計算方法試題集及答案(新)

2024年2月27日發(作者：雖然但是造句)

1.x 為精確值*x的近似值；y*?fx*為一元函數??y1?f?x?的近似值；y*?f?x*,y*?為二元函數y2?f?x,y?的近似值，請寫出下面的公式：e*?x*?x：*er?x*?x

x*x*f'?x*???r?x*?

f?x*???y1*??f'?x*????x*?

?r?y1*???f?x*,y*??f?x*,y*???y2?????x*?????y*?

?x?y*?r?y2*???f?x*,y*?e?x*??f?x*,y*?e?y*????

*?x?yy2y2*2、 計算方法實際計算時，對數據只能取有限位表示，這時所產生的誤差叫 舍入誤差 。

3、 分別用2.718281，2.718282作數e的近似值，則其有效數字分別有 6 位和 7

位；又取3?1.73（三位有效數字），則13?1.73? ?10-2

。

24、 設x1?1.216,x2?3.654均具有3位有效數字，則x1x2的相對誤差限為 0.0055 。

5、 設x1?1.216,x2?3.654均具有3位有效數字，則x1?x2的誤差限為 0.01 。

6、 已知近似值xA?2.4560是由真值xT經四舍五入得到,則相對誤差限為 0.0000204 .

?y0=2,7、 遞推公式??,如果取??yn=10yn-1-1,n=1,2,y0?2?1.41作計算,則計算到y10時,誤差為1?108

;這個計算公式數值穩定不穩定 不穩定 .

28、 精確值??3.14159265?，則近似值?1*?3.141和?2*?3.1415分別有 3 位和

4 位有效數字。

9、 若x?e?2.71828?x,則x有 6 位有效數字，其絕對誤差限為1/2*10 。

-5**10、 設x*的相對誤差為2％，求(x*)的相對誤差0.02n

*11、近似值x?0.231關于真值x?0.229有( 2 )位有效數字；

n12、計算方法主要研究( 截斷 )誤差和( 舍入 )誤差；

13、為了使計算

y?10?346 的乘除法次數盡量地少，應將該表達式改??x?1?x?1?2?x?1?3

寫為y?10?(3?(4?6t)t)t,t?1x?1，為了減少舍入誤差，應將表達式2001?1999改寫為

22001?1999。

14、改變函數f(x)?x?1?x (x??1)的形式，使計算結果較精確

f?x??1x?1?x。

，取5位有效數字，則所得的近似值x=_2.3150____. 15、設

16、 已知數 e=,取近似值 x=2.7182,那麼x具有的有效數字是 4 。

二、單項選擇題：

1、舍入誤差是( A )產生的誤差。

A. 只取有限位數 B．模型準確值與用數值方法求得的準確值

C． 觀察與測量 D．數學模型準確值與實際值

2、3.141580是π的有( B )位有效數字的近似值。

A． 6 B． 5 C． 4 D． 7

x3、用 1+x近似表示e所產生的誤差是( C )誤差。

A． 模型 B． 觀測 C． 截斷 D． 舍入

x34、用1+3近似表示1?x所產生的誤差是( D )誤差。

A． 舍入 B． 觀測 C． 模型 D． 截斷

5、-324．7500是舍入得到的近似值，它有( C )位有效數字。

A． 5 B． 6 C． 7 D． 8

6、( D )的3位有效數字是0.236×102。

(A) 0.0023549×103 (B) 2354.82×10－2 (C) 235.418 (D) 235.54×10－1

4x?(3?1)3?1.7327、取計算，下列方法中哪種最好？（ C ）

1616224(4?23)(4?23)(3?1)28?163(A)； (B)； (C) ； (D) 。

三、計算題

1. 有一個長方形水池,由測量知長為(50±0.01)米,寬為(25±0.01)米,深為(20±0.01)米,試按所給數據求出該水池的容積,并分析所得近似值的絕對誤差和相對誤差公式,并求出絕對誤差限和相對誤差限.

解：設長方形水池的長為L，寬為W,深為H，則該水池的面積為V=LWH

3當L=50,W=25,H=20時，有 V=50*25*20=25000(米)

此時，該近似值的絕對誤差可估計為

??V???V?V?V??L????W????H?

?L?W?H =WH??L??HL??W??LW??H?

??V?相對誤差可估計為：?r?V??

V而已知該水池的長、寬和高的數據的絕對誤差滿足

??L??0.01,??W??0.01,??H??0.01

故求得該水池容積的絕對誤差限和相對誤差限分別為

??V??WH??L??HL??W??LW??H? ?25*20*0.01?50*20*0.01?50*25*0.01?27.50

?r?V????V?27.50??1.1*10?3V250002.已知測量某長方形場地的長a=110米,寬b=80米.若a?a*?0.1米， b?b*?0.1米

試求其面積的絕對誤差限和相對誤差限.

解：設長方形的面積為s=ab

2當a=110,b=80時，有 s==110*80=8800(米)

此時，該近似值的絕對誤差可估計為

??????s???s?s??a????b?

?a?b =b??a??a??b???s?

s相對誤差可估計為：?r?s??而已知長方形長、寬的數據的絕對誤差滿足

??a??0.1,??b??0.1

故求得該長方形的絕對誤差限和相對誤差限分別為

??s??b??a??a??b? ?80*0.1?110*0.1?19.0

?r?s????s?19.0??0.002159s8800絕對誤差限為19.0；相對誤差限為0.002159。

n3、設x*的相對誤差為2％，求(x*)的相對誤差

解：由于f(x)?xn,f'(x)?nxn?1,故??(x*)n?xn?n(x*)n?1(x?x*)x?x*故?r?*n?n*?n?r?0.02n(x)x

?4、計算球體積要使相對誤差為1%，問度量半徑R允許的相對誤差限是多少？

解：令V?f?R??4?R3，根據一元函數相對誤差估計公式，得

3

f'?R?4?R2

?R?V?????R?????R??3?R?R??1%43f?R??R3從而得?R?R??1

3005.正方形的邊長大約為100cm，問怎樣測量才能使面積的誤差不超過1cm2

解：da=ds/(2a)=1cm/(2*100)cm=0.5*10cm,即邊長a的誤差不超過0.005cm時，才能保證其面積誤差不超過1平方厘米。

6．假設測得一個圓柱體容器的底面半徑和高分別為50.00m和100.00m，且已知其測量誤差為0.005m。試估計由此算得的容積的絕對誤差和相對誤差。

解：V??r2h

V*?V?2?rh(r*?r)=2*3.1415926*50*100*0.005=157.0796325

2-2r*?rV*?V=2=0.0002

rV

第一章 插值法

一、填空題：

1.設xi(i=0,1,2,3,4)為互異節點，li(x)為相應的四次插值基函數，則(x+2).

4??xi?044i?2?li?x?＝

次插值基函數，則2.設xi(i=0,1,2,3,4，5)為互異節點，li(x)為相應的五??xi?055i?2xi4?xi3?1?li?x?=x5?2x4?x3?1

3.已知f(x)?2x3?5，則f[1,2,3,4]?2,f[1,2,3,4,5]?0

4.f(x)5.設?3x2?1,則f[1,2,3]?____3_____,f[1,2,3,4]?___0______。

則=0

＝3,

6.設和節點則= 4.

7.設f?0??0,f?1??16,f?2??46,則f?0,1?? 16 ,f?0,1,2?? 7 ,f?x?的二次牛頓插值多項式為 0+16(x-0)+7(x-0)(x-1) 。

8.如有下列表函數:

xi

0.2 0.3 0.4

f?xi?

