2021-2022學年上海市楊浦區存志學校八年級(上)期中數學試卷(解析版

2024年2月26日發(作者：秋水莊子)

2021-2022學年上海市楊浦區存志學校八年級第一學期期中數學試卷

一.選擇題：（本大題共6題，每題3分，滿分18分）

1．下列二次根式中，最簡二次根式有（ ）個．

；A．1

；B．2

；；．

C．3

D．4

2．已知b（b≠0）為方程x2+ax﹣b＝0的一個根，則下列正確的是（ ）

A．a+b＝1

B．a﹣b＝1

C．a+b＝﹣1

D．a﹣b＝﹣1

3．已知反比例函數y＝，下列結論正確的是（ ）

A．y隨x的增大而減小

B．圖象的兩支分別在第二、四象限

C．圖象與y＝3x的圖象有兩個交點

D．A（﹣1，3）在函數的圖象上

4．若y＝（m﹣1）x+m2﹣1是y關于x的正比例函數，則該函數圖象經過的象限是（ ）

A．第一、三象限

C．第一、四象限

B．第二、四象限

D．第二、三象限

），其中點（ ）與

5．已知A（﹣3，4），B（3，﹣4），C（2，﹣5），D（﹣5，其它三個點不在同一正比例函數的圖象上．

A．A

B．B

C．C

D．D

6．設m是非零實數，給出下列四個命題：①若﹣1＜m＜0，則＜m；②若m＞1，＜m；③若＜m，則m＞0；④若＞m，則0＜m＜1，其中是真命題的是（ ）

A．①②

B．①③

C．②③

D．②④

二.填空題：（本大題共12題，每題3分，滿分36分）

7．化簡：＝

．

8．方程（x﹣1）2＝3的根是

．

9．已知函數f（x）＝，f（2）＝

．

10．函數y＝的定義域為

．

11．“三角形的一個外角大于任何一個內角”是

命題（填“真”或“假”）．

12．若多項式x2﹣3x+m+2在實數范圍內可以因式分解，則m的取值范圍是

．

13．已知反比例函數y＝﹣，當自變量x≤﹣1時，函數值y的取值范圍是

．

14．已知P1（x1，y1），P2（x2，y2）是雙曲線y＝y2，則m的取值范圍是

．

15．平面直角坐標系中，點A（2），向左平移m個單位后恰好落在反比例函數y＝﹣上的兩點，當x1＞0＞x2時，有y1＞的圖象上，則m的值為

．

16．平面直角坐標系中，函數y＝與函數y＝2x的圖象在第一象限相交于點P（a，b），則a﹣b＝

．

17．隨著新冠疫情逐漸好轉，某口罩廠將減少口罩的出廠量，6月份的出廠量為20000只，若口罩出廠量每月下降百分率為x，8月份的出廠量為y只，則y關于x的函數解析式為

．

18．如圖，正比例函數y＝kx與反比例函數y＝的圖象交于A、C兩點，AB⊥x軸于點B，CD⊥x軸于點D，若S四邊形ABCD＝6，則m的值是

．

三.簡答題（本大題共3題，滿分18分）

19．計算：3?÷（﹣）

20．關于x的一元二次方程：（k﹣1）x2+2kx+k+3＝0有兩個不相等的實數根，求k的最大整數值．

21．已知y＝y1+y2，y1與x﹣2成反比例，y2與2x+3成正比例，當x＝1時，y＝5；當x＝3時，y＝，求y與x的函數關系式．

四.解答題（本大題共3題，滿分28分）

22．某周末小明到公園畫畫寫生，小明家到彩云湖公園的路程為3.5km，小明步行20分鐘后，在家的媽媽發現小明畫畫的工具沒有拿，立即通知小明原地等待，把工具送過去，小明媽媽追上小明把工具交給小明后立即以原來的速度返回，同時，小明以原來1.2倍的速度前往目的地．如圖是小明與小明媽媽距家的路程（千米）與小明所用時間（分鐘）之間的函數圖象，根據圖象回答下列問題：

