高中生物有關數學模型問題分析

高中生物有關數學模型問題分析

高中生物有關數學模型問題分析

1 高中生物教學中的數學建模

數學是一門工具學科，在高中的物理與化學學科中廣泛的應用。由于高中生物

學科以描述性的語言為主，學生不善于運用數學工具來解決生物學上的一些問

題。這些需要教師在平時的課堂教學中給予提煉總結，并進行數學建模。所謂

數學建模(Mathematical Modelling)，就是把現實世界中的實際問題加以提

煉，抽象為數學模型，求出模型的解，驗證模型的合理性，并用該數學模型所

提供的解答來解釋現實問題，我們把數學知識的這一應用過程稱為數學建模。

在生物學科教學中，構建數學模型，對理科思維培養也起到一定的作用。

2 數學建模思想在生物學中的應用

2.1 數形結合思想的應用

生物圖形與數學曲線相結合的試題是比較常見的一種題型。它能考查學生的分

析、推理與綜合能力。這類試題從數形結合的角度，考查學生用數學圖形來表

述生物學知識，體現理科思維的邏輯性。

例1：下圖1表示某種生物細胞分裂的不同時期與每條染色體DNA含量變化的

關系;圖2表示處于細胞分裂不同時期的細胞圖像。以下說法正確的是( )

A、圖2中甲細胞處于圖1中的BC段，圖2中丙細胞處于圖1中的DE段

B、圖1中CD段變化發生在減數Ⅱ后期或有絲分裂后期

C、就圖2中的甲分析可知，該細胞含有2個染色體組，秋水仙素能阻止其進一

步分裂

D、圖2中的三個細胞不可能在同一種組織中出現

解析：這是一道比較典型的數形結合題型：從圖2上的染色體形態不難辨別甲

為有絲分裂后期、乙為減Ⅱ后期和丙為減Ⅱ中期;而圖1中的AB段表示的是間

期中的(S期)正在進行DNA復制的過程，BC段表示的是存在姐妹染色單體(含2

個DNA分子)的染色體，DE 段表示的是著絲點斷裂后的只含1個DNA的染色

體。此題的答案是B。

2.2 排列與組合的應用

排列與組合作為高中數學的重要知識。在減數分裂過程中，減Ⅰ分裂(中期)的

同源染色體在細胞中央的不同排列方式，在細胞兩極出現不同的染色體組合，

最終形成不同基因組成的配子，這是遺傳的分離定律與自由組合定律細胞學證

據。同樣，遺傳信息的傳遞與表達過程中，也涉及到堿基的排列與密碼子的組

合方式。因此，教師在教學中，從具體的實例出發，結合排列與組合知識，解

決生物學上的一些疑難問題。

例2：果蠅的合子有8個染色體，其中4個來自母本(卵子)，4個來自父本(精

子)。當合子變為成蟲時，成蟲又產生配子(卵子或精子，視性別而定)時，在每

一配子中有多少染色體是來自父本的，多少個是來自母本的?( )

A、4個來自父本，4個來自母本

B、卵子中4個來自母本，精子中4個來自父本

C、1個來自一個親本，3個來自另一親本

D、0、1、2、3或4個來自母本，4、3、2、1或0來自父本(共有5種可能)

解析：染色體在形成配子時完全是獨立分配的，因為在同源染色體發生聯會

后，二價體在赤道板上的排列方位是完全隨機的，因此每個配子所得到的4個

染色體也是完全隨機的。每個配干所得到的一套染色體有可能是五種組合中的

一種，實際上每種組合又會有不同的情況。如將這4對染色體分別命名為

m1(母源來的第一染色體)以及 m2、m3、m4和p1(父源來的第一染色體)、p2、

p3和p4。那么上述情況下，配子有可能是：m1 m2 m3 m 4;m1 p2 p3 p4;m2 p1

p3 p4;m3 p1 p2 p4 ……p1 p2 p3 p4。因此，當我們不僅考慮數量，而且也考

慮到質量時，4對染色體的配子組合數應為24=16。在只考慮數量時，此題答案

為D。

2.3 數學歸納法的應用

在平時的教學中，教師要善于從已有的知識過渡到新知識，詮釋新知識與已有

知識的內在聯系與區別，以利于學生進行同化學習。教師通過對一些實例分

析、協助學生歸納出一般的規律并構建數學模型。學生通過上位學習，把數學

中的相關知識融入到生物學科中來，做到舉一反三。然后通過運用新規律，進

一步檢驗、鞏固新知識，并實現知識的正遷移。

例3：若讓某雜合子連續自交，能表示自交代數和純合子比例關系是( )

