排列組合解題技巧歸納總結(jié)
排列組合問題聯(lián)系實(shí)際生動有趣，但題型多樣，思路靈活，因此解決排列組合問題，首先要認(rèn)真審題，弄清楚是排列問題、組合問題還是排列與組合綜合問題；其次要抓住問題的本質(zhì)特征，采用合理恰當(dāng)?shù)姆椒▉硖幚怼?/span>
教學(xué)內(nèi)容
1.分類計(jì)數(shù)原理(加法原理)
完成一件事，有n 類辦法，在第1類辦法中有1m 種不同的方法，在第2類辦法中有2m 種不同的方法，…，在第n 類辦法中有
m 種不同的方法，那么完成這件事共有：
種不同的方法．
2.分步計(jì)數(shù)原理（乘法原理）
完成一件事，需要分成n
個步驟，做第1步有1m 種不同的方法，做第2步有2m 種不同的方法，…，做第n
步有m 種不同的方法，那么完成這件事共有：
種不同的方法．
3.分類計(jì)數(shù)原理分步計(jì)數(shù)原理區(qū)別
分類計(jì)數(shù)原理方法相互獨(dú)立，任何一種方法都可以獨(dú)立地完成這件事。
分步計(jì)數(shù)原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一個階段，不能完成整個事件．
解決排列組合綜合性問題的一般過程如下: 1.認(rèn)真審題弄清要做什么事
2.怎樣做才能完成所要做的事，即采取分步還是分類，或是分步與分類同時進(jìn)行，確定分多少步及多少類。
3.確定每一步或每一類是排列問題(有序)還是組合(無序)問題，元素總數(shù)是多少及取出多少個元素.
4.解決排列組合綜合性問題，往往類與步交叉，因此必須掌握一些常用的解題策略 一.特殊元素和特殊位置優(yōu)先策略
例1.由0,1,2,3,4,5可以組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字五位奇數(shù).
解：由于末位和首位有特殊要求，應(yīng)該優(yōu)先安排，以免不合要求的元素占了這兩個位置.
先排末位共有1
3C
然后排首位共有1
4C 最后排其它位置共有34A
由分步計(jì)數(shù)原理得113434288C C A =
練習(xí)題:7種不同的花種在排成一列的花盆里，若兩種葵花不種在中間，也不種在兩
端的花盆里，問有多少不同的種法？
二.相鄰元素捆綁策略
例2. 7人站成一排 ，其中甲乙相鄰且丙丁相鄰, 共有多少種不同的排法.
解：可先將甲乙兩元素捆綁成整體并看成一個復(fù)合元素，同時丙丁也看成一個復(fù)合
元素，再與其它元素進(jìn)行排列，同時對相鄰元素內(nèi)部進(jìn)行自排。由分步計(jì)數(shù)原理可得共有522522480A A A 種不同的排法
練習(xí)題：某人射擊8槍，命中4槍，4槍命中恰好有
3槍連在一起的情形的不同種數(shù)為 20
三.不相鄰問題插空策略
例3.一個晚會的節(jié)目有4個舞蹈,2個相聲,3個獨(dú)唱，舞蹈節(jié)目不能連續(xù)出場，則節(jié)
目的出場順序有多少種？
解：分兩步進(jìn)行第一步排2個相聲和3個獨(dú)唱共有55A 種，第二步將4舞蹈插入第一
步排好的6個元素中間包含首尾兩個空位共有種4
6A 不同的方法，由分步計(jì)數(shù)原理,
節(jié)目的不同順序共有54
56A A 種
練習(xí)題：某班新年聯(lián)歡會原定的5個節(jié)目已排成節(jié)目單，開演前又增加了兩個新節(jié)目.如果將這兩個新節(jié)目插入原節(jié)目單中，且兩個新節(jié)目不相鄰，那么不同插法的種數(shù)為 30
四.定序問題倍縮空位插入策略
例人排隊(duì)，其中甲乙丙3人順序一定共有多少不同的排法
解:(倍縮法)對于某幾個元素順序一定的排列問題，可先把這幾個元素與其他元素一
起進(jìn)行排列，然后用總排列數(shù)除以這幾個元素之間的全排列數(shù)，則共有
不同排法種數(shù)是：73
73/A A
(空位法)設(shè)想有7把椅子讓除甲乙丙以外的四人就坐共有4
7A 種方法，其余的三
個位置甲乙丙共有 1種坐法，則共有4
7A 種方法。
思考：可以先讓甲乙丙就坐嗎?
（插入法)先排甲乙丙三個人，共有1種排法，再把其余4四人依次插入共有 方法
練習(xí)題:10人身高各不相等，排成前后排，每排5人，要求從左至右身高逐漸增加，
共有多少排法？ 5
10C
五.重排問題求冪策略
例5.把6名實(shí)習(xí)生分配到7個車間實(shí)習(xí)，共有多少種不同的分法
解：完成此事共分六步：把第一名實(shí)習(xí)生分配到車間有 7 種分法.把第二名實(shí)習(xí)生分配到車間也有7種分依此類推，由分步計(jì)數(shù)原理共有67種不同的排法
練習(xí)題：
1． 某班新年聯(lián)歡會原定的5個節(jié)目已排成節(jié)目單，開演前又增加了兩個新節(jié)目.如果將這兩個節(jié)目插入原節(jié)目單中，那么不同插法的種數(shù)為 42
2. 某8層大樓一樓電梯上來8名乘客人，他們到各自的一層下電梯，下電梯的方法87 六.環(huán)排問題線排策略
例6. 8人圍桌而坐，共有多少種坐法?