（1）前20分鐘小明的速度為

千米/時．

（2）圖中A點的實際意義是

．

（3）小明媽媽的速度是

千米/時．

（4）小明媽媽返回家的時間比小明到達目的地早

分鐘．

23．如圖，平面直角坐標系中，直線l經過原點O和點A（6，4），經過點A的另一條直線交x軸于點B（12，0）．

（1）求直線l的表達式；

（2）求△AOB的面積；

（3）在直線l上求點P，使S△ABP＝S△AOB．

24．如圖，在△ABC中，AC＝BC＝8cm，∠C＝90°，D，E分別是邊BC，BA上的點（不

與端點重合），且DE⊥BC，設CD＝xcm，將△BDE沿DE折疊后與梯形ACDE重疊部分的面積為ycm2．

（1）當x＝3時，畫出折疊后的示意圖，并求出此時重疊部分的面積；

（2）當重疊部分的圖形為三角形時，直接寫出y與x的函數關系式，并寫出函數的定義域；

（3）求當自變量x為何值時，重疊部分的面積是S△ABC的？

五.拓展題（本大題共4題，滿分50分）

25．若α＝為一元二次方程x2﹣x+t＝0的根；

（1）則方程的另外一個根β＝

，t＝

；

（2）求α6+8β的值．

（3）求作一個關于y的一元二次方程，二次項系數為1，且兩根分別為α2，β2．

26．已知關于x的方程x2+（2k﹣1）x+k2﹣3＝0，是否存在實數k，使（2x1﹣x2）（2x2﹣x1）+20＝0成立？若存在，請求出實數k的值；若不存在，請說明理由．

27．解關于x的方程：2x3+（1﹣t）x2﹣2tx+（t2﹣t）＝0．

28．如圖，在平面直角坐標系中，B、C兩點在x軸的正半軸上，以線段BC為邊向上作正方形ABCD，頂點A在正比例函數y＝2x的圖象上，反比例函數y＝（x＞0，k＞0）的圖象經過點A，且與邊CD相交于點E．

（1）若BC＝4，求點E的坐標；

（2）連接AE，OE．

①若△AOE的面積為24，求k的值；

②是否存在某一位置使得AE⊥OA，若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由．

參考答案

一.選擇題：（本大題共6題，每題3分，滿分18分）

1．下列二次根式中，最簡二次根式有（ ）個．

；A．1

；B．2

；；．

C．3

D．4

【分析】根據最簡二次根式的定義逐個判斷即可．

解：最簡二次根式有故選：C．

【點評】本題考查了最簡二次根式的定義，能熟記最簡二次根式的定義是解此題的關鍵，滿足下列兩個條件的二次根式，叫最簡二次根式：①被開方數的因數是整數，因式是整式，②被開方數中不含能開得盡方的因數和因式．

