圓的認(rèn)識 -- 知識點(diǎn)歸納

2024年1月4日發(fā)(作者：一件快樂的事)

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圓的認(rèn)識

圓的定義：

圓是一種幾何圖形。當(dāng)一條線段繞著它的一個(gè)端點(diǎn)在平面旋轉(zhuǎn)一周時(shí)，它的另一個(gè)端點(diǎn)的軌跡叫做圓。

在一個(gè)個(gè)平面，線段OA繞它固定的一個(gè)端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一周，另一個(gè)端點(diǎn)A隨之旋轉(zhuǎn)所形成的圖形叫做圓，固定的端點(diǎn)O叫做圓心，線段OA叫做半徑。

相關(guān)定義:

1 在同一平面，到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合叫做圓。這個(gè)定點(diǎn)叫做圓的圓心。圖形一周的長度，就是圓的周長。

2 連接圓心和圓上的任意一點(diǎn)的線段叫做半徑，字母表示為r。

3 通過圓心并且兩端都在圓上的線段叫做直徑，字母表示為d。直徑所在的直線是圓的對稱軸。

4 連接圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦。最長的弦是直徑,直徑是過圓心的弦。

5 圓上任意兩點(diǎn)間的局部叫做圓弧，簡稱弧。大于半圓的弧稱為優(yōu)弧，優(yōu)弧是用三個(gè)字母表示。小于半圓的弧稱為劣弧，劣弧用兩個(gè)字母表示。半圓既不是優(yōu)弧，也不是劣弧。優(yōu)弧是大于180度的弧，劣弧是小于180度的弧。

6 由兩條半徑和一段弧圍成的圖形叫做扇形。

7 由弦和它所對的一段弧圍成的圖形叫做弓形。

8 頂點(diǎn)在圓心上的角叫做圓心角。

9 頂點(diǎn)在圓周上，且它的兩邊分別與圓有另一個(gè)交點(diǎn)的角叫做圓周角。

10 圓周長度與圓的直徑長度的比值叫做圓周率。它是一個(gè)無限不循環(huán)小數(shù)，通常用π表示，π=3.14159265……在實(shí)際應(yīng)用中，一般取π≈3.14。

11圓周角等于一樣弧所對的圓心角的一半。

12 圓是一個(gè)正n邊形〔n為無限大的正整數(shù)〕，邊長無限接近0但不等于0。

圓的集合定義：

圓是平面到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合，其中定點(diǎn)是圓心，定長是半徑。

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圓的字母表示：

以點(diǎn)O為圓心的圓記作“⊙O〞，讀作O〞。

圓—⊙ ；

半徑—r或R〔在環(huán)形圓中外環(huán)半徑表示的字母〕；

弧—⌒ ；

直徑—d ；

- . 可修編.

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扇形弧長—L ；

周長—C ；

面積—S。

圓的性質(zhì):〔1〕圓是軸對稱圖形，其對稱軸是任意一條通過圓心的直線。

圓也是中心對稱圖形，其對稱中心是圓心。

垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的2條弧。

逆定理：平分弦〔不是直徑〕的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的2條弧。

〔2〕有關(guān)圓周角和圓心角的性質(zhì)和定理

① 在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角，兩個(gè)圓周角，兩組弧，兩條弦，兩條弦心距中有一組量相等，那么他們所對應(yīng)的其余各組量都分別相等。

②在同圓或等圓中，相等的弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半〔圓周角與圓心角在弦的同側(cè)〕。

