不完全市場下投資組合選擇的鞅方法
【摘要】介紹了投資組合選擇理論的產生和新的發展，在總結不完全市場下假設下投資組合選擇的鞅方法的基礎上，對其理論進行了詳細的描述。
【關鍵詞】不完全市場，投資組合選擇，隨機控制論，鞅方法
1、引言
投資組合選擇理論被定義為最佳風險管理的定量分析。投資組合選擇主要是投資者把擁有的財富投資到不同的資產中，以達到風險和確保收益的目的。其本質上就是一個金融優化問題的研究。1952年，美國經濟學家markowitz（1952）首次提出投資組合理論，并進行了全面深入和開創性的研究，他利用了均值和方差的概念來分析資產的收益和風險[1]。它極大地推動了現代金融學的產生和發展，也掀起了華爾街的第一次革命。
投資組合選擇理論最大的應用就是證券投資上面，尤其是基金管理行業。證券投資基金起源于英國投資信托公司，發展與美國證券投資市場。在markowitz之前，基金經理很難去風險有很好的刻畫，均值方差投資理論給基金管理行業提供了重要的理論依據。隨著各種理論模型
的提出，極大地促進了投資組合選擇理論的發展，也推動了證券投資行業的興起和繁榮。
金融市場可以分為完全市場和不完全市場，從50年代以來，投資組合的研究主要集中在完全市場，并且已經有了很多豐富的理論成果。但是現實的市場多數都是不完全的，完全市場的假設往往和實際相違背，于是80年代末90年代初起，開始進行了對不完全市場下的投資組合的研究[2-4]。研究的方法主要集中在兩種：（1）控制論方法，（2）鞅方法。本文主要是在研究大量文獻的基礎上，總結和分析在不完全市場下投資組合選擇的鞅方法。
2、鞅和對偶方法
鞅方法主要就是思想是把一個動態的最優問題，轉化為一個靜態的最優問題。pagès（1987）最早采用鞅方法來研究不完全市場下的投資組合選擇問題，并且提出了等價鞅測度的思想[2]。he和pearson（1988）繼續了pagès的工作，重點討論了如何需找最大的等價鞅測度，并且定義了arrow-debreu狀態價格[3]。karatzas、lehoczky、shreves和xu（1991）用鞅和對偶的方法，通過增加“虛擬”股票，得到了與完全市場相一致的最優投資組合。這幾位學者都通過假設股票數量小于brownian運動個數來刻畫市場的不完全性[4]。總結起來，可以概括為：