0.04 0.09 0.16

則一次差商f?0.2,0.4?= 0.6 。

29、2、f(1)??1,f(2)?2,f(3)?1，則過這三點的二次插值多項式中x的系數為 -2 ，拉格朗日插值多項式為L2?x???11?x?2??x?3??2?x?1??x?3???x?1??x?2?,或22?2x2?9x?8

310、對f(x)?x?x?1,差商f[0,1,2,3]?( 1 ),f[0,1,2,3,4]?( 0 )；

11、已知f(1)＝2，f(2)＝3，f(4)＝5.9，則二次Newton插值多項式中x系數為( 0.15 )；

12、設f(0)?0,f(1)?16,f(2)?46,則l1(x)??x?x?2?，f(x)的二次牛頓插值多項式為2N2(x)?16x?7x(x?1)。

l(x),l1(x),?,ln(x)是以整數點x0,x1,?,xn為節點的Lagrange插值基函數，13、0則n?l?x?=

kk?0n1 ，?xklj?xk?=

k?0nxj，，當n?2時k?0?(x4k2?xk?3)lk(x)?(

x?x?3 )。

4214、設一階差商 ，

則二階差商

15、通過四個互異節點的插值多項式p(x),只要滿足三階均差為0，則p(x)是不超過二次的多項式

4f(x)?3x?2x?1，則差商f[2,4,8,16,32]? 3 。 16、若

二、單項選擇題：

21、設f

(-1)=1,f

(0)=3,f

(2)=4,則拋物插值多項式中x的系數為( A )。

A． –0．5 B． 0．5 C． 2 D． -2

2、拉格朗日插值多項式的余項是( B ),牛頓插值多項式的余項是( C ) 。

(A) f(x,x0,x1,x2,…,xn)(x－x1)(x－x2)…(x－xn－1)(x－xn)，

f(n?1)(?)Rn(x)?f(x)?Pn(x)?(n?1)! (B)

(C) f(x,x0,x1,x2,…,xn)(x－x0)(x－x1)(x－x2)…(x－xn－1)(x－xn)，

f(n?1)(?)Rn(x)?f(x)?Pn(x)??n?1(x)(n?1)!(D)

3、有下列數表

x 0

f(-2

0.5

-1.75

1

-1

1.5

0.25

2

5

2

2.4.x) 25

所確定的插值多項式的次數是（ A ）。

（A）二次； （B）三次； （C）四次； （D）五次

4、由下列數表進行Newton插值，所確定的插值多項式的最高次數是（ D ）

xi

3.5

１ 1.5 ２ 2.5 ３

f(xi)

11.5

-1 0.5 2.5 5.0 8.0

(A)5； (B)4； (C)

3； (D)

2。

l(x)是以xk?k(k?0,1,,9)為節點的Lagrange插值基函數，則k?05、設i(A)x； （B）k； （C）i； （D）1。

6、由下列數據

0 1 2 3

x

f(x)

1 2 4 3

確定的唯一插值多項式的次數為( A )

(A) 4； (B)2； (C)1； (D)3。

三、問答題

1.什么是Lagrange插值基函數?它們有什么特性？

4

-5

?kl(k)?i9( C )

答：插值基函數是滿足插值條件的n次插值多項式，它可表示為 2.給定插值點并有以下性質，

可分別構造Lagrange插值多項式和Newton插值多項式，它們是否相同？為什么?它們各有何優點？

答：給定插值點后構造的Lagrange多項式為都滿足條件次多項式與 Newton插值多項式為,于是 有n+1個零點，這與n次多項式只有n個零點矛盾，故是相同的。它們形式不同但它表明n即 是用基函數表達的，便于研究方法的穩定性和收斂性等理論研究和 每增加一個插值點就增加一項前面計算都有效，因此較適合于計算。 應用，但不便于計算，而

e插值與Lagrange插值公式的構造與余項表達式有何異同？

答：Hermite插值的插值點除滿足函數值條件外還有導數值條件比Lagrange插值復什一些，但它們都用基函數方法構造，余項表達式也相似，對Lagrange插值余項表達式為，而Hermite插值余項在有條件的點看作重節點，多一個條件相當于多一點，若一共有m+1個條件，則余項中前面因子為即可得到Hermite插值余項。

四、計算題

1、設f?x??x7?5x3?1,求差商0101201????f?2,2,f2,2,2,f2,2,?????01?,27?,f2,2,?? 后面相因子改為,28??

012解：f??2???7,f??2???169,f??2???16705，故

0112012?????f?2,2?162,f2,2?8268,f2,2,2???????2702

根據差商的性質，得

01f?2,2,??7?f????1,27???7!01f?2,2,?,28???f?8?8!????0

xi:12、求滿足下列條件的埃爾米特插值多項式:

yi2yi'解：根據已知條件可求得

223

1?12?0?x???2x?1??x?2?,?1?x????2x?5??x?1??0?x???x?1??x?2?,?1?x???x?2??x?1?代入埃爾米特三次插值多項式公式

'p3?x??y0?0?x??y1?1?x??y0?0?x??y0'?1?x?22

=2?2x?1??x?2??3??2x?5??x?1???x?1??x?2???x?2??x?1?3、如有下列表函數:

2222

xi

0

3

1

6

2

11

3

18

4

27

f?xi?

試計算此列表函數的差分表,并給出它的牛頓插值多項式及余項公式.

解：查分表如下：

xi

0

1

2

3

4

fi

3

6

11

18

27

?fi

3

5

7

9

?2fi

1

1

1

?3fi

0

0

?4fi

0

2N4(x)=3+3(x-0)+1*(x-0)(x-1)=x+2x+3,0≤x≤1

4、給出lnx的函數表如下：

x

0.40 0.50 0.60 0.70

－0.356675

lnx

－0.916291

－0.693147

－0.510826

試用線性插值和拋物插值求ln0.54的近似值。

5．已知

x

F（x）

-1

3

1

1

2

-1

請依據上述數據求f(x)的2次Lagrange插值多項式。

解：記x0??1,x1?1,x2?2,則f(x0)?3,f(x1)?1,f(x2)??1所以L2(x)?f(x0)?f(x2)(x?x0)(x?x2)(x?x1)(x?x2)?f(x1)(x0?x1)(x0?x2)(x1?x0)(x0?x2)(x?x0)(x?x1)(x2?x0)(x2?x1)

(x?1)(x?2)(x?1)(x?2)?3??1?(?1?1)(?1?2)(1?1)(1?2)(x?1)(x?1)?(?1)?(2?1)(2?1)111?(x?1)(x?2)?(x?1)(x?2)?(x?1)(x?1)2236.用插值法求滿足以下條件的不超過三次的插值多項式

f(0)=1,f(1)=2,f (2)=9,f’(1)=3,并寫出插值余項。

解：根據Lagrange插值多項式和Newton插值多項式得出

L2?x??N2?x??3x2?2x?1

設待插值函數為：

H3?x??N2?x??k?x?0??x?1??x?2?

根據

’H3?1??f'?1??3,

得參數k?1,

則

H3?x??x3?1.

插值余項為：

?4?f???2

R3?x??f?x??H3?x??x?x?1??x?2?4!

7、 已知

xi

f(xi)

1

2

3

6

4

5

5

4

P(x)，分別用拉格朗日插值法和牛頓插值法求f(x)的三次插值多項式3并求f(2)的近似值（保留四位小數）。

L3(x)?2答案：(x?3)(x?4)(x?5)(x?1)(x?4)(x?5)?6(1?3)(1?4)(1?5)(3?1)(3?4)(3?5)

?5

(x?1)(x?3)(x?5)(x?1)(x?3)(x?4)?4(4?1)(4?3)(4?5)(5?1)(5?3)(5?4)

差商表為

xi

1

3

4

5

yi

2

6

5

4

一階均差

2

-1

-1

二階均差

-1

0

三階均差

14

1P3(x)?N3(x)?2?2(x?1)?(x?1)(x?3)?(x?1)(x?3)(x?4)4

f(2)?P3(2)?5.5

8、已知sinx區間[0.4，0.8]的函數表

xi

yi

0.4 0.5 0.6 0.7 0.8

0.38942 0.47943 0.56464 0.64422 0.71736

如用二次插值求sin0.63891的近似值，如何選擇節點才能使誤差最小？并求該近似值。

答案：解： 應選三個節點，使誤差

|R2(x)|?M3|?3(x)||?(x)|盡量小，最靠近3!盡量小，即應使3插值點的三個節點滿足上述要求。即取節點{0.5,0.6,0.7}最好，實際計算結果sin0.63891?0.596274， 且

sin0.63891?0.596274?1(0.63891?0.5)(0.63891?9?0.6)(0.63891?0.7)3!

