導波光學1

2024年3月7日發(作者：老師對學生的評價)

天津理工大學

導波光學

劉翰霖

任廣軍

2008-12-10

緒論

主要內容：

二十一世紀是信息時代，信息技術正在改變著人類社會。在信息的產生、采集、顯示、傳輸、存儲以及處理的各個環節中，光技術都扮演著重要的角色。20世紀60年代激光器的出現，導致了半導體電子學、導波光學、非線性光學等一系列新學科的涌現。20世紀70年代，由于半導體激光器和光纖技術的重要突破，導致了以光導纖維通信、光信息處理、光纖傳感、光信息存儲與顯示等為代表的光信息科學技術的蓬勃發展，導波光學（包括集成光學和纖維光學兩個分支）已成為光信息技術與科學的基礎。

1.1通信歷史的回顧

（1）通信的發展歷史總是與人類文明的發展歷史緊密相關的。可以認為，人類早期的長途通信手段——烽火臺報警通信就是光通信。到了中世紀這種烽火臺通信又得到了改進，人們用不同顏色的烽煙組合來傳遞較為復雜的信息。目視光通信在19世紀達到了它的頂峰。

（2）18世紀末，法國人夏布（Chappe）發明了揚旗式通信機（又稱旗語通信機）。揚旗通信在拿破侖時代達到了鼎盛時期，在歐洲架設了數千公里的線路。到了19世紀中葉，由于電通信技術的出現，以揚旗通信為代表的目視光通信因其固有的缺點而迅速退出了歷史舞臺。

（3）1837年美國人莫爾斯發明了電報，標志著人類進入了電通信時代。以后貝爾發明了電話，馬可尼、波波夫發明了無線電通信，于是電通信即成為最主要的通信方式。可以說，直到20世紀60年代，電通信在通信領域都居于絕對統治地位。

（4）20世紀70年代以后，通信技術進入了光通信時代。必須解決兩個最為關鍵的問題：一是可以高速調制的相干性很好的光源，二是低損耗的光波傳輸介質。

1960年第一臺激光器問世解決了光源的問題，這種光源發出的相干光束即可成為高速數據信息的載體。但當時最好的光學玻璃做成的光學纖維其損耗也達到了1000dB/km，用這樣的光學纖維顯然是無法實現光信號的長距離傳輸的。直到1966年華裔科學家高錕在他的著名論文中解決的石英光纖損耗的理論問題，提出了研制低損耗光纖的可能性。1970年美國康寧公司研制成功第一根低損耗光纖，從此阻礙光通信發展的兩大困難得以解決。

1.2光纖通信的產生和發展

20世紀70年代，由于制約光纖通信發展的兩個主要問題相繼得到了解決，于是光纖通信技術即以異乎尋常的速度發展。到20世紀90年代，除了用戶線以外，光纖傳輸已完全取代了傳統的電纜通信，成為通信網的主干。與傳統的通信方式相比，光纖通信主要優勢體現在如下幾個方面：

（1） 巨大的傳輸帶寬。石英光纖的工作頻段為0.8~1.65μm，單根光纖的可用頻帶幾乎達到了200THz。

（2） 極低的傳輸損耗。目前工業制造的光纖在1.3μm附近，其損耗在0.3~0.4 dB / km范圍以內，在1.55μm波段已降至0.2dB / km以下。

（3）光纖通信可抗強電磁干擾，不向外輻射電磁波，這樣就提高了這種通信手段的保密性，同時也不會產生電磁污染。

第一代光網絡采用靜態的點到點波分復用（WDM）系統來增加帶寬，這種光網絡被廣泛地應用于長途骨干網傳輸，可以提供數十個波長的OC-48（2.5Gbit/s）或OC-192（10Gbit/s）的信號通道。該光網絡采用靜態的通道分配技術，在兩點間提供固定的傳輸通道。

第二代網絡為光電混合網絡，其傳輸在光域實現，但在網絡節點處信息的交換、數據流的分出和插入都在電域完成。第二代網絡的交換、路由等必須在電域實現，因而其性能必然要受到電子器件處理速率的制約，這就是所謂“電子瓶頸”問題。

第三代網絡是全光網絡。所謂全光網是指信息從源節點到目的節點能夠實現全光透明傳輸的網絡。全光網中的網絡節點在光域中處理信息，交換、路由等都在光域完成。

1.3光波技術的發展

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20世紀70年代至90年代，光波技術的發展是以光纖通信為主線的，基本上以提高光纖鏈路傳輸速率和延長傳輸距離為目標。20世紀90年代以后逐漸進入光網絡時代。光網絡是以網絡節點互連而成的全光透明網絡。為了實現光信號的透明傳輸，網絡節點必須在光域完成選路、交換等功能。因而光信息技術，如光緩存、光邏輯、光交換等，已成為光波技術的前沿領域。

經典通信包括相干通信、光孤子通信等新的通信技術都受到經典信道中高斯噪聲的制約，其信道容量都是有限的。近年提出的量子光通信概念，以光量子作為信息載體，而非傳統的以光波（波長極短的電磁波）作為信息載體。

實現量子光通信的關鍵技術是光子計數技術、光量子無破壞檢測技術和相應的激光器技術。

1.4 光纖

光纖是構成光網絡的傳輸介質，它是以石英為基礎材料制成的。它由纖芯、包層及保護層構成，其橫截面如圖1-1所示。纖芯和包層由石英材料摻不同的雜質構成，使纖芯折射率n1略大于包層折射率n2。通信用光纖主要有多模光纖與單模光纖兩類。多模光纖纖芯直徑2a主要有50μm、62.5μm兩種規格，單模光纖纖芯更細，其直徑小于10μm。多模光纖和單模光纖的包層直徑一般都為125μm。如果不加標識，憑肉眼，我們無法區分多模光纖和單模光纖。

光纖最主要的傳輸特性是它的損耗、色散、非線性及雙折射等。

（1）光纖的損耗特性

光纖的損耗導致光信號在傳輸過程中信號功率下降，光功率P纖中的變化可以用方程式（1.3-1）表示。

dPdz???P在光圖1-1光纖的橫截面

（1.4

– 1）

式中?就是光纖的衰減系數。積分上式可得

??L

P? （1.4 – 2）

out?P?ine式中Pin是注入功率,Pout是長為L的光纖的輸出功率。一般用dBkm?作為光纖損耗的實用單位，即

??dBkm???10out?P??lg?? （1.4 – 3）

LP?in

??光纖損耗主要由光纖的本征吸收、瑞利散射、雜質吸收等因素構成。

折射率的不均勻必然導致對光波的散射，散射導致光信號能量的損耗，這種與光波波長尺度相當的不均勻性對光波的散射稱為瑞利散射。瑞利散射導致的損耗系數可以表示為

C?R?4 （1.4 – 4）

?式中的常數C在0.7 ~ 0.9μm4?dB/km范圍，在0.8μm處?已達2dB/km，所以瑞利散射是限制通信波段波長的主要因素。

OH-離子的吸收導致光纖的通信波段在0.8～1.65μm范圍內形成兩個低損耗窗口，即1.31μm和1.55μm。

R（2）光纖的色散特性

一般意義下的色散是指介質中不同頻率的電磁波以不同的速度傳播這一物理現象。在光纖中不僅不同頻率成分的光有不同的傳播速度，而且不同的傳播模式也有不同的傳播速度，稱之為模式色散。模式色散同樣導致光信號在傳播過程中的畸變。

光纖的色散因素主要包括材料色散、波導色散和模式色散。

單模光纖的偏振模色散（PMD）實際也是一種模式色散。它是由于單模光纖中兩個正交的偏振態以不同的速度傳播造成的。

（3）單模光纖的非線性

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非線性是指光纖對大信號的影響特性，幾乎所有媒質都是非線性媒質，但在小信號條件下，非線性極小，可以忽略。單模光纖中傳輸的光信號的功率在mW量級，但由于單模光纖芯徑很小，單位面積上通過的功率卻是很大的，或者說光強很強。光纖纖芯中的電場強度達到105~106 V/m量級 。在如此強大的電場作用下，石英的非線性極化導致光纖的折射率有一個與外加光強成正比例的非線性修正項，即

2

n =

n1

+

n2|E| (1.4 – 5 )

這就是所謂的光可爾效應。由于光克爾效應的存在，導致光信號傳輸過程中存在自相位調制(SPM)、交叉相位調制(XPM)以及四波混頻(FWM)。此外在外加信號較大時光纖中還存在非彈性散射過程，例如受激拉曼散射(SRS)、受激布里淵散射(SBS)等。

（4）單模光纖的雙折射

單模光纖中的傳播模式并不是嚴格意義上的單一模式，光纖的主模式是一對偏振態相互正交的簡并模，在非理想狀態下，這一對模式將不再是理想的簡并模，它們的傳輸特性將略有差別，或者說它們的等效折射率不同，這就是單模光纖的雙折射。

光波導的幾何光學分析方法

主要內容：

主要內容：

在本章中我們將從路徑方程出發，分析光線在各類光波導中的傳播特性。首先，我們將從最簡單的均勻介質薄膜波導開始，然后討論光纖中光線的傳播問題，最后討論光源與光纖之間的耦合問題。

2.1 均勻介質薄膜波導中光線的傳播

介質薄膜波導由三層介質構成。中間一層厚度為d (約為數微米)，折射率為n1，光線即在這一層介質中傳播，稱為芯層。下面一層折射率為n2，稱為襯底。上面一層折射率為n3，稱為敷層。其結構如圖2-1所示。為了保證光線在芯層中傳播，必須有nl大于n2和n3。在橫方向上，薄膜波導在y方向尺寸比起x方向尺寸要大得多，為了分析簡單起見，認為在y方向上是無限延伸的，所以又可以將薄膜波導稱為平面波導。一般薄膜波導的芯層是采用擴散工藝沉積在襯底上做成的。

光纖通信系統中，不用薄膜光波導作為傳輸媒質。圖2-1 介質薄膜波導的縱剖面圖

但是，對薄膜波導的分析具有重要的意義。首先，薄膜波導是最簡單的光波導，可以很方便地得到結果，對薄膜波導的討論可以為分析條形波導和光纖打下基礎。另外，薄膜波導理論又是集成光學的基礎，很多無源光器件，如光調制器、光耦合器等的工作原理都是建立在薄膜波導理論基礎上的。所以在主要介紹光纖傳輸理論的同時，也對薄膜波導的傳輸理論作必要的介紹。

2.1.1 光線的傳播路徑及光線分類

均勻薄膜波導的芯層折射率nl、襯底折射率n2、敷層折射率n3都是常數。因而光線在芯層中沿直線傳播，在芯層與襯底，芯層與敷層的界面上發生反射和折射，如圖2-2所示。如果光線的入射角大于這兩個界面上的全反射臨界角，則光線在芯層形成內全反射，此時光線被約束在芯層內沿鋸齒狀路徑傳播。

根據襯底和敷層中是否有折射光線存在，我們將波導內的光線分成兩類，即束縛光線和折射光線。如果光線在兩個界面上都滿足全反射條件，光線完全被約束在芯層內，則稱為束縛光線。如果光線在某一個界面上或同時在兩個界