解：圍桌而坐與坐成一排的不同點(diǎn)在于，坐成圓形沒有首尾之分，所以固定一人44
A 并從此位置把圓形展成直線其余7人共有（8-1）！種排法即7！
A B C D E A
E H G F
練習(xí)題：6顆顏色不同的鉆石，可穿成幾種鉆石圈 120 七.多排問題直排策略
例人排成前后兩排，每排4人，其中甲乙在前排，丙在后排，共有多少排法
解:8人排前后兩排，相當(dāng)于8人坐8把椅子，可以把椅子排成一排.個特殊元素有
24A 種，再排后4個位置上的特殊元素丙有1
4A 種，其余的5人在5個位置上任意
允許重復(fù)的排列問題的特點(diǎn)是以元素為研究對象，元素不受位置的約束，可以逐一安排各個元素的位置，一般地n 不同的元素沒有限制地安排在m 個位置上的排列數(shù)為n m 種
一般地,n 個不同元素作圓形排列，共有(n-1)!種排法.如果從n 個不同元素中取出m 個元素作圓形排列共有1m
n A n
排列有55A 種，則共有215
445A A A 種
練習(xí)題：有兩排座位，前排11個座位，后排12個座位，現(xiàn)安排2人就座規(guī)定前排
中間的3個座位不能坐，并且這2人不左右相鄰，那么不同排法的種數(shù)是 346
八.排列組合混合問題先選后排策略
例8.有5個不同的小球，裝入4個不同的盒內(nèi)，每盒至少裝一個球，共有多少不同的裝法.
解：第一步從5個球中選出2個組成復(fù)合元共有25C 種方法.再把4個元素(包含一
個復(fù)合元素)裝入4個不同的盒內(nèi)有44A 種方法，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理裝球的方
法共有2454C A
練習(xí)題：一個班有6名戰(zhàn)士，其中正副班長各1人現(xiàn)從中選4人完成四種不同的任務(wù),
每人完成一種任務(wù)，且正副班長有且只有1人參加，則不同的選法有 192 種
九.小集團(tuán)問題先整體后局部策略
例9.用1,2,3,4,5組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)其中恰有兩個偶數(shù)夾1,５在兩個奇數(shù)
之間，這樣的五位數(shù)有多少個？
解：把１,５,２,４當(dāng)作一個小集團(tuán)與３排隊(duì)共有22A 種排法，再排小集團(tuán)內(nèi)部共
有2222A A 種排法，由分步計(jì)數(shù)原理共有222
222A A A 種排法.
練習(xí)題：
１.計(jì)劃展出10幅不同的畫，其中1幅水彩畫,４幅油畫,５幅國畫, 排成一行陳列，要求同一 品種的必須連在一起，并且水彩畫不在兩端，那么共有陳列方
式的種數(shù)為254
254A A A
2. 5男生和５女生站成一排照像，男生相鄰，女生也相鄰的排法有255
255A A A 種
十.元素相同問題隔板策略
例10.有10個運(yùn)動員名額，分給7個班，每班至少一個，有多少種分配方案？ 解：因?yàn)?0個名額沒有差別，把它們排成一排。相鄰名額之間形成９個空隙。
一般地，元素分成多排的排列問題，可歸結(jié)為一排考慮，再分段研
小集團(tuán)排列問題中，先整體后局部，再結(jié)合其它策略進(jìn)行處理。
在９個空檔中選６個位置插個隔板，可把名額分成７份，對應(yīng)地分給７個班級，每一種插板方法對應(yīng)一種分法共有69C 種分法。
一班二班三班四
班六班七班
練習(xí)題：
1． 10個相同的球裝5個盒中，每盒至少一有多少裝法 49C
2 .100x y z w +++=求這個方程組的自然數(shù)解的組數(shù) 3
103C 十一.正難則反總體淘汰策略
例11.從0,1,2,3,4,5,6,7,8,9這十個數(shù)字中取出三個數(shù)，使其和為不小于10的偶數(shù)，不同的
取法有多少種？
解：這問題中如果直接求不小于10的偶數(shù)很困難，可用總體淘汰法。這十個數(shù)字中有5個偶數(shù)5個奇數(shù)，所取的三個數(shù)含有3個偶數(shù)的取法有35C ，只含有1個
偶數(shù)的取法有1255C C ，和為偶數(shù)的取法共有123555C C C +。再淘汰和小于10的偶數(shù)共9種，符合條件的取法共有123
5
559C C C +-
練習(xí)題：我們班里有43位同學(xué)，從中任抽5人，正、副班長、團(tuán)支部書記至少有一人在內(nèi)的
抽法有多少種?
十二.平均分組問題除法策略
例12. 6本不同的書平均分成3堆，每堆2本共有多少分法？
解: 分三步取書得222642C C C 種方法，但這里出現(xiàn)重復(fù)計(jì)數(shù)的現(xiàn)象，不妨記6本書為
ABCDEF ，若第一步取AB，第二步取CD，第三步取EF 該分法記為(AB,CD,EF),
則222642C C C 中還有(AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB)(EF,CD,AB),(EF,AB,CD)共有33A 種取
將n 個相同的元素分成m 份（n ，m 為正整數(shù)），每份至少一個元素，可以用m-1塊隔板，插入n 個元素排成一排的n-1個空隙中，所有分法數(shù)為1
1m n C -- 有些排列組合問題，正面直接考慮比較復(fù)雜，而它的反面往往比較簡捷，可以先求出
它的反面，再從整體中淘汰.
