安徽省宣城市涇縣中學(xué)2021-2022學(xué)年高三上學(xué)期12月質(zhì)量檢測理科數(shù)學(xué)試

2024年3月19日發(fā)(作者：豬肉丸子湯的做法)

試卷

絕密★啟用前

涇縣中學(xué)2021~2022高三年級質(zhì)量檢測卷數(shù)學(xué)

（理科）

注意事項(xiàng)：1、答題前填寫好自己的姓名、班級、考號等信息 2、請將答

案正確填寫在答題卡上

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符

合題目要求的．

1．已知集合

A?x2x?5x?3?0

，

B?x2?log

2

4

，則

A?

A．

?

x?3?x?

?

2

??

x

?

?

R

B

?

?

（）

?

?

1?

?

2

?

B．

x1?x?3

??

C．

x2?x?3

??

D．

?

x?

?

?

1?

?x?3

?

2

?

1?i?i

2

?i

3

?i

4

??i

2021

?i

2022

2．已知復(fù)數(shù)

z?

（i為虛數(shù)單位），則

z

的值為（）

1?i

A．1 B．

1

2

C．

2

2

D．

1

3

3．已知命題

p:?x

0

?(0,

?

)

，

sinx

0

?0

，命題

q:?x?1

，

log

2

x?0

，則下列命題為真命題的是

（）

A．

p?q

B．

p??q

C．

?(p?q)

D．

?p?q

4．如圖為一幾何體的三視圖（圖中小方格的邊長為1），則該幾何體的體積為（）

A．9 B．18 C．24 D．36

2

5．已知點(diǎn)

(a,4)

為拋物線

C:y?4ax(a?0)

上一點(diǎn)，則C的焦點(diǎn)到直線

l:2x?y?1?0

的距離

gm

試卷

為（）

A．

5

B．

35

5

C．

3

D．

2

6．2021年元旦期間，某高速公路收費(fèi)站的四個高速收費(fèi)口每天通過的小汽車數(shù)

X

i

(i?1,2,3,4)

（單

位：輛）均服從正態(tài)分布

N600,

?

2

，若

P

?

500?X

i

?700

?

?

??

1

(i?1,2,3,4)

，假設(shè)四個收費(fèi)

3

口均能正常工作，則這四個收費(fèi)口每天至少有一個不低于700輛小汽車通過的概率為（）

A．

8

9

B．

8

27

C．

16

27

D．

65

81

7．已知角

?

?

A．

?4

9

?

的終邊經(jīng)過點(diǎn)

(?2,4)

，則

3sin

2

?

?sin(

?

?

?

)cos

?

?

（）

4

B．

?2

C．3 D．9

8．方程

lg|x|?3?

?

|x|?2020

??

|x|?2022

?

的解的個數(shù)為（）

A．2 B．4 C．6 D．8

9．已知函數(shù)

f(x)?3cos(

?

x?

?

)

（

A?0

，

?

?0

，

|

?

|?

點(diǎn)向右平移

?

2

）的圖象如圖，將

f(x)

的圖象上各

?

個單位長度后得到函數(shù)

g(x)

的圖象，則（）

6

A．

g(x)

在區(qū)間

?

?

?

??

?

,

?

上單調(diào)遞增

64

??

B．

g(x)

的圖象的最小正周期為

?

2

C．

g(x)

的圖象關(guān)于點(diǎn)

?

?

?

?

,0

?

對稱

3

??

D．

g(x)

的圖象關(guān)于直線

x?

?

對稱

22

10．已知圓

C:x?y?2x?0

與直線

l:mx?y?2m?0(m?0)

，過l上任意一點(diǎn)P向圓C引切

線，切點(diǎn)為A，B，若線段

AB

長度的最小值為

3

，則實(shí)數(shù)m的值為（）

gm

試卷

A．

3

2

B．

22

3

C．

33

4

D．

25

5

11．已知偶函數(shù)

f(x)

在

(??,0)

上單調(diào)遞減，若

a?fe

0,6

，

b?f(ln2)

，

c?flog

0,5

e

，則

a，b，c的大小關(guān)系是（）（參考數(shù)據(jù)：

2?1.414

，

e?2.71828

）

A．

a?b?c

B．

b?c?a

C．

c?b?a

D．

b?a?c

??

