半線性雙曲方程的一個非協調有限元超收斂分析

2024年3月12日發(作者：winsys)

第３５卷第２期　

江西師范大學學報（自然科學版）　

ＪＯＵＲＮＡＬ　ＯＦ￣ＡＮＧＸＩ　ＮＯＲＭＡＬ　ＵＮＩＶＥＲＳＩＴＹ（ＮＡＴＵＲＡＬ　ＳＣＩＥＮＣＥ）　

Ｖｂ１．３５ＮＯ．２　

２０１１年３月　

Ｍａｒ．２Ｏｌ１　

文章編號：１０００—５８６２（２０１　１）ｏ２—０１３１—０４　

半線性雙曲方程的一個非協調有限元超收斂分析　

喬保民　

（商丘師范學院數學系，河南商丘４７６０００）　

摘要：在各向異性條件下，利用有限元方法對半線性雙曲方程的一個非協調元逼近進行了研究，通過新的方　

法與技巧，給出了近似解與精確解的誤差估計及超逼近性．最后，通過使用插值后處理技巧得到了整體超收　

斂結果．　

關鍵詞：半線性；雙曲方程；各向異性；非協調元；超收斂　

中圖分類號：Ｏ　２４２．２１　文獻標識碼：Ａ　

點的有效途徑之一就是采用各向異性剖分，它可以　

０　引言　

考慮下面一類半線性雙曲方程：　

”　一Ａｕ＝，（材），　

ｕ　（Ｘ　　

０）＝　（　），　

，

使人們用很少的自由度而得到同樣的收斂效果．文　

獻［５．９］分別在各向異性條件下，對２階橢圓等問題　

進行了分析研究．　

（　，ｆ）∈．Ｏｘ（０，　】，　

１　２　

∈，　

Ｘ∈　，　

㈣　

～　

本文在各向異性條件下，討論一類半線性雙曲　

方程半離散格式的非協調元逼近，通過導數轉移方　

法和一些特殊技巧，給出了其近似解與精確解的誤　

Ｉｔｔ（　，０）＝　（　），

差估計及超逼近性質，同時，通過插值后處理技巧　

為其光滑邊　

得到了整體超收斂結果．　

其中　為Ｒ　上的一個有界閉區域，　

界，Ｘ＝（　，　）．　

雙曲方程是一類重要的發展方程，關于該方程　

的研究已有很多結果．文獻…研究了這類方程解的　

１　單元構造　

為簡單起見，不妨假設　是Ｒ２上的一個有界凸　

多邊形區域，其邊界分別平行于坐標軸　軸和Ｙ軸．　

為　的一個矩形單元剖分族，Ｖ　Ｋ∈Ｊｈ，單　

元　的中心設為（ＸＫ，ＹＫ），沿Ｘ軸方￣ｆｆｌｌｙ軸方向的２　

存在唯一性；文獻【２．４】利用有限元方法對其進行了　

收斂性分析．但上述有限元分析都是基于對網格經典　

假設，也就是對剖分的正則性假設或一致性假設，即　

ｈＸ｛ｐＫ≤Ｃ　ｈ／ｈ≤Ｃ，、寸Ｋ∈Ｊｈ，　

ＫＥｄｈ　Ｅ　

其中　是　的一個凸剖分簇，ｈ＝ｍａｘ　，Ｊ；＝ｍｉｎ　，　

條邊的邊長分別記為２　和２　，單元　的４個頂點　

而　，　分別是一般單元　的最大直徑和最大內　

分別為Ｚ￣（ｘＫ—ｈｘ，ＹＫ一　），　Ｚ２（　＋　，ＹＫ—ｂｙ），　

Ｚ３（ＸＫ＋　，ＹＫ十廳　），Ｚ４（　一　，ＹＫ十　），單元Ｋ的４　

條邊分別為‘＝Ｚｉ　Ｚｆ＋ｌ（ｍｏｄ４），ｉ＝１，２，３，４．　

在　上定義如下有限元　，　，　）：　

