考慮決策單元競爭合作動態變化的DEA博弈交叉效率方法

考慮決策單元競爭合作動態變化的DEA博弈交叉效率方法

張圣宗;鞏在武

【摘 要】Using DEA to evaluate relative efficiency,DMUs (decision making

units) often needs to consider multiple competitive and

cooperative relationships between DMUs will also change with the change

of gh the traditional competitive and cooperative model

considers the situation that competition and cooperation between DMUs

occur simultaneously,it ignores the dynamic change of competition and

ing the competitive and cooperative strategy as the

importance of different objectives without the need for specifying the

exact assurance regions.%利用DEA方法進行相對效率評估時,決策單元通常需

要考慮多重目標,且隨著目標的變化,決策單元間競爭合作狀態也會發生動態變化.傳

統競合模型雖然考慮了決策單元間競爭與合作同時存在的現象,但忽視了競爭合作

關系動態變化的過程.本文以競爭合作對策為切入點,將多目標規劃中的優先因子引

入傳統DEA博弈交叉效率模型中,提出了帶有優先等級的多目標DEA博弈交叉效

率模型,即動態競合博弈交叉效率模型.該模型充分體現了不同目標下決策單元間競

爭合作關系的動態變化,其焦點由傳統競合模型對多重最優權重現象的改善,轉向對

最優效率得分的直接尋找.利用DEA動態競合博弈交叉效率模型,本文對環境污染約

束下2014年長三角地區制造業投入產出績效進行了客觀的評估.分析結果表

明:DEA動態競合博弈交叉效率模型收斂速度優于傳統DEA博弈交叉效率模型,其

交叉效率得分收斂于唯一的納什均衡點;不同目標重要性的差異程度,對最終排名結

果不產生明顯影響,不需要確切指出.

【期刊名稱】《運籌與管理》

【年(卷),期】2017(026)005

【總頁數】8頁(P21-27,36)