?0.55032?10?4?xx?0,x?0.5,x?1f(x)?e0129、取節點,求函數在區間[0,1]上的二次插值多項式P2(x),并估計誤差。

解：

P2(x)?e?0?(x?0.5)(x?1)?0.5(x?0)(x?1)?e?(0?0.5)(0?1)(0.5?0)(0.5?1)

?e?1?(x?0)(x?0.5)(1?0)(1?0.5)?2(x?0.5)(x?1)?4e?0.5x(x?1)?2e?1x(x?0.5)

又

f(x)?e?x,f???(x)??e?x,M3?max|f???(x)|?1x?[0,1]

|R2(x)|?|e?x?P2(x)|?故截斷誤差

1|x(x?0.5)(x?1)|3!。

10、已知f

(-1)=2，f

(1)=3，f

(2)=-4，求拉格朗日插值多項式L2(x)及f

(1，5)的近似值，取五位小數。

解：L2(x)?2?(x?1)(x?2)(x?1)(x?2)(x?1)(x?1)?3??4?(?1?1)(?1?2)(1?1)(1?2)(2?1)(2?1)

?234(x?1)(x?2)?(x?1)(x?2)?(x?1)(x?1)323

1f(1.5)?L2(1.5)??0.0416724

11、(12分)以100,121,144為插值節點，用插值法計算115的近似值，并利用余項估計誤差。

用Newton插值方法：差分表：

100

121

144

1

0

1

1 0.0476190

1

2 0.0434783

-0.

115?10+0.0476190(115-100)-0.(115-100)(115-121)

=10.7227555

3?2f'''?x??x8

5R?f'''????115?100??115?121??115?144?3!5?13?1002?15?6?29?0.0016368

12、(10分)已知下列函數表：

x

0 1

f(x)

2 3

1 3 9 27

(1)寫出相應的三次Lagrange插值多項式；

(2)作均差表，寫出相應的三次Newton插值多項式，并計算f(1.5)的近似值。

解：（1）

L3(x)?(x?1)(x?2)(x?3)(x?0)(x?2)(x?3)(x?0)(x?1)(x?3)(x?0)(x?1)(x?2)???(0?1)(0?2)(0?3)(1?0)(1?2)(1?3)(2?0)(2?1)(2?3)(3?0)(3?1)(3?2)?

438x?2x2?x?133

（2）均差表：327

18

6

3

N1?2x?2x(x?1)?43(x)?3x(x?1)(x?2)

f(1.5)?N3(1.5)?5

13、 已知y=f（x）的數據如下

x 0 2 3

f（x） 1 3 2

求二次插值多項式 及f（2.5）

解：

14、設

（1）試求 在 上的三次Hermite插值多項式H（x）H（x）以升冪形式給出。

（2）寫出余項 的表達式

解 （1）

（2）

第四章 數值積分

使滿足

一、填空題

1、求?21x2dx，利用梯形公式的計算結果為 2.5 ，利用辛卜生公式的計算結果為2.333 。

2． n次插值型求積公式至少具有 n 次代數精度，如果n為偶數，則有 n+1

次代數精度。

3． 梯形公式具有1次代數精度，Simpson公式有 3 次代數精度。

4.插值型求積公式5、 計算積分?0.51?Af?x???f?x?的求積系數之和 b-a 。

kkk?0anb,取4位有效數字。用梯形公式計算求得的近似值為 0.4268 ，用辛卜生公式計算求得的近似值為 0.4309 ，梯形公式的代數精度為 1 ，辛卜生公式的代數精度為

3 。

6、 已知f

(1)=1,f

(3)=5,f

(5)=-3,用辛普生求積公式求xdx?15f(x)dx≈( 12 )。

7、 設f

(1)=1，

f(2)=2，f

(3)=0，用三點式求f?(1)?( 2.5 )。

?8、若用復化梯形公式計算個求積節點。

110exdx，要求誤差不超過10，利用余項公式估計，至少用 477?62f(x)dx?[f(?1)?8f(0)?f?(1)]??199、數值積分公式的代數精度為 2 。

10、已知f(1)?1.0,f(2)?1.2,f(3)?1.3，則用辛普生（辛卜生）公式計算求得?13f(x)dx?_________答案：2.367，0.25

,用三點式求得f?(1)? 。

10、 數值微分中，已知等距節點的函數值 ， 則由三點的求導公式，有

11、 對于n+1個節點的插值求積公式 至少具有n次代數精度.

二、單項選擇題：

1、等距二點求導公式f?(x1) ?( A )。

(A)

f(x1)?f(x0)x1?x0(B)f(x1)?f(x0)x0?x1(C)f(x0)?f(x1)x0?x1n(D)f(x1)?f(x0)x1?x0

2、在牛頓-柯特斯求積公式：式的穩定性不能保證，所以實際應用中，當（ A ）時的牛頓-柯特斯求積公式不使用。

i?0?baf(x)dx?(b?a)?Ci(n)f(xi)(n)Ci中，當系數是負值時，公

（A）n?8， （B）n?7， （C）n?10， （D）n?6，

三、問答題

1.什么是求積公式的代數精確度？如何利用代數精確度的概念去確定求積公式中的待定參數？

答：一個求積公式立，而當如果當為任意m次多項式時，求積公式精確成為次數大于m次多項式時，它不精確成立，則稱此求積公式具有m次代數精確度。根據定義只要令代入求積公式兩端，公式成立，得含待定參數的m+1個方程的方程組，這里m+1為待定參數個數，解此方程組則為所求。

四、計算題

1、確定下列求積公式中的待定參數，使其代數精確度盡量高，并指明求積公式所具有的代數精確度.

(1)

解：本題直接利用求積公式精確度定義，則可突出求積公式的參數。

令代入公式兩端并使其相等，得

解此方程組得，于是有

再令，得

故求積公式具有3次代數精確度。

（2）

（3）

解：令

代入公式精確成立，得

解得，

得求積公式

對

故求積公式具有2次代數精確度。

2.求積公式?10f(x)dx?A0f(0)?A1f(1)?B0f'(0)，已知其余項表達式為R(f)?kf'''(?),??(0,1)，試確定系數A0,A1,B0，使該求積公式具有盡可能高的代數精度，并給出代數精度的次數及求積公式余項。

解：本題雖然用到了f'(0)的值，仍用代數精度定義確定參數A0,A1,B0。令f(x)?1,x,x2,分別代入求積公式，令公式兩端相?f(x)?1,A20?A1?1?A0?3等，則得??f(x)?x,A?11?B0?1,求得?A1??23,則有?f(x)?x2,A11?13??B0?6?10f(x)dx?23f(0)?13f(1)?1'6f(0)再令f(x)?x3,此時?110x3dx?14，而上式右端?3,兩端不相等，故它的代數精度為2次。為求余項可將f(x)?x3代入求積公式?1'0f(x)dx?23f(0)?13f(1)?16f(0)?kf'''(?),??(0,1)當f(x)?x3，f'(x)?3x2,f''(x)?6x,f'''(x)?6,7.代入上式得114??0x3dx?13?6k,即k??172,所以余項R(f)??172f'''(?),??(0,1)3、根據下面給出的函數f(x)?sinxx的數據表，分別用復合梯形公式和復合辛甫生公式

計算I??1sinx0xdx

xk

0.000 0.125 0.250 0.375 0.500

f1 0.9970.98960.9760.95885(xk)

39784 1584 72675 108

xk

0.625 0.750 0.875 1.000

f0.9360.9080.87710.841

(xk)

15563 85168 9257 47098

解 用復合梯形公式,這里n=8,h?18?0.125,

?1sinx0xdx?0.1252{f(0)?2[f(0.125)?f(0.25)?f(0.375)?f(0.5)?f(0.625)?f(0.75)?f(0.875)]?f?1?}

?0.94569086用復合辛甫生公式: 這里n=4,h?14?0.25.可得

?1sinx0xdx?0.256{f(0)?4[f(0.125)?f(0.375)

?f(0.625)?f(0.875)]?2[f(0.25)?f(0.5)?f(0.75)]?f(1)}

?0.946083305

11f(x)dx?A[f(?1)?f(1)]?B[f(?)?f()]??1224、求A、B使求積公式的代數精度盡量高,1并求其代數精度；利用此公式求I??211dxx(保留四位小數)。