切圓直徑．這里及以后出現的Ｃ均表示一個常數且　

與ｈ無關，不同的地方可以取不同的值．然而，在實　

際應用中，對于直接定義在窄邊區域上的問題，如　

果采用上面傳統的正則剖分，總體自由度的增加將　

會使計算量非常大．另一方面，由于方程的解在其　

定義域上的變化經常是不均衡的，往往表現為某一　

部分變化平緩，某一部分變化劇烈，所以正則性網　

｛　，　，　，　，Ｖ５｝，　ｓｐａｎ｛１，　，Ｙ，　（　），　（　）｝，　

其中　ｄｓ＿１，２’３，４，１２５　Ｉ￣Ｉ　Ｌｖｅｘｄｙ，　

）＝（３ｔ　一１）／２．　

格不能很好地體現解的這種性質．這時解決這一難　

有限元空間定義為　

收稿日期：２０１１．０３．０１　

基金項目：國家自然科學￣（１０９７２１１９），河南省自然科學基金（Ｏ９２３０ｏ４ｌＯ１４１）和河南教育廳自然科學基金（２０ｌＯＡｌｌ００ｌ４）資助項目　

作者簡介：喬保民（１９６３一），男，河南寧陵人，副教授，主要從事有限元理論及應用的研究．　

１３２　江西師范大學學報（自然科學版）　２０１１矩　

Ｖｈ＝｛ｖ　；ｖｈＩ　∈　，　∈　，　

時，［　］＝　．　

＝０，Ｆｃ　ＯＫ｝，　

代入（３）式，整理得　

Ａ專　十Ｂ芎＝ｃ（ｏ，　

（０）＝　，　

芎ｊ　＝＿Ｂｊ，　

這里【１，　】表示ｖ　跨過邊界Ｆ的跳躍度，當Ｆ［０．６２　

在空間Ｖ　上定義ｌＩ．１ｉｂ＝（∑１．Ｉ　）“　，其中　

其中Ａ＝（口ｆ

，）…，ａｉ

，，　

＝

（　，　），Ｂ＝（６ｆ，　）…，ｂｉ，　

＝

１．１ｌ，　＝ｆＶｖＶｖｄｘｄｙ．容易驗證　為空間Ｖ　上的范　

數．記　為通常意義下Ｓｏｂｏｌｅｖ空間　（　）的　

ｃＶ　ｃｃ　ｃ　

（＼　，（＼　　／ｌ＝１　　，　?　

范數，Ｈ　（　）＝ＷＳ，２（　），ｌＩ．１１　＝　，０≤　＜ＯＯ．顯　

然Ｖ　礎（　）．　

插值算子／ｈ：Ｈ　（　）　定義如下：　

　ｌｌ＿ＩＪ（　Ｖ—ｖ）ｄｓ＝０，ｉ＝ｌ，２，３，４，　

＝　

，　

：

｛【　　（　

Ｖ－－Ｖ）　＝０?　

插值算子，＾具有下列性質．　

引理１　Ｖｕ∈　（　）ｎ　（　），有　

ｌ　ｌ一Ｉｈ＂Ｉｌ０＋　ｌｌ“一　“１Ｉｈ≤Ｃｈ　Ｉｕ１２，　

同時，Ｖｖ∈Ｖ　有　

（Ｖ　一／ｈ“），Ｖｖ）＾＝（Ｖ（ｕｔ一　ｕｔ），Ｖｖ）＾＝０．　

２方程的有限元逼近及收斂性分析　

假定問題（１）中的ｆ（ｕ，　）滿足：　

（Ａ）具有本文論證所需的各階有界偏導數且偏　

導數有界；　

（Ｂ）對變量甜滿足Ｌｉｐｓｃｈｉｔｚ連續條件．　

問題（１）的變分形式可寫為：Ｖｔ≥０，求ｕ（ｔ）∈　

（　），使得Ｖｖ∈　（　）有　

Ｉ（　，Ｖ）＋（Ｖｕ，Ｖｖ）＝（　（“），Ｖ），　

｛ｕｔ（０）＝５ｆ，（　），　（２）　

Ｉ甜（０）＝　（　），　

其中（　）　ｊ　“　，ｇ／ｔ（０）　（　，０），　（０）　０）?　