2．已知b（b≠0）為方程x2+ax﹣b＝0的一個根，則下列正確的是（ ）

A．a+b＝1

B．a﹣b＝1

C．a+b＝﹣1

D．a﹣b＝﹣1

，，，共3個，

【分析】利用一元二次方程解的定義，把x＝b代入方程，然后兩邊除以b得到a、b的關系式．

解：把x＝b代入方程x2+ax﹣b＝0得b2+ab﹣b＝0，

∵b≠0，

∴b+a﹣1＝0，

∴a+b＝1．

故選：A．

【點評】本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數的值是一元二次方程的解．

3．已知反比例函數y＝，下列結論正確的是（ ）

A．y隨x的增大而減小

B．圖象的兩支分別在第二、四象限

C．圖象與y＝3x的圖象有兩個交點

D．A（﹣1，3）在函數的圖象上

【分析】直接利用反比例函數的性質進而分析得出答案．

解：A、反比例函數y＝，當x＞0時，y隨著x的增大而減小，故此選項錯誤；

B、反比例函數y＝，圖象在第一、三象限，故此選項錯誤；

C、反比例函數y＝，圖象在第一、三象限，直線y＝3x經過第一、三象限，反比例函數y＝圖象與y＝3x的圖象有兩個交點，故此選項正確；

D、反比例函數y＝，圖象經過點（﹣1，﹣3）和（1，3）不經過（﹣1，3），故此選項錯誤；

故選：C．

【點評】此題主要考查了反比例函數的性質，正確掌握反比例函數的性質是解題關鍵．

4．若y＝（m﹣1）x+m2﹣1是y關于x的正比例函數，則該函數圖象經過的象限是（ ）

A．第一、三象限

C．第一、四象限

B．第二、四象限

D．第二、三象限

【分析】根據正比例函數的定義確定m的值，進而利用正比例函數的性質解答即可．

解：∵y＝（m﹣1）x+m2﹣1是y關于x的正比例函數，

∴∴m＝﹣1，

∴m﹣1＝﹣1﹣1＝﹣2＜0，

∴該函數圖象經過的象限是第二、四象限，

故選：B．

【點評】本題考查了正比例函數的定義，牢記正比例函數的一般形式是解答本題的關鍵，難度不大．

5．已知A（﹣3，4），B（3，﹣4），C（2，﹣5），D（﹣5，其它三個點不在同一正比例函數的圖象上．

A．A

B．B

C．C

D．D

），其中點（ ）與，

【分析】設正比例函數為y＝kx（k≠0）．因為在同一條直線上點所在的直線的斜率k是相同的，所以，只要找出A、B、C、D四點中所在的直線的斜率不同的一點即可．

解：設正比例函數為y＝kx（k≠0）．（k≠0）．

A．將A（﹣3，4）代入為y＝kx得：k＝﹣，∴點A在正比例函數y＝﹣x上；

B．將B（3，﹣4）代入為y＝kx得：k＝﹣，∴點B在正比例函數y＝﹣x上；

C．將C（2，﹣5）代入為y＝kx得：k＝﹣，∴點C在正比例函數y＝﹣x上；

D．將D（﹣5，上；

）代入為y＝kx得：k＝＝﹣，∴點D在正比例函數y＝﹣x∴只有點C不在同一個正比例函數的圖象上；

故選：C．

【點評】本題主要考查的是一次函數圖象上點的坐標特征．函數圖象上的點都滿足函數解析式．

6．設m是非零實數，給出下列四個命題：①若﹣1＜m＜0，則＜m；②若m＞1，＜m；③若＜m，則m＞0；④若＞m，則0＜m＜1，其中是真命題的是（ ）

A．①②

B．①③

C．②③

D．②④

【分析】判斷一個命題是假命題，只需舉出一個反例即可．

解：①若﹣1＜m＜0，則＜m，是真命題；

②若m＞1，＜m，是真命題；

③若＜m，則m＞0，或﹣1＜m＜0，是假命題；

④若＞m，則0＜m＜1或m＜﹣1，是假命題；

故選：A．

【點評】此題考查命題與定理，關鍵是根據不等式的性質解答即可．

二.填空題：（本大題共12題，每題3分，滿分36分）

7．化簡：＝

x ．

＝x開出來即可．

【分析】根據當x≥0時，解：＝x．

．

故答案為：x

【點評】本題考查了二次根式的性質的應用，注意：當x≥0時，＝﹣x．

8．方程（x﹣1）2＝3的根是

x1＝4，x2＝﹣2 ．

【分析】利用直接開平方法解方程即可得出答案．

解：（x﹣1）2＝3，

（x﹣1）2＝9，

∴x﹣1＝±3，

∴x1＝4，x2＝﹣2，

故答案為：x1＝4，x2＝﹣2．

＝x，當x≤0時，【點評】本題主要考查解一元二次方程的能力，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法：直接開平方法、因式分解法、公式法、配方法，結合方程的特點選擇合適、簡便的方法是解題的關鍵．

