八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)三角形有關(guān)的角-燕尾模型專項(xiàng)練習(xí)(含解析)

2023年12月10日發(fā)(作者：田忌賽馬教學(xué)反思)

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三角形有關(guān)的角-燕尾模型專項(xiàng)練習(xí)

如圖：這樣的圖形稱之為“燕尾模型”

結(jié)論：∠BDC=∠A+∠B+∠C

一、單選題

，∠B＝70°，將紙片的一角折疊，使點(diǎn)C落在△ABC外，若∠21．如圖，在三角形紙片ABC中，∠A＝60°＝18°，則∠1的度數(shù)為（ ）

A．50° B．118° C．100° D．90°

，∠ABC與∠ACB的角平分線交于D1，∠ABD1與∠ACD1的角平分線交2．如圖，在△ABC中，∠A=20°于點(diǎn)D2，依此類推，∠ABD4與∠ACD4的角平分線交于點(diǎn)D5，則∠BD5C的度數(shù)是（ ）

A．24°

二、填空題

B．25° C．30° D．36°

3．如右圖，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H＝__． 4．如圖，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝__．

5．如圖，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E等于__．

6．如圖，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H＝__．

7．如圖，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H＝__．

8．如圖，則∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度數(shù)是__． 9．如圖，在?ABC中，?ABC?80?，?ACB?50?，BP平分?ABC，CP平分?ACB，則?BPC?______.

三、解答題

10．如圖(1)所示的圖形，像我們常見的學(xué)習(xí)用品——圓規(guī)．我們不妨把這樣圖形叫做“規(guī)形圖”，那么在這一個(gè)簡(jiǎn)單的圖形中，到底隱藏了哪些數(shù)學(xué)知識(shí)呢？下面就請(qǐng)你發(fā)揮你的聰明才智，解決以下問題：

（1）觀察“規(guī)形圖”,試探究∠BDC與∠A、∠B、∠C之間的關(guān)系，并說明理由；

（2）請(qǐng)你直接利用以上結(jié)論，解決以下三個(gè)問題：

．．．．．．①如圖(2)，把一塊三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的兩條直角邊XY、圖(1)XZ恰好經(jīng)過點(diǎn)B、C，若∠A=50°，則∠ABX+∠ACX =__________°；

，∠DBE=130°，求∠DCE的度數(shù)；（寫出解答過程）

②如圖(3)DC平分∠ADB,EC平分∠AEB,若∠DAE=50°，∠BG1C=77°，則③如圖（4），∠ABD，∠ACD的10等分線相交于點(diǎn)G1、G2???、G9，若∠BDC=140°．

∠A的度數(shù)=__________°如圖，?ABC中，（1）若?ABC、?ACB的三等分線交于點(diǎn)O1、O2，請(qǐng)用?A表示?BO1C、?BO2C；11．（2）若?ABC、?ACB的n等分線交于點(diǎn)O1、O2??????On?1（O1、O2??????On?1依次從下到上），請(qǐng)用?A表示?BO1C，?BOn?1C. 12．如圖，D是AB上一點(diǎn)，E是AC上一點(diǎn)，BE，CD相交于點(diǎn)F，?A?62?，?ACD?35?，?ABE?20?，求?BFD的度數(shù).

13．如圖，BG是?ABD的平分線，CH是?ACD的平分線，BG與CH交于點(diǎn)O，若?BDC?150?，?BOC?110°，求?A的度數(shù).

14．如圖，AM、CM分別平分?BAD和?BCD，若?B?42?，?D?54?，求?M的度數(shù).

15．如圖，在?ABC中，?ABC與?ACB的平分線相交于點(diǎn)I，試說明?BIC、?A之間的數(shù)量關(guān)系. 如圖，已知DE分別交?ABC的邊AB、交BC的延長(zhǎng)線于F，16．AC于D、?B?62?，?ACB?76?，E，?ADE?93?，求?DEC的度數(shù).