于是（２）式有限元半離散格式為：求Ｕ　∈Ｖ　，　

使得Ｖｖ∈Ｖ　，　

（　，ｖ）十（Ｖ　，Ｖｖ）＾＝（廠（　），ｖ），　

（０）＝　（　），　（３）　

“　（Ｏ）：Ｉｂｍ（Ｘ），　

其中（?，?）＾＝∑（?，?）．　

引理２問題（３）的解是存在且唯一的．　

證設　｝是　的一組基，令　

Ⅳ　

材　（　，ｆ）＝∑白（ｆ）ｙ』，　

，

Ｐｉ由　（　），　（　）確定，因Ａ是對稱正定矩　

陣，ｆ（ｕ，Ｘ）對變量　滿足Ｌｉｐｓｃｈｉｔｚ連續條件且為有　

界函數，由常微分方程的Ｃａｒａｔｈｅｏｒｄｏｒｙ定理可知，　

當ｔ＞０時，方程組存在唯一解．　

引理３若“∈Ｈｏ（　）ｎ　（　），則在各向異性下，　

Ｖｖ∈Ｖ　有　

ｌ∑

Ｋ　

ｋ　ｌ≤　ｖｌｌ＾．　（４）　

更進一步，如果＂∈　（　）ｎ　（　），則有　

ｌ　ｄｆ０

Ｋ　￣？／　

ｌ　ｖ　（５）　

引理４　Ｖｖ∈Ｖ　，ＩＩ　ｖＩＩｏ＜ｌ　ｌｖｌＩ＾．　

定理１設　是問題（２）的解，且”　（　）ｎ日　（　），　

∈Ｖ　是問題（３）的有限元解，則　

Ｉ１“一“　ｌｌ　≤ｃ　

ｌ　ｌ　Ｉ：＋（　（Ｉ“　Ｉ；＋ｌ“　ｌ；＋ｌｕｌ２）ｄｒ）ｕ　Ｉ，　

ｌＩ”，一“，　ｌｌ。≤ｃ廳

ｌ　Ｉ“，Ｉ　＋（』　（Ｉ”　＋Ｉ“，ｌｉ＋ｌ　ｕ　ｌ２）ｄｒ）“　１．　

證　ｖｖ∈Ｖｈ

，

由　程（２）和（３）得誤差方程　

（　一“　，ｖ）＋（ｖ　一ｖ　，Ｖｖ）ｈ：（ｆ（ｕ　）一廠（”），ｖ）＋　

鼉Ｋｆ　　

記Ｗ＝甜一　“，０＝ｕ　一　，習　么方程（６）變為　

（　，ｖ）＋（Ｖ　，Ｖｖ）＾＝（ｗｉｔ，ｖ）＋（，（材　）一　

）＋　ｋ　．　

取ｖ＝　，則方程（７）變為　

圭　釧　＋Ｉ　≤（ｗｆ，　）　（　）一　

）＋　ｋ　．　’（８）　

（８）式兩邊對ｆ從０到ｔ積分，并注意到ｏ（ｏ）＝　

ｏＡｏ）：０，有　

（１ｌＯ，　ＩＩｏＩＩ］）＜　（　，Ｏｔ）ｄｆ＋　（　）一　），　）ｄｒ＋　

第２期　喬保民：半線性雙曲方程的一個非協調有限元超收斂分析　

Ｃ　Ｃ　Ｃ　

ｄ　ｄ　

１３３　

眶￣ＯｆＫ　ＯＦｔ　ｔ　喜ｑ，　

其中Ｇｌ＝　（　，ＯＡｄｆ，Ｇ　＝　（　

完全類似于定理１中的證明方法，得到　

＋　＋　

ＩｌＯｌｌ　≤ｃｈ　（，　（　．　１“　ｌ　＋Ｉ“，　＋Ｉ“１２）ｄ　ｚＩ、）　１／２．　

＋　

）一／　），Ｏｔ）ｄｆ，　

ｗ　

從而定理２得證．　

Ｇ３　（　出）ｄ　．　

３超收斂分析　

為了得到整體超收斂結果，把相鄰４個小單元　

，　，　，　

利用引理１、引理３中的（４）式和引理４，對　

Ｇ（ｉ＝１，…，３）逐項進行估計：　