2f(x)?1,x,x答案：是精確成立，即

?2A?2B?2?12?182A?B?A?,B??23 得?99

1811f(x)dx?[f(?1)?f(1)]?[f(?)?f()]??19922求積公式為

121當f(x)?x時，公式顯然精確成立；當f(x)?x時，左=5，右=3。所以代數精度為3。

34?1

21t?2x?311111811dx??dt?[?]?[?]?1t?3x9?1?31?39?1/2?312?3?97?0.69286140

5、n=3,用復合梯形公式求?0e1xdx的近似值（取四位小數）,并求誤差估計。

解：?01xedx?T3?1?00[e?2(e13?e23)?e1]?1.73422?3

f(x)?ex,f??(x)?ex，0?x?1時，|f??(x)|?e

|R|?|ex?T3|?ee??0.025??0.05210812?3

1?x至少有兩位有效數字。

e6、（15分）用n?8的復化梯形公式（或復化 Simpson公式）計算?0dx時，試用余項估計其誤差。用n?8的復化梯形公式（或復化 Simpson公式）計算出該積分的近似值。

RT[f]??解：b?a2111hf??(?)??2?e0??0.68

7hT(8)?[f(a)?2?f(xk)?f(b)]2k?1

1?[1?2?(0.8824969?0.7788008?0.6065306616?0.5352614?0.47236655?0.41686207)?0.36787947]

?0.6329434

7、（10分）已知數值積分公式為：

?h0hf(x)dx?[f(0)?f(h)]??h2[f'(0)?f'(h)]2，試確定積分公式中的參數?，使其代數精確度盡量高，并指出其代數精確度的次數。

解：f(x)?1顯然精確成立；

f(x)?x時，h2?h0h2hxdx??[0?h]??h2[1?1]22；

h3hh3122xdx??[0?h]??h[0?2h]??2?h???2f(x)?x時，?032212；

hh4h12332xdx??[0?h]?h[0?3h]3f(x)?x時，?04212；

f(x)?x4時，?0hh5h12h543xdx??[0?h]?h[0?4h]?52126；

4所以，其代數精確度為3。

8、(10分)用復化Simpson公式計算積分I??sin?x?dx?50x的近似值，要求誤差限為0.5?10。

1?1??1?????S1??f0?4f?f1?????0.946145886?2????

S2??1??1??1??3??????f0?4f?2f?4f?f1??0.94608693????????12??4??2??4??

1S2?S1?0.393?10-515

I?S2?0.94608693

I?S2?sin?x?x2x4x6x8f?x???1??????x3!5!7!9!或利用余項：

f(4)1x2x41?x??????f(4)?x??57?2!9?4!5

f(4)R5?b?a??2880n4????1?0.5?10?542880?5n，n?2，I?S2??

9、（9分）數值求積公式精度是多少？

?303f(x)dx?[f(1)?f(2)]2是否為插值型求積公式？為什么？其代數x?2x?1?f(1)??f(2)1?22?1 解：是。因為f(x)在基點1、2處的插值多項式為3p(x)?3p(x)dx?[f(1)?f(2)]?02 。其代數精度為1。

1dx?01?2x210、(10分)取5個等距節點 ，分別用復化梯形公式和復化辛普生公式計算積分2的近似值（保留4位小數）。

f(x)?解：5個點對應的函數值xi

0

11?2x2

1 1.5 2 0.5

f(xi)

1 0.666667 0.333333 0.181818 0.111111

----------------------------------------------------------（2分）

(1)復化梯形公式（n=4,h=2/4=0.5）：

T4?(2) 復化梯形公式（n=2,h=2/2=1）：

0.5[1?2?(0.666667?0.333333?0.181818)?0.111111]2

?0.868687

1S2?[1?4?(0.666667?0.181818)?2?0.333333?0.111111]6

?0.861953

11、(6分)構造代數精度最高的如下形式的求積公式，并求出其代數精度：

?1???xfxdx?Af??A1f?1?0??0?2?

1取f(x)=1,x，令公式準確成立，得：

A0?A1?211111A0?A1?A0?A1?3，6

2，23

3f(x)=x時，公式左右=1/4; f(x)=x時，公式左=1/5, 公式右=5/24

∴ 公式的代數精度=2

12、 證明定積分近似計算的拋物線公式

具有三次代數精度

證明：當 =1時，

公式左邊：當

公式右邊： 左邊=右邊

=x時

左邊：當 時

右邊：左邊=右邊

左邊：當

右邊：時

左邊=右邊

左邊： 右邊： 左邊=右邊

當 時左邊：

右邊：

故 具有三次代數精度

13、 試確定常數A，B，C和 ，使得數值積分公式

有盡可能高的代數精度。試問所得的數值積分公式代數精度是多少？它是否為Gauss型的？

解

第五章 常微分方程

一、填空題

，該數值求積公式具有5次代數精確度，

1、求解一階常微分方程初值問題y?= f

(x,y)，y(x0)=y0的改進的歐拉公式為

[0]?yn?1?yn?hf(xn,yn)?h?[0]y?y?[f(x,y)?f(x,yn?1nnnn?1n?1)]?2?。

[0]?yn?1?yn?hf(xn,yn)???y?f(x,y)h?[0]?y?y?[f(x,y)?f(x,yn?1nnnn?1n?1)]?y(x)?y00的改進歐拉法?22、解初值問題?是

2 階方法。

3、解初始值問題 近似解的梯形公式是

4、解常微分方程初值問題 的梯形格式

是二階方法

二、計算題

?dy2??x?x?y1.用改進歐拉方法計算初值問題?dx??y(0)?00?x?1，取步長h=0.1計算到y5。

?~?yn?1?yn?hf(xn,yn)解：改進的歐拉公式?

~h?yn?1?yn?[f(xn,yn)?f(xn?1,yn?1)]2?代入f(x,y)?x?x?y,且xn?nh,有

2h22yn?1?yn?[x2n?xn?yn?xn?1?xn?1?yn?h(xn?xn?yn)]

2?yn?0.05?(1.9x2(n?0,.1,2,3,4)n?2.1xn-1.9yn?0.11)xn

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5yn 0.00550 0.02193 0.05015 0.09094 0.145002. 用梯形法解初值問題確解解：用梯形法求解公式，得

相比較

取步長h=0.1,計算到x=0.5，并與準

解得

精確解為

?y'?x?y,0?x?13．用改進的Euler法解初值問題? ；取步長h=0.1計算y?0.5?，并與精y0?1,???確解y??x?1?2e相比較。(計算結果保留到小數點后4位)

解：改進的尤拉公式為：

??yn?1?yn?hf?xn,yn??

??h?????yn?1?yn??f?xn,yn??f?xn?1,yn?1??2?????x代入f?x,y??x?y和xn?nh，有

yn?1?yn?h2??2?h?x??2?h?ynn?h?

?h2?2h?2?hh22 ???yn?2?nh?2nh??22??代入數據，計算結果如下：

n

xn

yn

y(xn）

0

0

1

00

1

03

'21

0.1

1.1121

1.1128

2

0.2

1.2485

1.2497

3

0.3

1.3918

1.3936

4

0.4

1.5849

1.5874

5

0.5

1.791.794.設初值問題y?x?100y,y?0??0，

a) 由Euler方法、取步長h=0.1寫出表示上述初值問題數值解的公式；

b) 由改進Euler方法、取步長h=0.1寫出上述初值問題數值解的公式。

解：a）根據Euler公式：yn?1?yn?hf?xn,yn?

2yn?1?yn?hf?xn?100yn?

yn?1?11yn?0.001n2 3分

?yn?1?yn?hf?xn,yn??b）根據改進Euler公式：?hy?y?f?xn,yn??fxn?1,yn?1?n?1n?2???? 5分

h22xn?100yn?xn?1?100yn?12h222 =yn?xn?100yn?xn?1?100yn?h?xn?100yn?

