《隨機信號分析基礎》第5章 課件 _窄帶隨機過程

第5章 窄帶隨機過程

在實際通信系統中所遇到的信號和系統多為窄帶的，即信號帶寬遠小于中心頻率

Dw

w

0

，

w?DwwDw?w

000

當隨機信號功率譜只分布在載波附近窄頻帶范圍（）內，其余均為0，

Dw

則該隨機信號屬窄帶隨機過程。

5.1 零均值窄帶平穩隨機過程

窄帶隨機過程可以看作振幅和相位作隨機緩變的正弦波

A(t)F(t)

XtAttt

()

=w+F

()cos()

êú

??

éù

o

（5.1）

=-

AttAtt

c

()cos()()sin()

ww

oso

其中

同相分量(In-pha Component)

A=A(t)cosF(t)

c

正交分量(Quadrature Component,書上稱為幾何“垂直”分量)

A=A(t)sinF(t)

s

習慣稱為“同相”和“正交”分量。

5.1.1 統計特性

通常，一個窄帶零均值的平穩過程。可以證明，一個窄帶零均值平穩過程其()

X(t)

At和

c

At有特性（不做證明要求）：

s

()

EX(t)=EA(t)=EA(t)=0

{}{}{}

cs

進而有

RRR()R()

AcAsAcAsAsAc

()()

t=t，t=-t

說明同相分量

AtA(t)

cs

()

與正交分量的自相關函數相同。同時由互相關定義有

5‐ 1 / 7

R()=R()cos()()sin()

XAcAcAs

ttwt-twt

00

R

=R()cos()()sin()

AsAsAc

twt+twt

00

R

RR

AcAsAsAc

()()

t=-t，因此

RR

AcAsAsAc

(0)(0)0

==

? 說明在同一時刻上，與互不相關。同時

A(t)A(t)

cs

222

RRR

XAcAsX

(0)(0)(0)

==?s=s=s

AcAs

? 說明與同相分量、正交分量具有相同的平均功率。

X(t)A(t)A(t)

cs

? 若為高斯過程，則與也為高斯過程，且相互獨立。

X(t)A(t)A(t)

cs

綜合：零均值窄帶平穩高斯過程的同相分量

X(t)

AtA(t)

cs

()

和正交分量 也是具有相同方差的零

均值平穩高斯過程。

5.1.2 包絡和相位的概率密度

反過來，可用兩個分量來描述：

X(t)

幅度

AtAtAt

()()()

=+，相位

cs

22

F=

()arctan

t

At

s

()

At

c

()

可以證明(詳見第一章中復隨機變量

ZXjY

=+=的包絡和相位)：

Re

j

Q

? 與統計獨立?。

A(t)F(t)f(a,f)=f(a)f(f)

? 包絡服從瑞利（Rayleigh）分布，如圖5.1所示。

A(t)

5‐ 2 / 7

éù

atat

()()

2

（3） （5.2）

fat

A

(;)exp

=-

22

êú

A0

êú

2ss

XX

??

相位服從均勻分布：

F

(t)

ft

F

(;)

f

=

1

， 或 （5.3）

0(t)2(t)

￡f￡p-p￡f￡p

2

p

5.2 余弦波加窄帶高斯過程

余弦波(信號)+窄帶高斯噪聲

X(t)acos(t)N(t)

=w+q+

0

其中為窄帶零均值高斯噪聲，為在上均勻分布的隨機相位。

N(t)q(0,2p)

N(t)

可表示為

NtAttAtt

()()cos()sin

=w-w

cs

00

因此

XtaAttaAtwt

() = [cos+()]cos[sin+()] sin

qw-q

cs0

0

= ()cos[+()]

Atwtt

0

F

包絡

AtaqAtaqAt

()(cos())(sin())

=+++

cs

22

，

相位

F

() = arctan

t

可以證明：包絡服從Rice分布(廣義Rayleigh 分布)

A(t)

????

AaaAA

22

+

÷÷

??

÷÷

(|)()exp, 0

-==3

fAqfAIA

222

??

(5.4)

0

÷÷

??

÷÷

??

sss

2

?è?è

aAt

sin + ()

q

s

aAt

cos + ()

q

c

?=

是零階修正貝塞爾函數。 為噪聲方差，

如圖5.2。其中

sD[N(t)]I()

2

0

1

2

p

Ixxd

0

()exp(cos)

=

qq

2

p

ò

0

在低信噪比

ra

=

(s)

2

情況下，包絡近似為瑞利分布；在高信噪比情況下，包絡近似為高斯分

布。

??

AAa

22

÷

?

?

1()exp ,

-?

222

÷

fA

?

÷

?

÷

?

sss

22

è?

5‐ 3 / 7

fA

()exp , 1

?-

??

()1

Aaa

-

22

÷

?

÷

?

?

÷

22

?

÷

?

22

ss

è?