Ｇ１＝￡（ｗｆｆ，　）ｄｆ≤　ｗｔ，ＩＩ。ＩＩ　ＩＩ。ｄｆ≤　

合并成的一個大單元霞（見圖１）．在　

ｃ　＋ｃ　ｄｒ；　

Ｇ２＝

（廠（“　）一　（　），Ｏｔ）ｄｆ≤　

．　

＋Ｉｌ　１１２ｏ）ｄ￣≤　

ｒ＋ｃｈ　ｄｒ≤　

ｒ＋　ｄｒ；　

畦￣／￣ａｎ　　ｔ出卜　ｋ　一　

ｋ　＋　

ｃｈ　ｔ

，　

ｄｒ＋ｃ　ｄｆ．　

整理得　

ＩＩ　＋ＩＩＯｌｌｆ，￣ｃｈ。　（　Ｉ　２＋】ｔ４ｔ　Ｉ；＋Ｉ　ｆ＋　

ｃ　＋ｌｌ　Ｏｌｌ￣）ｄｆ．　

利用Ｇｒｏｎｗａｌｌ不等式，則有　

Ｉ　ＩＩｉｏ≤ｃ　（　（　Ｉ；＋Ｉ　Ｉ　十ｆ“Ｉ￣）ｄＯ“　；　

Ｉ１０１１＾≤ｃｈ（ｆｏ（Ｉ“　ｌ；＋ｌ　，ｌ；＋ｌ　Ｉ￣ｚ）ｄｒ）　．　

由引理１并利用三角不等式，定理１得證．　

定理２設甜是問題（２）的解，且“∈　（　）ｎ　

（　），　∈Ｖ　是問題（３）的有限元解，，＾甜是　的　

有限元插值，則　

ＩＩ　ｕｈ－　“Ｉ　Ｉ≤　。（　Ｊ　２＋Ｉ　　ｌ２＋Ｊ　Ｉ　）　．（９）　

證利用引理３中的不等式（５），對定理１中的　

Ｇ３重新進行估計，有　

＝　

【　出ｊｄｒ≤　觸一　

眶ｋ　ｄｒ＜￣ｃｈ４（　２＋　ｌ＋　

ｅｈ　；ｄｒ＋ｃ　ｔ　ｄｆ．　

上，需要構造如下插值后處理算子，２＾：　

Ｉ２＾　ｌ霞∈Ｐ２（Ｒ），Ｖｃｏ∈ｃ（霞），且滿足　

１２＾：Ｈ　（霞）　Ｐ２（霞），　

ｆＬｉ（１２ｈＵ－－ｕ）ｄｓ＝０，　ｌ，２，３，４，　

ｆＫ１ｕ　（１￣ｈｕ－ｕ）ｄｘｄｙ　０，ｆｇ２ｕ　（Ｉ２ｈＵ－－ｕ）ｄｘｄｙ　０，　

這里Ｐ２（霞）為霞上次數不超過２的多項式空間，　

ｃ（Ｒ）為霞上連續函數空間．　

１（２　

～　

Ｋ４　１（３　

圖１大單元　

引理５　Ｖｕ∈Ⅳ　（　），插值算子　２＾滿足　

ｌ　ｈＩｈｕ＝Ｉ２　，　

ｌｌ１２ｈｌｄ—ＵＩＩｈ≤ｃｈ　Ｉ　ＵＩ３，　

ｌｌ　＾Ｖｌｆ＾≤ＣＩＩ　Ｖ　，Ｖｖ∈Ｖ　．　

在超逼近結果（９）和引理５的基礎上，有下面的　

整體超收斂結果．　

定理３　Ｖｕ∈　（．Ｃ２）ＮＨ　ｉｆ２），有　

ＩＩ／２＾Ｕ　一ＵｌＩｈ≤　

ｃ　

ｌ『“Ｉ。＋（　（Ｉ　Ｉ；＋Ｊ“，ｌ；＋ｌ　ｌ２３）ｄ　ｚ－）¨　１．　

證由定理２和引理５，可得　

ＩＩ　Ｉ２＾Ｕｈ一“＿ｌ＾≤ｌ　ｌ＾“　一，２　Ｉｈｕ『Ｉ＾＋　

ｌＩＩ２ｈｌｈＵ一“ｌＩｈ＜１ＩＩ２ｈ（Ｕ　一　”）ｌｌ＾＋ｃｈ　ｌＵＩ３≤　

Ｃｌｌ“　一　“　＋　ｌ“Ｉ３≤　

ｃ　

ｌ　Ｉ　Ｉ　＋（　（Ｉ　Ｉ；＋　Ｉｌ；＋Ｉ“　）ｄｆ）¨　｝．　

定理３得證．　

１３４　江西師范大學學報（自然科學版）　２０１１年　

４參考文獻　

