排列組合
復習鞏固
1.分類計數原理(加法原理)
完成一件事，有類辦法，在第1類辦法中有種不同的方法，在第2類辦法中有種不同的方法，…，在第類辦法中有種不同的方法，那么完成這件事共有：種不同的方法．
2.分步計數原理（乘法原理）
完成一件事，需要分成個步驟，做第1步有種不同的方法，做第2步有種不同的方法，…，做第步有種不同的方法，那么完成這件事共有：種不同的方法．
3.分類計數原理分步計數原理區別
分類計數原理方法相互獨立，任何一種方法都可以獨立地完成這件事。
分步計數原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一個階段，不能完成整個事件．
一.特殊元素和特殊位置優先策略
例1.由0,1,2,3,4,5可以組成多少個沒有重復數字五位奇數.
解:由于末位和首位有特殊要求,應該優先安排,以免不合要求的元素占了這兩個位置. 先排末位共有
然后排首位共有
最后排其它位置共有
由分步計數原理得
練習題:7種不同的花種在排成一列的花盆里,若兩種葵花不種在中間，也不種在兩端的花盆里，問有多少不同的種法？
二.相鄰元素捆綁策略
例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相鄰且丙丁相鄰, 共有多少種不同的排法.
解：可先將甲乙兩元素捆綁成整體并看成一個復合元素，同時丙丁也看成一個復合元素，再與其它元素進行排列，同時對相鄰元素內部進行自排。由分步計數原理可得共有種不同的排法
三.不相鄰問題插空策略
例3.一個晚會的節目有4個舞蹈,2個相聲,3個獨唱,舞蹈節目不能連續出場,則節目的出場順序有多少種？
解:分兩步進行第一步排2個相聲和3個獨唱共有種，第二步將4舞蹈插入第一步排好的6個元素中間包含首尾兩個空位共有種不同的方法,由分步計數原理,節目的不同順序共有 種
四.定序問題倍縮空位插入策略
例4. 7人排隊,其中甲乙丙3人順序一定共有多少不同的排法
解:(倍縮法)對于某幾個元素順序一定的排列問題,可先把這幾個元素與其他元素一起進行排列,然后用總排列數除以這幾個元素之間的全排列數,則共有不同排法種數是：
(空位法)設想有7把椅子讓除甲乙丙以外的四人就坐共有種方法，其余的三個位置甲乙丙共有 1種坐法，則共有種方法。
五.重排問題求冪策略
例5.把6名實習生分配到7個車間實習,共有多少種不同的分法
解:完成此事共分六步:把第一名實習生分配到車間有 7 種分法.把第二名實習生分配到車間也有7種分依此類推,由分步計數原理共有種不同的排法
六.環排問題線排策略
例6. 8人圍桌而坐,共有多少種坐法?
解：圍桌而坐與坐成一排的不同點在于，坐成圓形沒有首尾之分，所以固定一人并從此位置把圓形展成直線其余7人共有（8-1）！種排法即！
七.多排問題直排策略
例7.8人排成前后兩排,每排4人,其中甲乙在前排,丙在后排,共有多少排法
解:8人排前后兩排,相當于8人坐8把椅子,可以把椅子排成一排.個特殊元素有種,再排后4個位置上的特殊元素丙有種,其余的5人在5個位置上任意排列有種,則共有種
八.排列組合混合問題先選后排策略
例8.有5個不同的小球,裝入4個不同的盒內,每盒至少裝一個球,共有多少不同的裝法.
解:第一步從5個球中選出2個組成復合元共有種方法.再把4個元素(包含一個復合元素)裝入4個不同的盒內有種方法，根據分步計數原理裝球的方法共有
九.小集團問題先整體后局部策略
例9.用1,2,3,4,5組成沒有重復數字的五位數其中恰有兩個偶數夾1,５在兩個奇數之間,這樣的五位數有多少個？
解：把１,５,２,４當作一個小集團與３排隊共有種排法，再排小集團內部共有種排法，由分步計數原理共有種排法 .