2

ps

（簡化推導見書『隨機信號分析』223頁）

相位分布集中分布在0附近，但在低信噪比情況下，近似為均勻分布。相位分布概率

f()

F

0

密度函數如圖5.3 所示。

圖5.2 Rice分布概率密度函數

圖5.3 余弦波加高斯窄帶過程的相位分布

5‐ 4 / 7

XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX

設隨機信號，其中均為常數，為零均值的高斯隨機信號，其方差

X(t)=acos(wt)+n(t)w

a,n(t)

為

sX(t)

2

，求概率密度函數

解: 是均值為零、方差為

n(t)

sn(t)

2

的高斯隨機信號，得的概率密度函數：

fte

n

()

=

1

2

ps

-

n

2

2

s

2

又，帶入上式即可得到的概率密度函數：

n(t)X(t)acostX(t)

=-w

fte

X

()

=

1

2

ps

-

[()cos]

xtat

-w

2

2

s

2

XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX

例： 若隨機信號

Stmtwtq

m

()()cos(+)

=，其中

c

w

c

為常數；是零均值寬平穩隨機信號，且自

m(t)

相關函數和功率譜密度分別為

RtP(w)R(0)1q[p,p]

mmm

()

和且；在區間是從均勻分布的隨

=-

機變量，它與彼此統計獨立。

m(t)

(1) 證明

St

m

()

是寬平穩的；

(2) 求

StP(w)

ms

()

功率譜密度及總平均功率。

P

解：(1) ∵

EStEmtt

[()][()cos(+)]

m

=

wq

c

（）

m(t)和統計獨立

q

=wq

EmtEt

[()][cos(+)]

c

=wqq

Emttd

[()]cos(+)

ò

=wq

Emtt

[()]sin(+)

2

p

0

c

2

p

1

c

0

2

p

1

=-

Emttt

[()]sin(+2)sin(c)

éù

êú

??

wpw

c

2

p

=

0

CttRttEStESt

ssmm

mm

(,)(,)[()][()]

121212

=-

REStSt

smm

m

()[()()]

t=+t

=wq+tw+tq

Emttmtt

{()cos(+)()cos[()+]}

c

c

=+twqw+tq

EmtmtEtt

[()()]{cos(+)cos[()+]}

cc

1

=t′wt+q-wt

REt

m

(){cos[(2+)2]cos()}

cc

2

22

pp

11

1

=t′wt

Rt

m

(){cos[(2+)

òò

c

+qq-wtq

2]cos()}

dd

c

00

22

pp

2

1

=twt

R

m

()cos()

c

2

11

2

且

ESt=R=R=<￥

[()](0)(0)

msm

m

22

1

2

p

5‐ 5 / 7

由上可見：

StE[S(t)]R(t)

mms

()

的均值與時間t無關，相關函數只與時間間隔有關。

m

t

∴

St

m

()

是寬平穩的隨機信號。

（2）由于

St

m

()

是寬平穩隨機信號，所以由維納‐辛欽定理知：

StP(f)R()

mss

()

的功率譜密度與其自相關函數是一對傅立葉變換對。則有：

m

t

1

PFTRFTR

ssm

()[()][()cos()]

w=t=twt

m

c

2

11

?????????PP

=?w*w

[()()]

mc

22

p

其中

PfP()

mc

()

是的功率譜密度，是

m(t)

w

cos()

wt

c

的頻譜，

又因為

P=-++

ccc

()[()()]

wpdwwdww

所以

11

PP

smcc

()()*[()()]

wwpdwwdww

=-++

?

22

p

1

=w-w+dw+w

[()(]

PP

mcmc

4

11

功率

P=R=R=

sm

m

(0)(0)cos0

22

1111

￥￥

或則

PPdPPd

=?=-++=

()[()()]

wwwwwww

smcmc

4222

pp

òò

-￥-￥

XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX

若零均值平穩窄高斯隨機信號的功率譜密度如題圖

X(t)

（1）試寫出此隨機信號的一維概率密度函數；

（2）寫出的同相分量、正交分量在同一時刻的聯合概率密度函數。

X(t)

Gw

x

()

A

?w

0

解：（1）零均值平穩窄帶高斯信號 的正交表達式為

X(t)

w

0

W

2

XtAtwtAtwt

()=()cos-()sin

cs

00

1

￥

AW

基于功率譜計算功率得

PRGwdw

====

xX

(0)()

s

22

pp

ò

-￥

5‐ 6 / 7

X(t)

為0均值的高斯隨機信號,所以

XtN

()(0,)

?

s

2

因此可得一維概率密度

fxe

X

(),

=s=

1

2

ps

-

x

2

2

s

2

2

AW

2

p

（2）由

A(t)A(t)X(t)A(t)A(t)X(t)

cscs

與的關系知：也為平穩高斯隨機信號，且與有相同的期

望和方差。且在同一時刻二者互不相關或者是計獨立。即

R(0)=R(0)=0

AsAcAcAs

faafafaee

AcAscsAccAss

(,)()()exp

==-=

111

22

psps

--

22

aa

cs

22

ss

22

??

aa

cs

22

+

÷

?

÷

?

÷

22

?

22

pss

÷

è?

XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX

5‐ 7 / 7