Stokes問題各向異性網格Q2-P1混合元超收斂分析

2024年3月12日發(fā)(作者：對公司的感受)

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第４ｌ卷第２期　

２００８年６月　

數(shù)學研究　

Ｉｏｌｌｒｎａｌ?。铮妗。停幔簦瑁澹恚幔簦椋悖幔臁。樱簦幔欤ǎ琛?/p>

、　１．４１?。危铮病?/p>

．　

ｎ．２００８　

Ｓｔｏｋｅｓ　問題各向異性網格　—Ｐ　

混合元超收斂分析　

石東洋　任金城　

（鄭?。却髮W數(shù)學系，河南鄭州４５００５２）　

摘要討論Ｓｔｏｋｅｓ問題在各向異性網格下的Ｑ２一Ｐ１混合有限元方法，利用積分恒等式技巧得到了與傳統(tǒng)　

方法相同的超逼近性質，同時基于插值后處理的技巧，構造了速度和壓力的～對插值后處理算子，并且前者具　

有備向異性特征，從而導出了整體超收斂結果．　

關鍵詞Ｓｔｏｋｅｓ問題；混合元；超收斂；各向異性網格；后處理技術　

中圖分類號ｏ?。玻矗玻玻椤∥墨I標識碼Ａ　

ｌ１　引言　

用混合元方法求解Ｓｔｏｋｅｓ問題時速度空問和壓力空間需要滿足Ｂａｂｕ￣ｋａ—Ｂｒｅｚｚｉ條件（ＢＢ　

條件）ｌｌ】．當網格剖分比較好且精確解滿足一定的正則性條件時，有些混合元具有超收斂　

性【２一ｊ．但這些研究都是基于對剖分的正則性條件或擬一致假設【５ｊ．即滿足ｈＫ／ＰＫ　ｃ，或　

ｈ／ｈ　ｃ?。帧。恕省?，其中　

＾∈』ｈ　

分別是一般單元　的最大直徑和最大內切圓直徑，ｈ＝…ｍａｘ?。瑁恕?/p>

＾?。保琛?/p>

ｈ：皿?。瑁恕。闶且粋€與ｈ無關的正常數(shù)．但是，從理論分析和實際應用的觀點來說，如此假　

設在很大程度上限制了有限元方法的應用范圍，同時對有些定義在窄邊區(qū)域的問題，如果用　

正則性剖分，計算量將非常大；另一方面有些問題的解呈各向異性，器ｐ沿某個方向解變化非?！?/p>

劇烈，而沿另外方向解變化平緩，這時采用各向異性單元剖分，求解的效果會更好．本文基于　

ｆ６】中的一般插值理論研究Ｓｔｏｋｅｓ問題在各向異性網格下Ｑ２一Ｐ１混合有限元方法，通過一些新　

的方法和技巧導出了與傳統(tǒng)方法相同的超逼近性質．同時，利用插值后處理方法導出了整體　

超收斂結果．　

２　Ｓｔｏｋｅｓ問題的逼近格式　

考慮下面Ｓｔｏｋｅｓ問題：　

求（ｕ?。穑剩帧粒校疂M足　

收稿日期ｔ?。玻埃埃罚埃薄玻埂?/p>

基金項目：國家自然科學基金資助項盡（１０６７１１８４），（１０３７１１１３）．河南省高等學餃創(chuàng)新人才培養(yǎng)工程基金（２００２—２１９）資助　

項盡　

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第２期　石東洋等：Ｓｔｏｋｅｓ問題各向異性ｉ霹格Ｑ２～Ｐ１混合元超收斂分析?。保矗场?/p>

