時-空守恒元解元(CESE)方法簡述

2024年3月18日發(作者：皂莢的功效與作用)

時－空守恒元解元（CE/SE）方法簡述

劉凱欣

1

，王景燾

1

，張德良

2

（1北京大學工學院 北京；2中國科學院力學研究所 北京）

摘 要：時－空守恒元解元方法是近年來興起的一種全新的高分辨率守恒方程型方程計算方法。它具有

物理概念清晰，計算精度高和格式構造簡單等優點，是一種具有廣闊發展前景的計算流體力學方法。本

文介紹了CE/SE方法的基本理論、格式構造、發展歷史、應用情況和最新進展，并指出了應解決的問題

和發展方向。

關鍵詞：CE/SE方法 計算流體力學 守恒律方程組

?

1 引言

經過40多年的發展，計算流體力學的數值模擬方法已經成為研究流體力學中各種物理現象的重

要工具，它已和實驗、理論分析一起構成研究流體運動規律的三大基本方法。有限差分方法是計算流

體力學問題的主要方法。人們為了追求計算結果的高精度和對間斷的高分辨率而發展了許多相當成功

的差分格式。其中TVD、ENO、NND等一批高分辨率差分方法能夠有效抑制非物理振蕩，對間斷具

有較高的分辨率；另外，以緊致格式為代表的格式在不減少格式精度的情況下，利用導數項有效地減

少了適用的基點數。近年來，數值方法研究又有新的突破，一些新型算法已經出現。其中有代表性的

算法有時空守恒的CE/SE方法

[1]

、由Boltzmann方程的思想出發的BGK格式

[2]

、基于有限元的間斷

Galerkin方法

[3]

以及基于攝動分析的攝動有限差分方法

[4]

。這些方法各有其自身的特點，在一定范圍

內能很好的模擬較為復雜的流場，為計算流體力學提供了有效工具。

時－空守恒元解元方法（Space-time conrvation element and solution element method, CE/SE）是

一種全新的守恒方程的計算方法。它最早是由NASA Lewis研究中心的S. C. Chang

[1]

于1995年提出來

的。這種方法從根本上區別于傳統的方法：它將時間和空間統一起來同等對待；利用守恒型積分方程，

通過定義解元和守恒元使得局部和整體都嚴格滿足守恒律；只要恰當的定義守恒元和解元的便可以直

接將格式推廣到多維情況，而不需要采用算子分裂或者方向交替技術；在給出網格點物理量值的同時

也給出了物理量的偏導數，同傳統的差分格式相比，在相同的基點下可以提高格式精度；可以滿意地

求解間斷流場，具有較高的分辨率；構造比較簡單，除了簡單的Taylor展開之外，沒有采用其他的數

值方法，尤其是不需要采用其他的特征分析數值方法（如Riemann求解器）來捕捉激波、抑制振蕩等。

本文首先介紹了CE/SE方法的基本原理，然后介紹了這個方法的發展歷史、應用現狀，最后指出

了當前需要解決的問題和發展方向。

2 CE/SE方法的基本原理

本節首先以最實用的

a?

α

格式

[5]

為例，簡要推導一下一維守恒律方程組的CE/SE格式。考慮一

維守恒律方程組

?

u

m

?

f

m

+=

0,

?

t

?

x

m

=

1,2,3

(1)

令

x

1

=x

，

x

2

=t

表示Euclidean空間

E

2

中的兩個坐標，利用散度定理式(1)可以表示為

?

國家自然科學基金資助項目 (10572002)

21

??

∫

S(V)

h

m

ids

=

0

(2)

向量

h

m

=

(

f

m

,

u

m

),

m=

1,2,3

這里

S(V)

是求解的時空區域V的邊界，

d

s

是

S(V)

外法線單位矢量，

是空間流矢量。將要求解的區域劃分成網格點集合

(j,n)

（如圖1所示），這里，

n=0,±1/2,±1,±

對于每一個

n

，

j=n±1/2,n±3/2,n±

。解元SE

(j,n)

是如圖1中所示的虛線的內部，而與

它相應的解元CE

(j,n)

如圖1中矩形區域ABCD，其中

(j,n)

左側的為CE

-

(j,n)

，右側的為CE

＋

(j,n)

。這樣我們就利用解元把

E

2

空間劃分為一些不重疊的矩形區域。假定在解元SE

(j,n)

中

**

u

m

(x,t)

和

f

m

(x,t)

分別由它們的Taylor展開

u

m

(x,t;j,n)

和

f

m

(x,t;j,n)

來近似，如果取到一階則

有

*

u

m

(

x

,

t

;

j

,

n

)=(

u

m

)

n

j

+(

u

mx

)

n

j

(

x

?

x

j

)+(

u

mt

)

n

j

(

t

?

t

n

)

(3)

*

f

m

(

x

,

t

;

j

,

n

)=(

f

m

)

n

j

+(

f

mx

)

n

j

(

x

?

x

j

)+(

f

mt

)

n

j

(

t

?

t

n

)

(4)

圖1 SE和CE的相對位置

將式(3)、(4)代入式(1)可以得到

(

u

mt

)

n

j

=?(

f

mx

)

n

j

(5)

由于

f

m

是

u

m

的函數，所以從式(5)可知我們要求解的變量有

u

m

和

u

mx

，然后我們就可以根據式(5)以

及

f

m

和

u

m

之間的關系得到

f

m

和

u

m

任意的一階導數。

引入勢函數

ψ

m

(x,t;j,n),m=1,2,3

滿足

?

ψ

m

*

(x,t;j,n)

=

f

m

?

t

(6)

?

ψ

m

*

(

x

,

t

;

j

,

n

)

?=

u

m

?

x

22