翻譯——拋物問題混合有限元逼近的后驗誤差估計

2023年12月28日發(作者：關于元宵節的古詩)

拋物問題混合有限元逼近的后驗誤差估計

摘要

對于拋物問題的混合形式，我們在空間上利用Raviart-Thomas-Nedelec元，在時間上采用向后歐拉法，得到了一個基于后驗誤差估計的殘差量。這個誤差范數是通過通量的能量范數在整個時間上的積分所定義的。為了得到一個最優上界，我們利用了逐單元后處理方法。對于橢圓問題來說這是一個很常用的技巧。最后的誤差上界包含了空間離散化誤差和時間離散化誤差等幾項。

1.引言

具有通量高精度的守恒方法通常利用的就是RTN元來減少計算量。在多孔介質流中，即一個典型的拋物壓力方程再加上一個波動方程，用到的就是這個方法。這個通量來自于壓力方程，然后在波動方程中變成了一個對流場。因此通量的誤差需要在全局范數上來控制。

準備工作 對于橢圓問題的混合方法，其后驗誤差估計已經得到了[4,6,7]。在文獻[6]中，得到了一個關于通量的H?div,??范數。這個H?div,??范數可以通過分部積分直接計算得到。當要估計通量的L2范數時，通量σ所在的空間要比位移量u所用的空間要大，例如RTN元空間，這是總所周知的困難所在。這個原因就是如果通量空間比位移量的空間要大，那么通過通量和位移量的梯度相關的方程a?1σ??u?0而產生的自然殘差量會變大。

在文獻[15]中，Lovadina和Stenberg得到了一個關于通量的L2范數的后驗誤差估計，這是基于RTN元的方法，其中利用了一個典型的對于u的近似解的后處理。這個證明基于一個用到后處理近似了的等效法的后驗誤差估計。在最近的文獻[13]中，得到了關于一簇元的后驗誤差估計。這里的估計和[15]中Lovadina和Stenberg得到的估計很接近，

但是這個證明更一般化，且表明了一個事實，即在殘量計算的時候可以利用任何分片多項式來對于位移量逼近。

關于拋物問題混合有限元法的文獻并不是太多。有關參考文獻包括了書[21]和隨后的工作[9]，其中得到了關于熱傳導方程的先驗誤差估計。在最近的文獻[8]中，得到了一個通量的散度在弱形式下的后驗誤差估計。這個后驗誤差估計的技巧揭示了一個固定問題如在文獻[13,15]中我們沒有把知識拓展到拋物問題上來。另外一方面，對于熱傳導的標準形式的后驗誤差估計，有廣泛的文獻如[10,22]。隨后橢圓重構的方法的被運用到來得到拋物問題的后驗誤差估計上，見文獻[2,11,12,16]。在這一類工作中，對于拋物問題來說，與相應的橢圓問題的有關的一個后驗誤差估計可以運用到誤差導數的估計上來。這里我們也運用了這個技巧。

新的貢獻 對于拋物問題我們在空間上利用RTN元，在時間上采用向后歐拉法，得到了一個關于通量在能量范數下的后驗誤差估計。在拋物方程誤差界的推導中，我們將橢圓重構的思想運用到了混合形式上，且利用了一個后驗誤差界，對于相對應的橢圓問題，這是眾所周知的最優階。

本文架構 我們通過一個模型問題開始，在第二部分中介紹有限元法。在第三部分中我們給出了一個后驗誤差估計。

2.連續問題和有限元法

2.1 連續問題

我們考慮具有齊次Neumann邊界條件的熱傳導方程的混合形式：求u和σ滿足

?. ????fin?,?u??a?1???u?0in?,

?in?,?u?u0

?n???0 on?,?t?0t?

0 (2.1)

t?0t?0?d?1,2,3，這里??Rd，是具有邊界?的多項式空間；f?x,t??L2???，滿足?f?x,t?dx?0；

W?x??。滿足?u0dx?0；滿足0?a0?a?x?，a?W1,????，u0?H1???，a0?R?，?1,????是由函數和其導數幾乎處處有界的函數構成的空間。此外，我們按如下規則令?為一個衡量問題正則性的參數。令1/2???1，則相應的橢圓問題為，求v且?vdx?0, 使得下?式成立

????a?v??