9．已知函數f（x）＝，f（2）＝

2+2 ．

【分析】將x＝2代入函數解析式求解．

解：f（2）＝故答案為：2＝+2．

＝＝2+2，

【點評】本題考查求函數的值，準確代入自變量的值，掌握利用平方差公式進行二次根式分母有理化計算是解題關鍵．

10．函數y＝的定義域為

x＞2 ．

【分析】當表達式的分母中含有自變量時，自變量取值要使分母不為零．當函數的表達式是二次根式時，自變量的取值范圍必須使被開方數不小于零．

解：由題可得，x﹣2＞0，

解得x＞2，

∴函數y＝的定義域為x＞2，

故答案為：x＞2．

【點評】本題主要考查了函數自變量取值范圍，自變量的取值范圍必須使含有自變量的表達式都有意義．

11．“三角形的一個外角大于任何一個內角”是

假 命題（填“真”或“假”）．

【分析】根據三角形的外角的性質進行分析，即可得出答案．

解：三角形的一個外角大于任何一個與它不相鄰的內角，故原命題是假命題，

故答案為：假．

【點評】此題考查了命題與定理，正確的命題叫真命題，錯誤的命題叫做假命題，判斷命題的真假關鍵是要熟悉課本中的性質和定理．

12．若多項式x2﹣3x+m+2在實數范圍內可以因式分解，則m的取值范圍是

m≤ ．

【分析】先確定多項式的二次項系數、一次項系數及常數項，根據b2﹣4ac確定m的范圍．

解：∵b2﹣4ac

＝（﹣3）2﹣4×1×（m+2）

＝9﹣4m﹣8

＝1﹣4m．

當1﹣4m≥0時，

即m≤時，多項式x2﹣3x+m+2在實數范圍內可以因式分解．

故答案為：m≤．

【點評】本題考查了整式的因式分解，掌握二次三項式當b2﹣4ac是非負數時，整式才能因式分解是解決本題的關鍵．

13．已知反比例函數y＝﹣，當自變量x≤﹣1時，函數值y的取值范圍是

0＜y≤2 ．

【分析】根據反比例函數的性質得圖象分布在第二、四象限，在每一象限，y隨x的增大而增大，而當x＝﹣1時，y＝2，所以當x≤﹣1時，0＜y≤2．

解：∵反比例函數的解析式為y＝﹣，﹣2＜0，

∴圖象分布在第二、四象限，在每一象限，y隨x的增大而增大，

x＝﹣1時，y＝2，

∴當x≤﹣1時，0＜y≤2．

故答案為：0＜y≤2．

【點評】本題考查了反比例函數圖象上點的坐標特征以及反比例函數的性質，關鍵是掌握反比例函數圖象上的點的坐標滿足其解析式．

14．已知P1（x1，y1），P2（x2，y2）是雙曲線y＝y2，則m的取值范圍是

m＞﹣1 ．

上的兩點，當x1＞0＞x2時，有y1＞【分析】由當x1＞0＞x2時，有y1＞y2知反比例函數的圖象在第一、三象限，根據反比例函數性質知m+1＞0，解之可得．

解：∵x1＞0＞x2時，有y1＞y2，

∴反比例函數的圖象在第一、三象限，

∴m+1＞0，

解得：m＞﹣1，

故答案為：m＞﹣1．

【點評】本題主要考查反比例函數圖象上點的坐標特征，解題的關鍵是熟練掌握反比例函數的圖象和性質．

15．平面直角坐標系中，點A（2），向左平移m個單位后恰好落在反比例函數y＝﹣ ．

﹣m，2），再根據反比例函數圖的圖象上，則m的值為

﹣2【分析】根據點的平移規律可得平移后點的坐標是（象上點的坐標特點可得（解：∵A坐標為（﹣m）×2＝﹣2，再解方程即可得到答案．

，2），

﹣m，2），

∴將點A沿x軸向左平移m個單位后得到的點的坐標是（∵恰好落在反比例函數y＝﹣∴（﹣m）×2＝﹣2．

．

，

的圖象上，

解得：m＝﹣2故答案為：﹣2【點評】此題主要考查了反比例函數圖象上點的坐標特點，以及點的平移規律，圖象上的點（x，y）的橫縱坐標的積是定值k，即xy＝k．

16．平面直角坐標系中，函數y＝與函數y＝2x的圖象在第一象限相交于點P（a，b），則a﹣b＝ ﹣ ．

，解得a＝，【分析】把點P（a，b）分別代入函數y＝與函數y＝2x即可得到b＝2，即可求得a﹣b＝﹣．

解：∵函數y＝與函數y＝2x的圖象在第一象限相交于點P（a，b），