2h2 =yn??1200yn?12xn?0.2xn?0.01?2 =61yn?0.006n2?0.001n?0.0005

yn?1?yn????????y'?x?y5.設初值問題??y(0)?1x?0，

a) 寫出由Euler方法、取步長h=0.1解上述初值問題數值解的公式；

b) 寫出由改進Euler方法、取步長h=0.1解上述初值問題數值解的公式。

解：a）根據Euler公式：

yn?1?yn?hf?xn,yn?

yn?1?yn?n0.1(xn?yn)?0.9yn?0.1xn

?yn?1?yn?hf?xn,yn??b）根據改進Euler公式：?hy?y?f?xn,yn??fxn?1,yn?1?n?1n?2????

hxn?yn?xn?1?yn?12h =yn?xn?yn?xn?1??yn?h?xn?yn??2h =yn??xn?yn?xn?h?yn?hxn?hyn?

2h2?2h?22h?h2h2 =yn?xn?222 =0.905yn?0.095xn?0.005yn?1?yn?????6、用歐拉方法求

y(x)??e?tdt0x2

在點x?0.5,1.0,1.5,2.0處的近似值。

解：y(x)??e?tdt0x2等價于

2??y??e?x???y(0)?0 (x?0)

?xx?0,x1?0.5,x2?1.0,x3?1.5,x4?2.0.

f(x,y)?e記,取h?0.5,02則由歐拉公式

?yn?1?yn?hf(xn,yn)??y0?0,

n?0,1,2,3

可得

y(0.5)?y1?0.5,y(1.0)?y2?0.88940,

y(1.5)?y3?1.07334,y(2.0)?y4?1.12604

7、取步長h?0.2，用預估-校正法解常微分方程初值問題

?y??2x?3y??y(0)?1

(0?x?1)

(0)??yn?1?yn?0.2?(2xn?3yn)?(0)?yn?1?yn?0.1?[(2xn?3yn)?(2xn?1?3yn?1)]?答案：解：

即

yn?1?0.52xn?1.78yn?0.04

0

0

1

1

0.2

1.82

2

0.4

5.8796

3

0.6

10.7137

4

0.8

19.4224

5

1.0

35.0279

n

xn

yn

?dy??f(x,y)(c?x?d)?dx?8、(10分) 求參數a,b，使得計算初值問題?y(x0)?y0的二步數值方法yn?1?yn?h[af(xn,yn)?bf(xn?1,yn?1)]

的階數盡量高，并給出局部截斷誤差的主項。

h2h3y(xn?1)?y(xn)?hy?(xn)?y??(xn)?y???(xn)?O(h4)2!3!解：

yn?1?y(xn)?h(ay?(xn)?by?(xn?1))

h2?y(xn)?ahy?(xn)?bh(y?(xn)?hy??(xn)?y???(xn)?O(h4))2!

3bh?y(xn)?(a?b)hy?(xn)?bh2y??(xn)?hy???(xn)?O(h4))2

?a?b?1?31?1a?,b???b??22時，

2，即所以當?

bh3yn?1?y(xn?1)?y???(xn)?O(h4)?O(h3)2局部截斷誤差為

h3yn?1?y(xn?1)??y???(xn)4局部截斷誤差的主項為，該方法為二階方法。

?y'??y?1?9、（15分）取步長h?0.1，求解初值問題?用改進的歐拉法求y(0.1)的值；

??y?0??1

(0)?yn?1?yn?hf(xn,yn)?0.9yn?0.1?h?(0)y?y?[f(x,y)?f(x,yn?1nnnn?1n?1)]?0.905yn?0.095?2解：改進的歐拉法：?

所以y(0.1)?y1?1；

'??y?2x?y10、（10分）對于一階微分方程初值問題?，取步長h?0.2，用Euler預報－校??y?0??1

正法求y(0.2)的近似值。

解：Euler預報－校正法

(0)?yn?1?yn?0.2(2xn?yn)?0.4xn?0.8yn?(0)?yn?1?yn?0.1(2xn?yn?2xn?1?yn?1)?0.16xn?0.2xn?1?0.82yny(0.2)?y1?0.2?0.2?0.82?1?0.86

hyn?1?yn?[?f(xn,yn)??f(xn?1,yn?1)]211、（10分）用二步法求解一階常微分方程初值?y??f(x,y)?y(x0)?y0問題?，問：如何選擇參數?,?的值，才使該方法的階數盡可能地高？寫出此時的局部截斷誤差主項，并說明該方法是幾階的。

解：局部截斷誤差為

hTn?1?y(xn?1)?y(xn)?[?f(xn,y(xn))??f(xn?1,y(xn?1))]2

23hhh?y(xn)?hy?(xn)?y??(xn)?y???(xn)?O(h4)?y(xn)?[?y?(xn)??y?(xn?1)]2!3!2

23hhh?y(xn)?hy?(xn)?y??(xn)?y???(xn)?O(h4)?y(xn)??y?(xn)2!3!2hh2??[y?(xn)?hy??(xn)?y???(xn)?O(h3)]22!

233??hhh?h(1??)y?(xn)?(1??)y??(xn)?(??)y???(xn)?O(h4)222!3!4

????1???0???3?22???????1 因此有?1???05h3y???(xn)局部截斷誤差主項為12，該方法是2階的。

12、(10?dy??8?3y(x?0)?dx?分)取步長h?0.2，求解初值問題?y(0)?2，用歐拉預報—校正法求y(0.2)的近似值。

解：（1）歐拉預報-校正法：

(0)?yn?1?yn?0.2(8?3yn)?1.6?0.4yn??yn?1?yn?0.1(8?3yn?8?3(1.6?0.4yn))?1.12?0.58yn

y(0.2)?y1?2.28

13、(8分)已知常微分方程的初值問題：

?dydx?xy,1?x?1.2?y(1)?2

?

.)的近似值，取步長h?0.2。 用改進的Euler方法計算y(12

k1?f?x0,y0??0.5，k2?f?x1,y0?hk1??1.1?2?0.2?0.5??0.5238095

y1?y0?h?k1?k2??2?0.1??0.5?0.5238095??2.10714292

第六章 方程求根

一、填空題

321、已知方程x?x?0.8?0在x0?1.5附近有一個根，構造如下兩個迭代公式：

2(1)xk?1?30.8?xk(2)xk?1?-0.8?x3k

則用迭代公式(1)求方程的根收斂_，用迭代公式(2)求方程的根_發散_。

xk?f?xk?2、設f?x?可微，求方程x?f?x?的根的牛頓迭代格式為

xk?1?xk? 。

1?f'?xk?2?x?x?ax????5?,要是迭代法xk?1???xk?局部收斂到x*?5，3、則a的取值范圍是?

1?a?0

5

4、迭代法的收斂條件是（1）

5.寫出立方根3（2）MAX??x??L?1。

'a?x?bxk3?1313的牛頓迭代公式xk?1?xk?

3xk23-36．用二分法求解方程f(x)?x?x?1?0在[1，2]的近似根，準確到10，要達到此精度至少迭代 9 次。

7、設f(x)可微,求方程x?f(x)的牛頓迭代格式是xn?1?xn?xn?f(xn)1?f?(xn) ；

b?an?18、用二分法求非線性方程f

(x)=0在區間(a,b)內的根時，二分n次后的誤差限為

2。

3?x?1?0f(x)?x9． 用二分法求方程在區間[0,1]內的根,進行一步后根的所在區間為

0.5，1 ,進行兩步后根的所在區間為 0.5，0.75 。

10、若用二分法求方程f?x??0在區間[1,2]內的根，要求精確到第3位小數，則需要對分 10

次。

11、如果用二分法求方程x?x?4?0在區間[1,2]內的根精確到三位小數，需對分10 次。

312、求方程

那么 1.5

的近似根，用迭代公式 ，取初始值 ，

13、 解非線性方程f(x)=0的牛頓迭代法具有局部平方收斂

14、 迭代過程 （k=1,2,…）收斂的充要條件是

< 1

二、單項選擇題：

1、用簡單迭代法求方程f(x)=0的實根，把方程f(x)=0表示成x=?(x)，則f(x)=0的根是( B )。

(A) y=?(x)與x軸交點的橫坐標 (B) y=x與y=?(x)交點的橫坐標

(C) y=x與x軸的交點的橫坐標 (D) y=x與y=?(x)的交點

2、用牛頓切線法解方程f(x)=0，選初始值x0滿足( A ),則它的解數列{xn}n=0,1,2,…一定收斂到方程f(x)=0的根。

(A)f(x0)f??(x)?0(B)f(x0)f?(x)?0(C)f(x0)f??(x)?0(D)f(x0)f?(x)?0

3、為求方程x3―x2―1=0在區間[1.3,1.6]內的一個根，把方程改寫成下列形式，并建立相應的迭代公式，迭代公式不收斂的是(A )。

x2?(A)1,迭代公式:xk?1?x?11xk?1

x?1?(B)(C)11,迭代公式:x?1?k?12x2xk

21/3x3?1?x2,迭代公式:xk?1?(1?xk)x?1?x,迭代公式:xk?1(D)322xk?1?2xk?xk?1

4、計算3的Newton迭代格式為( B )

xkxxx3323?xk?1?k?xk?1?k?xk?1?k?2xk；(B)22xk；(C)