圖2-2 介質薄膜波導界面上光線的反射和折射

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面上不滿足全反射條件，從而導致光線穿過界面進入襯底或敷層，就稱為折

射光線。顯然只有束縛光線才能在波導中沿確定的方向傳播。

令光線在芯層和襯底及芯層和敷層分界面上的全反射臨界角分別為θ?c12?sin?1c12和θc13，則有

n2n1，?c13?sin?1n3n1

假設襯底折射率n2大于敷層折射率n3，則必有θc12>θc13，這表明，在芯層中光線成為束縛光線的必要條件是光線在界面上的入射角θl>θc12。為了以后討論方便，我們用光線與波導軸也就是z軸之間的夾角θz來表示射線的方向，它與入射角θi互為余角，即θz = 90°-θi。全反射臨界角的余角用θzc表示,則θzc=90°-θc。引進θz角之后，光線在界面上發生全反射的條件成為θz<θzc。由于θc12>θc13，所以θz12<θz13，于是得到薄膜波導兩個界面上同時滿足全反射條件，從而光線成為束縛光線的條件成為

0?θz<θzc13 （2.1-1）

如果忽略介質本身的損耗，則滿足條件(2.1-1)式的光線在波導芯層將沿z軸方向以鋸齒狀的路徑無衰減地傳播。這種光線又可以稱為導波光線，因為用波動理論來看，它就是導行波。

如果(2.1-1)式的條件不滿足，即光線的傾斜角θz?θzc12，則光線在到達界面時將部分地折射出去，光的能量每經過一次折射都要損失一部分，因而沿z軸方向光線的能量迅速衰減。這種能量的損耗以輻射的形式向芯層外面彌散，所以又稱這種部分向外折射的光線為輻射光線。這里又可出現兩種情形，即當

θzc12?θz<θzc13 （2.1-2a）

時僅出現襯底輻射，即在襯底中有折射光線存在，而在敷層中沒有折射光線存在。而當

θzc13≤θz≤?2 (2.1-2b)

時襯底和敷層中同時都有折射光線存在，或者說同時出現襯底輻射和敷層輻射。

(2.1-1)式和(2.1-2)式的條件可以歸納為

束縛光線： 0≤θz

-1 (2.1-3)

n2n1≤θz

?2同時存在襯底輻射和敷層輻射：cosn3n1≤θz< (2.1-4b)

由折射定律可知，光線在傳播過程中必有

是個常數，腳標i=l，2，3。可以將?歸一化相位常數，即

?ncos?z稱為光線不變量，它實際上是光波在z軸方向傳播的nicos?zi???=?k0=ncos?z

用光線不變量表示，則薄膜波導中存在束縛光線的條件是

n2

(2.1-5)

僅出現襯底輻射的條件是

n3

(2.1-6a)

同時出現襯底輻射和敷層輻射的條件是

0≤?

2.1.2 傳播時延及時延差

光線在芯層中的傳播速度v = c／n1，c是自由空間的光速度，n1是芯層折射率。由于光線在芯層內沿鋸齒狀路徑傳播，如圖2-3所示，光線沿z軸方向傳播距離z時，走過的實際路徑長度為

L = z／cosθz

傳播這段距離所需要的時間為

t = L / v = n1 z / c cosθz

定義沿z軸方向傳播單位距離的時間為光線的傳播時延，用τ表示，則

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τ= t / z = n1/ c cosθz (2.1-7)

如果在芯層中有兩條束縛光線，它們與z軸之間的夾角分別為

?

z

1 和

?

z2 ，則在z軸方向傳播單位距離時，它們走過的路徑不一樣，因而傳播時延也不一樣，兩條路徑傳播時延差用

?

? 表示，則有

n111

?

? =

? (2.1-8)

????12ccos?z1cos?z2

在所有可以存在的束縛光線中，路徑最短的一條光線是沿z軸方向直線傳播的光線其θz＝0，而路徑最長的一條光線則是靠近全反射臨界角入射的光線，其傾斜角θz＝cos-1(n2/n1) 。這兩條光線傳播時延差最大，稱為最大時延差，記為max，顯然

n1n1?n2??= （2.1-9）

cn2由上式可以看到

max與芯層折射率和襯底折射率之差n1-n2成正比。而較大的時延差將會導致嚴重的多徑色散，引起光脈沖在傳播過程中展寬，所以實際的光波導n1-n2不宜過大。一般的光波導襯底和芯層往往用同一種材料，只是摻有不同濃度的雜質做成，其折射率差很小。定義相對折射率差為

22n1?n2n?nn?n

Δ

?

2

?

1

2

?

1

2 <<1 (2.1-10)

2n1n1n2

-----------------------------------------------

引進參量以后，最大時延差即可表示為

Δ (2.1-11)

??max=

n

1

c(2.1-11)式是一個極為重要的結果。用它可以估算光波導中由于多徑傳輸所導致的光脈沖展寬的大小。(2.1-11)式未考慮其它的色散因素，例如材料色散等。對這種均勻薄膜波導，多徑色散是主要的，因而用(2.1-11)式所得到的結果誤差不會很大。

2.2 芯層折射率漸變的介質薄膜波導中光線的傳播

均勻介質薄膜波導結構簡單，容易分析，其缺點是多徑色散效應嚴重。改進的辦法是將芯層折射率做成漸變的，波導芯層的中心折射率最大，并單調下降至襯底折射率的值。這種情形下對光線的傳播特性的分析將比均勻結構復雜。

2.2.1 傳播路徑及光線分類

實際使用的光波導其芯層折射率僅是x的函數，從中心線向兩邊遞減。為簡單起見，假設芯層兩側折射率相等，邊界面上折射率連續，即折射率分布可以表示為

??n1(x)?n1(?x)?n(x)?????n2?n1(x??a)x?ax?a （2.2-1）

我們將這種折射率呈對稱分布的結構稱為對稱薄膜波導，其折射率分布如圖2-4所示。

在芯層中，光線傳播的路徑方程可以具體化為

?d?dr?dn1(x)?n1(x)?ex

?ds?dsdx?? （2.2-2）

我們限定光線在芯層沿z軸傳播，因而光線的路徑是xyz平面內的曲線，曲線上任意一點的矢徑及其路程的導數分別為

???r?xex?zez?,??drds?dx?dz?ex?ezdsds

將（2.2-2）式寫成分量形式，可以得到

d?dx?dn1(x)n1(x)?ds?ds?dx??d?dz?n1(x)??0ds?ds??2 1/2 （2.2-3a）

（2.2-3b）

在xoz平面內ds = [ dx2

+ dz]，或者dz = d cosθz(x)，這里θz(x)是傳播路徑上某點的切線與z軸之間的夾角。由于傳播路徑一般為曲線，所以θz(x)是位置的函數。dx，dz，ds，θz(x)之間的關系如圖2-5所示。

積分式（2.2-2b）可得

n1(x)dzds?n1(x)cos?z(x)?n1(0)cos?z(0)?? （2.2-4）

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由此可見，折射率漸變波導中，如果折射率僅是x的函數，則仍然可以引進歸一化的z方向相位常數?這個光線不變量。也就是說光線傳播的z方向歸一化相位常數?在傳播過程中始終保持不變，其值僅由光線的初始狀態決定。

從（2.2-3）式可以看到，如果光波導的芯層折射率由x = 0處向兩邊單調下降，則光線與z軸間的夾角也就是說在非均勻介質中，?z(x)會隨x的增加而減小，光線

總是彎向折射率大的一側。如果芯層中某點滿足?z(x)=0，

圖 2-5 傳播路徑上的幾何關系

則此點以外的區域光線不能傳播，光線將從此點彎回中心軸一側，我們稱這個點為光線的折返點，其坐標用xtp表示。顯然折返點坐標xtp是下面方程的解

n1(xtp)?n1(0)cos?z(0)0?xtp?d2?a (2.2-5)

式中 n1

( 0 )是波導中心軸上( x = 0 )的折射率，θz(0) 則是中心軸上光線與z軸間的夾角。若方程（2.2-5）在|x|

在折射率對稱分布，即n ( x ) = n (- x ) 的波導中，束縛光線沿類似于正弦曲線的路徑傳播，如圖2-7所示。路徑的準確形狀則應從方程（2.2-3a）式解得。

由上面的討論可知，束縛光線和折射光線的分界線是剛好達到芯層與敷層的分界面的路徑，即xtp= a的路徑。由（2.2-5）式可以得到這條路徑的其起始傾斜角為

?zc(0)?cos?1n1(a)n1(0)?cos?1n2n1 （2.2-6）

式中n2

= n1( x = a )是襯底及敷層折射率，n1是芯層中心軸上的折射率，即n1

= n1(0)。于是我們可以將束縛光線和折射光線的條件歸納為

束縛光線： 0≤θz（0）

2≤θz（0）<≤? （2.2-7b）

如果用光線不變量?= n(x)cosθz(x)來表示，則為

束縛光線： n2

（2.2-8a）

折射光線： 0≤?≤n2

（2.2-8b）

第6頁/共7頁

現在假設光線不變量滿足條件n2

dxdz?sin?z(x)?,?????cos?z(x)dsdsddzdxdz

也可將（2.2-3a）式寫成

cos?z(x)[n1(x)cos?z(x)]?dn1(x)dx利用??n(x)cos?z(x)是不變量這一關系，又可以將上式寫成

?2dtdx22?1dn1(x)2dx?tdtdx2 （2.2-9）

?1dt2作變換t?dxdz，則?dxdz22?dtdz?dt?dxdx?dz2dx2，將其代入（2.2-9）式，得到

?dn1(x)dx2?dt2dx

tp積分上式得到

?t22?n1(x)?A2式中A為積分常數。由于dxdz2?tan?z(x)，在x?x時?z(x)?0，所以dxdz2?0，于是有n1(x?xtp)?A?0，再由（2.2-5）式，可以確定A????dxdz?[n1(x)??]2212。于是得到

（2.2-10）

（2.2-11）

再次積分，即可得到光線路徑方程的積分式

z(x)???xdx0?n21(x)??212?上式是在x = 0時，z = 0的前提下得到的。如果給定芯層折射率分布n1( x ) 和光線的初始狀態，也就是給定?z(0)，則光線的傳播路徑即可由（2.2-11）式的積分完全確定。

2.2.2 傳播時延及時延差

由于束縛光線的路徑類似于正弦曲線那樣的周期曲線，我們可以只考慮路徑的半個周期的路徑長度及光程，即可得到單位距離的傳播時延等重要信息。路徑的半個周期也就是圖2-7中P、Q兩點間的曲線段。這段路徑的QQ長度及光程分別用Lp和Lo表示，則有

L

p

?P、Q兩點的x坐標分別為 - xtp和xtp

?

d

s

L

o

?

?

n

(

x

)

d

s （2.2-12）

P

Pdz?再利用（2.2-10）式，即

? 變換：

dzdzdx2212ds??n(x)dx[n1(x)??]

cos?z(x)dx?