∴，解得或，

∵點P（a，b）在第一象限，

∴a＝，b＝2，

．

，

∴a﹣b＝﹣故答案為：﹣【點評】本題是反比例函數與一次函數的交點問題，考查了函數圖象上點的坐標特征，

把P的坐標代入函數解析式得到關于a、b的方程組，從而求得a、b的值是解題的關鍵．17．隨著新冠疫情逐漸好轉，某口罩廠將減少口罩的出廠量，6月份的出廠量為20000只，若口罩出廠量每月下降百分率為x，8月份的出廠量為y只，則y關于x的函數解析式為

y＝20000（1﹣x）2 ．

【分析】根據“下降后的出廠量＝下降前的出廠量×（1﹣下降率），可列函數關系式求解．

解：∵6月份的出廠量為20000只，口罩出廠量每月下降百分率為x，

∴7月份的出廠量為20000（1﹣x），8月份的出廠量為20000×（1﹣x）×（1﹣x），

∴8月份的出廠量為y只，則y關于x的函數解析式為：y＝20000（1﹣x）2，

故答案為：y＝20000（1﹣x）2．

【點評】此題考查了二次函數的應用（增長率問題），解題的關鍵是表示出下一個月的出廠量，難度不大．

18．如圖，正比例函數y＝kx與反比例函數y＝的圖象交于A、C兩點，AB⊥x軸于點B，CD⊥x軸于點D，若S四邊形ABCD＝6，則m的值是

3 ．

【分析】根據反比例函數的對稱性可知：AB∥CD，AB＝CD，再由反比例函數y＝中k的幾何意義，即可得到結論．

解：∵正比例函數y＝kx與反比例函數y＝的圖象交于A、C兩點，AB⊥x軸于B，CD⊥x軸于D，

∴AB∥CD，AB＝CD，

∴四邊形ABCD是平行四邊形，

∴m＝2S△AOB＝2×＝3，

故答案為：3．

【點評】本題考查了反比例函數與一次函數的交點問題，解題的關鍵是理解反比例函數與一次函數的圖形的交點坐標是其解析式聯立而成的方程組的解．

三.簡答題（本大題共3題，滿分18分）

19．計算：3?÷（﹣）

【分析】直接利用二次根式乘除運算法則計算得出答案．

解：原式＝3××（﹣）

＝﹣2

＝﹣．

【點評】此題主要考查了二次根式的乘除運算，正確化簡二次根式是解題關鍵．

20．關于x的一元二次方程：（k﹣1）x2+2kx+k+3＝0有兩個不相等的實數根，求k的最大整數值．

【分析】根據一元二次方程的定義和根的判別式得到k﹣1≠0且Δ＝4k2﹣4（k﹣1）（k+3）＞0，然后求出k的范圍，從而得到k的最大整數值．

解：根據題意得k﹣1≠0且Δ＝4k2﹣4（k﹣1）（k+3）＞0，

解得k＜且k≠1，

所以k的最大整數值為0．

【點評】本題考查了根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與Δ＝b2﹣4ac

有如下關系，當Δ＞0時，方程有兩個不相等的實數根；當Δ＝0時，方程有兩個相等的實數根；當Δ＜0時，方程無實數根．上面的結論反過來也成立．

21．已知y＝y1+y2，y1與x﹣2成反比例，y2與2x+3成正比例，當x＝1時，y＝5；當x＝3時，y＝，求y與x的函數關系式．

【分析】根據題意分別設出y1，y2，代入y＝y1+y2，表示出y與x的解析式，將已知兩對值代入求出k與b的值，確定出解析式．

解：根據題意設y1＝，y2＝k（2x+3），即y＝y1+y2＝+k（2x+3），

將x＝1時，y＝5；x＝3時，y＝分別代入得：，

解得：k＝，m＝﹣3，

則y＝﹣+（2x+3）．

【點評】此題考查了待定系數法求反比例函數解析式，熟練掌握待定系數法是解本題的關鍵．

四.解答題（本大題共3題，滿分28分）

22．某周末小明到公園畫畫寫生，小明家到彩云湖公園的路程為3.5km，小明步行20分鐘后，在家的媽媽發現小明畫畫的工具沒有拿，立即通知小明原地等待，把工具送過去，小明媽媽追上小明把工具交給小明后立即以原來的速度返回，同時，小明以原來1.2倍的速度前往目的地．如圖是小明與小明媽媽距家的路程（千米）與小明所用時間（分鐘）之間的函數圖象，根據圖象回答下列問題：