【關鍵詞】DEA;博弈;交叉效率;動態變化;競爭;合作

【作 者】張圣宗;鞏在武

【作者單位】南京信息工程大學經濟管理學院;中國制造業發展研究院,江蘇南京

210044;南京信息工程大學經濟管理學院;中國制造業發展研究院,江蘇南京

210044

【正文語種】中 文

【中圖分類】C934

由Charnes[1]發展起來的數據包絡分析(DEA：data envelopment analysis)方法，

作為一種數學規劃方法，被廣泛應用于評價具有多投入多產出特征的決策單元相對

效率[2～4]。然而，傳統DEA模型(如CCR模型)是純自評模型，在最優權重選擇

時，被評價決策單元僅追求自身效率最大化，導致不合理的極端權重。交叉效率理

論[5,6]利用決策單元之間的互評來代替傳統DEA模型自我評價體系，使得被評價

決策單元效率得分不僅依賴于自身最優權重，也取決于其他決策單元的最優權重。

由于交叉效率能從全局最優的角度對決策單元進行完全排序，很快在許多DEA應

用中流行[7～9]。雖然交叉效率被證明能有效解決決策單元全排序問題，但仍存在

一些弊端，其中，交叉效率模型會因計算軟件等因素的不同產生不唯一的交叉效率

得分。為改善多重最優權重現象，學者們引入二次目標，以被評價決策單元自身效

率最大化為前提，以最小化或最大化其他決策單元總效率為目標，提出進取型

(Aggressive Strategy)或仁慈型(Benevolent Strategy)兩類二次目標交叉效率模

型。進取型模型或仁慈型模型能有效改善最優權重束的選擇，但交叉效率得分不唯

一的現象仍然存在，且兩類模型分別對應的應用場景還缺乏一個公認的學術準則，

降低了此類改進方法的有效性。此外，其他學者也提出不同的方法來緩解交叉效率

不唯一的問題[10～14]。其中，Banker R D[15]首次將DEA模型與博弈理論相結

合，考慮無約束二人零和有限博弈，對CCR模型做了新的解釋。隨后，Liang

L[16]將博弈理論與交叉效率結合，提出博弈交叉效率方法。該方法中，決策單元

被視為博弈中的參與者，交叉效率得分被看作收益。在非合作博弈立場中，被評價

決策單元在其他決策單元交叉效率不減約束下最大化自身收益。該文章詳細論述了

獲取最優博弈交叉效率得分的迭代算法，并證明非合作博弈交叉效率模型可以獲得

納什均衡解。

DEA博弈交叉效率模型彌補了交叉效率模型用于多屬性綜合評價時結果不唯一的

缺陷，并提升了評價結果的區分度和合理性，因此很快得到了廣泛的應用。Wu J

采用DEA博弈交叉效率評價方法改良VRS(variable returns to scale)模型，并將

其應用于分析夏季奧運會排名中，指出金牌、銀牌和銅牌的相對重要性不需要指定

某個特定的范圍[17]。隨后，Wu J 又通過延伸DEA博弈交叉效率模型對多目標決

策中的備選方案進行評估和排序[18]。Lotfi F H[19]和張啟平[20]也分別對納什討

價還價博弈模型做了進一步的擴展。

上述研究無論在理論上還是在應用中，很少考慮決策單元之間同時存在競爭與合作

的復雜關系，而是簡單地把所有決策單元看作盟友或敵對關系。在實際中，一些決

策單元之間表現出同盟或合作關系，而另一些決策單元之間則表現出敵對或競爭關

系?？紤]到決策單元之間競爭與合作共存這一事實，孫加森提出兩個不同的競爭合

作交叉效率模型，分別對應于不同的博弈應用問題[21]。Yang F 則提出一種競合

DEA交叉效率方法，將所有決策單元分為若干組，各個決策單元的偏好權重能最

大化盟友的總效率而最小化敵對方的總效率[22]。上述兩篇文章均考慮了決策單元

間競爭與合作同時存在的現象，以被評價決策單元自評所能實現的最大效率，并保