則可以將P、Q兩點間的路徑長度及光程分別寫成

xx

2n(x)dxn1(x)dx

L

p （2.2-13a）

?

2

2

1

2 （2.2-13b）

?

?

L

o2212?[n1(x)??][n1(x)??]

?x?xxtp2Ln1(x)dx1P、Q兩點在z軸上的投影點之間的距離為zp

ot??212?2

cc?x[n1(x)??]xtp

?dxzp??2212（2.2-14） 光線從P點傳播到Q點的時間則為 （2.2-15）

[n(x)??]1?x

L

? （2.2-16） 光線沿z軸傳播單位距離的傳播時延則為

?

1tptp1tptptptp0czp

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式中是z軸方向上單位距離內包含的路徑半周期數目，如果1/zp是整數，則（2.2-16）式精確成立。如果1/zp不是整數，但1/zp >>1。（2.2-16）式仍是個很好的近似；如果1/zp >>1這個條件不滿足，則傳播時延的精確值應為

1z1z

?

?

n

?

x

?

d

s

?

n

2

(

x

)d

z （2.2-17）

11c0c?0

式中z是路徑在z軸方向的總長度。

沿兩條不同的路徑積分，在z軸方向傳播相同的距離時，光程不同，因而有不同的傳播時間，這就導致了傳播時延差。對于芯層折射率從x = 0處向兩邊單調下降的波導，與芯層折射率均勻的波導比較，前者的時延差會在一定程度上有所減小。這是因為大的光線盡管所走的路程較長，但它部分地進入了芯層的邊緣部分，那里的折射率較小，光的傳播速度就要快些；沿波導中心線附近傳播的光線盡管所走的距離短些，但此處折射率大些，傳播速度要慢些，從而縮小了各條光線之間的傳播時延差。縮小的程度取決于芯層折射率分布函數，下面我們將看到，如果芯層折射率按雙曲正割函數分布，則所有各條束縛光線的傳播時延相等，時延差為零。

??2.2.3 舉例

例１ 光波導的折射率分布按所謂無界拋物線函數分布，即 （2.2-18）

? 范圍內按拋物線函數分布，所以這時式中的a已不具有芯層厚度的意義，它只是一由于這里假設折射率在

x

?

個參量，Δ是一個無量綱的參量，而且總小于１。

2?

0這個分布使得x

?

?

a

2

Δ 時n=0，而

x

?

a

2

Δ 時

n

?

x

? ,顯然這不符合實際情況。但從它可以得到簡單的解，有助于我們理解光線傳播的概念，而且對其中那些不大的所謂傍軸光線，所得結果是相當精確的。在光波導中，我們主要關心的也就是傍軸光線，所以這樣的假設有討論的價值。

由于沒有芯層和敷層的界面，所以所有的光線都是束縛的。其折返點位置由方程

sin?z(0)xtp2

n

12

[1

?

2

Δ

(

2

?

n

1

2

cos

2

?

z

(

0

) 解出為

x

tp

?

?

a （2.2-19）

)

]?

?2Δa

由（2.2-19）式可知，當波導參量a，Δ確定以后，折返點位置完全取決于起始傾斜角。

?

z

?

0

? 越大，xtp就越x大，光線就愈加遠離波導中心軸。

dx??zx??2?0把（2.2-18）式代入（2.2-11）式，可得

x122n1[sin?z(0)?2?2]

xadxa將（2.2-19）式代入，得到

z?x????22120n12Δ(xtp?x)

wdw作變換

x

?

x

tp

sin

w

,

d

x

?

x

tp

cos ，則有

xxaxtpcoswdwadw??zx?????0n12Δ?x2?x2sin2w?12?0n2Δ

1tptp

nz2Δaax?1x也就是

x

?

x

tp

sin

1 （2.2-20）

??w0??sinxtp?an12Δn12Δ

從上式可以看到，光線的路徑是正弦曲線，其半周期長度 可 以直接從（2.2-20）式中 令正弦函數的宗量

n

1

2

Δ

z

/

?

a

?

π 得到，即

z

p

?

π

a

?

/

n

1

2

Δ （2.2-21）

πz于是可以將路徑方程寫成

x

?

x

tp

sin （2.2-22）

zp由（2.2-21）式可以看到，光線路徑的半周期長度在波導結構確定以后完全由起始傾斜角 決定，?

(

0

) 越大，z半周期長度越小，如圖2-8所示

半周期的光程可由（2.2-13b）式積分得出，將（2.2-18）式代入（2.2-13b）式，得到

x2x2xxn1[1?2?()]dxan1[1?2?()]

aaLo????)dx

221x222?(xtp?x)-x[sin

?z(0)?2?()]2-xa

?cosw ，則有 作變換

x

?

x

tp

sin

w

,

d

x

?

x

tp

w

d

222xxz(n??)an1tpp12

Lo??[1?2?2sin?]d???x

2

?

a

2

? （2.2-23）

式中即為(2.2-21)式所確定的半周期長度。

L122o???n

??)光線在z軸方向傳播單位距離的時延為

(

1 （2.2-24）

czp2c?顯然，這種結構的光波導，光線的起始傾斜角不同，即 不同，其傳播時延也不同，即存在著傳播時延差。

如果仍將

x

? 作為波導芯層的邊界，則

x

tp

?

?

a 是約束光線的臨界路徑。由（2.2-19）式可以求得此臨界路?

a徑的起始傾斜角滿足

sin??0??2Δ,cos2??0??1?2Δ?,??2?n2?1?2Δ?zz1

?

z??

?

?而沿波導軸線傳播的光線，

0

?

?

0

?

,

n

1。分別將這些數據代進（2.2-24）式，即可得到這兩條路徑的傳播tptptptptptpx222n(x)?n1[1?2?()]

a

x??

???n1cΔ2第8頁/共9頁

時延差為 （2.2-25）

1 的假設。將（2.2-25）式與（2.1-11）式比較，可以看到芯層折射率按拋物線函數在得到上式時，用了

Δ

??

Δ

??變化時，其時延差是芯層折射率均勻的波導時延差的Δ倍。由于

1 ，所以折射率按拋線函數分布的波導的多徑色散效應明顯地小于均勻波導。

?0自聚焦效應 為觀察方便，把光線入射點移到中心軸線(z=0, ri=0)，得到

r?sin(Az)(2.14a)

An(0)

θ*=θ0cos(Az) (2.14b)

由此可見，漸變型多模光纖的光線軌跡是傳輸距離z的正弦函數，對于確定的光纖，其幅度的大小取決于入射角θ0， 其周期Λ=2π/A=2πa/

2

? ， 取決于光纖的結構參數(a, Δ)， 而與入射角θ0無關。

這說明不同入射角相應的光線， 雖然經歷的路程不同，但是最終都會聚在P點上，見圖2.5和圖2.2(b)， 這種現象稱為自聚焦(Self-Focusing)效應。

2.3 階躍光纖中光線的傳播

光導纖維是光纖通訊系統中的傳輸媒介，實際上就是圓柱形狀的介質波導，它由纖芯、包層和護套層構成。纖芯和包層材料都是石英玻璃，只是摻雜成分和摻雜濃度略有不同，因而折射率略有不同。設纖芯折射率為n1，包層折射率為n2，為了保證光線被約束在纖芯中傳播，總有nl

>

n2。纖芯折射率可以是均勻的，也可以是漸變的。纖芯折射率均勻，也就是n1是常數，則在纖芯與包層的分界面上折射率發生突變，包層折射率n2總是常數，這種光纖稱為階躍光纖，或者SI（Step Index）光纖。如果光纖的折射率是漸變的，一般是由中心軸上的最大值n1按某種函數規律階躍光纖的橫截面結構

下降到包層折射率n2，這種光纖稱為梯度光纖，或者GI（Graded Index）光纖。

2.3.1傳播路徑及光線分類

由于階躍光纖纖芯折射率是均勻的，所以光線在纖芯內沿直線傳播。當光線到達纖芯與包層界面時，按斯涅爾定律發生反射和折射（?1??1'，n1sin?1?n2sin?2）。在一定的條件下，光線在界面上發生全反射，則在纖芯內形成沿折線路徑傳播的束縛光線。與前一節所討論的薄膜波導不同，光纖中的光線由于入射方向的差異，必須區分兩種情形。一種是傳播路徑與光纖軸線相交的光線，稱為子午光線。子午光線的路徑是平面折線，在光纖橫截面內的投影是長度為2a的線段，也就是光纖纖芯的某一條直徑。子午光線的路徑及在橫截面內的投影如右所示。另一類光線其傳播路徑不與光纖軸相交，稱為偏斜光線。偏斜光線的路徑是空間折線，在光纖橫截面內的投影是內切于一個圓的多邊形(可以是不封閉的)。偏斜光線的傳播路徑及

子午光線的傳播路徑及其在橫截面內的投影

第9頁/共10頁

偏斜光線的傳播路徑及其在橫截面內的投影

其在橫截面內的投影如下圖所示。偏斜光線在傳播過程中總與一個圓柱面相切，這個圓柱面稱為偏斜光線的內焦散面(Inner Caustic)。內焦散面的半徑如果用ric表示，則有0

2.3.2 數值孔徑

如前所述，無論是子午光線，還是偏斜光線，僅當?z?（?2）??c時，光線才能成為束縛光線并沿光纖軸方向無衰減傳播，而光線的起始傾斜角?z則由光纖端面上光線的入射方向決定。我們以子午光線為例來看看從端面入射的光線被光纖捕獲并成為束縛光線的入射條件。假設光線從空氣中以入射角θ投射到光纖端面上，如圖所示。光線進入光纖以后，其傳播路徑與z軸之間的夾角為?z，根據斯涅爾定律應有

光纖端面上光線的入射與折射

n0sin??n1sin?z,sin?z?n0n1sin?

n1是纖芯折射率，n0是光纖端面外介質的折射率，如果端面之外是空氣，則n0=1。入射光線成為束縛光線的條件是?z?（π/2）??c,sin?z?cos?c。也就是

n0n1sin??cos?2?n2????1?2??n1??12

于是得到

對于空氣，n0?1

zc

sin??1n0(n1?n2)2212

。從上式可以得到一個重要結果，即從空氣中入射到光纖纖芯端面上的光線被光sin?max＝n1?n2?n12?22纖捕獲并成為束縛光線的最大入射角?max，必須滿足條件

2（n1式中Δ?22?n2）/2n1是光纖纖芯和包層之間的相對折射率差。

定義上述光線成為束縛光線的最大入射角的正弦即sin?max為光纖的數值孔徑（Numberical

Aperture），記為NA，即

NA＝n1?n2?n12?22

數值孔徑NA是光纖的一個極為重要的參數，它反映光纖捕捉光線能力的大小。NA越大，光纖捕捉光線的能力就越強，光纖與光源之間的耦合效率就越高。從這個意義上講，光纖的相對折射率差Δ應取得大一些，但Δ過大會使光纖的多徑色散嚴重。實際的光纖總有Δ??1，多模光纖的數值孔徑一般在0.2左右，單模光纖的數值孔徑更小，在0.1左右。

2.3.3 傳播時延和時延差

設光線的傳播路徑與包層和纖芯界面的兩個相鄰交點P、Q間的距離設為Lp，由幾何關系可得

222122asin??(n1???l)22212?l)

an

1 設其光程為L0，則有

LP??