??n??v?0?x??x?? (2.2)

其中??L2???，且滿足??dx?0。這個問題有解v?H1?????，這里Hs???是具有光滑度s的Sobolev空間，見文獻[1]，且有

vH1??????C?L2??? (2.3)

這意味著，特別的，如果?是凸集，則在給定的關于a和f的假定下我們有??1。

在這些假定下，對于方程（2.1）存在一個唯一的弱形式滿足?udx?0，使得?σ?L2?[0,T],H0?div,???，這里21.?

，且H0?d,i??v??v?H?d,i??v:n?v?0o?nu?L?[0,T],H????，u?L??[0,T],H?1????，這些空間的具體定義見文獻[5]。

2.2 連續問題的弱形式

為了得到方程（2.1）的弱形式我們將（2.1）的第一個方程兩端都乘以檢驗函數w?L2???，第二個方程兩端都乘以檢驗函數v?H0?div,??，并積分，利用分部積分得到可以拋物方程的變分方程：即求

?u,???L2????H0?div,??

滿足如下方程：

???u?2???t,w??????,w???f,w? ?w?L??? ,t?0?????1?v?H?div,??,t?0 (2.4)

??a?,v??

?u,??v??0

?x???u?x,0??u0??其中??,??指的是L2???空間的內積。

2.3 離散空間和逼近性質

我們將時間區間?0,T?離散0?t0?t1???tN?T，對應的時間步長?n?tn?tn?1，n?1,?N。對于每一時間層，對空間?進行離散。我們令?h??K?是?的剖分，K是剖分單元，hK?diam?K?是單元的長度，dK是單元K的內含球的最大直徑。假設剖分單元是規則的，即存在常數C使得?K，hK/dK?C。為了計算簡單，我們假設所有時間層的區域剖分是相同的。在注釋3.3中討論了怎么將網格拓展到變網格上去。

定義離散的Raviart-Thomas-Nedelec有限元空間和差值函數。對于任意的k?0，K??h，有限元空間RTk?K?定義為

~d??k?K???k?K??x?k?K? (2.5)

~其中?k?K?是K上的k階多項式，Pk?K?是K上的k階齊次多項式。??k?K?上的差值函數定義如下，見文獻[3]第10頁的引理3.2：存在唯一的?Kv???k?K??v?H??T?，d使得下式成立

?如果k?1，還成立

Fi?Kv?nipkds??v?nipkds

?pk??k?Fi? (2.6)

Fi??TKv?pk-1dx??v?pk-1dx

?pk-1??k-1?T?d (2.7)

T其中Fi是單元K的邊界曲面，1/2???1，ni是曲面的外法向量。由插值函數的定義可以得到插值的最優誤差估計式?12?：?v?H??K?，有

dv-?KvL2?K???ChKvH??K?

(2.8)

其中C?0是常數。

我們還定義了L2?K?到Pk?K?的L2?K?投影。對于?p?Hm?T?

p-PKpL(K)2m?ChKpHm(K)

(2.9)

其中C?0是常數，0?m?k?1。

我們也定義了一個相對應的全局空間和一個全局插值。我們令

??k??v?H?di,v??:v|K???k?K?,K??h? (2.10)

和投影?:H?div,????K??hH??K????k，通過??v?|K??Kv,K??h所定義。對于標d量我們定義

?k?p?L2???:p|K??k?K?,K?? (2.11)

和投影P:L2?????k，通過?Pu?|K?PKu,K??h所定義。最后我們給出一個很有用的等式

???v?P??v (2.12)

對于所有的v?H?div,??，見文獻[3]。對于這些空間更完善的解釋，包括inf-sup條件，我們指的是文獻[5]中Brezzi-Fortin提到的。但是，我們的后驗誤差分析并沒有顯示的用到inf-sup條件。

2.4 有限元方法

我們構造了一個在時間上用向后歐拉法和在空間上用混合元法的格式。為了簡便起見，我們令vn是定義在時間tn上的一個函數且?tvn是時間上向后歐拉差分算子

?tv?n??vn-vn-1?n，

n?1,?,N

(2.13)

nn用這些記號我們有如下的數值格式：求uh??k和?h?RTk，對于任意的n?1,?,N，滿足

??u,w??????,w???fnth?1nhn,w? ?w?Pk

(2.14)

?a和初始條件

n?tσh,v????hn,??v??fn,??v? ?v?RTk

(2.15)

??0??u,w???u,w?　　　　　　?w??