直徑所對的圓周角是直角。90度的圓周角所對的弦是直徑。

圓心角計(jì)算公式： θ=(L/2πr)×360°=180°L/πr=L/r(弧度)。

即圓心角的度數(shù)等于它所對的弧的度數(shù)；圓周角的度數(shù)等于它所對的弧的度數(shù)的一半。

③ 如果一條弧的長是另一條弧的2倍，那么其所對的圓周角和圓心角是另一條弧的2倍。

〔3〕有關(guān)外接圓和切圓的性質(zhì)和定理

①一個(gè)三角形有唯一確定的外接圓和切圓。外接圓圓心是三角形各邊垂直平分線的交點(diǎn)，到三角形三個(gè)頂點(diǎn)距離相等；

②切圓的圓心是三角形各角平分線的交點(diǎn)，到三角形三邊距離相等。

③R=2S△÷L〔R：切圓半徑，S：三角形面積，L：三角形周長〕。

④兩相切圓的連心線過切點(diǎn)。〔連心線：兩個(gè)圓心相連的直線〕

⑤圓O中的弦PQ的中點(diǎn)M，過點(diǎn)M任作兩弦AB，CD，弦AD與BC分別交PQ于X，Y，那么M為XY之中點(diǎn)。

〔4〕如果兩圓相交，那么連接兩圓圓心的線段〔直線也可〕垂直平分公共弦。

〔5〕弦切角的度數(shù)等于它所夾的弧的度數(shù)的一半。

〔6〕圓角的度數(shù)等于這個(gè)角所對的弧的度數(shù)之和的一半。

〔7〕圓外角的度數(shù)等于這個(gè)角所截兩段弧的度數(shù)之差的一半。

〔8〕周長相等，圓面積比長方形、正方形、三角形的面積大。

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點(diǎn)、線、圓與圓的位置關(guān)系：

點(diǎn)和圓位置關(guān)系

①P在圓O外，那么 PO>r。

②P在圓O上，那么 PO=r。

③P在圓O，那么 0≤PO

反過來也是如此。

- . 可修編.

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直線和圓位置關(guān)系

①直線和圓無公共點(diǎn)，稱相離。 AB與圓O相離，d>r。

②直線和圓有兩個(gè)公共點(diǎn)，稱相交，這條直線叫做圓的割線。AB與⊙O相交，d

③直線和圓有且只有一公共點(diǎn)，稱相切，這條直線叫做圓的切線，這個(gè)唯一的公共點(diǎn)叫做切點(diǎn)。AB與⊙O相切，d=r。〔d為圓心到直線的距離〕

圓和圓位置關(guān)系

①無公共點(diǎn)，一圓在另一圓之外叫外離，在之叫含。

②有唯一公共點(diǎn)的，一圓在另一圓之外叫外切，在之叫切。

③有兩個(gè)公共點(diǎn)的叫相交。兩圓圓心之間的距離叫做圓心距。

設(shè)兩圓的半徑分別為R和r，且R〉r，圓心距為P，那么結(jié)論：外離P>R+r；外切P=R+r；含P

切P=R-r；相交R-r

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圓的計(jì)算公式:1.圓的周長C=2πr=或C=πd

2.圓的面積S=πr2

3.扇形弧長L=圓心角〔弧度制〕× r = n°πr/180°〔n為圓心角〕

4.扇形面積S=nπ r2/360=Lr/2〔L為扇形的弧長〕

5.圓的直徑 d=2r

6.圓錐側(cè)面積 S=πrl〔l為母線長〕

7.圓錐底面半徑 r=n°/360°L〔L為母線長〕〔r為底面半徑〕

圓的方程:1、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：在平面直角坐標(biāo)系中，以點(diǎn)O〔a，b〕為圓心，以r為半徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是

〔x-a〕2+〔y-b)2=r2。

特別地，以原點(diǎn)為圓心，半徑為r〔r>0〕的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2+y2=r2。

2、圓的一般方程：方程x2+y2+Dx+Ey+F=0可變形為〔x+D/2〕2+〔y+E/2〕2=〔D2+E2-4F〕/4.故有：

①當(dāng)D2+E2-4F>0時(shí)，方程表示以(-D/2,-E/2)為圓心，以〔√D2+E2-4F〕/2為半徑的圓；

②當(dāng)D2+E2-4F=0時(shí)，方程表示一個(gè)點(diǎn)〔-D/2，-E/2〕；

③當(dāng)D2+E2-4F<0時(shí)，方程不表示任何圖形。

3、圓的參數(shù)方程：以點(diǎn)O〔a，b〕為圓心，以r為半徑的圓的參數(shù)方程是 x=a+r*cosθ, y=b+r*sinθ, 〔其中θ為參數(shù)〕

圓的端點(diǎn)式：假設(shè)兩點(diǎn)A〔a1,b1〕,B〔a2,b2〕，那么以線段AB為直徑的圓的方程為 〔x-a1〕〔x-a2〕+〔y-b1〕〔y-b2〕=0

圓的離心率e=0，在圓上任意一點(diǎn)的曲率半徑都是r。

經(jīng)過圓x2+y2=r2上一點(diǎn)M〔a0，b0〕的切線方程為 a0·x+b0·y=r2

- . 可修編.