～

△＿ｆ』＋Ｖｐ＝ｆ．　在Ｑ內　

在Ｑ內．　

在ａＱ上　

ｄｉｖ＇，＝０　

ｔ￡＝０．　

其中Ｑ　Ｃ　是適當光滑的有界凸區(qū)域，?。簦剑ǎ保簦伞。簦欤玻榱黧w的速度，Ｐ為壓力，．廠＝（，?。伲В玻椤?/p>

夕｝、力，?。剑ǎ取。ǎ眩畹A（Ｑ））　，Ｐ＝?。常ǎ眩剑?，ｑ　Ｅ　Ｌ２（?。。病。瘢洌颉。剑埃?/p>

上述問題㈥１的變分形式為：求（　Ｐ）∈　×ｐ　滿足　

ｒ）　

其中　

ｒ?。妗?/p>

０（Ｉ＇ｔ?。剑帧。郑觯洌洌猓ǎ觯瘢健瘢洌椋觯觯洌海颍洌纭。ā。剑?，?。妗?/p>

Ｑ　ｔ，（２　√Ｑ　

為了簡單起見，設　是邊界同坐標軸平行的凸多邊形區(qū)域．　是一族均勻矩形剖分，即　

要求所有　行ｚ～軸的＾．　相同，所有　行　一軸的７　相同，不妨設ｈ　蘭ｈ１．ｈ　三ｈ２，Ｖ?。恕剩裕琛?/p>

ｈ＝　｛ｈｔ?。蓿玻史植恍枰獫M足正則性條件和擬一致假設．對任意的Ｋ∈Ｔｈ　定義單元　的　

中心為（．ＴＫ　），其邊長分別為２?。病。畣卧〉捻旤c為Ｚｌ（ｚＫ～ｋ：　一＾　）１．　（ＸＫ＋ｈ　，?。恕?/p>

７￡?。ⅰ。ǎ裕耍贰?。ｇＫ＋?。辍。冢矗ǎ唬疲恕琛。辍。耍。陠卧说倪厼椋臁?/p>

Ｑ２～Ｐ１混合元空間　×　可定義為ｉ（；｝：　

．?。剑?，２?。场。矗ǎ颍铮铮洌矗?/p>

Ｖ?。剑簟　剩ǎ取。ǎ眩?；?。欤恕剩眩玻ǎ耍撸亍。眩玻ā。撸帧。恕省?；ｌ，ｌａＱ：Ｏ｝，　

Ｐ?。剑瘛剩?。（Ｑ）；ｑｌ　∈Ｐ１（?。?，Ｖ?。恕剩睿?/p>

＝

（３）　

｛ｑ　ｃ　ｐｔ￣；ｆｇ．ｑｄｚｄｙ＝０）Ｉ　

Ｖ?。觯琛。郑?/p>

，　

ｖ

．

顯然?。兀校铮А。茫ǖA（Ｑ））　Ｘ塌（Ｑ）：則（２）的有限元離散形式為：　

求（Ｕｈ　Ｐｔ?。剩帧。亍。小。瑵M足　

＝　

顯然ｎ（?　?）在１　Ｘ?。帧皾M足強制性，即存在正常數(shù)Ｑ使得　

ｎ（　口）?。啊。帧?，∈Ｖ　

【７－Ｓｌ已經證明Ｖ“ｘ．Ｐ　滿足ＢＢ條件，即存在與　無關的正常數(shù)ｆ？使得　

ｏ＃

ｉｌ１ｆ

“ｑｑＰ　

０≠ｔ　『｜ＩＩ?。伞。伞。伞∫弧。?/p>

ｑ?。桑铩。薄。尽?　

