光學第2章

2023年12月30日發(作者：鞋子好評語)

第二章 理想光學系統

2－1 作圖：

（1）作軸上實物點A的像A?

（2）作軸上虛物點A的像A?

（3）作垂軸實物AB的像AB?

（4）作垂軸虛物AB的像AB?

（5）畫出焦點F、F?的位置

（6）畫出焦點F、F?的位置

2－2 單透鏡成像時，若其共軛距（物與像之間距離）為250mm，求下列情況透鏡焦距：

1；（3）虛物，???4。

4l? 解：（1）實物成像時，由題意：l??l?250 又∵????4

l ∴l??50mm

l??200mm

（1） 實物，???4；（2）實物，??? 由單透鏡高斯公式：111

??l?lf? 得單透鏡的焦距為：f??40mm

（2）實物成像時，由題意：l??l?250 又∵?? ∴l??200mm

l??50mm

由單透鏡高斯公式：l?1??

l4111

????llf 得單透鏡的焦距為：f??40mm

（3）虛物成像時，由題意：l?l??250 又∵?? ∴l?50mm

l???200mm

由單透鏡高斯公式：l???4

l111??

l?lf? 得單透鏡的焦距為：f???40mm

2－3 有一薄正透鏡對某一實物成一倒立實像，像高為物高的一半，今將物向透鏡移近100mm，則所得的像與物同樣大小，求該薄正透鏡的焦距。

解：物體未移動時，由題意：??? 移動后：???1?1f?

?2xf?

x?100 解之得：f??100mm

x??200mm

2－4 一個薄透鏡對某一物體成實像，放大率為－1，今以另一透鏡緊貼在第一透鏡上，則見像向透鏡方向移動20mm，放大率為原先的3/4倍，求兩塊透鏡的焦距。

解：單透鏡成像時：??l???1

ll??203??

l4 解之得：l??80mm

l??80mm

組合透鏡成像時，由題意：?? 對于單透鏡成像，設其焦距為f1，則有高斯公式： 求得第一塊透鏡的焦距為：f1??40mm

對于組合透鏡成像，設組合焦距為f，則有高斯公式：?111??

l?lf1??111

??l??20lf? 求得組合透鏡的焦距為：f??240mm

7? ∵兩透鏡緊貼，設第二塊透鏡的焦距為f2，則：??f1f2

f????f1?f2 ∴

1f2??11?

??ff1 ∴第二塊透鏡的焦距為：f2??240mm

2－5 一透鏡對無限遠處和物方焦點前5m處的物體成像時，二像的軸向間距為3mm，求透鏡的焦距。

解：透鏡對無窮遠處物體成像，像點位于像方焦點處。

由牛頓公式：xx???f?得：

f??

2－6 有一理想光學系統位于空氣中，其光焦度為??50D，當焦物距x＝－180mm，物高y＝60mm時，試分別用牛頓公式和高斯公式求像的位置和大小，以及軸向放大率和角放大2?xx???(?5000)?3?122.5mm

率。

解：由題意，系統的焦距為：f??1??0.02m?20mm

則物距為：l?x?f??180?20??200mm

由牛頓公式得焦像距和垂軸放大率分別為：

x??ff??20?20??2.22mm

x?180x?2.22????0.111

f?20

??? 由高斯公式得像距、垂軸放大率分別為：

l??lf??200?20??22.22mm

l?f??200?20

??l?22.2???0.111

l?200 ∴像高為：y???y??0.111?60?6.66 mm

軸向放大率為：????0.123

角放大率為：??

2－7 已知物象之間共軛距離為625mm，???1/4，現欲使???4，而共軛距離不變，試求透鏡的焦距及透鏡向物體移動的距離。（透鏡位于空氣中）

2??9

?l?1??

l4 解得：l??500mm

l??125mm

l??d 設透鏡向物體移動的距離為d，則：??4

l?d ∴d?375mm

ll?(?500)?125 焦距為：f????100mm

l?l??500?125 解：由題意：

l??l?625

??

2－8 已知一透鏡r1?20.5mm，r2?15.8mm，d?10.8mm，n?1.61，求其焦距、光焦度、基點位置。

解：f1??nr11.61?20.5??54.1mm

n?11.61?1

f2?nr2r1.61?15.815.8???41.7mm

f2??2????25.9mm

n?11.61?1n?11.61?1???d?f1?f2?10.8?54.1?41.7??1.6mm

??f1f254.1?(?25.9)????875.7mm ∴透鏡的焦距為：f?????1.6 光焦度：??11???1.142D

?f?0.8757?d?f1)??875.7?(1?10.8)??700.88mm

54.1 焦點位置：lF?f?(1?

lF??f?(1?d10.8)?875.7?(1?)?1102.5mm

f241.7d?f1?875.7?10.8?174.82mm

54.1 主平面位置：lH??f??

lH??f?

d10.8?875.7??226.8mm

f241.7?2－9 一薄透鏡f1?200mm和另一薄透鏡f2?50mm組合，組合焦距為100mm，求兩透鏡的相對位置和組合的主點位置。

???f1f2200?50 解：∵f?? ∴100?