?

22(n1??L0?n1LP?2an122sin?z

n1??22n1??第10頁/共11頁

22212

(n1???l)??2a?P、 Q兩點之間的路徑在光纖軸上的投影的長度為zP，則

zP?LPc2os??2asin??ctg22n1??Lnn011光線沿z軸方向傳播單位距離的傳播時延則為

????

zPcc?ccos?Z由上式可以得到一個重要結論，階躍光纖中光線的傳播時延僅與光線與z軸間的夾角 有關，而與偏斜角 無關。在 相同的條件下，從始端同時出發的子午光線與偏斜光線同時到達終端。因而在討論階躍光纖中的多徑色散時僅需討論子午光線。光纖中的子午光線與薄膜波導中的光線其傳播特性是相同的。在z軸方向傳播單位距離，具有不同傾斜角的束縛光線的最大時延差為

n1n1n1Δ????Δmax

csin?cccZZ2.4 梯度光纖中光線的傳播

為了減小多徑色散，可以將光纖纖芯折射率做成漸變的。一般是讓纖芯折射率從中心軸到與包層的分界面單調下降，而且折射率是呈軸對稱分布的。這樣的光纖就稱為梯度光纖(GI光纖)。梯度光纖的折射率分布可以寫成

?n1(r),r?an(r)??

（2.4.1）

?n2?n1,r?a2.4.1 路徑方程和光線不變量

以光纖軸為z軸的圓柱坐標系

?

,

?

?

?(

r?,

?z

?

) 中，光線的路徑方程可以寫成三個標量方程：

2d?d??2n(r)d?drd?dz?d??dn(r)

d?n(r)dr??rn(r)?n(r)??0n(r)?0???ds?ds?rdsds

ds?ds?ds?ds?dr???????ds?光線在非均勻光纖中的傳播

光纖的光學特性決定于它的折射率分布。梯度型光纖的折射率分布可以表示為

r?

?n1[1?2?()?]1/2r?an(r)??

ar?a?n2

?式中：a是纖芯半徑；r是光纖中任意一點到中心的距離； 是隨折射率變化的參數，且

?

?

? ，當

?

?

2 時即為常見的平方率分布。階躍型光纖也1

?可認為是

?

?

? 的特殊情況。

d?dr????n光線在各向同性介質中的傳輸軌跡用射線方程表示為

?nds?ds?式中：r是軌跡上一點的矢量；ds是沿軌跡的距離單元； 表示折射率的梯度。

將射線方程應用到光纖的園柱坐標中，討論平方律分布的光纖中近軸子午光線，即與光纖軸線夾角很小的且可近似認為平行于光纖軸線(z軸)的子午光線。由于光纖中的折射率僅以徑向變化，沿圓周方向和z軸方向是不變的。因此，對于近軸子午光線，射線方程2可簡化為 式中r是射線離開軸線的徑向距離

dr

1

dn

2?dzndr2

dr2nr?

?? 對近軸光線，對于平方律分布，有

dn

?

?

2

rn

1? 代入得到

2

1

2

1

/

n

?

1 ，因此上式近似為

n2dznadra

d2r2rd

r

' ，則上式的解為

a1/2z'1/2z???

2

? ， 設z＝0時，

?

r

2r,?rr?rcos[2(?)]?rsin[2(?)]00001/2adza(2?)a

dz即為平方律分布的光纖中近軸子午光線的傳輸軌跡。

2.4.2 數值孔徑

對于漸變型光纖，由于纖芯折射率分布隨徑向坐標r的增加而減小，因此光源射線照射到纖芯端面時，各點的NA也是不同的。為了定量描述光纖端面各點接受人射光的能力，定義局部數值孔徑LNA(r)為

LNA(r)?n(r)?n2?n(r)2?r22 （2.4.12）

式中：r為纖芯端面上任一點的徑向坐標；?r?[n(r)?n2]/n(r)。顯然，當r＝0時，

第11頁/共12頁

LNA(r)max?n(0)2?r?n12?，為最大理論數值孔徑。

2.5光纖與光源的耦合

2.5.1 照射光源

光源發出的光照射在光纖端面上，部分光線被光纖捕獲，成為束縛光線在光纖中傳播。光線能否被光纖捕獲，關鍵是光線在端面上的入射角度，因而與光源發出的光線的方向有直接關系。一般通信用光源可以看成是面發光光源，單位面積的發光面向與其法線方向之間的夾角θ0的方向上單位立體角內發出的光功率稱為光強，記為I (θ)。

圖2-21 由光源面積元dA向體角

如果光源僅向與其法線夾角為θ0的錐體內輻射光線，則 元d?內輻射的光

在此錐體內如圖2-21所示的光源上的面積元dA向立體角dΩ（它的軸線與dA的法線間的夾角為θ內輻射的光功率為

dp =

I(?)d?dA?0?(0????0)?(0????2) (2.5-1)

根據光源發光強度的分布情況，可以將光源分為漫射光源和準直光源兩類。如果面光源表面上的每個發光面積元均向所有方向輻射光線其強度分布函數為

I????I0cos??I?????0????2 （2.5-2）

則這種光源稱為漫射光源或朗伯光源。

實際的面光源I0并非是個常數，一般說來光源中心部分I0值較大，邊緣較小。可以假設發光強度對源的中心點成軸對稱分布，而且與離開中心點的距離r之間的關系可以近似地用高斯分布逼2近，即

I

0

(

r

)

?

A

?

Br

/

a

s2

] (2.5-3)

exp[式中A、B是兩個正的常數，as是光源的半徑。

如果一個面光源僅向其法線方向輻射，即所輻射出的光線形成平行光束或準直光束，這種光源即稱為準直光源。激光器發出的光束近似為準直光束，而真正的準直光束是置于透射焦點上的理想點光源發出的光線經透鏡準直以后所得到的光束。面光源發出的兩類光束的情形如圖2-22所示。

2.5.2 耦合效率

假設光源的面積足夠大，使得它能覆蓋光纖纖芯端面，而且光源緊靠光纖端面，這樣只有覆蓋光纖纖芯端面的那一部分光源才是有效的，其余部分輻射的光線不可能進入光纖纖芯成為束縛光線。我們將進入纖芯的束縛光線的總功率或總的有效光功率pe與上述光源的有效部分即半徑為a的圓形區域的總輻射功率pt之比定義為光源與光纖間的耦合效率，用η表示，

??pept (2.5-4)

下面分朗伯光源和準直光源兩種情形討論。

1．朗伯光源照射

用朗伯光源照射光纖端面，則光源有效部分總的輻射功率為

pt??dA?I0cos?d?

式中第一個積分在光源的有效面積內進行，第二個積分在光源發射光線的所有可能的方向以內進行。對郎伯光源即有

2?apt???I000(r?)r?dr?d????cos?sin?d?d?

002?2?式中r?，??是光源面上的極坐標變量，??,??是以輻射面元的法線為極軸的球坐標變量。如果此面

第12頁/共13頁

光源均勻輻射，即I0(r?)?I0，則可得到

pt?πaI022??002?2?cos?sin?d?d??πaI0 (2.5-5)

22在計算過程中使用了d??sin?d?d?。

纖芯內束縛光線的總功率計算要復雜一些。它不僅與光源的輻射強度有關，而且與光纖的折射率有關。對朗伯光源照射梯度光纖端面的情形，光纖只能捕獲入射角小于最大入射角θmax（r）的那些光線，所以束縛光線的總功率可以表示為

pe??dA?I0Tcos?d? (2.5-6)

式中第一個積分在光源的有效面積內進行，第二個積分則只能限制在能成為束縛光線的范圍，即???max(r)范圍內進行。其中T是光能量在端面上進入光線的透射率，其值由菲涅爾公式給出，即

T?1?[n1(r)?n0n1(r)?n0]2?4n0n1(r)[n1(r)?n0]2 (2.5-7)

式中n0是光纖端面外物質的折射率，n1(r)是纖芯折射率。對石英系列光纖n1(r)的值在1.50左右，如果n0

= 1則T≥96%。為了減少端面上光能量的反射損失，還可以在光源與光纖端面間加匹配液，這樣透射率T就十分接近于1，所以在分析過程中總可以認為T = 1。于是束縛光線的總功率可以寫成

2?a2??max0pe??d???r?dr???I0a2000(r?)cos?sin?d?d??maxx0??4π?I0a(r?)r?dr??cos?sin?d?02

??2?22?0I0(r?)r?sin?max(r?)dr?式中的sin?max(r?)就是（2.4-14）式所定義的本地數值孔徑的平方，即sin2?max(r?)?[n12(r)?n22]，將其代入上式，得

ape?2?2?0I0(r?)r?[n1(r)-n2]dr? (2.5-8)

22這里已使用了條件n0

= 1。

對于均勻輻射的光源，I0(r?)?I0，則有

ape?2?I02?0r?[n1(r)-n2]dr?22 (2.5-9)

進一步，對階躍光纖n12(r)?n12，于是有

peπIoa[n1?n2]?πaIo(NA)

將它與（2.5-5）式相比較，可以得到郎伯光源與階躍光纖之間的耦合效率為

2222222??pept?(NA) (2.5-10)

對于梯度光纖，如果纖芯折射率分布為

r?22n(r)?n[1?2?()]

11a2則

r?222n1(r)?n2?n12?[1?()]，將其代入（2.5-9）式，可得

a詳細過程

已知pt求pe

第13頁/共14頁

ape?2πI0?n12?[1?(022r'a)]r?dr???2πI0n1?a?222??2 (2.5-11)

光源與階躍光纖之間的耦合效率則為

式中(NA)2?n122?是光纖本地數值孔徑NA（r）在光纖軸上的值的平方。

由（2.5-10）式和（2.5-12）式可以看到，當光源為朗伯光源時，光源與光纖之間的耦合系數都與光纖的數值孔徑NA的平方成正比。對于同樣的光源，同樣的數值孔徑，階躍光纖的耦合效率較高。光纖纖芯折射率指標因子a小，則折射率下降較快，耦合效率就低。當a = 2時，即拋物線型折射率分布的光纖，其耦合效率將降為階躍光纖的一半。

2. 準直光束照射

準直光束如果斜入射到光纖纖芯的端面上，光線入射方向與光纖軸之間的夾角為θ，如圖2-23所示。假設準直光束的強度，也就是光束橫截面單位面積上通過的光功率I(r)＝I0，即假設準直光束為均勻光束，則入射到光纖纖芯端面上的總功率為Pt＝πa2I0cosθ

（2.5-13）

對階躍光纖，如果

?

?

?

max ，則所有的入射光線都成為束縛光線，如果

?

?

?

max，則所有的光線都成為折射光線。這里的

?

max 就是光線成為束縛光線的最大入射角。因而有

?πa2I0cos??(0????)

p

e

?