2xk；(D)

3xk。 (A)

1?3???103225、用二分法求方程x?4x?10?0在區間[1,2]內的實根，要求誤差限為，則對xk?1?分次數至少為( A )

(A)10； (B)12； (C)8； (D)9。

3x?2不收斂的是( 6、已知方程x?2x?5?0在x?2附近有根，下列迭代格式中在0C )

k(A)k?1； (B)三、問答題

1.什么是不動點？如何構造收斂的不動點迭代函數？

x?32x?55xk?1?2?xk32xk?5x?k?132x?x?x?53xk?1kkk?2。； (C)； (D)

答：將方程改寫為若使則稱點為不動點而就是不動點的迭代函數，迭代函數 （1）'可以有很多，但必須使構造的滿足條件

（2）MAX??x??L?1

a?x?b 若已知，且 時也收斂，稱為局部收斂。

初始近似，當時為什么還不能斷定迭代法 2.對于迭代法收斂？

答：迭代法是否收斂一定要按收斂定理的條件判斷，定理6.1是全局收斂性，需要在包含的區間上證明且才能說明由出是迭代法才可由收斂

如果用局部收斂定理6.2，則要知道不動點為 證明其收斂性，由還不能說明迭代法收斂。

3.怎樣判斷迭代法收斂的快慢？一個迭代公式要達到P階收斂需要什么條件？

答：衡量迭代法快慢要看收斂階P的大小，若序列收斂于，記為若存在

及，使則稱序列若而為為P階收斂，P越大收斂越快，當P＝1，則越小，收斂越的不動點，P為大于1的整數，則此迭代公式為P階收斂。

在連續，且快。一個迭代公式4.方程斂？

答：用曲線求根的Newton法是如何推出的？它在單根附近幾階收斂？在重根附近是幾階收在點上的切線的零點近似曲線零點得到就是Newton法，在單根附近2階收斂，當為重根時是線性收斂。

5、簡述二分法的優缺點

答：優點(a)計算簡單，方法可靠；(b)對f

(x)

要求不高(只要連續即可) ；(c)收斂性總能得到保證。缺點(a)無法求復根及偶重根 ; (b)收斂慢

6、畫圖說明牛頓迭代公式的幾何意義。

f(xk)

xk?1?xk?

f?(xk)y?f(x)?x,f(x)?牛頓迭代公式就是切線與 x 軸交點的橫坐標，

所以牛頓法是用切線與 x 軸的交點的橫坐標來近

似代替曲線與x 軸交點的橫坐標。

xk?1xk四、計算題

y

o

xx

1、用二分法求方程的正根，使誤差小于0.05.

。本題f(x)=x2-x-1=0,因f(1)=-1,f(2)=1,故區間[1,2]解 使用二分法先要確定有根區間為有根區間。另一根在[-1,0]內，故正根在[1,2]內。用二分法計算各次迭代值如表。

其誤差2. 求方程迭代公式.

在

=1.5附近的一個根，將方程改寫成下列等價形式，并建立相應

(1)

(2)

，迭代公式,迭代公式.

.

(3)，迭代公式.

試分析每種迭代公式的收斂性，并選取一種收斂最快的方法求具有4位有效數字的近似根.

解：（1）取區間且，在且，在中，則L<1，滿足收斂定理條件，故迭代收斂。

（2），在中，且，在中有，故迭代收斂。

（3），在附近，故迭代法發散。

，在迭代（1）及（2）中，因為（2）的迭代因子L較小，故它比（1）收斂快。用（2）迭代，取則

3. 給定函數數,迭代法解：由于迭代函數由遞推有

，設對一切x,存在，而且的根.

.證明對的任意常均收斂于方程，，為單調增函數，故方程。令的根是唯一的（假定方程有根，則）。，，即

4. 用Newton法求下列方程的根，計算準確到4位有效數字.

(1) 在=2附近的根.

(2)解：（1） 在=1附近的根.

Newton迭代法取，則

，取

（2）令，則5. 應用Newton法于方程解：方程的根為,求立方根

，取的迭代公式，并討論其收斂性.

，用Newton迭代法

此公式迭代函數法2階收斂。

，則，故迭代x6.用牛頓法求方程xe?1?0的根，x0?0.5，計算結果準確到四位有效數字。

解：根據牛頓法得

?xkx?ek

xk?1?xk?1?xk取,迭代結果如下表

所以，方程的根約為0.56714

xx??(xn),n?0,1,2,?，討論其收斂性，7、構造求解方程e?10x?2?0的根的迭代格式n?1?4|x?x|?10n?1n并將根求出來，。

xf(x)?e?10x?2,答案：解：令

f(0)??2?0,f(1)?10?e?0.

x???)，故f(x)?0在(0,1)內有唯一實根.將方程且f(x)?e?10?0對?x?(??，

f(x)?0變形為

x?1(2?ex)10

則當x?(0,1)時

?(x)?1(2?ex)10，1(2?exn)10

exe|??(x)|????11010

故迭代格式

xn?1?x?0.5，計算結果列表如下： 收斂。取0n

0

0.5

4

0.090595993

1

0.035127872

5

0.090517340

2

0.096424785

6

0.090525950

3

0.089877325

7

0.090525008

xn

n

xn

?6*|x?x|?0.00000095?1076且滿足 .所以x?0.090525008.

8、用牛頓(切線)法求3的近似值。取x0=1.7, 計算x1 , x2 , x3

的值，保留五位小數。

2解：3是f(x)?x?3?0的正根，f?(x)?2x，牛頓迭代公式為

xn?12x3xn?3xn?1?n??xn?22xn2xn， 即

(n?0,1,2,?)

3

1.73205

取x0=1.7, 列表如下：

n

1

1.73235

32

1.73205

xn

9、（15分）方程x?x?1?0在x?1.5附近有根，把方程寫成三種不同的等價形式（1）11x?1?n?1x?1?3x?13x?xnx?x?1對應迭代格式n?1nx對應迭代格式；(2)；（3）3x?x3?1對應迭代格式xn?1?xn?1。判斷迭代格式在x0?1.5的收斂性，選一種收斂格式計算x?1.5附近的根，精確到小數點后第三位。

?1??(x)?(x?1）3??（1.5）?0.18?13解：（1），，故收斂；

2

??(x)??（2）2??(x)?3x（3），12x21?11.5）?0.17?1x，??（，故收斂；

??（1.5）?3?1.52?1，故發散。

x0?1.5，x1?1.3572，x2?1.3309，x3?1.3259，x4?1.3249，

x?1.32476，x6?1.32472

5選擇（1）：10、(6分)寫出求方程4x?cos?x??1在區間[0,1]的根的收斂的迭代公式，并證明其收斂性。

解：：xn?1???xn??1?1?cos?xn??4，n=0,1,2,…

?'?x??11sin?x???1x?[0,1],迭代公式都收斂。

44 ∴ 對任意的初值0

的Newton迭代格式

11、 設

（1） 寫出解

（2） 證明此迭代格式是線性收斂的

證明：（1）因 ，故 ，由Newton迭代公式：

n=0,1,…

得 ，n=0,1,…

（2）因迭代函數 ，而 ，

又 ，則

故此迭代格式是線性收斂的。

第七章 線性方程組的直接解法

一、填空題

?1?4?A?1.