（６）　

由混合元理論知（４）存在唯一懈（＇ｉｔｈ　Ｐｔ?。剩帧。亍。小∏矣邢旅娴恼`差估計　

一

“　＋?。穑蕖。?/p>

（?。?/p>

（　一?。欤妫保?/p>

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１４４　數(shù)　學　研　究　２００８毹　

其中這里及以后出現(xiàn)的ｃ均是與ｈＫ／ＰＫ及７　無關的正常數(shù)．　

此外，還證明了當混合元空間㈤３滿足ＢＢ條件時，對任意的?。剩睆S　×Ｐ“有　

ｌｌ１＋ｌｌｑｌｌ【】）　

（ｐ?。埃伲ā?/p>

．

ｑ）∈　

Ｐ　

×ｈ　

Ｉ?。桑伞。薄。桑保啊?/p>

‘?。臁。浴А?/p>

．　

沒札∈（Ｈ?！。?。．ｐ∈￡　（Ｑ）．其插值函數(shù)札　＝（?。龋担剩帧。小　剩小∧弦韵聴l件確定：　

在單元　上　、　

廠

）　

ｉ＝１．２．３．４．　

ｉ＝１．２。３．４．　

～　一　

＝　

廠

Ｓ　

以及　

√Ｋ　

／　一ｐ１）ｑｄｘｄｙ＝０　Ｖ?。纭剩校保ā。。ǎ保铮?/p>

由插值函數(shù)的定義知若　∈（日?。ǎ眩畛埃ǎ眩。海稹仕ā。畡t（ｉ＇ｔＩ?。小。剩帧啊痢?/p>

３一些高精度估計式　

我們首先介紹下面非常有用的弓ｌ理．　

引理１［。】對任意的　∈Ｖ?。恕省〕闪⑾铝胁坏仁健?/p>

ｌ￣ａ－ｙ?。欤?，Ｋ曼ｏｈ７?。臁。椋欤埃海?，　

ＵｘｘｙＩｉｏ，Ｋ　ｃｈＴ。ＩＩｖ￣ｌＩｏ?。耍?/p>

。　

．

ｌ　Ｉｌ１０　

ｌｌ口?。簦欤?/p>

．　

ｃ?。臁。欤欤欤希耍?/p>

ｃ　

。ｌｌ?。欤欤铩。耍?/p>

。｛ｌ　，?。簦簦铮耍?/p>

（１１）　

ｔｔｏ，Ｋ?。悖瑁玻瑁纭。欤臁。欤欤?/p>

Ｋ．１ｌ口?。欤欤铩。恕。恪?/p>

中的思想弓ｌ進誤差函數(shù)　

一

在任惹的單兀Ｋ∈　上，利用　

Ｅ（?。交ィ保ǎā?/p>

．

童Ｋ）　一　ｉ），Ｆ（　）＝三（（　一　）　一??；）．　

記彬＝（　，ｆ¨．ｗｉｌ１）＝　一ｕ　，？一＝ｐ—ｐ?。?/p>

引理２如果ｎ∈（Ｈ　（Ｑ））。，則　

（　，?。剑希ǎ?。）ｆ“　

證明對＂　關于變量Ｙ做Ｔ￣＇ｌｏｒ展開　

Ｖ　∈Ｖ＾．　

ｔ，?。剑簟。佟。ǎ伲耍簦。ā◆埃欤ǎ?/p>

ｙＡ－）。ｔ，?。ā。。?/p>

＿

（１２）　

ｌ（．ｆ?！。海ā∫弧。　俊。欤ǎ耍洌?，：ｗ［１】?。ā。。健！?/p>

（１３）　

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第２期　東洋等：Ｓｔｏｋｅｓ問題備ｉ臺】異性網格Ｑ２一Ｐ１混合元超收斂分析?。保矗怠?/p>

Ｊ／｛　?。ā∫弧》玻。?/p>

Ｋ　

．　

Ｆ㈤　’　

）∽　

一

砌　‘～　””　訓　

等　～　一　，ｔｌｋ　‰　

等（　一?。。郏薄。恪。耍洹　珌G?。啤。ā。恪　北兀恪。?/p>

?。揭?/p>

Ｉ　／?。啤＃ā。啊。欤妗俊。ǎ椋?/p>

?　

），　

ｌ一廠　孫　一　６?。啊?/p>

Ｆ　

Ｋ　

ｔ　－ｖＫ　?　