參考答案

1．B

【分析】在△ABC中利用三角形內(nèi)角和定理可求出∠C的度數(shù)，由折疊的性質(zhì)，可知：∠CDE＝∠C′DE，∠CED＝∠C′ED，結(jié)合∠2的度數(shù)可求出∠CED的度數(shù)，在△CDE中利用三角形內(nèi)角和定理可求出∠CDE的度數(shù)，再由∠1＝180°﹣∠CDE﹣∠C′DE即可求出結(jié)論．

解：在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝70°，

﹣∠A﹣∠B＝50°．

∴∠C＝180°由折疊，可知：∠CDE＝∠C′DE，∠CED＝∠C′ED，

∴∠CED＝180???2＝99°，

2﹣∠CED﹣∠C＝31°，

∴∠CDE＝180°﹣∠CDE﹣∠C′DE＝180°﹣2∠CDE＝118°．

∴∠1＝180°故選：B．

【點(diǎn)撥】本題考查了三角形內(nèi)角和定理以及折疊的性質(zhì)，利用三角形內(nèi)角和定理及折疊的性質(zhì)求出∠CDE的度數(shù)是解題的關(guān)鍵．

2．B

【詳解】

，∠ABC與∠ACB的角平分線交于D1，

∵∠A=20°11(∠ABC+∠ACB)= (180°-∠A)，

2211， - (180°-∠A)=

∠A+90°=100°∴∠D1=180°22∴∠D1BC+∠D1CB=同理：∠D2=60°，∠D3=40°，∠D4=30°，∠D5=25°.

故選B

3．360°

【分析】根據(jù)三角形的外角性質(zhì)可得∠BNP＝∠A＋∠B，∠DPQ＝∠C＋∠D，∠FQM＝∠E＋∠F，∠HMN＝∠G＋∠H，再根據(jù)多邊形的外角和定理即可求解．

解：由圖形可知：∠BNP＝∠A＋∠B，∠DPQ＝∠C＋∠D，∠FQM＝∠E＋∠F，∠HMN＝∠G＋∠H，

，

∵∠BNP＋∠DPQ＋∠FQM＋∠HMN＝360°．

∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＝∠BNP＋∠DPQ＋∠FQM＋∠HMN＝360°故答案為：360°．

【點(diǎn)撥】本題考查了三角形的外角性質(zhì)和多邊形外角和等于360度，將∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H的和轉(zhuǎn)化為∠BNP＋∠DPQ＋∠FQM＋∠HMN的和是解題的關(guān)鍵．

4．180°

【分析】先根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得出∠CFB＝∠A＋∠C，∠BGF＝∠D＋∠E，再由三角形內(nèi)角和定理即可得出結(jié)論．

解：∵∠CFB是△ACF的外角，∠BGF是△DEG的外角，

∴∠CFB＝∠A＋∠C，∠BGF＝∠D＋∠E，

，

∵∠B＋∠CFB＋∠BGF＝180°．

∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝180°故答案為：180°．

【點(diǎn)撥】本題考查的是三角形內(nèi)角和定理，熟知三角形內(nèi)角和是180°是解答此題的關(guān)鍵．

5．180°

【分析】根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可知∠B＋∠A＝∠1，∠D＋∠E＝∠2，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可得出結(jié)論．

解：如圖，

∵∠B＋∠A＝∠1，∠D＋∠E＝∠2，

，

∵∠1＋∠2＋∠C＝180°．

∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝180°故答案為：180°．

【點(diǎn)撥】本題考查的是三角形外角的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理，熟知“三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和”是解答此題的關(guān)鍵． 6．360°

【分析】連接CF，根據(jù)三角形的外角得到由三角形外角的性質(zhì)可得：∠2＝∠G＋∠H，∠3＝∠A＋∠B，，可得：∠2＋∠3＋∠GFE＋∠4＋∠5＋∠DCB∠1＝∠D＋∠E＝∠4＋∠5，根據(jù)四邊形的內(nèi)角和為360°＝360°即∠G＋∠H＋∠A＋∠B＋∠GFE＋∠D＋∠E＋∠DCB＝360°．

解：如圖，連接FC，

由三角形外角的性質(zhì)可得：

∠2＝∠G＋∠H，

∠3＝∠A＋∠B，

∠1＝∠D＋∠E＝∠4＋∠5，

根據(jù)四邊形的內(nèi)角和為360°，可得：∠2＋∠3＋∠GFE＋∠4＋∠5＋∠DCB＝360°

即∠G＋∠H＋∠A＋∠B＋∠GFE＋∠D＋∠E＋∠DCB＝360°，

故答案為360°．

【點(diǎn)撥】本題考查了三角形的內(nèi)角與外角，解決本題的關(guān)鍵是熟記三角形的外角的性質(zhì)．

7．720°

【分析】根據(jù)三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和，可得∠2與∠H、∠G的關(guān)系，∠1與∠2、∠D的關(guān)系，根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式，可得答案．