（1）前20分鐘小明的速度為

4.2 千米/時．

（2）圖中A點的實際意義是

當小明媽媽出發15分鐘時追上小明，此時小明媽媽走的路程是1.4千米 ．

（3）小明媽媽的速度是

5.6 千米/時．

（4）小明媽媽返回家的時間比小明到達目的地早

10 分鐘．

【分析】（1）根據函數圖象中的數據，可以計算出前20分鐘小明的速度；

（2）根據函數圖象中的數據，可以得到小明的媽媽追上小明用的時間為35﹣20＝15（分鐘），走的路程為1.4千米，從而可以寫出點A表示的實際意義；

（3）根據函數圖象中的數據，可以計算出小明媽媽的速度；

（4）根據題意和函數圖象中的數據，可以計算出小明媽媽返回家的時間比小明到達目的地早幾分鐘，注意時間的換算．

解：（1）由圖象可得，

前20分鐘小明的速度為：1.4÷故答案為：4.2；

（2）圖中A點的實際意義是當小明媽媽出發15分鐘時追上小明，此時小明媽媽走的路程是1.4千米；

故答案為：當小明媽媽出發15分鐘時追上小明，此時小明媽媽走的路程是1.4千米；

（3）由圖象可得，

小明媽媽的速度為：1.4÷故答案為：5.6；

（4）（35+＝（35+＝（35+25）﹣50

＝60﹣50

＝10（分鐘），

即小明媽媽返回家的時間比小明到達目的地早10分鐘，

故答案為：10．

×60）﹣[35+（35﹣20）]

×60）﹣（35+15）

＝1.4×＝5.6（千米/時），

＝1.4×＝4.2（千米/時），

【點評】本題考查一次函數的應用，解答本題的關鍵是明確題意，利用數形結合的思想解答．

23．如圖，平面直角坐標系中，直線l經過原點O和點A（6，4），經過點A的另一條直線交x軸于點B（12，0）．

（1）求直線l的表達式；

（2）求△AOB的面積；

（3）在直線l上求點P，使S△ABP＝S△AOB．

【分析】（1）設直線l的表達式為y＝kx，把A（6，4）代入，利用待定系數法即可求解；（2）根據三角形面積公式即可求解；

（3）設P點坐標為（x，x）．當直線l上的點P使S△ABP＝S△AOB時，分兩種情況：①，點P在線段OA上；②點P在線段OA的延長線上．

解：（1）設直線l的表達式為y＝kx，

把A（6，4）代入，得4＝6k，

解得k＝，

所以直線l的表達式為y＝x；

（2）∵A（6，4），B（12，0），

∴△AOB的面積＝×12×4＝24；

（3）當直線l上的點P使S△ABP＝S△AOB時，分兩種情況：

設P點坐標為（x，x）．

①如圖1，點P在線段OA上，則AP＝OA，

根據題意得，解得x＝4，

則P（4，）；

＝＝，

②如圖2，點P在線段OA的延長線上，則AP＝OA，

根據題意得，解得x＝8，

則P（8，）．

＝＝，

故所求P點坐標為（4，）或（8，）．

【點評】此題考查了待定系數法求一次函數的解析式，三角形的面積，一次函數圖象上點的坐標特征，解本題的關鍵是求出直線l的解析式以及利用分類討論的思想．

24．如圖，在△ABC中，AC＝BC＝8cm，∠C＝90°，D，E分別是邊BC，BA上的點（不與端點重合），且DE⊥BC，設CD＝xcm，將△BDE沿DE折疊后與梯形ACDE重疊部分的面積為ycm2．