：　

（?、榫冢。薄?/p>

＋　一　一

毒（　。＿　）　】Ｆ。（　）?。。洌海阋弧。薄。啤。穑◎剩簟?/p>

＿＝　

等　

蛐?、簟?/p>

ｒ　

，　

＝一　

１（?。弧。　＂怼∪缫弧?/p>

１　

一　

“必　螂　

由（１２）至（ｉｓ）式及弓｝理１得　

Ｊ?。恕?/p>

廠??！　

）　也　

同理可得　

］　：【，ｌ】＝　

所以　

］　耳［，ｖｉｌｌ?。椤?，　

（Ｖ訓　

同理　

［１】）＝Ｏ（ｈ。）　］　

）：Ｏ（ｈ。）　】?。剩矗臁。郏病浚剩保。ǎ帧　保郏玻薄?/p>

引理得證．　

引理３如果Ｐ∈日。（９４且網格　為均勻的矩形剖分

，

則　

（ｒ?。洌椋觯觯剑希ǎ琛＃欤穑欤。保　省。?/p>

．　

證明對ｔｊ　

＂　

注意到　

）關于變量　做Ｔａｙｌｏｒ展開　

Ｙ　）＋（　一　）　，?。ā。。保ā?/p>

～?。耍＃簦?，　）　

：　）∈?。ā。┘安逯刀x知　

ＹＫ）＝０　

。

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數(shù)　學　研　究?。玻埃埃糕牎?/p>

ＩＩ　

｜ｒｌ　ｉ—?。桑ǎ堋。拧。臁。椋ǎ颍梗恕ⅰ?/p>

（１９）　

注意到　，［　】在Ｏ－上連續(xù)且ｔ?。薄。桑铮幔剑埃桑ǎ保罚┲粒ǎ玻埃┦郊肮炖恚斓谩?/p>

峭“一～　　睜荊　勰　冰?。抟弧。恕S川），州　廠　，　＼‰～、?。讲罚海?、　廠　水專　…、，?。住啊?、　、Ｆ｝，　百叫　　

】＝。（『，。?。伞。场。桑欤煲弧∑?/p>

，，

＝

去（　一?。??！。绞薄。ǎ?。（?。?；）ｒ－?。絹G　Ｆ。（ｊ／）脅　，　

＋石１磊　

。（ｈ３　１ｌＩｒ　譬（　一　）　齜ｒ十　等　荊　

∈　

）　怕一丟　

廠　

２　

Ｆ　

＂　

譬　

Ｚ　

，?。。薄。妫铩。疲玻ǎ觯?。ｖ　［１ｌ　ｓ　

Ｏ（ｈ。）ｌｐｌ３?。薄。薄?/p>

拈　

廚理　

Ⅲ¨　

引理得證．　

弓ｌ理４如果Ｉｔ∈（日　（Ｑ））。　則　

（ｄｉｖｗ?。瘢剑希ǎ?。）ｌｕｌ４Ｉｌｑｌｌｏ　

證明由Ｔａｙｌｏｒ展開得　

ｑ（ｘ，Ｙ）＝口（ｚ?。伲耍ǎ佟伲耍瘢?，　

（２１）　

（２２）　

Ｖ?。瘛剩小?/p>

州?。ā?，?。剑ā∫弧。┷帷荆薄。海省。洌。鳎郏保臁耄ǎ剑颉『耄健?，　

由（２１）至（２３）式及ｇｉｎ　１得　

ＪⅣ　

綴　一去　妒　盼　

／ｗ［￣１１ｑ＝００４）Ｉｆｌ【　】ｌ４＿Ｋｌｌｑｌｌｏ．　

（２３）　

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第２期　石東洋等：Ｓｔｏｋｅｓ問題各向異性網格Ｑ２一Ｐ１混合元超收斂分析　１４７　

敞　

。

，Ｑ　

／ｕ，　＝（）（　，【?。瘢欤保啊?/p>

／?。剑铮ǎ簟。瘢欤妫啊?/p>

同理可得　

√Ｑ　

弓ｌ理得證．　

４?。?。一Ｐ。元超逼近及超收斂結果　

定理１如果（『』．ｐ）∈（丑?。ǎ薄。保畛螅ǎǎ薄。玻　猎隆。ǎ牛。。ǎ簦簦瑁校臁。剩帧　粒稹胺謩e是方程（２）和（４）的　

解，則　

Ｉ?。琛臁。保欤欤?，ｌ—ｐｌＩ｛ｏ?。茫桑颍?。（　Ｉ４－｛－ＩｐＩ３）．　

證明由ｆ８）式，對任意的（ｕ．ｑ）∈Ｖｈ×Ｐ　有　

ｃ（ｆ　“ｈ～“?。保臁。欤抟唬穑椋欤欤铮?/p>

≤　

０　

）≠?。鳎颉海省　啊。小痢啊　?/p>

ｐｈ　

×　

ＩＩ【Ｕ　１?。臁。保保撸伞　。桑伞。啊?/p>

地　

．　

＝　

０　…

）≠（　ｑ）∈　

１　０

ｌ　【ｌｌ十ｌｌ　ＩＩ　

將引理２至弓ｌ理４代入上式且口得結論．　

有了超逼近的結果，利用［６］中的思想可以用插值后處理算子?。瑁。迊淼玫秸w超收斂．　

把相鄰的四個小單元Ｋ１．　．　，甄合并為一個大單元?。ㄈ鐖D１）　的頂點為Ｚｉ．ｉ＝１，…　９　

霞的邊為?。椋剑?，?一，１２．定義插值算子?。瑁?，　在單元　上，對任意的（伽　ｐ）∈（Ｃ（霞））?！痢?/p>

三。（?。。ā。瑁保保?，　，　Ｐ）∈（Ｑ４（?。　粒校玻ā。M足　

｛ｆ?。洹。桑玻琚螅ǎ洌螅骸。洹啊。椋?，　?。剑欤蹋?．一．?。?/p>

?　