解：如圖：

由三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和，得 ∠2＝∠H＋∠G，∠1＝∠2＋∠D，

∠1＝∠H＋∠G＋∠D，

∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H

＝∠A＋∠B＋∠C＋∠E＋∠F＋∠H＋∠G＋∠D

＝180°（6－2） ×＝270°．

故答案為：720°．

【點(diǎn)撥】本題考查了多邊形的內(nèi)角與外角，先求出∠1＝∠H＋∠G＋∠D，再求出多邊形的內(nèi)角和．

8．180°

【分析】由三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和，得∠4＝∠A＋∠2，∠2＝∠D＋∠C，進(jìn)而利用三角形的內(nèi)角和定理求解．

解：如圖可知：

∵∠4是三角形的外角，

∴∠4＝∠A＋∠2，

同理∠2也是三角形的外角，

∴∠2＝∠D＋∠C，

在△BEG中，∵∠B＋∠E＋∠4＝180°，

．

∴∠B＋∠E＋∠A＋∠D＋∠C＝180°故答案為：180°．

【點(diǎn)撥】本題考查三角形外角的性質(zhì)及三角形的內(nèi)角和定理，解答的關(guān)鍵是溝通外角和內(nèi)角的關(guān)系．

9．115?

【分析】先根據(jù)角平分線的性質(zhì)求出?PBC??PCB的度數(shù)，再利用三角形內(nèi)角和定理即可求解.

解：∵BP平分?ABC，CP平分?ACB，

1∴?PBC??PCB?(80??50?)?65?，

2∴?BPC?180??65??115?. 【點(diǎn)撥】本題考查了角平分線的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理.熟練掌握三角形內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵.

；③70 10．（1）∠BDC=∠A+∠B+∠C，詳見解析；（2）①40；②∠DCE=90°【分析】

（1）根據(jù)題意觀察圖形連接AD并延長(zhǎng)至點(diǎn)F，根據(jù)一個(gè)三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和可證∠BDC=∠BDF+∠CDF；

（2）①由（1）的結(jié)論可得∠ABX+∠ACX+∠A=∠BXC，然后把∠A=50°，∠BXC=90°代入上式即可得到∠ABX+∠ACX的值；

，∠DBE=130°即可得到∠ADB+∠AEB②結(jié)合圖形可得∠DBE=∠DAE+∠ADB+∠AEB，代入∠DAE=50°的值，再利用上面得出的結(jié)論可知∠DCE=③由②方法，進(jìn)而可得答案．

解：（1）連接AD并延長(zhǎng)至點(diǎn)F，

由外角定理可得∠BDF＝∠BAD+∠B，∠CDF＝∠C+∠CAD；

∵∠BDC＝∠BDF+∠CDF，

∴∠BDC＝∠BAD+∠B+∠C+∠CAD.

∵∠BAC＝∠BAD+∠CAD；

∴∠BDC＝∠BAC +∠B+∠C；

（2）①由（1）的結(jié)論易得：∠ABX+∠ACX+∠A＝∠BXC，

，∠BXC＝90°，

∵∠A＝50°﹣50°＝40°．

∴∠ABX+∠ACX＝90°故答案是：40；

②由（1）的結(jié)論易得∠DBE＝∠DAE +∠ADB+∠AEB，∠DCE＝∠ADC＋∠AEC＋∠A

，∠DBE=130°，

∵∠DAE=50°；

∴∠ADB+∠AEB＝80°∵DC平分∠ADB,EC平分∠AEB,

1（∠ADB+∠AEB）+∠A，易得答案．

211∠ADB,∠AEC=∠AEB

221； +50°=90°∴∠DCE＝(∠ADB+∠AEB)+∠A=40°2∴∠ADC=③由②知，∠BG1C＝，

∵∠BG1C＝77°1(∠ABD+∠ACD)+

∠A，

10，

∴設(shè)∠A為x°﹣x°，

∵∠ABD+∠ACD＝140°1(140﹣x)＋x＝77，

101∴14﹣x+x＝77，

10∴∴x＝70，

．

∴∠A為70°故答案是：70．

【點(diǎn)撥】本題考查三角形外角的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用，能求出∠BDC=∠A+∠B+∠C是解答的關(guān)鍵，注意：三角形的內(nèi)角和等于180°，三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和．

11．（1）?BO1C?120???A，?BO2C?60??131n?1?BOn?1C??180???A.

nn2n?11?A；（2）?BO1C??180???A，3nn【分析】

（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和可得?ABC??ACB?180???A，再根據(jù)?ABC、?ACB的三等分線交于點(diǎn)O1、12O2，可得?O1BC??O1CB?(180???A),?O2BC??O2CB?(180???A),然后根據(jù)三角形內(nèi)角和33定理即可用含?A表示?BO1C、?BO2C；

（2）根據(jù)（1）中所體現(xiàn)的規(guī)律解答即可.