??

x

2

y

2

2222

12．已知雙曲線

C

1

:

2

?

2

?1

（

a?0

，

b?0

），圓

C

2

:(x?b)?(y?a)?ab

．下列判斷正

ab

確的是（）

A．點(diǎn)

C

2

在雙曲線

C

1

上

B．若雙曲線

C

1

的焦距為4，則圓

C

2

的半徑大于2

C．雙曲線

C

1

的頂點(diǎn)與點(diǎn)

C

2

構(gòu)成的三角形的面積為

ab

D．若圓

C

2

與x軸和雙曲線

C

1

的過第一象限的漸近線都相切，則雙曲線

C

1

的離心率為2

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．

13．已知菱形

ABCD

的邊長為2，E是

BC

的中點(diǎn)，則

AE?ED?

__________．

2

??

14．

?

3

x?

．

?

的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為__________（用數(shù)字作答）

x

??

15．已知銳角

△ABC

的面積為9，

AB?AC

，點(diǎn)D在邊

AC

上，且

CD?2DA?10

，則

BD

的

長為__________．

16．已知正三棱柱

ABC?A

1

B

1

C

1

的各條棱長均為1，則以點(diǎn)A為球心、1為半徑的球與正三棱柱各

個面的交線的長度之和為__________．

三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17~21題為必考題，每個

試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．

（一）必考題：共60分．

17．（本小題滿分12分）

2

已知數(shù)列

?

a

n

?

的前n項(xiàng)和為

S

n

，且

2S

n

?n?3n

，

10

（1）求

?

a

n

?

的通項(xiàng)公式；

?

1

?

（2）若

b

n

?

??

?

4

?

n?2

?a

n

，求數(shù)列

?

b

n

?

的前n項(xiàng)和

T

n

．

18．（本小題滿分12分）

gm

試卷

已知正方形

ABCD

的面積為36，如圖，

PA?

平面

ABCD

，

BE?2EC

，

3DF?DP

，

PD

與

底面

ABCD

所成角的正切值為

1

．

2

（1）求證：

EF∥

平面

PAB

；

（2）求二面角

A?EF?B

的余弦值．

19．（本小題滿分12分）

為了解社區(qū)居民的業(yè)余活動，某社區(qū)對100名居民業(yè)余活動是參加文藝活動還是參加體育活動進(jìn)行

問卷調(diào)查，數(shù)據(jù)如下表所示：

男性

女性

文藝活動

10

30

體育活動

40

20

（1）是否有99.9%的把握認(rèn)為參加文藝活動還是體育活動與性別有關(guān)？

（2）用頻率估計概率，從社區(qū)全體居民中隨機(jī)抽取3人，記X是所抽3人中參加文藝活動的人數(shù)，

求隨機(jī)變量X的分布列與期望

E(X)

．

附：

P

?

K

2

?k

?

k

2

0.025

5.024

0.010

6.635

0.005

7.879

0.001

10.828

n(ad?bc)

2

K?

(a?b)(c?d)(a?c)(b?d)

20．（本小題滿分12分）

x

2

y

2

1

已知橢圓

C:

2

?

2

?1(a?b?0)

的離心率為，以其左頂點(diǎn)、上頂點(diǎn)及左焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形

ab

2

的面積為

3

．

2

（1）求橢圓C的方程；

（2）直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，且

OA?OB?0

，證明：存在定點(diǎn)P，使得點(diǎn)P到直線l的

距離為定值．

21．（本小題滿分12分）

已知函數(shù)

f(x)?lnx?2x?