持這種效率不變為前提，尋找最大化盟友個體或總體效率而最小化敵對方個體或總

體效率的偏好權重。換句話說，這兩篇文章關注點在于最優偏好權重的選取，實質

是對多重最優權重問題的改善，其交叉效率得分仍存在不唯一的現象。并且，被評

價決策單元在自評角度下所得到的最大效率過于理想，以保持這種效率不變為先決

條件，本身就不合理。上述模型雖考慮了決策單元間競爭與合作同時存在的現象，

但忽視了競爭與合作關系的動態變化過程。

實際中，決策單元在選擇最優偏好權重時，通常需要考慮多重利益目標，且這些利

益目標之間具有不同的重要性，即優先等級。通常，只有當上一級利益目標處于穩

定狀態(已實現)，下一級利益目標才得以考慮?？紤]的利益目標不同，決策單元間

的競爭合作狀態也可能發生變化。在某個決策單元選擇最優偏好權重時，被評價決

策單元出于某種利益目標與其他一些決策單元結盟(所形成的群體稱為同盟集合)。

當這一利益目標達到穩定狀態后，被評價決策單元又將考慮次級重要的利益目標。

此時，在上一級利益目標與被評價決策單元為合作關系的決策單元，可能因為利益

立場的不同而產生分歧，導致同盟集合分裂成若干個子同盟集合(本文假設已成為

敵對關系的決策單元在今后不再結為盟友)。決策單元間的競爭合作關系發生動態

變化，形成新的競合狀態。依次類推，到最后一級利益目標時，被評價決策單元與

其他決策單元間僅存在競爭關系(其他決策單元間可能還存在合作關系)。由此可見，

隨著利益目標的變化，決策單元間的競爭合作關系并不是某種固定狀態，應是一個

動態變化的復雜過程。因此，合理的權重體系不僅要考慮不同的決策單元間的不同

關聯關系，還應考慮這種關聯關系的動態變化過程。

為了充分反映決策單元間競爭合作關系的動態變化，本文在DEA博弈交叉效率模

型的基礎上，以競爭合作對策為切入點，引入多目標規劃中的優先因子，提出了帶

有優先等級的多目標DEA博弈交叉效率模型，即動態競合博弈交叉效率模型。與

以往模型相比，動態競合博弈交叉效率模型具有以下優點：

·引入多目標規劃，并以優先因子刻畫不同目標的重要性差異，充分體現不同利益

目標下決策單元間競爭合作關系的動態變化。

·該模型將決策單元所能實現的最優效率作為未知量參與計算，而不是以被評價決

策單元自評所能實現的最大效率，并保持這種效率不變為先決條件，其計算結果更

具合理性。

·該模型聚焦于最優交叉效率得分的尋找，而不是對多重最優權重引起的交叉效率

得分不唯一問題的改善。不管存在多重最優權重與否，其結果均收斂于唯一的納什

均衡點，得到的博弈交叉效率得分是唯一的。

根據常規DEA模型，假設有n個城市，每個城市看作一個決策單元(DMU：

decision making unit)，其中DMUj(j=1,2,…,n)，投入m種不同的資源生產得到

s種不同的產出，DMUj的投入產出向量分別記作：

傳統CCR模型如下：

基于競爭合作對策視角，本文將式(1)轉換為式(2)：

min δd

其中ωid，μrd分別為投入和產出的權重。δd是一個偏移變量，表示DMUd的

產出與投入之間的距離，δd越小，DMUd的效率值越大。實驗證明，多重最優權

重有可能造成模型(1)與模型(2)所計算的最優權重不相等，但無論最優權重唯一與

否，總有其中為模型(1)目標函數最優值為模型(2)目標函數最優值。

1.1 具有多級目標的DEA動態競合模型

為了充分體現決策單元間競爭合作關系的動態變化，本文將多目標規劃中的優先因

子引入模型(2)中，給予不同目標不同的重要性，并賦予逐級遞減的優先因子(即上

一級目標重要程度始終高于下一級目標重要程度)，構建具有多級目標的DEA動態

競合模型(模型(3)所示)。min p1(δ1-ε1)+…+pTd(δd-εTd)