（1）當x＝3時，畫出折疊后的示意圖，并求出此時重疊部分的面積；

（2）當重疊部分的圖形為三角形時，直接寫出y與x的函數關系式，并寫出函數的定義域；

（3）求當自變量x為何值時，重疊部分的面積是S△ABC的？

【分析】（1）當x＝3時，重合部分是梯形，可推出梯形的上底CF＝CB′＝B′D﹣CD＝BD﹣CD，DE＝BD，進而求得結果；

（2）當4≤x＜8時，重合部分是三角形，三角形的面積就是△BDE的面積；

（3）分為重合部分是梯形和三角形兩種，當為梯形時，DE＝BD＝8﹣x，CF＝8﹣2x，△ABC的面積是32，列出方程求得，同樣可求出重合部分是三角形的情形．

解：（1）如圖1，

∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝8，

∴∠B＝∠A＝45°，

∵DE⊥BC，

∴∠BDE＝90°，

∴∠DEB＝∠B＝45°，

∴DE＝BD，

同理可得：CF＝CB′，

∵CD＝3，

∴B′D＝DE＝BD＝BC﹣CD＝5，

CF＝B′C＝2，

∴S四邊形CDEF＝即重合的面積是（2）如圖2，

；

＝，

當4≤x＜8時，重合部分是三角形，

由（1）知，DE＝BD＝8﹣x，

∴y＝（8﹣x）2，（4≤x＜8）；

（3）當4≤x＜8時，

∵y＝S△ABC，

∴＝，

∴x1＝4，x2＝12（舍去），

如圖3，

當0＜x＜4時，

DE＝BD＝8﹣x，

CF＝CB′＝DB′﹣CD＝BD﹣CD＝8﹣2x，

∴（8﹣2x+8﹣x）?x＝××82，

∴x1＝，x2＝4（舍去），

綜上所述：x＝4或．

【點評】本題考查了等腰直角三角形的性質，軸對稱性質等知識，解決問題的關鍵是正確畫出圖形，弄清各個線段的數量以及正確分類．

五.拓展題（本大題共4題，滿分50分）

25．若α＝為一元二次方程x2﹣x+t＝0的根；

，t＝ ﹣1 ；

（1）則方程的另外一個根β＝

（2）求α6+8β的值．

（3）求作一個關于y的一元二次方程，二次項系數為1，且兩根分別為α2，β2．

【分析】（1）利用一元二次方程根與系數的關系列出等式即可求解；

（2）利用一元二次方程根的意義將α6適當變形后，再利用根與系數的關系解答即可求得結論；

（3）分別計算α2+β2與α2?β2的值，再依據求作一個一元二次方程的公式解得即可．

解：（1）由根與系數的關系，α+β＝1，αβ＝t，

∴β＝1﹣α＝1﹣∴t＝αβ＝故答案為：（2）∵α＝∴α2﹣α﹣1＝0．

∴α2＝1+α．

∴α6＝（α2）3

＝（1+α）3

＝1+3α+3α2+α3

＝1+3α+3（1+α）+α（1+α）

＝1+3α+3+3α+α+α2

＝1+3α+3+3α+α+1+α

×＝，

＝﹣1，

，﹣1；

為一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的根，

＝8α+5．

∴α6+8β

＝8α+5+8β

＝8（α+β）+5

＝8×1+5

＝13．

（3）∵α+β＝1，αβ＝﹣1，

∴α2+β2＝（α+β）2﹣2αβ＝1+2＝3，

α2?β2＝（αβ）2＝1，

∴兩根分別為α2，β2，關于y的一元二次方程，二次項系數為1的方程是：y2﹣3y+1＝0．【點評】本題主要考查了一元二次方程的根與系數的關系，將α6適當變形后，再利用根與系數的關系解答是解題的關鍵．

26．已知關于x的方程x2+（2k﹣1）x+k2﹣3＝0，是否存在實數k，使（2x1﹣x2）（2x2﹣x1）+20＝0成立？若存在，請求出實數k的值；若不存在，請說明理由．

