

人中任取

2

人，記堅持做眼保健操的學生人數為

X

，求

X

的分布列和數學期望

.

n

?

ad?bc

?

附：

K?

?

a?b

??

c?d

??

a?c

??

b?d

?

2

2

K

2

?k

0.10

k

0.05 0.025 0.010 0.005

2.706 3.841 5.024 6.635 7.879

21．（12分）已知函數

f(x)?ln(2x?a)(x?0,a?0)

，曲線

y?f(x)

在點

(1,f(1))

處的切線在

y

軸上的截距為

ln3?

（

1

）求

a

；

（

2

）討論函數

g(x)?f(x)?2x(x?0)

和

h(x)?f(x)?

2

.

3

2x

(x?0)

的單調性；

2x?1

5?2

n?1

1

2

??2?0

(n?2)

.

（

3

）設

a

1

?,

a

n?1

?f

?

a

n

?

，求證：

2

n

a

n

5

22．（10分）已知函數

f(x)?xe?ae

（

a?R

）在定義域內有兩個不同的極值點

.

（

1

）求實數

a

的取值范圍；

（

2

）若

f(x)

有兩個不同的極值點

x

1

，

x

2

，且

x

1

?x

2

，若不等式

x

1

?

?

x

2

?0

恒成立

.

求正實數

?

的取值范圍

.

x2x

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1、

C

【解析】

首先根據對數函數的性質求出

a

的取值范圍，再代入驗證即可；

【詳解】

解：∵

3?log

3

27?a?log

3

74?log

3

81?4

，∴當

m?8

時，

b?log

2

m?3

滿足

a?b?c

，∴實數

m

可以為

8.

故選：

C

【點睛】

本題考查對數函數的性質的應用，屬于基礎題

.

2、

A

【解析】

求出雙曲線的一條漸近線方程，利用圓

P

與雙曲線

C

的一條漸近線交于

M,N

兩點，且

?MPN?90?

，則可根據圓心

到漸近線距離為

【詳解】

2

a

列出方程，求解離心率．

2

不妨設雙曲線

C

的一條漸近線

bx?ay?0

與圓

P

交于

M,N

，

b

2

2

??a

，

因為

?MPN?90?

，所以圓心

P

到

bx?ay?0

的距離為：

22

c2

a?b

b

2

即

2c

2

?2a

2

?

故選

A

．

【點睛】

2ac

，因為

e?

c

?1

，所以解得

e?2

．

a

本題考查雙曲線的簡單性質的應用，考查了轉化思想以及計算能力，屬于中檔題．對于離心率求解問題，關鍵是建立

關于

a,c

的齊次方程，主要有兩個思考方向，一方面，可以從幾何的角度，結合曲線的幾何性質以及題目中的幾何關

系建立方程；另一方面，可以從代數的角度，結合曲線方程的性質以及題目中的代數的關系建立方程

.

3、

A

【解析】

先令

p?1,q?1

，找出

a

2

,a

1

的關系，再令

p?1,q?2

，得到

a

2

,a

1

,a

3

的關系，從而可求出

a

1

，然后令

p?n,q?1

，

2

可得

a

n?1

?a

n

?2

，得出數列

?

a

n

?

為等差數列，得

S

n

?n?12n

，可求出

S

n

取最小值

.

【詳解】

解法一：由

a

3

?a

1

?a

2

?13?

?

a

1

?13

?

?

?

2a

1

?13

?

??7

，所以

a

1

??11

，由條件可得，對任意的

?

a

n

0,

1113

n?N,a

n?1

?a

n

?a

1

?13?a

n

?2

，

n

所以

?

a

n

?

是等差數列，

a

n

?2n?13

，要使

S

n

最小，由

?

解得，

a?0

22

?

n?1

*

則

n?6

.

解法二：由賦值法易求得

a

1

??11,a

2

??9,a

3

??7,

故選：

A

【點睛】

此題考查的是由數列的遞推式求數列的通項，采用了賦值法，屬于中檔題

.

4、

C

【解析】

分別假設甲乙丙丁說的是真話，結合其他人的說法，看是否只有一個說的是真話，即可求得年紀最大者，即可求得答

案

.

【詳解】

①假設甲說的是真話，則年紀最大的是甲，那么乙說謊，丙也說謊，而丁說的是真話，而已知只有一個人說的是真話，

故甲說的不是真話，年紀最大的不是甲；

②假設乙說的是真話，則年紀最大的是乙，那么甲說謊，丙說真話，丁也說真話，而已知只有一個人說的是真話，故

乙說謊，年紀最大的也不是乙；

③假設丙說的是真話，則年紀最大的是乙，所以乙說真話，甲說謊，丁說的是真話，而已知只有一個人說的是真話，

,a

n

?2n?13,S

n

?n

2

?12n

，可知當

n?6

時，

S

n

取最小值

.