?

max （2.5-14）

0?(???max)

?相應的耦合效率為

?1?0????max?

???

?

0

(

?

?

?

) （2.5-15）

max

對于梯度光纖，由于

?122?max(r)?sinn1(r)?n2

?

?

?)則在以光0 ，是r的函數，它隨r的增大而遞減。如果對于某一確定的r

max

(

r

纖為軸中心，半徑為r0的圓形區域中入射光線將成為束縛光線，而r>r0區域的光線都不能成為束縛光線，因而2 （2.5-16） 束縛光線的功率為

p

?

πr0

I0cos?e

?122 式中的r0是方程

sin

n

1

(

r

)

?

n

2

?

? （2.5-17）

2sin?1?的解，如果纖芯折射率為

2

2

r

? 則由（2.5-17）式解得

r

0

?

a

[

1

?

2

] （2.5-18）

n12?n1(r)?n1[1?2?()]

22a顯然，當

sin

?

?

n

1

2

? 時，r0=0。這時所有的光線都將成為折射光線，束縛光線功率為零。相應的光源與光線?r02間的耦合效率為

?1???sinn12???2?a

???

?

?1 （2.5-19）

???sinn12??0??

由（2.5-18）和（2.5-19）式可以看出，僅當θ= 0，即準直光束正入射到光纖端面時，光源與光纖的耦合效率才等于1。

（2.5-15）和（2.5-19）式說明，如果用準直光束照射光纖端面，則其耦合效率由光束的入射方向決定。初看來?

max似乎與光纖的數值孔徑無關，但實際上耦合效率與數值孔徑NA仍有關系。這是因為準直光束的入射角 的最大允許值是由數值孔徑決定的。數值孔徑NA較大，則?

max 較大，可以允許準直光束的入射角大一些。對于梯2度光纖，如果

NA

?

n

1

2

?

n

2

1

2

? 大一些，則在θ一定時，由（2.5-18）式可以看到r0就大一些，耦合效?

n率就高一些。這與用朗伯光源照射時的情形是類似的，不同的是不是簡單的與成比例。

2必須說明的是，光源的面積As如果大于光纖纖芯截面積

π

a ，則光源與光纖間的耦合效率還應乘上一個因子

π

a

2

A

s 。這是因為凡是纖芯端面范圍之外的區域，光源所發出的光都不能成為纖芯中的束縛光線。

2.5.3 提高光源耦合效率的措施

實際的光源其發光面往往比光纖纖芯截面大得多。如果將這種光源緊貼光纖端面放置，則大部分光能量不能進入光纖纖芯，因而光源與光纖端面之間的實際耦合效率很低，造成了光源發光功率的很大浪費。因而在光源發光面與光纖端面之間加裝某種聚焦裝置以提高耦合效率是十分必要的措施。下面分幾種情形加以討論

1. 準直光束照射情形

一半徑為

r

s

?

a 的準直光束照射到光纖端面上，如果在光源與光纖端面之間加裝一薄透鏡，透鏡的半徑等于光束的半徑rs，可以將準直光束聚焦于光纖纖芯端面上的Q點，如圖2-24a所示。只要透鏡對光纖纖芯的張角θs不超過光纖端面所允許的最大入射角

?

max ，則準直光束內所有的光線都將成為纖芯中的束縛光線。對于階躍光?122rs?ftan?s?max?sinn1?n2

1?1?n?n?s?第14頁/共15頁f

??r?n2?n212?2221?2???

纖 。假設透鏡焦距為f，為了使準直光束聚焦于光纖端面，則應有

由

?

?

? 這一條件，可以推得透鏡焦距應滿足條件 （2.5-20）

smax

當上述條件滿足時，半徑為rs的準直光束將全部進入纖芯并成為束縛光線。光源與光纖之間的實際耦合效率將22提高到未加透鏡時的

rs

a 倍

?122如果準直光束以傾斜角θ0入射到透鏡上，如圖2-24b所示。則當光纖端面上光線的最大入射角

?

max

?

sin

n

1

?n21時，光束中所有光線都將成為束縛光線。顯然光束傾斜角不能太大，否則光線將不可能成為束縛光線，具體地2?n2?2?1?sin說，應滿足條件

?

0

?

n

1

?

1

?

2

?? （2.5-21）

n1??

當這些條件滿足時，同樣可以提高耦合效率到未加透鏡時的倍。

第三章 薄膜波導和帶狀波導的模式理論

本章采用經典電磁理論分析薄膜波導和帶狀波導中光波的傳播問題，也就是所謂的光波導的模式理論。

3.1 均勻薄膜波導

均勻薄膜波導的結構如圖3-1所示。它由三層均勻介質構成，三層介質的折射率分別為n1,n2,n3，而且n1大于和n2和n3。本節將從麥克斯韋方程出發分析光波的傳播特性。

3.1.1 TE模

將（3.1-2b）式兩邊對x求導，并將（3.1-2）式的其余兩個方程代入，可以得到

dEydx22圖3-1 均勻薄膜波導的結構

?(k0n22??2)Ey?0

（3.1-4）

式中k2??2?0?0,?n2??r。構成波導三層介質折射率分別為n1,

n2,

n3，而且n1大于n2和n3，為了0?保證電磁波能量主要集中在波導芯層（折射率為n1）中傳播，方程（3.1-4）在芯層、襯底（折射率為n2）、敷層（折射率為n3）中的解可以分別寫成

E1y?E1cos(kxx??)e?j?z

|x|?a （3.1-5a）

E2y?E2e?2(x?a)e?j?z

x??a （3.1-5b）

E3y?E3e??3(x?a)e?j?z

x?a （3.1-5c）

式中kx,?2,?3,?是場量的特征常數，E1,E2,E3是三個積分常數。kx是芯層中場量在x方向的相位常數，?2、?3分別是襯底和敷層中場量沿x方向的衰減常數。將（3.1-4）式的解寫成上式就意味著在芯層中場量在x方向呈駐波分布，解式中的kx和?共同決定駐波場場量的波腹和波節位置，kx則決定了兩個波節間的距離。在襯底和敷層中場量隨離開界面的距離按指數規律迅速衰減，而?2和?3則決定了場量衰減的快慢。這樣的場結構可保證場能量集中在波導芯層及芯層與襯底及敷層的界面附近的薄層中，并沿著z軸方向傳播。這就是波導中的傳播模式或導波模式。

對比（3.1-4）式和（3.1-5）式，很容易得到場量的特征參量kx、?2、?3、?與各層介質的折射率n1、n2、n3之間的關系，即

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kx??222?k0n1 （3.1-6a）

2??

?a2222?k0n2 （3.1-6b）

222??2?k0n3 （3.1-6c）

?a3將（3.1-5）式中的Ey代入（31-2a）及（3.1-2b）式，即可得到三個區域的磁場分量H1x、H2x、H3x及H1z、H2z、H3z，即

H1x??H2x?????????0??0H3x??kxxj??H02z0?E1y???E2y? （3.1-7a）

??E3y???j?zH1z?E1sin(kxx??)e??a2E2yj??0a3E3yj??0H3z?????????? （3.1-7b）

（3.1-5）式中的三個積分常數，也就是場量的振幅值E1,E2,E3由x??a面上的電磁場邊界條件及激勵條件決定。

在兩種不同介質的分界面上，電磁場邊界條件是電場強度和磁場強度的切向分量連續。對圖3-1所示的薄膜波導，則具體化為

?1z?H2z 在x??a面：

E1y?E2y?;H?1z?H3z 在x?a面：

E1y?E3y?;H將（3.1-5）式中的E1y、E2y、E3y和（3.1-7）式中的H1z、H2z、H3z代入上述邊界條件，得到

E1cosk(xa??)?E2 （3.1-8a）

E1kxsin(kxa??)?E2?2 （3.1-8b）

E1cos(kxa??)?E3 （3.1-8c）

E1kxsin(kxa??)?E3?3 （3.1-8d）

這些方程規定了E1、E2、E3之間的關系，它們的完全確定還有賴于波導的激勵條件，即輸入功率。

從（3.1-8）式中消去E1、E2、E3，可以得到

kxtan(kxa??)??2 （3.1-9a）

kxtan(kxa??)??3 （3.1-9b）

（3.1-9）式又可以寫成

kxa???tan?1?2kx?1?p?

kxa???tan?3kx?q?

式中p = 0, 1, 2, …；q = 0, 1, 2, …。將上兩式分別相加和相減，即可得到

kxd?tan?1?2kx?tan?1?3kx?mπ （3.1-10a）

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（3.1-10b）

2式中d?2a是波導芯層的厚度，m = p + q = 0, 1, 2,

…，n = p – q =

…, -2, -1, 0, 1, 2, …，但實際上n只取0和1兩個數即可。從（3.1-5a）式可以看到當n取0, 1之外的其它任何正負整數時，都不會給出新的結果。而且在m = p + q取偶數時，n取零，芯層內的場量Ey在x方向按余玄函數分布；當m = p + q為奇數時，n取1，芯層內場量Ey在x方向按正弦函數分布。也就是說，可以將芯層內的場量寫成

2kx2kx??1tan?1?2?1tan?1?3?nπE1y?E1cos(kxx??)e和

?j?z （3.1-11a）

E1y?E1sin(kxx??)e式中

??12tan?1?j?z （3.1-11b）

?3kx?2kx?12tan?1

這時（3.1-11a）式所給出的場解對應（3.1-10a）式中的m取偶數，而（3.1-11b）式給出的場解對應（3.1-10a）中的m取奇數。

（3.1-10a）式成為均勻薄模波導的特征方程，將它和（3.1-6）式中的三個方程聯立求解，即可求得場量的四個特征參量kx,a2,a3,?。有時也把這四個方程統稱為特征方程。求出kx,?2和?3以后即可由（3.1-10b）式求得?，從而得到TE模的場量。

在方程（3.1-10a）式中，m從零開始每取定一個值，都可解的一組kx,?2,?3,?,?值。將其代進（3.1-5）式和（3.1-7）式即可得到一組電磁場量，場量的幅度值E1,E2,E3由激勵條件及邊界條件（3.1-8）式決定。我們稱由這一組電磁場量所構成的電磁波為一個沿z方向傳播的TE電磁場模式。由于（3.1-10a）式中的每一個m值都對應著一個TE模式，所以將其記為TEm模，腳標m即為（3.1-10a）式中的m值。稍后我們將看到模式序號m的物理含義。