(2.16)0hk?a?1?0,v????u0,v?=0 ?v?RTk (2.17)

hnn?，我們利用線性差值將其拓展到,uh通過離散格式可以求得在tn時刻的近似解?σh

?tn?1,tn?中的任意時間上

uh?t?tn?1?nnuh?tn?t?nn?1，?h?uht?tn?1?nn?h?tn?t?nn?1 (2.18)

?h?t??tn?1,tn?，n?0,1,?N。

3.后驗誤差估計

基于橢圓重構我們得到了對于誤差?a0T?1/2????h?L???的時空能量范數。這里引入一個22中間函數w，這個總誤差???h被分為兩部分???h????w???w??h?，這個w選取為橢圓重構在時間上的離散解。橢圓重構w按照很接近?h的w的Galerkin投影來構造。誤差的第二部分w??h可以利用橢圓問題的后驗誤差估計來估計。近些年已經得出了這些估計，見文獻[13,15,20]。為了估計誤差的第一部分??w，我們注意到它滿足一個具有右端項的拋物方程，則可以再一次的利用橢圓問題的后驗誤差估計。對于拋物問題，運用這個穩定估計我們得到了一個關于??w的后驗誤差。

注意到對于拋物方程來說這個逼近和標準先驗誤差分析很相似。在那里是把精確解到有限元空間的Ritz投影作為中間函數而不是橢圓重構的逼近解。總結一下這個思想就是誤差的一部分可以通過Ritz投影的先驗誤差估計來得到，第二部分可以注意到它滿足一個具有右端項的拋物方程，則可以再一次的利用Ritz投影的先驗誤差，參考文獻[14]了解更多的細節。

3.1

uh的后處理

為了得到后驗誤差估計的上界，我們需要對壓力進行后處理。我們利用文獻[15]中n,?nLovadina和Stenberg提出的后處理方法，記uh為uh的后處理結果，n?0,...,N，我們按照如下定義方式

n,?n,?定義3.1 （后處理方法） 求uh使得uh|K??k?1?K?滿足

n,?n

PKuh?uh|K (3.1)

和

n,?n,?v???a?1?h,?v?

?v?(I-K

??uhP)?k?1(K) (3.2)

KKn,?為了計算uh我們只需在每個單元上求解一個小的問題即可，因此總的計算量是非*常少的。我們利用線性插值定義在?0,T?上的uh

*

uh?t?tn?1?nn,*uh?tn?t?nn?1,* (3.3)

uh對?t??tn?1,tn?，n?0,1,?N。我們可以注意到對于所有的v???k，都有?u,??v???u,??v?成立。

*hh3.2 橢圓重構

nn?的橢圓重構?ωn,?n?定義為下面問題的解：求?ωn,?n? 滿足,uh數值解?σh???ndx?0， 下式成立

n????ωn?????h??1nn?aω????0?n?ωn?0?in ?in ? (3.4)

on ??nn由通量的邊界條件和Green公式知????hdx??n??hds?0。利用這個事實，我們知?nn,uh道上述問題在H?div,???L2???上是適定的。根據橢圓重構的定義知??h?是?ωn,?n?的有限元近似解。將tn時刻的解拓展到?tn?1,tn?中的任意時間上

?h?t?tn?1?nn?h?tn?t?nn?1,

ωh??ht?tn?1?nωnh?tn?t?n?1ωnh (3.5)

?t??tn?1,t?n，n?0,1,?N。

3.3 橢圓重構的一個后驗誤差估計

我們通過對于橢圓重構離散解和離散解之間的差得到一個后驗誤差估計開始分析。我們通過有界正數C來表示網格大小和時間步長之間的獨立性。

nn,uh引理3.1

令??h?是方程(2.14)-(2.17)的解，?ωn,?n?是由(3.4)式定義的{?hn,uhn}的橢圓

重構，則下面的后驗誤差估計式成立：

a－1/2?ω－??nnh2L2???2L???2?CK?Kh????2Tnhn,?,uh? (3.6)

n,??t??n?uh?2?2nn,??C?hT?T??t?h,?tuh?

