探討擺線及其相關問題

2024年2月12日發(作者：偷自行車的人)

探討擺線及其相關問題

1擺線的歷史

擺線最早可見于公元1501年出版的C·鮑威爾的一本書中，但在17世紀，大批卓越的數學家熱衷于發現這一曲線的性質。伽利略(1564年至1642年，意大利人）是最早注意到擺線的科學家之一，他猜測擺線一拱的面積是滾動圓面積的π倍，而擺線一拱的面積，是 Roberval在1634年最先求得的。較早對這種曲線給出定義的是法國數學家梅森(Marin Mernne,1588年至1648年），他于1615年把當車輪沿地面作無滑動的滾動時，車輪邊緣上一個定點的軌跡定義為旋輪線。之后，有許多著名的學者對擺線進行了長期的研究。例如，法國科學家帕斯卡(Blai Pascal1623年至1662年)于1658年出版了《擺線通論》，對擺線進行了充分的研究；還有瑞士數學家約翰·伯努利，意大利科學家伽利略，荷蘭物理學家C·Huygens等許多著名的學者都曾研究過擺線，得到了許多重要的成果。隨著科學技術的發展，擺線在生產實踐中的應用越來越廣泛。

2擺線及其性質

2.1擺線的定義及分類

（1）平面擺線，當一個圓在一直線上作不滑的滾動時，圓周上的點所描繪的旋輪線稱為擺線；圓內部的點所描繪的旋輪線稱為短擺線；圓外部的點所描繪的旋輪線稱為長擺線。短擺線與長擺線合稱為次擺線。通常，我們將圓稱為滾動圓、直線稱為底線。

擺線的參數方程：

(R為滾動圓半徑)

當一個小圓在一個大圓的內部沿著大圓作不滑的滾動時，小圓圓周上的點所描繪的旋輪線稱為內擺線；小圓內部與外部的點所描繪的旋輪線稱為內次擺線。當一個小圓在一個大圓的外部沿著大圓作不滑的滾動時，小圓圓周上的點所描繪的旋輪線稱為外擺線；小圓內部與外部的點所描繪的旋輪線稱為外次擺線。擺線、內擺線和外擺線都是平面擺線。因此，可以稱為平面擺線。

（2）球面擺線，擺線、內擺線和外擺線分別是動圓沿定直線或定圓滾動而無滑動時,動圓圓周上的一點的軌跡。事實上,平面擺線只是球面擺線的特殊情況。

當動圓和定圓的夾角為任意定值時，動圓圓周上一點的軌跡就是球面擺線這是因為它位于一個定球的球面上的緣故。當=0時，即為外擺線，當=時，即為內擺線，當定圓半徑R無限增大時，內外擺線就變成了擺線，上述平面和球面上的擺線，統稱擺線族曲線。

球面擺線的參數方程：

式中 m=r/Rr 是動圓的半徑R是定圓的半徑，為動圓和定圓二平面的夾角,為動圓半徑的旋轉角，0.0，若反向滾動則t取負值。

2.2擺線的性質

（1）擺線的幾何性質，擺線主要的幾何性質有五個：擺線的切線過動圓的頂點;擺線的法線過動圓的底點；擺線的切線與豎直線之間夾角的正弦和切點高的平方根之比是一個常數；擺線的一拱與其底線的面積等于滾動圓面積的三倍即3r2；擺線一拱長度為8r。擺線的五個性質，對內擺線和外擺線而言，只有前兩個性質成立，第三個性質則不能成立。擺線的第二個、第三個性質對球面擺線不成立。

（2）擺線的物理性質，在物理學中，擺線有兩項很重要的性質，稱為等時性質與最速降線性質。最速降線問題是1696年由伯努利提出，歷經菜布尼茲，牛頓，雅可比，伯努利等人的努力，最終得到軌道形狀是擺線。

3擺線的應用

由于擺線有許多優美的性質，所以有著廣闊的應用前景，下面對擺線的應用作以簡單的介紹。

時鐘和擺線有一定的關系，意大利科學家伽利略證明了單擺擺動的時間跟擺幅沒有關系，只跟單擺擺線的長度有關，但伽利略的觀察和實驗還不夠精確，如果用這種擺來制作時鐘，擺的振幅會因為摩擦和空氣阻力而愈來愈小，時鐘也因此愈來愈快。荷蘭科學家解決了這一問題，伽利略的單擺是在一段圓弧上擺動的，荷蘭科學家想要找出一條曲線，使擺沿著這樣的曲線擺動時，擺動周期完全與擺幅無關，經過很多失敗，這樣的曲線終于找到了，數學上把這種曲線叫做“擺線”。現在鐘表店里面那些有鐘擺的時鐘，都是利用擺線性質制作出來的。

般地，在前進的汽車的車輪上不可能有向后運動的點，因為汽車車輪上的點的運動軌跡只可能是普通

擺線或短擺線。但飛速前進的火車車輪上是可以找到向后運動的點的，因為火車車輪有著特殊的結構。它由三層圓盤重疊而成，外層的兩個圓盤半徑大于內層圓盤的半徑，當內層圓盤貼著鋼軌前進時，外層圓盤上就存在一部分長擺線的擺點。聯合收割機前面的拔禾滾輪的運動軌跡就是長擺線，我們可以看到它是打著圈前進的，首先垂直插入麥穗，再向后撥麥桿讓割刀切割后，再垂直抽起，這就是拔禾滾輪的工作原理。此外，目前擺線已被廣泛的應用在圖案設計，少齒差行星減速器，旋轉活塞發動機的缸體曲線，以及多邊形切削等。

4結語

本文先闡述了擺線的歷史。擺線，內擺線和外擺線是平面擺線，它們只是球面擺線的特殊情況，球面和平面上的擺線統稱擺線族曲線。擺線有許多重要性質，包括幾何性質和物理性質。最后對擺線的應用做以簡單的介紹。

在今后的研究中我將考慮如果一個圓不在一直線或圓上作不滑動滾動而是在其它曲線上如拋物線，橢圓等作不滑動滾動時，圓周上的點所描繪的是什么樣的曲線以及這時它具有什么樣的性質及應用。同理，如不是一個圓而是其它的圖形在直線或圓上做不滑動滾動時和任意圖形在任意曲線上做不滑動滾動時，圖形上的點所描繪的又是什么樣的曲線，這時性質，應用又是怎樣。