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在圓〔x2+y2=r2〕外一點(diǎn)M〔a0，b0〕引該圓的兩條切線，且兩切點(diǎn)為A,B，那么A,B兩點(diǎn)所在直線的方程也為 a0·x+b0·y=r2。

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圓的歷史: 圓形，是一個(gè)看來簡單，實(shí)際上是十分奇妙的形狀。古代人最早是從太陽、陰歷十五的月亮得到圓的概念的。在一萬八千年前的山頂洞人曾經(jīng)在獸牙、礫石和石珠上鉆孔，那些孔有的就很圓。到了器時(shí)代，許多器都是圓的。圓的器是將泥土放在一個(gè)轉(zhuǎn)盤上制成的。當(dāng)人們開場紡線，又制出了圓形的石紡錘或紡錘。古代人還發(fā)現(xiàn)搬運(yùn)圓的木頭時(shí)滾著走比擬省勁。后來他們在搬運(yùn)重物的時(shí)候，就把幾段圓木墊在大樹、大石頭下面滾著走，這樣當(dāng)然比扛著走省勁得多。

約在6000年前，美索不達(dá)米亞人，做出了世界上第一個(gè)輪子——圓型的木盤。大約在4000多年前，人們將圓的木盤固定在木架下，這就成了最初的車子。

會作圓，但不一定就懂得圓的性質(zhì)。古代埃及人就認(rèn)為：圓，是神賜給人的神圣圖形。一直到兩千多年前我國的墨子〔約公元前468-前376年〕才給圓下了一個(gè)定義：圓，一中同長也。意思是說：圓有一個(gè)圓心，圓心到圓周的長都相等。這個(gè)定義比希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得〔約公元前330-前275年〕給圓下定義要早100年。

任意一個(gè)圓的周長與它直徑的比值是一個(gè)固定的數(shù)，我們把它叫做圓周率，用字母π表示。它是一個(gè)無限不循環(huán)小數(shù)，π=3.1415926535……但在實(shí)際運(yùn)用中一般只取它的近似值，即π≈3.14.如果用C表示圓的周長：C=πd或C=2πr.?周髀算經(jīng)?上說"周三徑一"，把圓周率看成3，但是這只是一個(gè)近似值。美索不達(dá)來亞人在作第一個(gè)輪子的時(shí)候，也只知道圓周率是3。晉時(shí)期的徽于公元263年給?九章算術(shù)?作注時(shí)，發(fā)現(xiàn)"周三徑一"只是圓接正六邊形周長和直徑的比值。他創(chuàng)立了割圓術(shù)，認(rèn)為圓接正多連形邊數(shù)無限增加時(shí)，周長就越逼近圓周長。他算到圓接正3072邊形的圓周率，π= 3927/1250?；瞻褬O限的概念運(yùn)用于解決實(shí)際的數(shù)學(xué)問題之中，這在世界數(shù)學(xué)史上也是一項(xiàng)重大的成就。祖沖之〔公元429-500年〕在前人的計(jì)算根底上繼續(xù)推算，求出圓周率在3.1415926與3.1415927之間，是世界上最早的七位小數(shù)準(zhǔn)確值，他還用兩個(gè)分?jǐn)?shù)值來表示圓周率：22/7稱為約率，355/113稱為密率。 在歐洲，直到1000年后的十六世紀(jì)，德國人鄂圖〔公元1573年〕和安托尼茲才得到這個(gè)數(shù)值。現(xiàn)在有了電子計(jì)算機(jī)，圓周率已經(jīng)算到了小數(shù)點(diǎn)后六十萬億位小數(shù)了。

- . 可修編.