(3.7)

T?Th?n?1,,?N，其中

2

?T?v,w??a－1v－?w2L2?T?－1?w?L2??T? (3.8)

?hK2n,*1/2???1是根據方程(2.3)而來的相應的橢圓重構的正則性參數。這里uh是按照定義3.1所定義的。

nn證明： 由于?h是wn,?n的Galerkin投影，我們可以利用文獻[13]中對于橢圓問題,uh????的混合有限元逼近的技巧來證明所期望的估計。

n首先證明(3.6)式，由???ωn??h??0和n??ωn??hn??0我們有

??　　　　　　　????,???ω????　　　　　　　???u,???ω????nnnhn,*hnnh　???n,ωn??hn????n,???ωn??hn???n,n??ωn??hn???? (3.9)

利用等式a?1ωn???n和(3.9)，我們可以得到

?ω?????＝　?a?ω???,ω???＝???,ω?????a?,ω???＝??u,???ω??????a?,ω???＝???u,ω?????aσ,ω?????ua－1/2nnhL2?－1nnhnnhnnnh－1nhnnhn,*hnnh－1nhnnhn,*hnK?KhnhK－1nhnnhKK?KhKK?Kh2

n,*hn,n??ωn??h???Knn,*n＝???a?1?h-?uh,ωn??h???uhn,*,n??ωn??hn????Knωn??h?K?Kh?nn,?a?1?h??uhL?K?2nωn??hL?K?2?K?Kh?h?1/2Tn,???uh??L??K?2L2?K?由于a是有界的，所以

v?1/2?CavL???2L2??? (3.10)

從而

a－1/2?ω－??nnh2L2????C?a?－?u－1nhK?Khn,?2hL2?K??h－1T??u??n,?h2L2??K? (3.11)

(3.6)式得證。

下面我們來證明(3.7)式。我們引入對偶問題：求??,??滿足

x???????????1

?a?????0x?? (3.12)

?n???0x???其中??H1?????，???H?????，??L2???，滿足??dx?0。根據對偶問題的定義，下d?面的等式成立

　??tm?n,??????　?a??tm?n,a?1????a?tm?n,????????tmωn,????　　　　　　　????tm??ωn,??????tm??σn,?????tmσn,?a?1??

(3.13)

　　　　　　　???a?1?tmσn,??n,*將(3.12)的第一個方程與?t?n?uh做L2???內積，并且利用等式(3.13)得：

???????u?,??＝?????u?,?????ntn,*hntn,*hnn,*＝??a?1?t?h,?????tuh,????nn,*＝??a?1?t?h,???T?????tuh，???????T???nn,*　　??a?1?t?h,?T?????tuh,????T???

(3.14)

利用等式(2.14)知

?a?1nn?t?h,?K????fn,???K???????h,???K?? (3.15)

n,*再根據uh的定義和等式(2.14)，我們可以得到

nn,*??a?1?t?h,?K?????tuh,????K????0 (3.16)

由Green公式得

????tK?Khnn,*?uh?,??KK?KK?Knn,*n,*＝???a?1?t?h,???K??????tuh,???K?????tuh,n?????K???nn,*n,*＝???a?1?t?h???tuh,???K??????tuh,n?????T???K?KhK?Khnn,*?C??t?a?1?h??tuh?K?Kh

(3.17)

L2?K????T?KL2?K??CK?Khh?n,*hT?1/2???tuh??L2??K????????hK?HL2?K??hK??(???K?)L2?K??利用差值誤差估計式(2.8)和穩定性估計式(2.3)得到

???K?L?K?2??K???ChK?L2?K? (3.18)

通過誤差估計式(2.12)我們可以得到下面的結論

??

hK??????KL?K?2?Ch?K?L2?K? (3.19)