其中，td=1,2,…,Td表示DMUd逐級考慮的目標，當td=Td時，DMUd與所有

其他決策單元僅存在競爭關系。通常d(d=1,2,…,n)的取值不同，Td取值可能不同

(具體表現形式在案例分析中將進行詳細的闡述)。p1,p1,…,pTd表示對不同等級的

目標賦予的優先因子，且滿足約束(3-7)，即目標的重要程度隨td的增加呈遞減趨

勢，上一級目標的重要程度高于下一級目標的重要程度。(td=1,2,…,Td-1)表示考

慮第td級目標時，該集合里的所有決策單元與DMUd是合作關系(包括DMUd)。

當td=Td時，={DMUd}，即DMUd自身效率最大化(約束(3-4)所示)；

(td=1,2,…,Td)表示考慮第td級目標時，新增加的與DMUd為競爭關系的決策單

元組成的集合。δtd=(td=1,2,…,Td-1)表示考慮第td級目標時，同盟集合產出與

投入的距離，δd越小，同盟集合的總效率值越大(約束(3-2)所示)；

εtd(td=1,2,…,Td)表示考慮第td級目標時，敵對集合產出與投入的距離，-εtd越

小，敵對集合的總效率值越小(約束(3-3)、(3-5)所示)。為避免出現零權重，本文

引入一個非阿基米德無窮小量ξ(ξ>0)，確保每個投入和產出都能參與效率評估(約

束(3-8)所示)[23]。

求解模型(3)，可得DMUd的自評效率Edd=1-δd以及相對應的投入和產出最優

權重和本文定義DMUj基于DMUd的最優權重的交叉效率為：

DMUj(j=,12,…,n)交叉效率得分定義為：

1.2 具有多級目標的動態競合博弈交叉效率模型

模型(3)在求解過程中往往存在多組最優權重，導致通過式(4)和式(5)計算的交叉效

率得分不唯一。根據Liang L[16]，本文將每個城市看作一個決策單元，并視為博

弈中的參與者。假設，在動態競合博弈環境下，DMUj在最大化自身效率時，要

確保DMUd最優交叉效率得分不減小。具有多級目標的d-動態競合博弈交叉效率

模型如下所示：

當然，在每個決策單元實現最優交叉效率得分前，我們不知道任何決策單元的最優

交叉效率得分，于是本文提出如下迭代過程來獲得所有決策單元的最優交叉效率得

分：

(1) 求解模型(3)，并根據式(4)、(5)獲得最初的交叉效率得分。令t=1，且

(2)代入并求解模型(6)，令更一般的情況是

(3)若對某些j(j=1,2,…,n)，||>ζ(ζ是一個給定的極小正常數), 則令并返回第二步繼

續迭代。否則，對所有j(j=1,2,…,n)，均有||≤ζ，則停止計算便是整個博弈過程的

最優解。

長三角地區是中國經濟最發達，綜合實力最強的區域，對中國現代化建設和經濟發

展轉型具有重要的推動作用。2014年統計數據顯示，長三角地區GDP為

128829.05億元，占全國(636138.7 億元)的20.25%，其中制造業總產值為

221576.7億元，占長三角工業總產值(233785.88 億 元)的94.78%。長三角地區

制造業發展是該地區工業化的驅動力和地區國民經濟核心，但同時也帶來嚴重的環

境污染。2014年長三角地區制造業廢水排放量為45.708億噸，占整個長三角地

區廢水排放總量(118.932 億噸)的38.48%，制造業二氧化硫排放量在長三角二氧

化硫排放總量中也占有相當高的比重，制造業發展的環境代價不容忽視。本節利用

本文提出的DEA動態競合博弈交叉效率模型，對環境污染約束下長三角地區制造

業投入產出績效進行分析，探究2014年長三角制造業發展現狀。

根據文獻[24 ～26]，本文構建表1所示指標。環境指標中，分別以廢水排放量表

征水污染，以廢氣排放量、煙塵排放量及二氧化硫排放量表征大氣污染，以廢棄物

綜合利用率來表征固體廢棄物利用情況，以綜合能源消耗量來表征能源消費狀態。

根據長三角地區制造業發展實際情況及數據可行性，本文選擇了長三角地區19個

城市進行分析，包括上海，江蘇11市(南京、無錫、常州、揚州、蘇州、連云港、

鎮江、泰州、宿遷、南通、徐州)及浙江 7 市(杭州、寧波、紹興、嘉興、湖州、臺

州、舟山)。本文數據來源于各市2015年統計年鑒。其中，廢棄物綜合利用率、

廢水排放量、廢氣排放量、煙塵排放量及二氧化硫排放量均以工業為口徑進行數據

收集，其余指標均以制造業為口徑(上海綜合能源消耗量以工業為口徑)。為最小化

各地區因人口、行政區域面積等規模引起的差異，除廢棄物綜合利用率外，其余指

標均以各城市地區生產總值為分母進行處理。

根據第 1 節的理論，本節設定ξ=0.0001，ζ=0.0001，通過MATLAB R2012a對

長三角地區19個城市2014年環境污染約束下各地區制造業投入產出績效進行評

估。在評估過程中，出于地域及隸屬省(市)考慮，各地區先以省(市)為單位，構建

上海市、江蘇省和浙江省三個同盟集合，形成省(市)內合作，省(市)外競爭的競合

狀態。并以最大化其所在省(市)總效率而最小化其他地區總效率為利益目標，即第

一級目標。當第一級目標處于平穩狀態后，省內各地區便以自身效率最大化為新的

利益目標。利益目標變化導致江蘇省和浙江省兩個同盟集合破裂，形成省內各地區

相互競爭的新競合狀態。注意到，上海作為直轄市，考慮第一級目標便與所有其他

地區形成競爭關系，即TSH=1；而其他地區均要依次考慮兩個等級目標才能形成

與其他地區間僅存在競爭關系的狀態，即Tj=2,j≠SH(SH為上海)。

動態競合博弈交叉效率模型取p1=10,p2=1。

表2所示為通過兩種不同方法對環境污染約束下長三角地區制造業投入產出績效

評估，博弈交叉效率模型[16]評估效率得分及排名如表2第3、4列所示； 動態競

合博弈交叉效率模型評估效率得分及排名如表2第5、6列所示。就本文研究數據