ｃ２４　

ｌ　

以及　

＝１．．一　

ｈｐｄｘｄｙ＝／ｐｄｘｄｙ，?。椋剑保?，４，　

（２５）　，　

?！?/p>

（?。瑁稹穑洌洌剑ǎ剩玻瑁小穑洌洌海啊?/p>

１　

ｔ，Ｋ１　

其中Ｋｉ．１　分別為，Ｊ　

ｆ２　

２　

ｆ　

Ｋａ　

Ｚ２　

ｆ４　

Ｚ５　

ｌｇ　

２１　

１　

ｆ７　

Ｋ４　

圖１大單元　

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ｌ＿圭８　數(shù)　學　研　究　

同　由　

２００８純　

理　￡２，　

和　

３　

２　

Ｂ　

Ｆ｝ｊ【１０］的技巧可以驗證上述構造插值后處理算子?。妗【哂懈飨虍愋蕴卣鳎矗恪。海ǎ恪。睿玻?/p>

ｃ１ｆ＝Ｉ時有　一～　一－－?。?/p>

Ｉｂ“（　一?。蕖。?。

走≤ｃｌ　。遺ｌ３

安，Ｖ?！剩ā。ā。。?/p>

．

．

得　

２　

（２６）　

弓ｌ理５在上述條件下，對任意的　∈（?。ǎ眩玻逯邓阕印。逎M足　

８　

叉　

由　

ｌｌ?。蓿臁耙弧。欤桑椤。悖?。ｌ“Ｉ４，　

ｌ　ｈｕｌｌｌ１?。悖保?，，ｔｉ　∈Ｖｈ．　

于　

，ｌ，Ｉ　

（２８）　

（２９）　

ｎ　”　