?這里我們利用了hK?ChK，對于所有的0?hK?h0都成立，這里h0是最大的網格剖分參n,*數。最后我們令???t?n?uh，得到

???t???unn,*h?2L???2nn,*?C??t?a?1?h??tuh?K?KhL?K?2?hK?L2?K?　　　　　　　?C??由Holder不等式，有

n,??t??n-uh?2L2???K?Kh?h?1/2K???u??n,*thL2??K?hK?? (3.20)

L2?K?2???1nn,??C?hK??t?a?h??uh??K?Kh2?1n,????h?uKth??L2?K?2? (3.21)

?L2?K??從而引理4.1得證。 □

現在我們準備給出主要定理。

?定理3.1

令??,u?是方程(2.1)的解，??h,uh?是有限元格式(2.14)-(2.17)的解，uh?是uhn按照定義3.1所定義的后處理，則

?Tt0a?1/2????h?2L2???0,?dt?u0?uhN2L2???2?C?hT2??T??h0,uh0,??T?Th2L2?T?n,?n ?C???hhT2?tuh????h?fnn?1T?ThN2 ?C???h?T??hn,uhn,??

n?1T?ThN2 ?C???hhT2??T??t?hn,?tuhn,??n?1T?ThN2L2???2L2???

(3.22)

3n ?C??h?t?hn?1Ntn ?C?n?1tn?1?f?fndt其中1/2???1是根據方程(2.3)而來的相應的橢圓重構的正則性參數，2?T(v,w)?a－1v－?w2L2(T)－1?hK[w]L2(?T)。

2注釋3.1 定理3.1中的給出的誤差上界包含了7項。第一項和第二項衡量的是初始條件和它的逼近間的誤差的影響。接下來的三項衡量的是空間離散化的影響，第六項衡量的是時間離散化的影響，最后一項衡量的是右端項f和它在離散點間的差在時間上的影響。這個上界的形式和文獻[12]中的上界類似，在[12]中，對于熱傳導方程用到了相同的時間離散和一個標準的空間離散。

證明：我們首先將誤差分成兩部分

**

e?u?uh??u??????uh?e1?e2

(3.23)

??

?????h????ω???ω??h???1??2 (3.24)

由三角不等式知

2

a?1/?L???2/2?a?1?1L???2?a??21/22?I?II

(3.25)

L???接下來我們將分別估計這兩項。

I.

e1和ε1滿足下面的方程?t??tn?1,tn?，n?1,,?N

?,,v??????,v??e?,v?????ω,v???f,v????n,*nn,*n??u?h?h??fn,v???u,v??????h,v???f?fn,v????,v?????ω??h?,v

(3.26)

??令v?e1，我們對(3.26)左端兩項關于時間從0到Tt積分再利用Green公式得到

?1,e1?dt????0?e?0TtTt1d21122e1dtdx?e1?Tt?L2????e1?0?L2??? (3.27)

2dt22??

?????,e?dt?????,?e?dt????,a??dt???1011011011TtTtTtTt0a?1/2?12L2???dt

(3.28)

由(3.26)-(3.28)式我們可以得到

Tt221?1/2e1?T?t2??a?12dtL???L???02Ntn21n,*n?h?e1?0?L2?????u????h?fn,e1?dt??t2n?1n?1

(3.29)

Ntntn?1???n?1Ntntn?1?f?f,e1?dt???nn?1Ntntn?1?,e1?dt???????un,*hn?1????????,e?dtnh1?I.I????I.V

下面我們開始估計I.I?I.V各項.

0,*再利用三角不等式得

I.I.

對該項加一項減一項uh12u0??0L2???22110,*0,*2?u0?uh?u??

(3.30)

h0L2?L2?????2210,*22?200,?　　?u0?uh?C?hK??,uh??2KhL???2T?ThI.I?其中最后一步用到了引理3.1中m?0時的結論。

warz不等式和差值估計式(3-2-8)得

.

由于e1?L2???，知PTe1?PT。利用Cauchy-SchII　????n?1NNtntn?1tn??u??un,*hn????h?fn,e1?dtn????h?fn,e1?PTe1?dt

　????n?1Ntn?1tnn,*h

(3.31)

?C??n?1tn?1K?Kh?hKn,*n?tuh????h?fnL2?K??e1L2?K?L2?K?dt這里我們用到了插值估計式e1?Pke1L2?K??ChK?e1。由于?e1?a?1?1，我們得到

?Ntnn,*nII　?C????hT?tuh????h?fnt?n?1n?1T?Th

?L2?T???Tt0a?1/2ε12L2?T????e1L2?T?dt??