3.1.2 TM模

采用類似的方法，可以求得（3.1-3）式在波導中的解，也就是TM模式的電磁場分量，其橫向磁場Hy的表達式為

?cos(kxx??)?H1y?H1??e?j?z

|x|?a （3.1-12a）

?sin(kxx??)?H2y?H2ea2(x?a)

x?a （3.1-12b）

H3y?H3e?a3(x?a)

x?a （3.1-12c）

式中kx，a2，a3，?與各層介質折射率的關系仍由（3.1-6）式給出。

利用（3.1-3）式還可求得各區域的電場分量E1x,E2x,E3x及E1z,E2z,E3z，并利用x??a面上的電磁場邊界條件，推得TM模式的特征方程為

kxd?tan??12tan?1?2n122kxn2?tan?12?1?3n122kxn3?mπ （3.1-13a）

（3.1-13b）

?1?2n122kxn2tan?1?3n122kxn3式中m=0,1,2,?。

與TE模類似，在（3.1-12a）式中取上面的函數cos(kxx??)時，m取偶數，取下面的函數sin(kxx??)時，m取奇數。每取定一個m值，可以將（3.1-13a）與（3.1-6）式聯立解得一組TM場解，我們稱為一個TM模式，記為TMm模。

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3.1.3 傳播模和輻射模

在特征方程（3.1-10a）式和（3.1-13a）式中，模式序數m都可以取0,1,2,…等一系列的整數。這就意味著在波導中存在一系列的TE模和TM模，但并不是m取任何整數所對應的模式都可以在波導中傳播。如果特征參量?2和?3都是正實數，則襯底和敷層中的場隨離開芯層表面的距離按指數規律迅速衰減。在?2和?3都是正實數的條件下，z方向的相位常數?必是正實數，這表明場量在z軸方向呈無衰減的正弦行波特性。滿足這些條件時，我們就稱這樣的模式為傳播模式或導波模式。如果?2和?3中有一個是虛數，或者兩個都是虛數，則襯底或敷層中的場在x軸方向將呈行波特性，這就是說電磁波能量在向z軸方向傳播的同時又在襯底或敷層中形成沿x軸方向的輻射。顯然這樣的模式不可能沿z軸方向長距離傳播，這種模式就稱為輻射模式。

由（3.1-6）式可以看到：

222222

a2??2?k0n2?，a3??2?k0n3 如果n2

> n3，在同樣的β，k0值條件下，首先是a2可能成為虛數，即首先出現襯底輻射。而β,a2,a3都是正實數的條件則是

k0n2???k0n1 （3.1-14）

這就是傳播模式或導波模式相位常數的取值范圍。這與用幾何光學理論得到的束縛光線條件

n2????k0?n1

是完全一致的。如果?即輻射條件為

?k0n2，由（3.1-6）式可以看到a2成為虛數，這時電磁場即成為輻射模。0???k0n2 （3.1-15）

需要說明的是，對輻射模，β可以在（3.1-6）式范圍內連續取值，即輻射模譜是連續的。導波模的β在（3.1-14）式所規定的范圍內只能取離散的值，（3.1-10a）?0,?1,?2,?等腳標對應特征程式和（3.1-13a）式中的m的取值，即傳播模或導波模譜是離散的。

后面我們將看到，在波導結構參量a,n1,n2,n3和工作波長? = 2? / k0確定的條件下，一個序號為m的模式能否傳播將完全取決于m的大小。m較小的模式稱為低階模， m較大的模式稱為高階模。在確定的波導中，低階模容易滿足傳播條件而高階模則往往不能傳播。假設在一個確定的波導中有m個TE模和m′個TM模滿足傳播條件，則波導中的電磁波總可以表示為

mm?lTElE??aEl?1??bEll?1TMl??[a(?)E0k0n2TE?b(?)ETM]d? （3.1-16）

上式表明，波導中的任何可以存在的電磁場總可以表示為若干個TE模式和TM模式以及具有連續譜的輻射模的疊加。當然不排除展開式中的al, b1,

a（β）, b（β）中某些展開系數為零。例如在單模波導中，除了在激勵端可能存在多個模式以外，在穩定狀態下就只有一個模式，即（3.1-16）式中只有一個最低階模的系數不為零。

3.1.4截止參數

如果波導中某個模式開始出現襯底輻射，我們稱這個模式截止。顯然，某個模式截止的條件

2a2??222?k0n2?0

即

??k0n2

將上述截止條件代入（3.1-6）式，可得截止狀態的其它特征參數

kx?k02n12?n2?;?a3?k022n2?n3

將其代入TE模式的特征方程（3.1-10a）式，可得截止狀態時的特征方程

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k0?22?1n1?n22a?mπ?tan???22?n2?n3?2?n12?n2?

注意到k0?2π?，將某個模式截止時的波長記為??c，則TEm模的截止波長為

?c?24πan12?n2?1????mπ?tan2n2?2n32n12?n2???? （3.1-17）

顯然，當m?0時，也就是TE0模式，其截止波長是最長的，其值為

?c(TE0)?24πan12?n2??1?tan??2n2?2n32n12?n2???? （3.1-18）

將截止條件?2?0,???k0n2，代入TM模的特征方程（3.1-13a）式，得到

2n2k0n12?2a?mπ?tan?1?(?n1)2?n3?22?n2?n3?2?n12?n2?

TMm模的截止波長則為

?c?24πan12?n2?n1mπ?tan?1?()2?n3?2n2?2n32n12?n2???? （3.1-19）

TM0模的截止波長則為

?c(TM0)?24πan12?n2?n1?1tan?()2?n3?2n2?2n32n12?n2???? （3.1-20）

比較（3.1-20）式和（3.1-18）式，由于n1?n3，所以必有

?c(TE0)??c(TM0) （3.1-21）

這說明TE0模是截止波長最長，或截止頻率最低的模式。在波導理論中，稱截止波長最長的模式為波導中的主模式。這就是說，對于襯底和敷層折射率不同的非對稱薄膜波導，其主模式為TE0模。如果n2

= n3，即襯底和敷層為同一種介質構成，則TE0模和TM0模的截止波長都是無限長，即它們不截止，同為波導的主模。

從（3.1-17）式和（3.1-19）式可以看到，當波導的結構參量a,

n1,

n2,

n3確定以后，每一個TE模和TM模的截止波長是完全確定的。不同的模式截止波長不同，模式序號m越大，截止波長越短，或者說截止頻率越高。只有工作波長λ比截止波長λ

c短的那些模式才可能在波導中傳播。這是因為當工作波長λ剛好與截止波長λc相等時，a2

= 0，而當λ < λ

c時，意味著k0增大，從（3.1-6）222式可以看出?將增大，從而滿足a2??2?k0n2?0的條件，波在襯底和敷層中按離開界面的距離呈222指數衰減的特性。反之，如果λ > λ

c，則a2??2?k0n2?0，該模式將成為輻射模。

3.1.5 單模傳輸和模數量

由上面的討論，可以得到這樣的結論，如果工作波長λ比主模式（TE0模）的截止波長要短，但比次最低階模式（截止波長僅比主模式短，但比其余所有模式的截止波長要長）的截止波長要長，則在此波導中只有主模才能傳播，其余所有的模式都是截止的。這就是波導中的單模傳輸條件。單模傳輸是波導理論中的一個極為重要的概念。對于n2 ≠ n3的非對稱薄膜波導，主模式為TE0模，而次最低階模是TM0模。因而非對稱薄膜波導中嚴格的單模傳輸條件為

?c(TM0)????c(TE0) （3.1-22）

實際的光波導n1,

n2,

n3相差不大，因而λ

c

（ TE0

）與λ

c

（ TM0

）的差別也不會太大，嚴格滿足（3.l-22）式的條件將導致單模傳輸的頻帶很窄，因而并無太大的意義。在工程實際中，可以

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認為TE0模和TM0模的截止波長近似相等,而將單模傳輸條件放寬為

?c(TE1)????c(TE0) （3.1-23）

此種條件下TE0模和TM0模都可以傳播。

對于給定的波導，如果工作波長λ縮短，則波導中可以傳播的模式數量將增加。如果波導中有多個模式可以傳播，則估算波導中可傳播的模式數量是必要的。波導中可以傳播的模式數量可以從截止時的特征方程，及傳播條件λ < λ

C得到。對TE模.由

???24πan12?n22n2??1mπ?tan????2n32n12?n2????

可以看到，可傳播的TE模的模式序號 m 必須滿足

m?4a?2n12?n2??1?tan??π?122?n2?n3?2?n12?n2? （3.1-24a）

對于TM模，則其模式序號 m′ 應滿足

m??4a?n12?2n2?1πta?1?(n?n1)2?n2?22?n2?n3?

2?n12?n2? （3.1-24b）

假設上兩式右邊的式子計算出的數字的整數部分為m和m′，則波導中，TE0, TE1,

…,TEm-1, 和TM0,

TM1,

…, TMm′-1, TMm′等模式都可以傳播，因而可以傳播的模式總量為

M?m?m??2 （3.1-25a）

（3.1-25b）

作為一粗略的估計，一個多模傳播的光波導中傳播的模式總量為

M?8a?n11?n222對于結構參數a,

n1,

n2,

n3確定的波導，可傳播的模式數近似與工作波長成反比。在工作波長確定的條件下（光通信系統中工作波長一般為0. 85μm, 1.31

μm或1.55μm），傳播模數量主要決定于波導的厚度和芯層襯底折射率差。波導越厚，折射率差越大，則可傳播的模數量就越多。

3.1.8 對稱薄膜波導

如果襯底和敷層由同一種介質構成，從而n2

= n3，則稱這種波導為對稱薄膜波導。由于波導的結構相對于x = 0的平面是對稱的，必然有a3

= a2

= a，因而其TE模和TM模場量表達式中的初相位因子φ

= 0，π/2。所有各模式場量必然對x = 0平面呈偶對稱或奇對稱兩種對稱分布，以TE模的Ey分量為例，其場量表達式分別為

偶對稱分布

E1y?E1coskxxeE2y?j?z?E2e??(x?a)e?j?z????(x?a)e?j?z?E2e|x|????x???

x?????|x|?? （3.1-30a）

奇對稱分布

E1y?E1sinkxxeE2y?j?z?E2e??(x?a)e?j?z???(x?a)e?j?z??E2e??x???

x????? （3.1-30b）

利用x = +a面上的邊界條件，可以得到上面兩種分布所對應的特征方程分別為（見3.1-9式）

偶對稱

tankxa?奇對稱

?cotkxa?（3.1-31）式又可以寫成

?kx （3.1-31a）

（3.1-31b）

?kx第20頁/共21頁

kxa?tan?1?kx?pπ

12)π

?1kxa?tan?kx?(p?