??51?, 則??2.設x=（11 0 5 1），則T= 6 , A的譜半徑??A??1?25.

x1= 17 ，x?= 11 ，x2?147.

3.設計算A的行范數 ，列范數 ，F-范數 ，2范

數 .

解：

故

?10 0???4.已知A?0 2 4,則A1? 8 ,???0 -2 4???A2?42,A?? 6

。

T5．設x=（3 -1 5 8），則x1= 17 ，x?= 8 ，x2=99。

6．已知A???11?（A）??，則A的譜半徑

?51??11?5 ，則A??6

。

7、

x?(3,0,?4,12)T,則xT?19,x2?13?,x??122

8.設x=（1 9 -5 2），則x1= 17 ，x9.A??= 9 .

x?111.

Ax? 11 .

?11??2?,x???3?.則A1? 6 ,?25????A?? 7 ,Ax1? 16 ,???321???410?0???33??21??00??2?

??321??A??204????135??分解為A?LU，則U?10、設矩陣???482????482?U??016??A??257?1????00????136??的A?LU，則U??2?。 11、設矩陣?54?A???43??,則A?? 9 。 12、設13、解線性方程組Ax=b的高斯順序消元法滿足的充要條件為A的各階順序主子式均

不為零。

二、單項選擇題：

?3x1?x2?4x3?1???x1?2x2?9x3?0??4x?3x?x??11231、用列主元消去法解線性方程組?，第1次消元，選擇主元為( A ) 。

(A) －4 (B) 3 (C) 4 (D)－9

三、問答題

1.在什么情況下Gauss消去法會出現數值不穩定？如何克服？

答：當消元過程中增廣矩陣此時采用列主元消去法可克服這一問題。

2．什么是矩陣 答：A的條件數定義為時就認為A為病態矩陣，通常 3.矩陣項的方程組？如 答：A的順序主子式而當 則方程的條件數？如何判斷A是"病態的"或"良態的"？

，這里 為矩陣的任一種從屬范數。當 可認為A是良態的。

的元素很小時，Gauss消去法會出現數值不穩定，滿足什么條件才能使A的LU分解存在唯一？如何利用A=LU分解求解不同右端

時存在唯一單位下三角陣L及上三角陣U，使A=LU，存在唯一解，此時等價于解 于是由 及可求得Ax=b的解x,同樣解Ly＝c及Ux=y和Ly=d,Ux=y則分別得到不同右端項的方程解。

四、計算題

1. 用Gauss消去法求解下列方程組.

解 本題是Gauss消去法解具體方程組，只要直接用消元公式及回代公式直接計算即可。

故

?12x1?3x2?3x3?15?2. 用列主元消去法求解方程組??18x1?3x2?x3??15并求出系數矩陣A的行列式detA的值.

??x1?x2?x3?6解：先選列主元，2行與1行交換得

消元????183行與2行交換 消元??0???0回代得解

行列式得

3. 用Doolittle分解法求習題1(1)方程組的解.

解：由矩陣乘法得

再由求得

3?1?15??71731?6186??

02266?77??

由解得

?14.將矩陣A分解為單位下三角矩陣L和上三角矩陣U，其中A???2??6?2?方程組Ax???3??。（9分）

??4??答案：

?2??4求解Ly?b得y????1?；求解Ux?y得方程的解為：x???14?

???5????????5??5.用直接三角分解（Doolittle）法解方程組（不選主元）

??2345??x1??14??481114??x??37?6132026????x??2???3??65?

??8182940????x???4??95?解：

?1????2345??L??2123??321??,U??4??23???y??149??x??4321????2????11?6. 設，證明

解：

即，另一方面

26?515??，然后求解該1546??52?T1?T

1

故7．設

，證明：x??x1?nx?。

?xn?x1?nmaxxi?nx?

證明：由定義可知：

x??maxxi?x1?x2?1?i?n1?i?n從而

x??x1?nx?

由此可以看到x1可由x?控制。

?38.將矩陣A分解為單位下三角矩陣L和上三角矩陣U，其中A???2??1?4然后求解該方程組Ax????3.5???。

?2????1?1解：A?L?U??2/31???32?2/31/3??21????，

?1/31/???1/2????1??y1??4??4?先求解?2/31?????y?2????3.5??,得Y???5/6??

?1/31/21????y3????2????1/4????321??x1???4??1/2?再解?2/31/3??x?????2??5/6??，得X＝??1?/2??

?1/2????x3????1/4????1??4?10??9、A????14?1?，則A的（Doolittle）LU分解為

A???0?14???????答案：

?1??4?0?A????141??1154???0?4151????1????5615??

21?21?，

11???????????????。???

?x1?2x2?3x3?14?10﹑用直接三角分解（Doolittle）法解方程組

?2x1?5x2?2x3?18。

?3x?x?5x?203?12?1??123A?LU???21?????1?4?答案：解：??3?51?????24???

令Ly?b得y?(14,?10,?72)T，Ux?y得x?(1,2,3)T.

?1?11???x1???4??5?43??x????1211、用列主元素消元法求解方程組

??211???2???????x3????11??。?1?11?4??5?43?12??5?43?12??r?1???r?2??1?11?4解：

??21111????????21111??

?5?43?12?r1????5?43??2?r?5?1???0?1213r25?8???r?2??r3?3?5r1??13525??05?1795???0?5?1??5??5???0?155??43?12?r1?5???3??13r?2???013?179??5?555????0?5?1313??

回代得

x3??1,x2?6,x1?3。

12、(10分)用Gauss列主元消去法解方程組：

??x1?4x2?2x3?24?3x1?x2?5x3?34??2x1?6x2?x3?27

3.0000 1.0000 5.0000 34.0000

0.0000 3.6667 0.3333 12.6667

0.0000 5.3333 -2.3333 4.3333

3.0000 1.0000 5.0000 34.0000

0.0000 5.3333 -2.3333 4.3333

0.0000 0.00000 1.9375 9.6875

?12??79?5???8?5??

x??2.0000,3.0000,5.0000?

T

第八章 線性方程組的迭代法

一、填空題

1、用Gauss-Seidel迭代法解方程組??x1?ax2?4，其中a為實數，方法收斂的充要條件?2ax1?x2??3是a滿足?22?a?。

222、求解方程組?3x1?5x2?1??0.2x1?4x2?0(k?1)(k)??(1?5x2)/3?x1?(k?1)(k?1)?x2??x1/20?的高斯—塞德爾迭代格式為 ，該迭代格1式的迭代矩陣的譜半徑?(M)=12。

3、寫出求解方程組?x1?1.6x2?1???0.4x1?x2?2的Gauss-Seidel迭代分量形式?k??x1?k?1??1?1.6x2?0?1.6?,k?0,1,?????k?1??k?1???0?0.64?x2?2?0.4x1??，此迭代法是否收斂 收斂 。 ，迭代矩陣為4、若線性代數方程組AX=b 的系數矩陣A為嚴格對角占優陣，則雅可比迭代和高斯-塞德爾迭代都__收斂.

5、 高斯--塞爾德迭代法解線性方程組

的迭代格式中求

6、 若

則矩陣A的譜半徑

(A)= 1

7、 ，則A的譜半徑

二、單項選擇題：

＝6 ，A的 ＝6

1、 Jacobi迭代法解方程組Ax?b的必要條件是（ C ）。

A．A的各階順序主子式不為零 B．

?(A)?1

C．

aii?0,i?1,2,?,n D．

A?1

?22?3??A??051????00?7??，則?(A)為( C )． 2、設 A． 2 B． 5 C． 7 D． 3

(k?1)(k)x?Bx?g收斂的充要條件是（ B ）Ax?b3、解方程組的簡單迭代格式。

（A）?(A)?1, (B)

?(B)?1, (C)

?(A)?1, (D)

?(B)?1

三、問答題

1.迭代法不收斂？用什么表示迭代法的收斂速度？

答：迭代法收斂的充要條件是能說明迭代法不收斂。反之

三、計算題：

1. 方程組

，當則迭代法收斂。

時因不一定能使，故不收斂的充要條件是什么？如果 能否說明迭代法

計算到 (1) 寫出用J法及GS法解此方程組的迭代公式并以為止.