1

．

?a

（a為常數(shù)）

x

gm

試卷

（1）若

f(x)

的極大值是3，求a的值；

（2）當(dāng)

a?ln2

時，對任意

x?0

，

f(x)?

k1

?x?(k?Z)

恒成立，求整數(shù)k的最小值．

e

x

x

（二）選考題：共10分．請考生在第22、23兩題中任選一題作答．如果多做，則按所做的第一題

計分．

22．（本小題滿分10分）選修4—4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

?

3

x?3?t

?

?

2

（t為參數(shù)）在平面直角坐標(biāo)系

xOy

中，直線l的參數(shù)方程為：

?

，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極

?

y?

1

t

?

?2

2

點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為

?

sin

?

?4cos

?

?0

．

（1）求直線l的普通方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程；

（2）已知

P

0

(3,0)

，直線l與曲線C交于

P

1

，

P

2

兩點(diǎn)．求

P

0

P

1

?P

0

P

2

的值．

23．（本小題滿分10分）選修4—5：不等式選講

y

?1

．

4

（1）若

|7?y|?2x?3

，求x的取值范圍；

設(shè)實(shí)數(shù)x，y滿足

x?

（2）若

x?0

，

y?0

，求證：

xy?xy

．

涇縣中學(xué)2021~022高三年級質(zhì)量檢測卷·數(shù)學(xué)（理科）

參考答案、提示及評分細(xì)則

1．B由題意得

A?

?

x?

?

?

1?

?x?3

?

，

B?

?

xx?1

?

，所以

A?

?

R

B

?

?

?

x1?x?3

?

．故選B．

2

?

1?i?i

2

?i

3

?i

4

??i

2021

?i

2022

i11

???i

，所以2．C因?yàn)?/p>

1?i?i?i?0

，所以

z?

1?i1?i22

23

2

?

1

??

1

?

．故選C．

|z|?

??

?

??

?

222

????

3．D因?yàn)閷?/p>

?x?(0,

?

)

，

sinx?0

，故p為假命題，因?yàn)?/p>

y?log

2

x

在

(0,??)

上單調(diào)遞增，所以

22

log

2

x?log

2

1?0

，當(dāng)

x?1

時，故q為真命題，所以

p?q

、

p??q

、

?(p?q)

為假命題，

?p?q

為真命題．故選D．

4．B依題意，該幾何體是正方體中的一個三棱錐

D?ABC

，如圖，

gm

試卷

由已知得三棱錐

D?ABC

的底面

ABC

的面積為

為

?9?6?18

．故選B．

22

5．A由題意，得

16?4a(a?0)

，所以

a??2

，故C的方程為

y??8x

，故其焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為

1

?6?3?9

，高

BD?6

，所以該幾何體的體積

2

1

3

(?2,0)

，所以F到直線l的距離

d?

|2?(?2)?0?1|

?5

．故選A．

5

6．D根據(jù)正態(tài)曲線的對稱性，每個收費(fèi)口有不低于700輛小汽車通過的概率

P

?

X

i

?700

?

?

11

?

1

?

1

1?P500?X?700?

??

??

?

?

1?

?

?(i?1,2,3,4)

，所以這四個收費(fèi)口每天

i

?

22

?

3

?

3

4

?

1

?

65

至少有一個不低于700輛小汽車通過的概率

p?1?

?

1?

?

?

．故選D．

?

3

?

81

7．C因?yàn)榻?/p>

?

?

9

?

1

?

9

??

?

的終邊經(jīng)過點(diǎn)

(?2,4)

，所以

tan

?

?

?

?

?

??2

．即

tan

?

?

?

?

?

??2

，即

4

?

4

?

4

??

tan

?

?1

??2

，解得

tan

?

?3

，所以

3sin

2

?

?sin(

?

?

?

)cos

?

?3sin

2

?

?sin

?

cos

?

1?tan

?

3sin

2

?

?sin

?

cos

?

3tan

2

?

?tan

?

3?9?3

????3

．故選C．

222

sin

?

?cos

?

tan

?

?19?1

8．C方程

lg|x|?3?

?

|x|?2020

??

|x|?2022

?