式中p = 0, 1, 2,…，將這兩個表達式合并起來，可得

kxd?2tan?1?kx?mπ （3.1-32）

式中m = 0, 1, 2,…，d = 2a是波導芯層厚度。（3.1-32）實際上就是（3.1-10a）式中取a2

= a3

= a所得的結果。

采用類似的方法可得TM膜的特征方程

1n2?n2k）kxd?2tan?（12x?mπ （3.1-33）

式中m = 0, 1, 2,…。

薄膜波導的特征方程都是超越方程，一般只能用數值方法求解。對稱波導的特征方程可以用圖解法求得近似解。下面以TE模特征方程（3.1-31）式為例，說明求解過程。

222a(n12?n2)。于是可以將（3.1-31）式改寫成 令U?kxa,W??a?，U2?W2?V2?k0UtanU?W

Utan(U?π2)?W

或者

UtanU?(VUtan(U?π22?U2)122)?(V?U2)12

tanU以U為橫軸，W為縱軸作上面兩個方程的圖線。方程左邊為U邊則是以坐標原點為中心，以V和Utan(U方程右?π/2)的曲線，22212?k0a(n12?n2)為半徑的圓。特征方程的解則是左邊的曲線族與右邊的圓的交點，如圖3-6所示。圖3-6表明，波導中可傳播的模數量完全由參數V，也就是圖中的圓的半徑決定。由前面的定義

222222 （3.1-34）

V2?kxa??2a2?U2?W2?k0a(n1?n2)可以看到，V由波導結構參量a,n1,n2和工作波長??2πk0完全決定，它與波的頻率成正比，是個無量綱的量，稱為波導的歸一化頻率。歸一化頻率V越大，由特征方程右邊所作出的圓的半徑就越大，它與左邊的曲線族交點就越多，可以傳播的模式也就越多。

波導的截止參數可以由（3.1-17）式和（3.1--19）式中令n2

= n3直接得到，TEm模和TMm

模的截止波長都為

?c?24an12?n2m （3.1-35）

截止參數也可以從圖3-6中得到，顯然對于某一個TEm模式，它可以傳播的條件是歸一化頻率V必須大于mπ2。否則半徑為V的圓與相應的UtanU或Utan(U?π/2)曲線沒有交點。也就是說，可以將TEm模的截止條件確定為

圖3-6 對稱薄膜波導特征方程的圖解法

Vc?mπ2

（3.1-36）

式中m = 0, 1, 2,…，Vc即為TEm模的歸一化截止頻率。顯然，（3.1-36）與（4.1-35）式是完全等價的。

TEm模和TMm模有相同的截止參數，但其電磁場結構是不相同的。像這樣具有相同截止參數但不同的電磁場結構的模式稱為簡并模，除了TEm模和TMm模簡并以外，對稱波導的另一個特點

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是其主模式TE0模的截止波長?c??，這說明TE0模和TM0模不截止，它們可以以任意低的頻率在波導中傳播，只是當頻率很低時，電磁波能量將不能很好地集中于波導芯層中。對稱波導中的212，所以對稱波導中TE模和TM模次最低階模是TE1模和TM1模，其截止波長?c?4a(n12?n2)00單模傳輸條件是

24an12?n2???? （3.1-37a）

或者用歸一化頻率表示為

0?V?π2 （3.1-37b）

第四章 光纖的模式理論分析

4.1 光纖中的電磁場方程

光纖是圓柱狀的介質光波導，所以采用以光纖中心軸為z軸的圓柱坐標系來定量描述其結構及傳輸特性。在圓柱坐標系中光纖的橫截面結構如圖4－1所示。在圓柱坐標系中，光纖纖芯半徑為a，折射率為n1。包層內半徑為a，外半徑為b，折射率為n2。包層外面的護套對波的傳播不產生影響，所以未畫出。為了改進光纖的傳輸特性，一些新型光纖往往采用多包層結構，即包層由折射率分別為n1，n2，n3，??的多個子層構成。實際使用的光纖纖芯折射率n1往往是漸變的，在圓柱坐標系（r，?，z）中，光纖橫截面內的折射率分布可以寫成

?n1?r?,r?an?r????n2?n1?r?a?,r?a

（4.1－1）

在圓柱坐標系中，電磁波的電場強度E和磁場強度H可以寫成如下三個分矢量之和，即

E?erEr?e?E??ezEz （4.1－2a）

H?erHr?e?H??ezHz

（4.1－2b）

在圓柱坐標系中將橫向拉普拉斯算符展開，可得

1???Er?1?Ez22?kn???r??202r?r??r?r??2

圖4－1 光纖的橫截面及分析光纖所取的坐標系

?2?E2z?0

（4.1－3a）

1???Hr?1?Hz22?kn???r??202r?r??r?r??2??Hz?0 （4.1－3b）

將纖芯折射率n1和包層折射率n2分別代進（4.1－3）式，即可求得纖芯和包層中的縱向場分量Ez和Hz。

4.2 階躍光纖的嚴格解——矢量模解

4.2.1 階躍光纖的電磁場解

（4.2－20）式和（4.2－21）式所表示的電磁波成為光纖中的導波的條件是U和W都是正實數，以保證電磁場量在纖芯中沿半徑方向呈駐波分布，在包層中呈表面波分布。由（5.2－18）式和（4.2－18）式易于看到U和W為正實數的條件是

k0n2???k0n1 （4.2－22）

如果上述條件不滿足，將會由W2?0，包層中的場將成為輻射場，導波也就截止了。因此我們將??k0n2，W?0，U?V作為一個導波模截止的臨界點。

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4.2.2 導波模的特征方程

4.2.3 導波模分類

波導中的一個電磁場模式是指一個滿足電磁場方程和邊界條件的電磁場結構。這樣的一個電磁場結構可以獨立存在于波導中，也可以是一個復雜的電磁場結構的組成部分。如上所述，根據方程（4.2－29）式中m?0和m?0，可以將波導中的導波模式分成TE模、TM模、EH模、HE模等幾大類。

1．TE模和TM模

TE模就是縱向電場Ez?0的電磁場模式。這就要求（4.2－20）式中的常數A＝0。從邊界條件（4.2－23b）式可以得到

?mB?顯然??0，1U2?1?U2?1???02W?

?1W2?0，B也不能為零，因為B再為零就沒有電磁場存在了，欲使上式成立就只有m?0了。這就是說只有m?0時TE模才能存在。由（4.2－23a）式或在（4.2－29）式中取m?0，就得到

??UJ0UJ0??U????WK0WK0??W??0 （4.2－30）

這就是TE模式的特征方程。利用貝塞爾函數的遞推公式

??U???J1?U?

J0??W???K1?W?

K0可以將（2－30）式寫成

J1?UUJ0??U??K1?WWK0??W??0 （4.2－31）

這是TE模特征方程的常見形式。

對于TM模，必須Hz?0，也就是（2－20）式中的常數B?0，這同樣導致m?0才能滿足邊界條件。由于B?0，從（4.2－23b）式可以得到

?n2?K1?W????UJ0?U??n1??K0?WJ1?U?2??0 （4.2－32）

?這個方程就是介質波導中TM模的特征方程。對于弱導光纖n2/n1?1，則（4.2－32）式與（4.2－31）式一致。在弱導條件下，（4.2－31）式為TE模和TM模共同的特征方程，也就是（4.2－29）式在m?0時的特例。

m?0，意味著場量不是?的函數，即場分量在光纖中呈軸對稱分布。也就是說，只有場結構呈軸對稱分布的電磁波，才有可能在光纖或介質波導中以TE波或TM波的形式存在。

2．EH模和HE模

如果m?0，場量沿圓周圍方向按cosm?或sinm?函數分布，要使邊界條件得到滿足，則A和都不能為零，即電磁波的縱向場分量Ez?0，Hz?0。也就是說，光纖中的非軸對稱場不可能是單獨的TE場或單獨的TM場。Ez和Hz同時存在的電磁場模式稱為混合模。

m?0時方程（4.2－28）式和（4.2－29）式在同一m值下，有兩組不同的解，對應著兩類不同的模式。在弱導條件下，方程（4.2－29）式右邊取正號時所解得的一組模式稱為EH模，而（4.2－29）式右邊取負號時所解得的一組模式稱為HE模。

根據上面的分類，弱導條件下，光纖中EH模和HE模的特征方程分別為

BEH模

??UJmUJm??U????WKmWKm??W?1??1?m?2??

2UW??

第23頁/共24頁

HE模

??UJmUJm??U????WKmWKm??W?1??1??m?2??

2UW??利用貝塞爾函數的遞推公式，可以將上面兩式中貝塞爾函數及變態貝塞爾函數的導函數用同一階或高一階（或第一階）的函數表示，即

??U??

JmmUm??W??KmKm?W??Km?1?WWJm?U??Jm?1?U???mUmWJm?U??Jm?1?U?

?

???Km?W??Km?1?W將其代入前面的EH模和HE模的特征方程，可以將其化簡為

?Km?1?W???0 （4.2－33）

UJm?U?WKm?W??U?Km?1?W?J HE模

m?1??0 （4.2－34）

UJm?U?WKm?W? EH模

在（4.2－33）式和（4.2－34）式中，如果令m?0，并注意到

J?1?U???J1?U?，K?1?W??K1?W?

則（2－33）式和（2－34）式都可以寫成

J1?UUJ0Jm?1?U??U??K1?WWK0??W??0

這就是弱導條件下的TE模和TM模的特征方程（4.2－31）式。也就是說，在弱導條件下，TE模和TM模可以看成是EH模和HE模的特例。

如果回到精確的特征方程（4.2－28）式，仍然定義式中右端取正號為介質波導的EH模特征方程，取負號為HE模特征方程。則在m?0時，將由EH模特征方程得到TM模特征方程（4.2－32）式，由HE模特征方程得到TE模特征方程（4.2－31）式。因而可以進一步認為，TE模是HE模在軸對稱情形下的特例，而TM模則是EH模在軸對稱情形下的特例。在微波技術中又將TM模稱為E模，TE模稱為H模，這是因為前者在縱向有電場E的分量，后者在縱向有磁場H的分量。從以上分析可以看到，將混和模區分為EH模和HE模的根據，即將與H模相聯系的混和模用HE模表示，將與E模相聯系的混和模用EH模表示。

有關光纖中的TE模，TM模和混合模，如果用射線理論和本地平面波理論解釋．則TE模和TM模由光纖中傳播的子午光線形成；而混合模HE模和EH模則由偏斜光線形成。進一步，由水平偏振的子午線形成TE模，而垂直偏振的子午光線則形成TM模。這是因為子午光線的路徑是平面折線，它們在光纖纖芯與包層的界面上反射時，橫向場分量不改變方向，水平偏振波的電場總在與Z軸垂直的方向上，而垂直偏振波的磁場總在與Z軸垂直的方向上，因而子午光線形成了光纖中的TE模和TM模。這種情形如圖所示。偏斜光線的路徑是空間折線，纖芯包層分界面上的不同反射點的法線方向不一致，因而每一次反射不管光線的初始偏振狀態如何，都有可能產生Z方向的電場和磁場。因而偏斜光線只能形成光纖中的混合模。

4.2.4 導波模的截止參數和單模傳輸條件

一個導波模式場的橫向分布特點用m、U、W確定，縱向傳播特性則由?確定。參數m確定場量沿?角方向場的分布規律，U確定纖芯內場沿半徑方向的分布規律，W則決定場量在包層中沿半徑方向衰減的快慢程度。m、U、W之間的關系由（4.2－18）式給出，只要由特征方程解出其中的一個，其他兩個便可由（4.2－28）式求出，導波模的特性也就完全確定了。

第24頁/共25頁

一個導波模沿z方向無衰減傳播（忽略材料自身的吸收損耗）的條件是m、W都是正實數。如前所述，W為正實數時，包層中的電磁場沿半徑方向幾乎是按指數規律快速衰減，W越大，衰減越快，電磁能量就越集中在纖芯中。反之W越小，就有越多的電磁能量向包層中彌散。如果2W?0，則包層中的場將用漢克爾函數描述，成為沿徑向輻射的模式，這就是介質天線的情形。如果W2?0，則恰好成為一個模式是導波模還是輻射模的臨界點。我們將W?0條件下求得的纖芯內的歸一化徑向相位常數U記為Uc，此時的歸一化頻率則記為Vc。Uc、Vc即為導波的截止參數。顯然在截止點有

或

Vc?Uc （4.2－35）

下面從各類模式的特征方程出發，分別討論它們的截止特性。

模和TE模

TM模和TE模的特征方程為

Vc?Uc?Wc?Uc2222J1?UUJ??U?0??K1?WWK??W?0 （4.2－36）

在W?0時各階第二類變態貝塞爾函數都是發散的，因而難以從（2－36）式直接得到TM模和TE模的截止參數。從K1?W?和K0?W?在W?0時的漸近式出發，可以得到有意義的結果。

由（4.2－14）式，在W?0時有

K0?W??ln

K1?W??J1?Uc?UcJ0?Uc?1W2W??