【ｌ】劉亞成．方程　一Ａｕ＝，（”）的整體解［Ｊ］．數學物理學報，　

１９８９，９（２）：１５５?１６６．　

ｎｏｎｃｏｎｆｏｒｍｉｎｇ　ｆｉｎｉｔｅ　ｗｉｔｈ　ｓｏｍｅ　ｓｕｐｅｒｃｏｎｖｃｒｇ￣ｃ￣ｒｅｓｕｌｔｓ【Ｊ】．　

Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆＣｏｍｐｕｔａｔｉｏｎａｌ　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，２００５，２３（３）：２６１－２７４．　

［６】ＳｈｉＤｏｎｇｙａｎｇ，Ｚｈａｎｇ￣ｒＬｒａｎ．Ａｎｏｎｃｏｎｆｏｒｍｉｎｇ　ａｎｉｓｏｔｒｏｐｉｅｆｉｎｉｔｅ　

ｅｌｅｍｅｎｔａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎｗｉｔｈｍｏｖｉｎｇｇａａｓｆｏｒ　ｓｔｏｋｅｓｐｒｏｂｌｅｍ【Ｊ】．　

Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆＣｏｍｐｕｔａｔｉｏｎａｌ　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，２００６，２４（５）：５６１－５７８．　

［７】ＳｈｉＤｏｎｇｙａｎｇ，ＷａｎｇＨａｉｈｏｎｇ．Ａｎａｎｉｓｏｔｏｐｉｒｃｎｏｎｃｏｎｆｏｒｍｉｎｇｆｉ－　

ｎｉｔｅ　ｅｌｅｍｅｎｔ　ｍｅｔｈｏｄ　ｆｏｒ　ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｎｇ　ａ　ｃｌａｓｓ　ｏｆ　ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　

【２】Ｔｈｏｍｅｅ、‘Ｘｕ　Ｊｉｎｅｈａｏ，Ｚｈａｎｇ　Ｎａｉｙｉｎｇ．Ｓｕｐｅｒｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ　ｏｆ　ｔｈｅ　

ｇｒａｄｉｅｎｔ　ｉｎ　ｐｉｅｅｅｗｉｓｅ　ｌｎｅａｒ　ｆｉｉｎｉｔｅ　ｅｌｅｍｅｎｔ　ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎ　ｔｏ　ａ　

ｐａｒａｂｏｌｉｃ　ｐｒｏｂｌｅｍ【Ｊ】．ＳＩＡＭ　Ｊ　ＮｕｍｅｒＡｎａｌ，１９８９，２６：５５３—５７３．　

Ｓｏｂｏｌｅｖ　ｅｑｕａｔｉｏｎ【Ｊ】．Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎａｌ　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，　