一　一　

證明由于“＝（“?。。玻何覀儍H對“　證明結論成立即可．由?。薜臉嬙熘ǎ玻罚┦秋@然成立　

＂　

的．另一方面，令２ｈＦ：－　和２ｈＫ－　分別為　的沿　一軸和ｇ一軸方向的邊的邊長

由（２６）得　

，

＝蘭　

、　

　一一　

（　＾ｕ１一Ｉｔ１）?。健?/p>

，?。ā〈！∫豁恰。妫伞?/p>

ｃ　

＜一

ｈＲ　

＜一　

ｅ　云　＾霞?。桑酰簦?；．?。?。＾?。琛。琛?/p>

●

Ｕ　

１　

　，

Ｕ　

ｌ　

（３ｏ）　

ｅ，　。㈨　

、　

．　

一　一Ｋ　

即　

（３１）　

（３２）　

１１（／２ｈ，　）?。桑伞?/p>

露

．

＝　

（?。瑁洌洌纾健。ǎ桑病。弧?/p>

＾　，?。桑桑ǎ唬桧恰。辏臁。?/p>

，　

叼　

．

ｃ，ｚ元　，　ｌｌ番　￡ｌ　

安　

ｌ

ｔ?。抟玻薄。保洹∮伞。剑恪。ù！。∥淇В剑悖蕖?，　

：　

．　

＝ｃ?。ǎ酰臁。簦洌剑悖桑椋薄?/p>

所以　

｝Ｉ（?。蓿悖龋保。欤欤?，Ｒ　ｃｌｌ札１?。欤保?/p>

詹　

．

（３３）　

同理　

ｌｌ（?。瑁酰保簦欤欤啊≠M?。悖保保雹簦欤桑ā?/p>

．　

，　

（３４）　

由（３３）和（３４）即得（２９）．　

弓ｆ理得證．　

弓ｌ理６在上述條件下，ｘ￣－Ｉ￣意的Ｐ∈　。（Ｑ）

插值算子?。逎M足　

．

（３５）　

Ｐ—ｐｌＩｏ　ｃｈ?。桑穑欤场?/p>

（３６）　

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第２期　石東洋等：?。樱簦铮耄澹髥栴}各向異性網格Ｑ

２～Ｐ１混合元超收斂分析　１４９　

ｌｌ　，　訓０?。恪。桑欤瘢欤欤埃。瘛剩小。?/p>

ｆ３７１　

證明由?。畹臉嬙熘ǎ常担┳泔@然威立的

ｐ一　

．

．

Ｔ￣＠ｆｒ］ｉＥ明（３６）式　

足　一贍　

兒

ｒｅ．ｈｋ　峨詹　

．

ｈＫ％Ｓｚ露?。辍∠迹蓿丁。病。?/p>

＝?。欤琛。薄。剑ǎ海蓿叮妫穑妫?/p>

所以　

ｔ

霞，　

，２＾Ｐ一川ｏ?。妗?，＾。ｆ?。省。剩欤场?/p>

下面我們再證明（３７）式　

霞?。ā?/p>

Ｊ?。恕?/p>

．

）　如西＝?。妗?/p>

｜囂　

）。＾也　

‘。?。睢。睢?/p>

咖　

：　疋　?　硼索　ｃｈＲ　＾　姐　

＝ｃ＾霞?。÷丁。欤琛。。薄。稹。病?/p>

霞＝ｃＩｌｐｌ?。?/p>

．

．　

：　

所以　

ｓ２，ｍｌｌｏ?。恪?/p>

引理得證?！?/p>

定理２如果（?。穑剩ǎ螅蟆。ǎ保玻钌海ǎ妫玻。?。（（２）　則有下面的整體超收斂結果　

ｌ　ｈ饑，ｌ　～札ｌｌ１＋ｌ　，ｌ?。穑妗∫唬穑欤臁！。恪　＃ǎ省埃剩矗剩穑臁＃?/p>

．　

證明注意到?。蓿摺埃枰辉健　啊∫弧。蕖。?/p>

＾　一Ⅱ．由（２７）．（２８）及（２９）得　

ｌｆ　『『“＾一¨ｌ?。蟆。欤臁。蓿保臁埃抟弧唬撸玻蕖。桑簟。保保矗?，￣

ｕｌｌ?。剑欤欤玻瑁ⅲ?，ｈ一?。酢。臁。省。蕖∫弧。欤剩薄?/p>

＝?。欤臁。蓿ā。妗∫弧啊。桑妫保欤?，２　ｌ一?。桑桑薄。悖瑁常ǎ桑酰桑矗桑觯欤常?/p>

．　

同理　

Ｊ＇２ｈｐｈ—ｐｔｌ０　ｃｈ。（１“＿ｌ４＋Ｉｐｌ３１　

定理得證　

參　考　文　獻　

Ｇｉ?。幔酰欤簟。帧。遥幔郑椋幔颍簟。小。?/p>

ＦｉＩｌｉｔｅ?。牛欤澹恚澹桑保簟。停澹簦瑁铮洹。妫铮颉。危幔郑椋澹?/p>

ｓｔ。ｋｅｓ?。牛瘢欤欤幔簦?。砸：Ｔｉ１ｅｏｒｙ‘ｄＩｌｄ?。粒欤纭！?/p>

ｒｉｔｈｒｎｓ?。印?ｐｒｉｎｇｅｒ—Ｖｅｒｌａｇ

Ｈｅｉｄｅｌ

　。　

ｂｅｒｇ

１９８６．

，

?

．

，

１５（３）

，

潘建華，周愛輝?ｓｔ。ｋｅｓ問題的一種新的混合有限元逼近

．

：１９３　１９９．　

系統(tǒng)科學與數(shù)學，１９９５．　

～一…一’　

ＳＰＩａＡｎ？Ｉ￣Ｎ｛　“　ａ?Ｇ　。ｂａ　ｓｔｔｐｅｒｃｏｎｖｅｒｇｅｌｉｃｅ　ｏｆｒ　ｔｌｌｅ｝ｉｌｌＩｌｅａｒ—ｃ。１１ｓｔａｌ１ｔ?。螅悖欤欤澹欤睿濉。妫埃颉。簦欤濉。螅?。ｋｅｓ　Ｉ）Ｉ．。｝）ｌｅＩＩ１．

１９７７，３４（６）：２４２４—２４ａ０．　

）

…　…　‘　‘　?！?/p>

－

Ｊ．ｕｍｅｒ．Ａｎａ１．

．

林甲富，林群?ｓｔ。ｋｅｓ問題一種混合元近似的超收斂

．

上程數(shù)學學報，２Ｏ（）４Ｉ?。玻保ǎ常海常玻怠常玻?/p>

．　

維普資訊

１５０　數(shù)　學　研　究?。玻埃埃溉巍?/p>

［５］　．１ｅｔ?。小。牵蹋椋铮睿螅保蹋撸取。?。ｆ?。危欤欤欤欤欤澹颍椤。颍保薄?/p>

－

ｌｙｓｉｓ?。?ＩＩ：Ｆｉｎｉｔｅ鼬ｌｅ　

１　９９６。

ｌ。（ｐａ．ｒｔ?。?/p>

Ｎｅｗ　Ｙｏｒｋ．Ａｎｌｓｔｅｒｄａｍ：Ｎｏｒｔｈ—Ｈｏｌｌａｎｄ．１９９１?　

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