??

1W2于是在截止狀態下，特征方程（4.2－36）成為

??K1?WWK??W?0?ln2W??

欲使上式成立，則應有

UcJ0?Uc??0

這有兩種可能，即Uc?0和J0?Uc??0。但Uc?0時，J1?Uc??J1?Uc?/UcJ0?Uc??12Uc2，J0?Uc??1，，不滿足上面的關系，因而TM模和TE模在截止時的特征方程應為

J0?Uc??0 （4.2－37）

上式說明，截止狀態時的歸一化截止頻率Uc及Vc是零階貝塞爾函數的零點，即

Uc?Vc?u0n

n?1，2，3，? （4.2－38）

式中的u0n是零階貝塞爾函數的第n個零點。各階貝塞爾函數都有無限多個零點或根。零階貝塞爾函數的頭幾個根為

u0n＝2.405，5.520，8.654。?

以上每一個u0n值都對應這一個TM模和一個TE模，分別記為TE0n模和TM模和TM0n模的歸一化截止頻率為u0n。

0n模。這就是說，TE0n 電磁波在光纖中傳播時，如果工作波長?，光纖的結構參數a、n1、n2都是確定的，則其歸一化頻率V?k0n1a2?是一個完全確定的數。如果V大于某個模式的歸一化截止頻率Vc，則必有2W?0，該模式可以在光纖中傳播。反之，如果V小于某個模式的歸一化截止頻率Vc，則W2?0，該模式截止，成為輻射模。也就是說，光纖中任意一個模式的傳播條件是

V?Vc?序號相同的TE0n模和TM

0n2??a?n?n211222? （4.2－39）

0n模，有相同的截止參數，我們稱TE0n模和TM模為一對簡并模。在所第25頁/共26頁

有TE0n模和TM最長的，為

0n模中，TE01模和TM01模的歸一化截止頻率是最低的，為2.405，其截止波長?c是22

?c?TE01,TM??012?a2.405?n21?n?1222?2.613an1?n2 （4.2－40）

例如，某光纖a?4.0?m，??0.003，纖芯折射率n1?1.48，則TE01模和TM這就是說，如果此光纖中傳播的光波長??1.31?m，則TE01模和TM?c?1.20?m。如果工作波長為0.85?m，則TE01模和TM2．EH模

EH模的特征方程為

010101模的截止波長模都不能傳播。模可以傳播。

??UJm?U?Jm?1?U?Km?1?WWKm?1?

??Wm將W?0時Km?W?的漸近式（2－14d）式代入，可以得到上面的特征方程的右端為

?2??m!??W??2mW2?2?W?m?1?!???W?m????

由此可以得到EH模在截止狀態時，其特征方程應為

Jm?1?Uc?UcJm?Uc???

也就是

UcJm?Uc??0

其中Uc?0應舍棄，推導同上面章節，所以在截止狀態，EH模的特征方程只能為

Jm?Uc??0 （4.2－41）

截止參數Uc或歸一化截止頻率Vc是m階貝塞爾函數的根，即

m?1，2，3，?

n?1，2，3，? （4.2－42）

式中m是貝塞爾函數的階數，n是m階貝塞爾函數根的序數。由m階貝塞爾函數的第n個根所確定的EH模稱為EHmn模。

幾個低階貝塞爾函數Jm?U?的頭幾個根列在表4.1中。

Uc?Vc?umn表4.1

Jm?U?的第n個根umm

m

0 1 2

n

1

2

3

4

5

2.40483

5.52008

8.65373

11.79153

14.93092

3.83171

7.01559

10.17347

13.32369

16.47063

5.13562

8.41724

11.61984

14.79595

17.95982

3

6.38016

9.76102

13.01520

16.22347

19.40942

在EHmn模序列中，EH11

模的歸一化頻率是最小的，其值為

Uc?Vc?3.832

EH11模的截止波長在EHmn模序列中是最長的，其值為

?c?

2?a3.832n1?n2?1.640an1?n22222 （4.2－43）

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3．HE模

HE模的特征方程為

??UJm?U?Jm?1?U?Km?1?WWK?

?W?mW?0時特征方程的右端的漸近特性應分為m?1和m?2兩種情形討論。

當m?1時，將K0?W?和Km?W?的漸近式（4.2－14c）式和（4.2－14d）式代入特征方程右端，得到

?W?0????UJ1?U?J0?Uln2/W1?2?W??2?W??ln2W?????W?0

這就是說m?1時，HE模在截止狀態下的特征方程為

UcJ1?Uc??0 （4.2－44）

方程（4.2－44）式的解為Uc?0和一階貝塞爾函數的根U1n。由于U?0時，J0?U??1，所以Uc?0也是特征方程在W?0時的一個解。以0和U1n為歸一化截止頻率的HE模，記為HE1n。為了將Vc?0的模作為第一個HE1n模即HE11模，HE1n模的截止參數則為

Uc?Vc?0，u1,n?1?0，3.832，7.016 （4.2－45）

比較（4.2－42）式和（4.2－45）式，可以發現HE1，n+1模和HE1n模具有相同的歸一化截止頻率，所以HE1，n+1模和HE1n模是簡并模。

需要特別指出的是HE11模，其歸一化截止頻率

Uc?Vc?0

截止波長

?c?HE11??? （4.2－46）

這是一個重要的結論，也就是說HE11模不截止，它可以以任意低的頻率在光纖中傳播，是介質波導和光纖的主模。HE11模的截止波長?c?HE11???，這個結論僅是一個理想的極限。如果工作波長過長，則HE11模的能量將向包層中轉移，傳輸損耗將加大，因而太低頻率的波以HE11模傳輸是十分困難的。

如果m?2，將Km?W?的漸近式（4.2－14d）式代入特征方程右邊，可得到

Km?1?WWK?W?01????

?W?2?m?1?m 而特征方程左邊則可用貝塞爾函數的遞推公式的降價形式

2(m?1)Jm?1?U??UJm?2?U??UJm?U?

將其簡化為

??UJm?U?Jm?1?U??2(m?1)Jm?U?Jm?2?U12(m?1)?12(m?1)

由此得到HE模（m?2）在截止狀態時的特征方程為

Jm?2?Uc??0 （4.2－47）

也就是說，對m?2的HE模，其歸一化截止頻率為

Uc?Vc?um?2,n （4.2－48）

式中m?2、3、4?，n＝1、2、3。與（4.2－3）式比較，可以看到HE2n模與TE0n模、TM0n模具有相同的截止參數，它們是簡并模。

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表4.2. 較低階的模式組及其歸一化截止頻率

模 式 組

HE11

TE01，TM01，HE21

EH11，HE31，HE12

EH21，HE41

TE02，TM02，HE22

EH31，HE51

EH12，HE32，HE13

EH41，HE61

V0

0

2.405

3.832

5.136

5.520

6.380

7.016

7.588

模 式 組

2×1=2

1＋1＋1×2=4

2×1＋2×1＋2×1=6

2×1＋2×1=4

1×1＋1×1＋2×1=4

2×1＋2×1=4

2×1＋2×1＋2×1=6

2×1＋2×1=4

大題從表4.2中可以看到，光纖中的主模HE11模，其歸一化截止頻率為零。次最低階模為TE01模、TM01模和HE21模，其歸一化截止頻率為2.405。如果適當設計光纖，度選擇工作波長，使得歸一化工作頻率

0?V?2.045

（4.2－49）

則TE01、TM01、HE21模及所有的高階模都被截止，只有HE11模可以傳播。這就是光纖中所謂單模傳播條件。由于歸一化頻率V?k0a?n?n2122?12?k0n1a2Δ，所以可以將單模傳播條件表示為

??2.613n1a2Δ??c?TE01,TM01? （4.2－50）

4.3 階躍光纖中的線偏振模

如前所述，通信中使用的光纖都是所謂弱導光纖。纖芯和包層的相對折射率差總滿足如下條件：

??n1?n22n1222?n1?n2n1?n1?n2n2??1 （4.3－1）

在弱導條件下，光纖傳播的導波盡管仍可以區分為TE0n、TM0n、EHmn、HEmn等各類模式，但可以證明所有這些模式的縱向場分量比其橫向場分量要小得多。也就是說，弱導光纖中傳播的電磁波其橫向電磁場占主導地位，而且一經激勵起來在傳播過程中其偏振狀態保持不變。這種狀態可以用本地平面波的反射機理得到解釋。由于???1，只有幾乎與光纖軸平行的光線才能滿足邊界面上的全反射條件。這種情形下的平面波，不管是垂直偏振的，還是水平偏振的，其電場和磁場幾乎與z軸垂直，無論是子午射線，還是偏振射線，經反射盡管有可能產生電磁場的z向分量，但z向分量總是很小的。由于沿傳播方向的電場及磁場分量與橫向分量相比極小，但又不等于零，所以可以認為這種形態的波接近于TEM波，可以稱為準TEM波。這種波的橫向電場和橫向磁場之比近似為介質的波阻抗，即

EtHt?Zc??0??Z0n （4.3－2）

式中腳標“t”表示橫向分量，Z0??0/?0是自由空間的波阻抗，是個物理常數，約等于377?。由于波在傳播過程中保持其偏振狀態不變，所以總可以選取一個直角坐標系，使場矢量與坐標軸方向一致，這樣一來，可以使問題大為簡化。由于電磁波在傳播過程始終保持場矢量取向不變，則這種電磁波稱為線偏振波，或者稱為線偏振模，又稱LP模。

TE0n、TM0n和ME2n模則與LP1n模一樣。一般情形下HEm+1，n模、EHm-1，n模與LPmn模（m?2）的特征參數一樣。考查矢量模的場分量，可以發現HEmn模和EHmn模都是圓偏振波，而且旋向相反、我們知道兩個幅度相等旋向相反，以相同的相速度同向傳播的同頻率圓偏振波合成一個線偏振波。因而可以在矢量模與線偏振模之間建立如下的對應關系：

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