故丙在說謊，年紀最大的也不是乙；

④假設丁說的是真話，則年紀最大的不是丁，而已知只有一個人說的是真話，那么甲也說謊，說明甲也不是年紀最大

的，同時乙也說謊，說明乙也不是年紀最大的，年紀最大的只有一人，所以只有丙才是年紀最大的，故假設成立，年

紀最大的是丙

.

綜上所述，年紀最大的是丙

故選：

C.

【點睛】

本題考查合情推理，解題時可從一種情形出發，推理出矛盾的結論，說明這種情形不會發生，考查了分析能力和推理

能力，屬于中檔題

.

5、

A

【解析】

根據分段函數的定義得

F(x)?f(x)

，

F(x)?g(x)

，則

2F(x)?f(x)?g(x)

,

再根據基本不等式構造出相應的所需的

形式，可求得函數的最小值

.

【詳解】

依題意得

F(x)?f(x)

，

F(x)?g(x)

，則

2F(x)?f(x)?g(x)

,

f(x)?g(x)?

11111

22

??(?)[(2?sinx)?(2?cosx)]

2222

2?sinx2?cosx32?sinx2?cosx

2?cos

2

x

2?sin

2

x

12?cos

2

x2?sin

2

x12?cos

2

x2?sin

2

x4

，即

?

?(2??)?(2?2?)?

(

當且僅當

2

2

2222

2?sinx

2?cosx

32?sinx2?cosx32?sinx2?cosx3

sin

2

x?cos

2

x?

故選：

A.

【點睛】

本題考查求分段函數的最值，關鍵在于根據分段函數的定義得出

2F(x)?f(x)?g(x)

，再由基本不等式求得最值，屬

于中檔題

.

6、

C

【解析】

根據抽樣方式的特征，可判斷①；根據相關系數的性質，可判斷②；根據獨立性檢驗的方法和步驟，可判斷③．

【詳解】

①根據抽樣是間隔相同，且樣本間無明顯差異，故①應是系統抽樣，即①為假命題；

②兩個隨機變量相關性越強，則相關系數的絕對值越接近于1

；兩個隨機變量相關性越弱，則相關系數的絕對值越接

1242

時

“

?

”

成立

.

此時

,

f(x)?g(x)?

，

?2F(x)?

，

?F(x)

的最小值為，

2333

近于

0

；故②為真命題；

③對分類變量

X

與

Y

的隨機變量

K

2

的觀測值

k

來說，

k

越小，

“

X

與

Y

有關系

”

的把握程度越小，故③為假命題．

故選：

C

．

【點睛】

本題以命題的真假判斷為載體考查了抽樣方法、相關系數、獨立性檢驗等知識點，屬于基礎題．

7、

C

【解析】

利用圖形，判斷折線圖平均分以及線性相關性，成績的比較，說明正誤即可．

【詳解】

①甲同學的成績折線圖具有較好的對稱性，最高

分，平均成績為低于分，①錯誤；

內，②正確；

②根據甲同學成績折線圖提供的數據進行統計，估計該同學平均成績在區間

③乙同學的數學成績與測試次號具有比較明顯的線性相關性，且為正相關，③正確；

④乙同學在這連續九次測驗中第四次、第七次成績較上一次成績有退步，故④不正確．

故選：

C

．

【點睛】

本題考查折線圖的應用，線性相關以及平均分的求解，考查轉化思想以及計算能力，屬于基礎題．

8、

D

【解析】

依次運行程序框圖給出的程序可得

第一次：

S?2017?sin

第二次：

S

第三次：

S

第四次：

S

第五次：

S

第六次：

S

9、

A

【解析】

試題分析：利用面面平行和線面平行的定義和性質，結合充分條件和必要條件的定義進行判斷．

解：根據題意，由于

α

，

β

表示兩個不同的平面，

l

為

α

內的一條直線，由于

“α∥β

，

?2018,i?3

，不滿足條件；

2

3

?

?2018?sin?2018?1?2017,i?5

，不滿足條件；

2

5

?

?2017?sin?2018,i?7

，不滿足條件；

2

7

?

?2018?sin?2018?1?2017,i?9

，不滿足條件；

2

9

?

?2017?sin?2018,i?11

，不滿足條件；

2

11

?

?2018?sin?2018?1?2017,i?13

，滿足條件，退出循環．輸出

1

．選

D

．

2

?

則根據面面平行的性質定理可知，則必然

α

中任何一條直線平行于另一個平面，條件可以推出結論，反之不成立，

∴“α∥β

是

“l∥β”

的充分不必要條件．

故選

A

．

考點：必要條件、充分條件與充要條件的判斷；平面與平面平行的判定．

10、

B

【解析】

由

AD?

3113

1

DC

，可得

CD?CA

，

CE?(CB?CD)?(CB?CA)

，再將

CA?BA?BC

代入即可

.