而言，博弈交叉效率模型并不能實現全排序，其中上海、揚州、泰州、臺州四個城

市交叉效率得分均為1，為DEA有效。相比而言，本文提出的動態競合博弈交叉

效率模型，能實現決策單元全排序，且評價結果顯示，環境污染約束下19個地區

制造業投入產出均無法達到DEA有效。動態競合博弈交叉效率模型與博弈交叉效

率模型相比，交叉效率得分方面：除常州、南通有小幅度上升外，其余地區動態競

合博弈交叉效率得分均小于博弈交叉效率得分。其中下降最明顯的是蘇州和紹興，

分別從0.9398和0.8839減小到0.4761和0.4827；在排名上：常州、連云港、

南通分別上升10位、5位、4位，列第6名、第12名、第2名；上海、蘇州、

泰州、紹興分別下降3位、9位、6位、5位，列第4名、第17名、第7名、第

16名。波動較大的城市主要集中在江蘇省，其原因可能是江蘇省制造業發展水平

差異較大，呈現出蘇南、蘇中、蘇北遞減的趨勢。由于上海不存在盟友，在動態競

合環境下，排名有所下降。

動態競合博弈交叉效率模型評價結果顯示：

·環境污染制約下制造業投入產出績效排名前四的地區分別是揚州、南通、臺州和

上海，其中揚州和南通能耗及負向產出較少，正向產出具有很明顯的優勢，屬于低

能耗、低污染、高產出的產業結構；臺州和上海同樣具有能耗及負向產出低的特點，

但單位地方總產值正向產出不足，屬于低能耗、低污染、低產出的產業結構；而上

海正處于產業轉型階段，重心由傳統制造業逐步向高新技術產業轉移，但其在規模

與技術上仍處于領先地位，故環境污染約束下制造業投入產出績效優勢明顯。

·環境污染制約下制造業投入產出績效排名后四的地區依次為湖州、嘉興、蘇州和

紹興，其中湖州和嘉興各項投入及負向產出均偏高，而正向產出處于劣勢，屬于高

投入、高污染、低產出的產業結構；蘇州和紹興在正向產出上略有優勢，但負向產

出較多，制造業發展的環境成本較大，屬于高污染發展模式。

·常州制造業發展模式與其他地區均存在明顯的差異，無論是投入、能耗還是正負

向產出，都明顯高于其他地區。雖然績效排名靠前，但發展模式完全是以高投入，

高能耗、高污染為代價換取高產出，這樣的發展模式是不健康的。

·對長江沿岸而言，除上海外，環境污染約束下，長江以南各地區制造業投入產出

績效均不如長江以北各地區。長江以南各地區雖然制造業發展水平較高，但其環境

成本也較高。

圖1，圖2分別為博弈交叉效率模型及動態競合博弈交叉效率模型迭代過程(以上

海，省會城市南京和杭州，經濟強市無錫、常州、蘇州和寧波為對象)。正如Lang

L[16]所述，博弈交叉效率模型在迭代過程中表現出明顯的規律性，即當t增加為

奇數時，效率得分減小；當t增加為偶數時，效率得分增大，最終收斂于唯一的納

什均衡點。相比而言，動態競合博弈交叉效率模型的迭代過程總體上呈現出遞增的

趨勢，當效率得分增加到一定程度，將在小范圍內波動。最終收斂于唯一的納什均

衡點，即各決策單元最優交叉效率得分。就本文研究數據而言，博弈交叉效率模型

經過18次迭代，所有決策單元才收斂于最終的納什均衡點；而本文提出的動態競

合博弈交叉效率模型經過9次迭代， 所有決策單元實現最終的平衡。動態競合博

弈交叉效率模型的收斂速度遠遠優于博弈交叉效率模型的收斂速度。

同 Wu J[17]，本節對本文提出的模型隨參數p1，p2取值的變化進行類似的靈敏

度分析，探究不同等級目標重要性之間的差異變化對評價結果的影響。為了測試不

同參數p1，p2取值下不同交叉效率得分排名結果的一致性，本節對不同參數p1，

p2取值對應的交叉效率得分進行了相關性分析，結果如表 3 所示?？梢钥闯觯@

些結果都表現出高度的相關性。在所有排名結果是完全獨立的假設條件下，檢驗值

均為0.0000。也就是說，參數p1，p2不同取值下排名完全獨立的假設被拒絕。

我們可以得出結論：參數p1，p2不同取值下排名結果是明顯相關的。換而言之，

參數p1，p2的選擇對最終排名影響較小。不同等級目標重要性的差異程度，對最

終排名結果不產生明顯影響，不需要確切指出不同等級目標重要性的差異程度。

本文以競爭合作對策為切入點，將多目標規劃中的優先因子引入傳統DEA博弈交

叉效率模型中，提出了帶有優先等級的多目標DEA博弈交叉效率模型，即動態競

合博弈交叉效率模型。該模型充分考慮了不同利益目標下決策單元間競爭合作關系

的動態變化，并將決策單元所能實現的最優效率得分作為未知變量，以博弈迭代的

方式進行求解。其焦點由傳統競合模型對多重最優權重現象的改善，轉向對最優效

率得分的直接尋找。不管是否存在多重最優權重，其交叉效率得分均收斂于唯一的

納什均衡點。

利用DEA動態競合博弈交叉效率模型，本文對環境污染約束下 2014 年長三角地

區制造業投入產出績效進行了客觀的評估。分析結果顯示：長三角地區制造業發展

模式具有不同的特征。績效排名前四的地區中，揚州和南通屬于低能耗、低污染、

高產出的產業結構，而臺州和上海屬于低能耗、低污染、低產出的產業結構；投入

產出績效后四名的地區中，湖州和嘉興屬于高投入、高污染、低產出的產業結構，

而蘇州和紹興屬于高污染的發展模式；常州雖然投入產出績效排名靠前，但其產業

結構是是以高投入、高能搞、高污染為代價來推動高產出；除上海外，長江以南各

地區投入產出績效均不如長江以北各地區，長江以南各地區雖然制造業發展水平較

高，但環境成本不容忽視。

實證分析還表明，DEA動態競合博弈交叉效率模型收斂速度優于傳統DEA博弈交

叉效率模型。而不同等級的目標重要性的差異程度，對最終排名結果不產生明顯影

響，不需要確切指出。

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