解的個數(shù)等價于函數(shù)

y?lg|x|

的圖象與函數(shù)

畫出它們的圖象，易得其公共點(diǎn)的個數(shù)為6．故

y?3?

?

|x|?2020

??

|x|?2022

?

的圖象交點(diǎn)個數(shù)，

選C．

9．A依題意函數(shù)

f(x)

的圖象的最小正周期為

4

?

?

??

?

?

?

?

?

，所以

?

?2

，所以

312

??

?

?

?

?

??

2

?

?

?

?

?

?0

，因?yàn)?/p>

|

?

|?

，所以

?

??

，所以

f(x)?3cos(2x?

?

)

．由

f

??

?0

得

cos

?

26

?

3

?

?

3

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

f(x)?3cos

?

2x?

?

，由題意，得

g(x)?3cos

?

2

?

x?

?

?

?

?3cos

?

2x?

?

?3sin2x

，

6

?

6

?

6

?

2

?

?

?

?

?

故A正確，B、C、D錯誤．故選A．

gm

試卷

22

10．D圓

C:(x?1)?y?1

，設(shè)

?ACP?

?

?

0?

?

?

?

?

?

?

則

|AB|?2sin

?

，因?yàn)?/p>

|AB|

min

?3

，

?

，

2

?

所以

(sin

?

)

min

?

3

?

??

1

1

，又

0?

?

?

，所以

?

?

?

，又

|CP|?

，所以

|CP|

min

??2

，

?

2

232cos

?

cos

3

25

．故選D．

5

即

|m?2m|

m

2

?1

?2

，又

m?0

，所以

m?

11．B根據(jù)偶函數(shù)性質(zhì)，

f(x)

在

(0,??)

上單調(diào)遞增，

c?f

?

log

0.5

e

?

?f

?

?log

2

e

?

?f

?

log

2

e

?

，

0?ln2?lne?1

，

e

0.6

?1

，

log

2

e?1

，又

log

2

e?log

2

22?

3

3

?

9

?

0.6

，

e?e?

??

?

，故

2

2

?

4

?

1

2

1

2

ln2?log

2

e?e

0.6

，故

f(ln2)?f

?

log

0.5

e

?

?fe

0.6

，即

b?c?a

，故選B．

??

b

2

a

2

12．D對于A，由已知得點(diǎn)

C

2

(b,a)

，代入雙曲線得

2

?

2

?1

，不恒成立，故A錯誤；對于B，

ab

因?yàn)槿綦p曲線

C

1

的焦距為4，所以

a

2

?b

2

?4

，所以

ab?2

，當(dāng)且僅當(dāng)

a?b?2

時取等號，即

圓

C

2

的半徑不超過2，故B錯誤；對于C，由已知可得

C

1

的頂點(diǎn)與點(diǎn)

C

2

構(gòu)成的三角形的面積為

x

2

y

2

1

2

?2a?a?a

，故C錯誤；對于D，雙曲線

2

?

2

?1

（

a?0

，

b?0

）的過第一象限的漸近

ab

2

線方程為

bx?ay?0

，所以

b

2

?a

2

a

2

?b

2

?ab

，因?yàn)?/p>

a

2

?b

2

?c

2

，所以

b

2

?a

2

?abc

，由圓與x

1

，所以雙曲線的離心率

3

軸相切可得

a?ab

，即

b?1

，所以

1?a

2

?ac

且

a

2

?1?c

2

，解得

a

2

?

b

2

e?1?

2

?1?3?2

．所以D正確．

a

1111

BC?AB?AD

，

ED?EC?CD?BC?BA??AB?AD

,

2222

22

11

因?yàn)榱庑?/p>

ABCD

的邊長為2．所以

AE?ED?AD?AB??2

2

?2

2

??3

．

44

13．

?3

依題意

AE?AB?

14．3360

T

r?1

?C

10

?

r

?

x

?

3

10?r

20?5r

20?5r

?

2

?

rr

6

?

?

??(?2)?C?x

，令

?0

得

r?4

，所以展開式

10

?

6

x

??

r

gm