（1）J法得迭代公式是

取，迭代到18次有

GS迭代法計算公式為

取

2. 設方程組

證明解此方程的Jacobi迭代法與Gauss-Seidel迭代法同時收斂或發散.

解：Jacobi迭代為其迭代矩陣

，譜半徑為，而Gauss-Seide迭代法為

其迭代矩陣

，其譜半徑為由于

，故Jacobi迭代法與Gauss-Seidel法同時收斂或同時發散。

3. 下列方程組Ax=b，若分別用J法及GS法求解，是否收斂?

解：Jacobi法的迭代矩陣是

即GS法的迭代矩陣為

，故，J法收斂、

故，解此方程組的GS法不收斂。

4、 設必要條件.

解 J法迭代矩陣為

，detA≠0，用,b表示解方程組Ax=f的J法及GS法收斂的充分

，故J法收斂的充要條件是。GS法迭代矩陣為

由得GS法收斂得充要條件是

?430??24?????5.已知方程組AX?B,其中A?34?1,B?30，

???????0?14????24??

（1）列出Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的分量形式。

（2）求出Jacobi迭代矩陣的譜半徑

答案：

（1）分量形式，J法為

GS法為（2）

?1a0???6.實數a?0，考察矩陣A?a1a，試就方程組Ax?b建立Jacobi迭代法和????0a1??Gauss-Seidel迭代法的計算公式。討論a取何值時迭代收斂。

解：當實數a?0時Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的迭代矩陣為

?0?a0??0?a?,B??0a2BJ???a0?a??G?3???0?a0???0?a0??a??

a2??由det??I?BJ??0，求得BJ的特征值為：則??BJ??2a，?1?0,?2?2a,?3??2a，當?22?a?時，Jacobi迭代法收斂；

222由det??I?BG??0，求得BJ的特征值為：?1??2?0,?3?2a，則??BG??2a2，當

?22?a?時，Gauss-Seidel迭代法收斂；

227． 用高斯-塞德爾方法解方程組

?4x1?2x2?x3?11??x1?4x2?2x3?18?2x?x?5x?2223?1(0)Tx?(0,0,0)，取，迭代四次(要求按五位有效數字計算)。

答案：迭代格式

??x(k?1)1?1(11?2x(k)(k)2?x3)?4??x(k?1)1(k?1)(k)?2?4(18?x1?2x3)?(k?1)?1(22?2x(k?1)?x(k?1)

??x3512)

k

x(k)1

x(k)x(k)2

3

0 0 0 0

1 2.7500 3.8125 2.5375

2 0.20938 3.1789 3.6805

3 0.24043 2.5997 3.1839

4 0.50420 2.4820 3.7019

??3x1?2x2?10x3?15?10x8﹑對方程組

?1?4x2?x3?5?2x1?10x2?4x3?8

（1） 試建立一種收斂的Seidel迭代公式，說明理由；

（2） 取初值x(0)?(0,0,0)T，利用（1）中建立的迭代公式求解，||x(k?1)?x(k)||??10?3。

解：調整方程組的位置，使系數矩陣嚴格對角占優

??10x1?4x2?x3?5?2x1?10x2?4x3?8??3x1?2x2?10x3?15

故對應的高斯—塞德爾迭代法收斂.迭代格式為

??x1(k?1)?1(4x(k)?x(k)?5?1023)??x(k?1)?1(?2x(k?1)(k)?2101?4x3?8)??(k?1)1(k??x3?10(?3x11)?2x(2k?1)?15)

要求

取x(0)?(0,0,0)T,經7步迭代可得：

x*?x(7)?(0.999991459,0.999950326,1.000010)T.

?301??x1??5???????1?31???x2???1??1?14??x???8???3?=??， 9、用Gauss-Seidel迭代法求解線性方程組

?取x=(0,0,0),列表計算三次，保留三位小數。

解：Gauss-Seidel迭代格式為：

(0)T?(k?1)1(k)x?(?x?5)13?3?1?(k?1)(k?1)(k)??(?x1?x3?1)?x23??(k?1)1(k?1)(k?1)x3?(?x1?x2?8)?4?

?301??1?31????1?14??嚴格對角占優，故Gauss-Seidel迭代收斂. 系數矩陣?取x=(0,0,0)，列表計算如下:

(0)Tk

1

2

3

(k)x1

(k)x2

(k)x3

1.667

2.398

2.461

0.889

0.867

0.359

-2.195

-2.383

-2.526

10、（8分）已知方程組AX?f，其中

?43??24??f??30?A??34?1????????24??

??14??，（1） 列出Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的分量形式。

（2） 求出Jacobi迭代矩陣的譜半徑。

1?(k?1)(k)x?(24?3x)12?4?1(k?1)(k)?x2?(30?3x1(k)?x3)?4?1(k?1)(k)x?(?24?x2)3?4?k?0,1,2,3,?解：Jacobi迭代法：?

1?(k?1)(k)x?(24?3x)12?4?1(k?1)(k)?x2?(30?3x1(k?1)?x3)?4?1(k?1)(k?1)x?(?24?x2)3?4?k?0,1,2,3,?Gauss-Seidel迭代法：?

?0?30?4???133BJ??D(L?U)???0?44??5(或10)?0.7905693?(B)?00?J?844??，

11、(10分)已知方程組Ax?b，其中

?211??1??b??1?A??121???????112??，?1??

(1)列出Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的分量形式；

(2)討論上述兩種迭代法的收斂性。

解：（1）Jacobi迭代法：

(k)(k)?x1(k?1)?(1?x2?x3)/2?(k?1)(k)(k)?x2?(1?x1?x3)/2?x(k?1)?(1?x(k)?x(k))/212?3

11??0?22???11?B?D?1(L?U)??0?22???11?0????22? Jacobi迭代矩陣：?(B)?1 收斂性不能確定

（2）Gauss-Seidel迭代法：

(k)(k)?x1(k?1)?(1?x2?x3)/2?(k?1)(k?1)(k)?x2?(1?x1?x3)/2?x(k?1)?(1?x(k?1)?x(k?1))/212?3

1?0?2?1G?(D?L)?1U??0??4??0?1?8?Gauss-Seidel迭代矩陣：1?2??1?2??1??8??

?(B)??5?7i1??1168 該迭代法收斂

?12?2??1?????12、（15分）已知方程組Ax?b，其中A?111 , b?2，

???????221???3??（1）寫出該方程組的Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的分量形式；

（2）判斷兩種方法的收斂性，如果均收斂，說明哪一種方法收斂更快；

解：（1）Jacobi迭代法的分量形式

(k)(k)?x1(k?1)?1?2x2?2x3?(k?1)(k)?2?x1(k)?x3;k?0,1,2,?x2?x(k?1)?3?2x(k)?2x(k)12?3

Gauss-Seidel迭代法的分量形式

(k)(k)?x1(k?1)?1?2x2?2x3?(k?1)(k?1)(k);k?0,1,2,?x2?2?x1?x3?x(k?1)?3?2x(k?1)?2x(k?1)12?3

（2）Jacobi迭代法的迭代矩陣為

?0?22??B?D?1(L?U)???10?1?????2?20??，

?1??2??3?0，?(B)?0?1，Jacobi迭代法收斂

Gauss-Seidel迭代法的迭代矩陣為

?0?22??G?(D?L)?1U??02?3???2??00?，

?1?0,?2??3?2，?(B)?2?1，Gauss-Seidel迭代法發散

第九章 特征值與特征向量

一、計算題

?101?A???11????的模最大的特征值及其相應的單位特征向量，1.用冪法求矩陣迭代至特征值的相鄰兩次的近似值的距離小于0.05，取特征向量的初始T??1,0近似值為。

?0.9950?u1?10???v??u1?Av0??1???1???(1)??u,v??10.000.09950u??

1102??,

1解： ①,

?0.9941?u2?10.05???v??u2?Av1??2???1.095???(2)??u,v??10.1080.1083u??，

22??21②,

1,

(1)(2)?1??1?0.11?0.05

u3?0.9940??10.05??v3???u3?Av2?????1.102???(3)??u,v??10.1100.1090u??，

3322??,

1③,

(2)(3)?1??1?0.002?0.05

?0.9940??x1?????0.1090? ∴?1?10.11，