十.元素相同問題隔板策略
例10.有10個運動員名額，分給7個班，每班至少一個,有多少種分配方案？
解：因為10個名額沒有差別，把它們排成一排。相鄰名額之間形成９個空隙。在９個空檔中選６個位置插個隔板，可把名額分成７份，對應地分給７個班級，每一種插板方法對應一種分法共有種分法。
十一.正難則反總體淘汰策略
例11.從0,1,2,3,4,5,6,7,8,9這十個數字中取出三個數，使其和為不小于10的偶數,不同的
取法有多少種？
解：這問題中如果直接求不小于10的偶數很困難,可用總體淘汰法。這十個數字中有5個偶數5個奇數,所取的三個數含有3個偶數的取法有,只含有1個偶數的取法有,和為偶數的取法共有。再淘汰和小于10的偶數共9種，符合條件的取法共有
十二.平均分組問題除法策略
例12. 6本不同的書平均分成3堆,每堆2本共有多少分法？
解: 分三步取書得種方法,但這里出現重復計數的現象,不妨記6本書為ABCDEF，若第一步取AB,第二步取CD,第三步取EF該分法記為(AB,CD,EF),則中還有(AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB)(EF,CD,AB),(EF,AB,CD)共有種取法 ,而這些分法僅是(AB,CD,EF)一種分法,故共有種分法。
十三. 合理分類與分步策略
例13.在一次演唱會上共10名演員,其中8人能能唱歌,5人會跳舞,現要演出一個2人唱歌2人伴舞的節目,有多少選派方法
解：10演員中有5人只會唱歌，2人只會跳舞3人為全能演員。選上唱歌人員為標準進行研究只會唱的5人中沒有人選上唱歌人員共有種,只會唱的5人中只有1人選上唱歌人員種,只會唱的5人中只有2人選上唱歌人員有種，由分類計數原理共有 種。
十四.構造模型策略
例14. 馬路上有編號為1,2,3,4,5,6,7,8,9的九只路燈,現要關掉其中的3盞,但不能關掉相鄰的2盞或3盞,也不能關掉兩端的2盞,求滿足條件的關燈方法有多少種？
解：把此問題當作一個排隊模型在6盞亮燈的5個空隙中插入3個不亮的燈有 種
十五.實際操作窮舉策略
例15.設有編號1,2,3,4,5的五個球和編號1,2,3,4,5的五個盒子,現將5個球投入這五個盒子內,要求每個盒子放一個球，并且恰好有兩個球的編號與盒子的編號相同,有多少投法
解：從5個球中取出2個與盒子對號有種還剩下3球3盒序號不能對應，利用實際操作法，如果剩下3,4,5號球, 3,4,5號盒3號球裝4號盒時，則4,5號球有只有1種裝法，同理3號球裝5號盒時,4,5號球有也只有1種裝法,由分步計數原理有種
十六. 分解與合成策略
例16. 30030能被多少個不同的偶數整除
分析：先把30030分解成質因數的乘積形式30030=2×3×5 × 7 ×11×13，依題意可知偶因數必先取2,再從其余5個因數中任取若干個組成乘積，所有的偶因數為：
練習:正方體的8個頂點可連成多少對異面直線
解：我們先從8個頂點中任取4個頂點構成四體共有體共,每個四面體有3對異面直線,正方體中的8個頂點可連成對異面直線
十七.化歸策略
例17. 25人排成5×5方陣,現從中選3人,要求3人不在同一行也不在同一列,不同的選法有多少種？
解：將這個問題退化成9人排成3×3方陣,現從中選3人,要求3人不在同一行也不在同一列,有多少選法.這樣每行必有1人從其中的一行中選取1人后,把這人所在的行列都劃掉，如此繼續下去.從3×3方隊中選3人的方法有種。再從5×5方陣選出3×3方陣便可解決問題.從5×5方隊中選取3行3列有選法所以從5×5方陣選不在同一行也不在同一列的3人有選法。
十八.數字排序問題查字典策略
例18．由0，1，2，3，4，5六個數字可以組成多少個沒有重復的比324105大的數？
解:
十九.樹圖策略
例19．人相互傳球,由甲開始發球,并作為第一次傳球,經過次傳求后,球仍回到甲的手中,則不同的傳球方式有______
二十.復雜分類問題表格策略
例20．有紅、黃、蘭色的球各5只,分別標有A、B、C、D、E五個字母,現從中取5只,要求各字母均有且三色齊備,則共有多少種不同的取法
二十一：住店法策略
解決“允許重復排列問題”要注意區分兩類元素：一類元素可以重復，另一類不能重復，把不能重復的元素看作“客”，能重復的元素看作“店”，再利用乘法原理直接求解.
例21.七名學生爭奪五項冠軍，每項冠軍只能由一人獲得，獲得冠軍的可能的種數有 .
分析：因同一學生可以同時奪得n項冠軍，故學生可重復排列，將七名學生看作7家“店”，五項冠軍看作5名“客”，每個“客”有7種住宿法，由乘法原理得7種.