解：（1）∵?A??ABC??ACB?180?，

∴?ABC??ACB?180???A，

∵?ABC、?ACB的三等分線交于點(diǎn)O1、O2，

12(180???A),?O2BC??O2CB?(180???A),

3311∴?BO1C?180??(?O1BC??O1CB)?180??(180???A)?120???A，

33∴?O1BC??O1CB?22?BO2C?180??(?O2BC??O2CB)?180??(180???A)?60???A；

331n?11（2）由（1）可知?BO1C?180??(180???A)??180???A，

nnnn?11n?1?BOn?1C?180??(180???A)??180???A.

nnn【點(diǎn)撥】本題考查了三角形內(nèi)角和定理及角的n等分線的性質(zhì).熟練應(yīng)用三角形內(nèi)角和定理求角的度數(shù)是解題的關(guān)鍵.

12．?BFD?63?.

【分析】根據(jù)三角形的外角性質(zhì)先求出?BDF的度數(shù)，再利用三角形內(nèi)角和定理即可注出?BFD的度數(shù).

解：在△ADC中，

?BDF??A??ACD?97?，

在在△BDF中，

?BFD?180???ABE??BDF?180??20??97??63?.

【點(diǎn)撥】本題考查了三角形內(nèi)角和定理及三角形外角的性質(zhì).熟練找出三角形內(nèi)角與外角的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

13．?A?70?.

【分析】根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)得出燕尾角的基本圖形的結(jié)論得出∠BDC、∠BOC，在根據(jù)角平分線的性質(zhì)即可得出

解：由燕尾角的基本圖形與結(jié)論可得，

?BDC??BOC??OBD??OCD①

?BOC??A??ABO??ACO②

BG是?ABD的平分線，GH是?ACD的平分線

??ABO??OBD，?ACO??OCD．

①-②得，?A?2?BOC??BDC?70?．

【點(diǎn)撥】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，角平分線的定義．注意利用“8字形”的對(duì)應(yīng)角相等求出角的關(guān)系是解題的關(guān)鍵，要注意整體思想的利用．

14．?M?48?.

【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理用∠B、再用∠B、∠M表示出∠BAM-∠BCM，∠M表示出∠MAD-∠MCD，再根據(jù)角平分線的定義可得∠BAM-∠BCM=∠MAD-∠MCD，然后求出∠M與∠B、∠D關(guān)系，代入數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算即可得解；

解：根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，∠B+∠BAM=∠M+∠BCM， ∴∠BAM-∠BCM=∠M-∠B，

同理，∠MAD-∠MCD=∠D-∠M，

∵AM、CM分別平分∠BAD和∠BCD，

∴∠BAM=∠MAD，∠BCM=∠MCD，

∴∠M-∠B=∠D-∠M，

∴∠M=11（∠B+∠D）=（42°）=48°； +54°22【點(diǎn)撥】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，角平分線的定義．注意利用“8字形”的對(duì)應(yīng)角相等求出角的關(guān)系是解題的關(guān)鍵，要注意整體思想的利用．

15．?BIC?90??1?A，見解析.

2121∠2【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理得出∠BIC=180°-（∠ABC+∠ACB）=180°-90°+A=90°+解：在1∠A，

2-∠A

ABC中，∠ABC+∠ACB=180°∵?ABC與?ACB的平分線相交于點(diǎn)I，

∴?CBI?在11?ABC，?BCI??ACB,

22BIC中

1?BIC?180??(?IBC??ICB)?180??(?ABC??ACB)

211?180?-?180???A??90???A．

22【點(diǎn)撥】本題主要考查三角形內(nèi)角和定理，以及角平分線的性質(zhì)定理，熟練掌握相關(guān)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵

16．?DEC?135?.

【分析】

根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可求解

解：在ABC中，?A=180?-?B-?ACB=180?-62?-76??42?，

∴∠DEC=?A??ADE?93??42??135?

【點(diǎn)撥】本題主要考查三角形內(nèi)角和定理和外角的性質(zhì)，掌握三角形內(nèi)角和為180°及三角形的一個(gè)外角等于不相鄰兩個(gè)內(nèi)角的和是解題的關(guān)鍵．

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