(3.32)

1/21/. 因為?e1dx?0，利用Poincare-Friedrich不等式和a的有界性，得到

?

e1L(?)2?C?e1L???2?Ca?1?12?Ca?1/2?12

(3.33)

L???L???利用Cauchy-Schwarz不等式得

NIII???tnn,e1?dtn?1tn?1?f?fN

???tnf?fne1n?1tn?1L2???L2???dt

?21/21/2??N?C?tnf?fndt???Nt2??n?1tn?1L2????????nen?1?tn?11L2???dt???.

利用Cauchy-Schwarz不等式我們可以得到

????tnt???u?n,*n?1?h,e1?dt

n?1N

???tn??

n,*h?

n?1tn?1t??uL2???e1L2???dt利用引理3.1的第二個不等式和不等式(3.33)，則有

1/2/2

?C?N????2?2??n?1ε/22?hhT?T?t?,hun?,?t??h2n?1K?K???dth???Tt0a1L?1

I.V.

利用橢圓重構的定義(3.4)得到

I.V???Ntn??nh?,e1n?1?tn?1??????dt??N?tn???nh????h,e1?dt

n?1tn?1?Nt??

????n?nh??dtn?1tn?1h,?e11/2?C?NtT?t?1/2???n?n2h??hn?1tn?L2???dt?1????0aε21L2???dt?1/2我們注意到?t??tn?1,tn?

(3.34)

(3.35)

(3.36)

(3.37)

n

?h??h?tn?t?n??nh???n1h???t?nt???t

n

h

(3.38)

所以

??n?1Ntntn?1???hnh2L2???3ndt?C??n?t?hn?1N2L2???

(3.39)

得到第I.V項的估計式

?N3n

I.V?C???n?t?h?n?12?dt?L2????1/2??Tt0a?1/2ε12L2???dt?1/2

(3.40)

利用I.I?I.V的估計式(3.30)、(3.32)、(3.34)、(3.36)和(3.40)，還有選取適當的?的Young不等式ab??a2/2?b2/?2??我們得到

0?,　I?u0?uhN2L????C?hK?2?K?2?h,u0h??0,K?Kh ?C?

?C?NNn?1K?Kh????2hKh?u?????f2h?K??t?hn,?tuhn,??2L2???2L2???n,?thnhn2L2?K?2?hK

(3.41)

n?1K?Kh3n ?C??h?t?hn?1Ntn ?C?n?1tn?1?f?fndtII.

由(3.3)和(3.5)的第二個等式知

?2?ω??h?t?tn?1?n?ωn??hn??tn?t?n?ωn?1n?1??h? (3.42)

利用引理4.1的第一個不等式得，?t??tn?1,tn?，n?1,,?N

a?1/2?2

L???2n?a?1/2?ωn??h?L2???n?1?a?1/2(ωn?1??h)1/2L2???1/2??2nn,??C???T?,u?hh???K?Kh???2n?1n?1,??C???T?,u?hh???K?Kh?

(3.43)

因此第II項的上界是

II?C?Nn?1K?Kh??2nn?,??,u??

(3.44)

nThh

則通過不等式(3.25)、(3.41)和(3.44)我們得到了定理的證明。

□

注釋3.2 在方程(2.17)中如果將a替換成與時間有關的a?tn?。誤差分析將會改變，第二項在最終的估計上的數值震蕩將會增加，那是因為a和a?tn?在每個時間區間上的差是成比例的。

注釋3.3 在本文中我們考慮的是一個靜態網格，在時間上沒有變化。很自然的拓展便是允許在不同的時間層有不同的網格剖分。特別的，為了提高逼近解得質量而構造自適應算法時這是非常有用的。混合元方法可以很容易的拓展到變網格上來，即將上一個時間層的網格上的解作為當前時間層的新網格的投影。在誤差分析中會引入一個新的項來衡量這個插值的誤差。這部分的分析在文獻[12]中的第3.7節可以看到。