??250?df1?f2?d∴兩透鏡間的距離為：d?150mm

組合后的主點位置：lH??f??d?f1d??100?150??75mm

200150?300mm

?50

lH??f??f2???100?

2－10 一薄透鏡由5D和－10D的兩個薄透鏡組成，兩者間距為50mm，求組合系統的光焦度和主點位置，若把兩透鏡順序顛倒，再求其光焦度和主點位置。

解：當光焦度為5D的薄透鏡放在前面時，組合系統的光焦度為：

???1??2?d?1?2?5?10?0.05?5?(?10)??2.5D

主點位置：lH??f??d?f1d??d?1?d?2??50?5?100mm

?2.5?10?200mm

?2.5lH??f??f2????50? 當光焦度為－10D的薄透鏡放在前面時，組合系統的光焦度仍為－2.5D

主點位置：lH???d?1???50??10??200mm

?2.5lH?

d?2??50?5??100mm

?2.5??2－11 有三個透鏡，f1?100mm，f2?50mm，f3??50mm，其間隔d1?10mm，?d2?10mm，設該系統處于空氣中，求組合系統的像方焦距。

解：設h1?100mm，u1?0，則：

100?htanu1?1??1?tanu2

?100f1?h2?h1?d1tanu1?100?10?1?90mm

h90?tanu2?tanu2?2?1??2.8?tanu3

?50f2?h3?h2?d2tanu2?90?10?2.8?62mm

h62?tanu3?tanu3?3?2.8??1.56

??50f3∴組合系統的像方焦距為：f??h1tanu3???100?64.1mm

1.56?2－12一個三片型望遠鏡系統，已知f1?100mm，f2??250mm，f3?800mm，入射平行光在三個透鏡上的高度分別為：h1?1.5mm，h2?1mm，h3?0.9mm，試求合成焦距和d1、d2的值。

解：∵???1??hh2110.91?2?3?3????0.0080833

h1h11001.5?(?250)1.5?800mm

∴合成焦距為：f??1??123.71mm

u1?

tan?h11.5??0.015?tanu2

?100f1 ∴d1?h1?h21.5?1??33.33mm

?0.015tanu1h21?0.015??0.011

??250f2

tanu2?tanu2??∴d2?h2?h31?0.9??9.091mm

?0.011tanu2

2－13 一球形透鏡，直徑為40mm，折射率為1.5，求其焦距和主點位置。

解：對于直徑為40mm的球形透鏡，兩個折射面的半徑分別為20mm和－20mm，厚度d為40mm，則：

f1??nr11.5?20??60mm

n?11.5?1nr2r1.5?(?20)?20????60mm

f2??2???40mm

n?11.5?1n?11.5?1f2????d?f1?f2?40?60?60??80mm

??f1f260?40???30mm ∴透鏡的焦距為：f?????80 主平面位置：lH??f??d?f1??30?40??20mm

60

lH??f?

d40??30??20mm

f2?60?2－14 有一雙薄鏡系統，f1?100mm，f2??50mm，要求總長度（第一透鏡至系統像方焦點的距離）為系統焦距的0.7倍，求兩透鏡的間隔和系統的焦距。

解：第一透鏡至系統像方焦點的距離為：d?lF

則由題意：d?lF?0.7f?

??

∴d?f?(1?df1?)?0.7f? ∴d?f?(df1??0.3)

??f1f2 ∵f???

??d?f1?f2 上兩式聯立求解得：d?81.62mm，f??158.1mm

或d?18.375mm，f???158.1mm

由題意，f?應為正值，故兩透鏡的間隔和系統的焦距為：d?81.62mm，f??158.1mm

2－15 由兩個同心的反射球面（兩球面的球心重合）構成的光學系統，按照光線的反射順序第一個反射球面是凹面，第二個反射球面是凸面，要求系統的像方焦點恰好位于第一個反射球面的頂點，若兩球面間隔為d，求兩球面的半徑和組合焦距。

解：由題意，兩個同心的反射球面如圖所示，且：lF??d，r1?r2?d

對于反射球面：f1?f1???r1?r

f2?f2?2

22∵lF???f1f2dd?f?(1?)??(1?)