4224

3

【詳解】

因為

AD?

3113

1

DC

，所以

CD?CA

，故

CE?(CB?CD)?(CB?CA)?

4224

3

37

133

(?BC?BA?BC)?BA?BC

.

244

88

故選：

B.

【點睛】

本題考查平面向量的線性運算性質以及平面向量基本定理的應用，是一道基礎題

.

11、

A

【解析】

每個縣區至少派一位專家，基本事件總數

n?36

，甲，乙兩位專家派遣至同一縣區包含的基本事件個數

m?6

，由此

能求出甲，乙兩位專家派遣至同一縣區的概率

.

【詳解】

派四位專家對三個縣區進行調研，每個縣區至少派一位專家

23

基本事件總數：

n?C

4

A

3

?36

212

甲，乙兩位專家派遣至同一縣區包含的基本事件個數：

m?C

2

C

3

A

2

?6

?

甲，乙兩位專家派遣至同一縣區的概率為：

p?

本題正確選項：

A

【點睛】

m61

??

n366

本題考查概率的求法，考查古典概型等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題

.

12、

C

【解析】

設拋物線的解析式

y?2px(p?0)

，得焦點為

F

?

2

p

?

p

?

,0

?

，對稱軸為

x

軸，準線為

x??

，這樣可設

A

點坐標為

2

?

2

?

?

p

?

?

,2

?

，代入拋物線方程可求得

p

，而

P

到直線

AB

的距離為

p

，從而可求得三角形面積．

?

2

?

【詳解】

設拋物線的解析式

y?2px(p?0)

，

則焦點為

F

?

2

p

?

p

?

,0

?

，對稱軸為

x

軸，準線為

x??

，

2

?

2

?

∵

直線

l

經過拋物線的焦點，

A

，

B

是

l

與

C

的交點，

又

AB?x

軸，∴可設

A

點坐標為

?

2

代入

y?2px

，解得

p?2

，

?

p

?

,2

?

，

2

??

又∵點

P

在準線上，設過點

P

的

AB

的垂線與

AB

交于點

D

，

|DP|?

∴

S

?ABP

?

故應選

C.

【點睛】

pp

???p?2

，

22

11

|DP|?|AB|??2?4?4

.

22

本題考查拋物線的性質，解題時只要設出拋物線的標準方程，就能得出

A

點坐標，從而求得參數

p

的值．本題難度一

般．

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、

7

【解析】

因為單位向量

a,b

的夾角為

2π

2π1

??

，所以，所以

a?b?|a|?|b|cos

32

3

1

2

|a?2b|

=

a

2

?4a?b?4b

2

?1?4?(?)?4

=

7

.

14、

-1

【解析】

討論

a?0,a?0,a?0

三種情況，

a

＜

0

時

,

根據均值不等式得到

a

?

等號成立的條件得到答案

.

【詳解】

已知關于

x

的不等式（

ax

﹣

a

1

﹣

4

）（

x

﹣

4

）＞

0

，

44

??

（﹣

a

?

）

≤

﹣

1

aa

?

?a

?

?

?

?

4

?

?

??

4

，計算

?

a

?

①

a

＜

0

時，

[

x

﹣（

a

?

故解集為（

a

?

由于

a

?

44

）

]

（

x

﹣

4

）＜

0

，其中

a

?＜

0

，

aa

4

，

4

），

a

44

??

（﹣

a

?

）

≤

﹣

1

aa

?

?a

?

?

?

?

4

?

?

??

4

，

?

a

?

4

，即

a

＝﹣

1

時取等號，

a

44

∴

a

?

的最大值為﹣

4

，當且僅當

a

???

4

時，

A

中共含有最少個整數，此時實數

a

的值為﹣

1

；

aa

當且僅當﹣

a

??

②

a

＝

0

時，﹣

4

（

x

﹣

4

）＞

0

，解集為（﹣

∞

，

4

），整數解有無窮多，故

a

＝

0

不符合條件；

44

）

]

（

x

﹣

4

）＞

0

，其中

a

??

4

，

aa

4

∴故解集為（﹣∞

，

4

）∪（

a

?

，

+∞

），整數解有無窮多，故

a

＞

0

不符合條件；

a

③

a

＞

0

時，

[

x

﹣（

a

?

綜上所述，

a

＝﹣

1

．

故答案為：﹣

1

．

【點睛】

本題考查了解不等式，均值不等式，意在考查學生的計算能力和綜合應用能力

.

15、

(??,3)

【解析】

畫出函數

f(x)

的圖象，再畫

y?

圍．

【詳解】

函數

f(x)

的圖象如圖所示：

3

x?a

的圖象，求出一個交點時的

a

的值，然后平行移動可得有兩個交點時的

a

的范

2

因為方程

f(x)?

3

x?a

有且只有兩個不相等的實數根，

2