【分析】先利用根的判別式求出k≤，再利用根與系數的關系得x1+x2＝﹣（2k﹣1），x1x2＝k2﹣3，接著把（2x1﹣x2）（2x2﹣x1）+20＝0變形為9x1x2﹣2（x1+x2）2+20＝0，所以9（k2﹣3）﹣2（2k﹣1）2+20＝0，然后解關于k的方程即可．

解：存在．

∵關于x的方程x2+（2k﹣1）x+k2﹣3＝0有實數解，

∴Δ＝（2k﹣1）2﹣4（k2﹣3）≥0，

解得k≤，

根據根與系數的關系得x1+x2＝﹣（2k﹣1），x1x2＝k2﹣3，

∵（2x1﹣x2）（2x2﹣x1）+20＝0，

∴5x1x2﹣2（x12+x22）+20＝0，

∴9x1x2﹣2（x1+x2）2+20＝0，

∴9（k2﹣3）﹣2（2k﹣1）2+20＝0，

整理得k2+8k﹣9＝0，解得k1＝1，k2＝﹣9，

∵k≤，

∴當k＝1或﹣9時，（2x1﹣x2）（2x2﹣x1）+20＝0成立．

【點評】本題考查了根與系數的關系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩根，則x1+x2＝﹣，x1x2＝．

27．解關于x的方程：2x3+（1﹣t）x2﹣2tx+（t2﹣t）＝0．

【分析】把t看成主元，將方程整理為t2﹣（x2+2x+1）t+2x3+x2＝0，然后對左邊因式分解，即可解出方程．

解：原方程可化為：t2﹣（x2+2x+1）t+2x3+x2＝0，

（t﹣2x﹣1）（t﹣x2）＝0，

∴t﹣2x﹣1＝0或t﹣x2＝0，

當t?0時，

解得當t＜0時，

解得．

，

【點評】本題考查了高次方程的解法，關鍵是先把t看成主元，將方程重新整理．

28．如圖，在平面直角坐標系中，B、C兩點在x軸的正半軸上，以線段BC為邊向上作正方形ABCD，頂點A在正比例函數y＝2x的圖象上，反比例函數y＝（x＞0，k＞0）的圖象經過點A，且與邊CD相交于點E．

（1）若BC＝4，求點E的坐標；

（2）連接AE，OE．

①若△AOE的面積為24，求k的值；

②是否存在某一位置使得AE⊥OA，若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由．

【分析】（1）根據正方形的性質得到AB＝BC＝4，求得A（2，4），得到k＝2×4＝8，于是求得點E的坐標為；

（2）①設A（a，2a）（a＞0），則點

，根據梯形的面積公式即可得到答案；②根據余角的性質得到∠OAB＝∠BAE，根據全等三角形的性質得到OB＝DE，由①可知，A（a，2a）（a＞0），則點于是得到答案．

解：（1）在正方形ABCD中，AB＝BC＝4，

∴A（2，4），

∵A（2，4）在∴k＝2×4＝8，

∵OC＝OB+BC＝6，

∴xE＝6，

將xE＝6代入∴點E的坐標為中，得：；

，

，

的圖像上，

，求得OB＝a，，推出k＝0，（2）①設A（a，2a）（a＞0），則點∵S梯形ABCE＝S△AOE＝24，

∴∴k＝2a2＝18；

②答：不存在，

理由：∵AE⊥OA，

∴∠OAB+∠BAE＝90°，

∵∠BAD＝∠BAE+∠DAE＝90°，

∴∠OAB＝∠BAE，

∵∠ABO＝∠D＝90°，AB＝AD，

∴△OAB?△EAD（ASA），

∴OB＝DE，

由①可知，A（a，2a）（a＞0），則點∴OB＝a，，

得a2＝9，

，

∴，

∴a＝0，

∴k＝0，

∵k＞0，

∴不符合題意，不存在．

【點評】本題考查了反比例函數的綜合題，反比例函數與一次函數的交點問題，全等三角形的判定和性質、平行四邊形的判定和性質等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，屬于中考?？碱}型．