???f1d?f1?f2f1∴?r1r22d(1?)??d

2(2d?r1?r2)r1將r1?r2?d代入上式可求得：r1?3d

∴r2?r1?d?2d

組合焦距為：

3dd???f1f22f???????3d

?3dd?f1?f2d??d2

2－16 已知物點A離透鏡的距離?l1為30mm，透鏡的通光口徑D1為30mm，在透鏡后10mm處有一光孔，其直徑D2為22mm，像點A?離透鏡的距離l1?60mm，試求這個系統的孔徑光闌、入瞳和出瞳。

解：由高斯公式，得透鏡焦距為：f???l1l1?60?(?30)??20mm

l1?l1??30?60

光孔D2對前面透鏡成像，即已知l2?10mm，則物距為：

l2???f?l210?20??20mm

?20?10f??l2?則光孔D2對前面透鏡成像D2為：

D2??D2l222?20??44mm

?10l2∴D1和D2對軸上物點A的夾角分別為：

u1?arctanD130?arctan?26.565?

2(?l1)2?30?D244

u2?arctan?arctan?23.749?

2(?l1?l2)2?50 ∵u2?u1

∴D2是入瞳，相應光孔D2為孔徑光闌，它被后面透鏡成像為出瞳，因為其后沒有透鏡，所以出瞳與光孔D2重合。

2－17 有一物鏡焦距f??100mm，其框直徑D2?40mm，在它前面50mm處有一光孔，直徑D1為35mm，問物點在－500mm和－300mm時，是否都是由同一光孔起孔徑光闌作用？相應的入瞳和出瞳的位置和大小如何？

解：光孔和透鏡前都不再有透鏡，因此它們在物方空間的像與各自本身重合。

當l??500mm時，光孔1和物鏡2對物點的張角分別為：

u1?arctan?D135?arctan?2.227?

2(l?d)2?(?500?50)D240?arctan?2.29?

2l2?500

u2?arctan∵u2?u1 ∴光孔1是孔徑光闌也是入瞳，光孔對后面的透鏡成像得其出瞳位置：

l1??f?l1100?(?50)???100mm

?f?l1100?50

?D1l135?(?100)??70mm 相應的出瞳直徑為：D1?l1?50?當l??300mm時，光孔1和物鏡2對物點的張角分別為：

u1?arctanD135?arctan?4.004?

2(l?d)2?(?300?50)D240?arctan?3.814?

2l2?300

u2?arctan∵u2?u1 ∴透鏡內孔為孔徑光闌，而且也是入瞳和出瞳。

2－18 將一個f??40mm，直徑D1?30mm的薄透鏡做成放大鏡，眼瞳2放在透鏡像方焦點上，眼瞳直徑D2?4mm，物面放在透鏡物方焦點上，試問：

（1） 哪一個是孔徑光闌，哪一個是視場光闌？

（2） 入瞳在哪里？物方半視場角等于多少？

（3） 入射窗在哪里？視場邊緣是否有漸暈？視場線等于多少？

解：（1）如圖，由于眼瞳2放在透鏡像方焦點上，物面放在透鏡物方焦點上，則透鏡1和眼瞳2對物點的張角分別為：

u1?arctanD130?arctan?20.56?

2f?2?40D24?arctan?2.86?

2f?2?40

u2?arctan∵u2?u1 ∴眼瞳是孔徑光闌。由于系統只有兩個光孔，所以其中之一為孔徑光闌，則另一必為視場光闌，據此可知透鏡框為視場光闌。

（2）∵孔徑光闌在透鏡的像方焦平面上

∴入瞳在物空間無限遠處，物方半視場角：??u2?2.86?

（3）∵視場光闌是透鏡，在其前面沒有成像透鏡，所以透鏡既是入射窗。

且由于入射窗與物面不重合，所以視場邊緣有漸暈，線視場直徑為：

D?D1?D2?30?4?26mm

2－19 現有一照相機，其物鏡f??40mm，現以常攝距離p?3m進行拍攝，相對孔徑分別采用1/3.5和1/22，試分別求其景深。

解：Df?D1＝1/3.5時

2a?D?f??21.43mm

f?1.354ap2?2?21.43?30002?0.00029??243.98mm 則景深為：??2222224a?p?21.43?3000?0.00029D1＝1/22時

2a?D?f??3.41mm

f?224ap2?2?3.41?30002?0.00029??1637.37mm 則景深為：??2222224a?p?3.41?3000?0.00029