２００９，２７（２／３）：２９９－３４１．　

［８　Ｗａｎｇ　Ｍｉ８］ｎｇ．　ｅｒｒｏｒ　ｅｓｔｉａｔｍｅｓ　ｏｆｎｏｎｃｏｎｆｏｒｍｉｎｇ　ｆｉｎｉｅ　ｔｆｏｒｔｈｅ　

【３】王宏．關于非線性雙曲型方程全離散有限元法的穩定性和收　

斂性估計［Ｊ］．計算數學，１９８７，９（１）：１６３－１７５．　

［４】王力俊．一類非線性雙曲方程的變網格有限元法［Ｊ】＿高等學　

ｂｉｈａｒｍｏｎｉｃｅｑｕａｔｉｏｎ【Ｊ】．ＪＣｏｒｎＭａｔｈ，１９９３，ｌｌ：２６ｌ＿２７４．　

校計算數學學報，１９９１，１（１）：１－７．　

【５】Ｓｈｉ　Ｄｏｎｇｙａｎｇ，Ｍａｏ　Ｓｈｉｐｅｎｇ，Ｃｈｅｎ　Ｓｈａｏｃｈｕｎ．Ａｎ　ａｎｉｓｏｔｒｏｐｉｃ　

【９】馬戈，黃塹．半線性拋物方程各向異性有限元逼近［Ｊ】．江西　

師范大學學報：自然科學版，２０１０，３　５）：４８０－４８３．　

Ａ　Ｓｕｐｅｒｃ０ｎＶｅｒｇｅｎｃｅ　Ａｎａｌｙｓｉｓ　ｆｏｒ　Ｎｏｎｃｏｎｆｏｒｍｉｎｇ　Ｆｉｎｉｔｅ　Ｅｌｅｍｅｎｔ　ｔｏ　

ｔｈｅ　Ｓｅｍｉｌｉｎｅａｒ　Ｈｙｐｅｒｂｏｌｉｃ　Ｅｑｕａｔｉｏｎｓ　

ＱＩＡＯ　Ｂａｏ－ｍｉｎ　

（Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ　ｏｆ　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，Ｓｈａｎｇｑｉｕ　Ｎｏｒｍａｌ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｓｈａｎｇｑｉｕ　Ｈｅ’ｎａｉｌ　４７６０００，Ｃｈｉｎａ）　

Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅ　ｆｉｎｉｔｅ　ｅｌｅｍｅｎｔ　ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎ　ｆｏｒ　ｓｅｍｉｌｉｎｅａｒ　ｈｙｐｅｒｂｏｌｉｃ　ｅｑｕａｔｉｏｎｓ　ｏｎ　ａｎｉｓｏｔｒｏｐｉｃ　ｍｅｓｈｅｓ　ｉｓ　ｓｔｕｄｉｅｄ　ｂｙ　ｔｈｅ　

ｎｏｎｃｏｎｆｏｒｍｉｎｇ　ｆｉｎｉｔｅ　ｅｌｅｍｅｎｔ　ｍｅｔｈｏｄ．Ｔｈｅ　ｅｒｒｏｒ　ｅｓｔｉｍａｔｅｓ　ａｎｄ　ｒｅｓｕｌｔ　ｏｆ　ｓｕｐｅｒ－ｃｌｏｓｅ　ａｒｅ　ｏｂｔａｉｎｅｄ　ｂｙ　ｕｓｉｎｇ　ｓｏｍｅ　ｎｏｖｅｌ　

ａｐｐｒｏａｃｈｅｓ　ａｎｄ　ｔｅｃｈｎｉｑｕｅ．Ｆｉｎａｌｌｙ，ｂａｓｅｄ　ｏｎ　ｔｈｅ　ｉｎｔｅｒｐｏｌａｔｅｄ　ｐｏｓｔ－ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ　ｔｅｃｈｎｉｑｕｅ．ｔｈｅ　ｇｌｏｂａｌ　ｓｕｐｅｒｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ　ｉｓ　

ｄｅｒｉｖｅｄ．　

Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：ｓｅｍｉｌｉｎｅａｒ；ｈｙｐｅｒｂｏｌｉｃ　ｅｑｕａｔｉｏｎ；ａｎｉｓｏｔｒｏｐｉｃ；ｎｏｎｃｏｎｆｏｒｍｉｎｇ；ｓｕｐｅｒｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ　

（責任編輯：曾劍鋒）