蘇教版數學高二- 必修5素材 3.2一元二次不等式的解集為R的條件及應用

2024年2月21日發(作者：中班防火安全教案)

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3.2 一元二次不等式的解集為R的條件及應用

我們知道，當a?0，且當??0時，不等式ax?bx?c?0(a?0)的解集為R；反之，亦然. 這是一個及其重要的結論，本文舉例說明其應用，供參考.

2一、求參數的值

例1． 已知二次函數f(x)的圖象經過點(?1,0), 是否存在常數a,b,c使不等式1?x2x?f(x)?對一切實數x恒成立，若存在，求出a,b,c；若不存在，請說明理由.

2解：假設存在符合條件的a、b、c.

f(x)的圖象過點(?1,0)，?f(?1)?0,即a?b?c?0.

11x?f(x)?(1?x2)對一切x?R都成立，令x?1，則1?a?b?c?（1?12）.

22?a?b?c?1.

1111?b?，a?c?，f(x)?ax2?x?(?a).

22221?21f(x)?x,ax?x?(?a)?0,(1)????22??即?對x?R成立.

12f(x)?(1?x).11??(a?)x2?x?a?0.(2)?2??22?a?0,?1?a?0,?1??1?a?. 由（1）a?0時，不合題意，所以，???0,?4a(?a)?0,4??42??12代入（2）得x?2x?1?0解集為R.

411故存在滿足條件的a,b,c，使a?c?,b?.

42將a?二、求參數的取值范圍

例2．知實數a,b,c,d滿足a?b?c?d?5,a?b?c?d?7, 求a的最大值.

解：構造函數y?(x?b)?(x?c)?(x?d)2222222x?R，

?y?3x2?2(b?c?d)x?b2?c2?d2 ?0,x?R，當且僅當x?b?c?d時取等高中數學

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2號，則有??4(b?c?d)?12(b?c?d)?0，即2a?5a?2?0，解得22221?a?2.2故當b?c?d=1時a取最大值2.

例3．已知對于任意實數m，方程m(x?1)?(x?a)?0恒有實根，求實數a的取值范圍.

解：方程可化為mx?x?(m?a)?0.

（1）當m?0時，方程恒有實根x?a；

（2）當m?0時，任意實數m，方程mx?x?(m?a)?0恒有實根，

則判別式??1?4m(m?a)?0(m?R)恒成立，即4m?4ma?1?0對任意實數m恒成立，所以，??16a?16?0，解得?1?a?1.

綜上，得當m?0時，a?R；當m?0時，?1?a?1.

注意：（1）不等式ax?bx?c?0,x?R恒成立, 則a?0，且判別式??0，或

a?b?0，且c?0．（2）不等式ax?bx?c?0,x?R恒成立, 則a?0，且判別式??0或

a?b?0，且c?0．（3）不等式ax?bx?c?0(a?0)x?[m,n]恒成立，則a?0,??0;或

2222222/2a?0,?bb?m,f(m)?0;或a?0,??n,f(n)?0.

2a2a2（4）不等式ax?bx?c?0(a?0)x?[m,n]恒成立, 則a?0,??0;或

a?0,?bb?m,f(m)?0;或a?0,??n,f(n)?0.

2a2a三、證明不等式證明不等式

例4．已知a?0, 函數y?ax?bx，當b?0時，若對任意x?R都有y?1，求證：2a?2b.

2證明：依題意，有ax?bx?1, 即bx?ax?1?0(x?R)，而b?0,

22所以，??(?a)?4b?0,又a?0,?a?2b.

222例5．設a,b,c?R,且a?b?c?1,求證：a?b?c?1.

3高中數學

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證明: 構造函數y?(x?a)?(x?b)?(x?c)?0,

而y?3x?2(a?b?c)x?a?b?c?0,x?R恒成立，則判別式

2222222??4(a?b?c)2?12(a2?b2?c2)?0.

因為a?b?c?1，故a?b?c?2221.

3同步練習（供選用）

3x2?kx?2k?2對一切實數x恒成立，求實數k的取值范圍． 1．不等式2x?x?2ax2．當x?(?2,6)時，ax2?a2x?2b?a3?0.

（1）求a,b的值；

（2）當k為何值時，?2?a2x?2b?a3?0,當x?(??,?2)?(6,??)時,

k(ax2?a2x?2b?a3)?3kx?2(6k?1)恒為負值？

423．（1）若對任意實數x,不等式(k?2)x?(k?2)x?k?2?0恒成立, 則實數k的取值范圍是_____;

（2）若集合{x|(m?1)x?(m?1)x?1?0}?R, 則實數m的取值范圍是_____.

（3）設集合P?{m|?1?m?0}，Q?{m|mx?4mx?4?0對任意實數x恒成立222}，則下列關系中成立的是（ ）

（A）P?Q （B）Q?P （C）P?Q （D）P?Q??

4．已知函數y?(k?4k?5)x?4(1?k)x?3的圖象都在x軸的上方，求實數k的取值范圍.

5．已知函數y??(a?11a?10)x?(a?1)x?2(x?R)的值恒為正數, 求實數a的取值范圍.

6．函數f(x)?x?ax?3，當

x?[?2,2]時，f(x)?a恒成立, 求實數a的取值范圍.

22222高中數學

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7．若函數f(x)?ax2?ax?1的定義域為R，求實數a的取值范圍.

a答案

1． 2．?4,?8,?8?k?0；3．（1）k?2；（2）?1?m?[2,10]；5．[1,9) 6．[?7,2] 7．(0,2]

3A 4．[1,19)

.（3）5高中數學