解析：假設此雜合子的基因型為Aa、采用數學歸納法對雜合子自交的后代概率

進行推算(一般學生都會)。自交第一代的雜合子概率為1/2，純合子的概率為

1/2(顯、隱性純合子)，自交第二代的雜合子概率為(1/2)2……自交第N代的雜

合子概率為(1/2)N，而純合子則為1-(1/2)N，然后再構建數學曲線模型。本題

答案為D。

2. 4 概率的計算

高中生物的遺傳機率的計算是教學的難點，教師通過對具體實例的解析，協助

學生構建概率相加與相乘原理。比如：分類用概率相加原理;分步用概率相乘原

理。

例4：A a B b×A a B B相交子代中基因型a a B B所占比例的計算。

解析：因為A a×A a相交子代中a a基因型個體占1/4，B b×B B相交子代中

B B基因型個體占1/2，所以a a B B基因型個體占所有子代的

1/4×1/2=1/8。[由概率分步相乘原理，可知子代個別基因型所占比例等于該個

別基因型中各對基因型出現概率的乘積]。

2. 5 生態系統的數學模型

生態學的一般規律中，常常求助于數學模型的研究，理論生態學中涉及到大量

的數學模型構建的問題。在高中生物學中有種群的動態模型研究，如：“J”與

“S”型曲線;另外，種間競爭及捕食的數學模型等等。

例5：在實驗室中進行了兩類細菌競爭食物的實驗。在兩類細菌的混合培養液

中測定了第Ⅰ類細菌后一代(即Zt+1)所占總數的百分數與前一代(即 Zt)所占

百分數之間的關系。在下圖中，實線表示觀測到的Zt+1和Zt之間的關系，虛

線表示Zt+1=Zt時的情況。從長遠看，第Ⅰ類和第Ⅱ類細菌將會發生什么情

況?( )

A、第Ⅰ類細菌與第Ⅱ類細菌共存

B、兩類細菌共同增長

C、第Ⅰ類細菌把第Ⅱ類細菌從混合培養液中排除掉

D、第Ⅱ類細菌把第Ⅰ類細菌從混合培養液中排除掉

解析：兩類細菌在實驗條件下，同一環境中不存在其他生物因素的作用時，競

爭的結果是一種生物生存下來，另一種被淘汰現象。從上述圖形的對角線 (虛

線)上可以看出在虛線上任取一點作橫坐標與縱坐標得到的是相同的數據，這說

明了同種細菌后一代與前一代在混合培養液中的比例沒有變化，說明它們之間

是共存的，不是競爭關系。而實線位于虛線下方，用同樣的方法不難得出，第

Ⅰ類細菌的后一代含量比前一代含量減少了，在競爭中是劣勢的種群。本題答

案為D。

2.6 生物作圖及曲線分析

生物作圖在近些年的高考試題中經常出現，對能力要求比較高，要求學生會從

數形中提煉出有用的信息。教師在平時的教學中，可以結合生物學知識解決一

些難以理解的、比較抽象的圖形和曲線。

例6：有一種酶催化反應P+Q→R，右圖中的實線表示沒有酶時此反應的進程。

在t1時，將催化此反應的酶加入反應混合物中。右圖中的哪條線能表示此反應

的真實進程(圖中[P]、[Q]和[R]分別代表化合物P、Q和R的濃度)?( )

A、Ⅰ B、Ⅱ C、Ⅲ D、Ⅳ E、Ⅴ

解析：A、B和D都不對。酶作為催化劑不能改變化學反應的平衡點即平衡常數

(Keq=[R] /[P][Q])，只能縮短達到平衡的時間。圖中實線平行于橫坐標的線段

延長相交于縱坐標的那個交點即為此反應的Keq。Ⅰ，Ⅱ和Ⅳ三條線顯然都改

變了此平衡點。C正確：線Ⅲ反映了加酶后縮短了達到平衡點的時間而不改變

原反應的平衡點。E不對：曲線Ⅴ從t1至平衡前的線段不符合加酶后的真實進

程。

3 生物教學中數學建模的意義

高中生物學科中涉及到的數學建模遠不及這些，限于篇輻，本文在此只作簡要

的歸納。我們知道，實際問題是復雜多變的，數學建模需要學生具有一定的探

索性和創造性。在教學過程中，充分的運用它能很好的解決一些生物學實際問

題，使學生對生物學產生更大的興趣。生命科學作為一門自然科學，其理論的

深入研究必定會涉及到很多數學的問題。在生物學教學中，構建數學模型正是

聯系數學與生命科學的橋梁。如何將生物學理論知識轉化為數學模型，這是對

學生創造性地解決問題的能力的檢驗，也是理科教育的重要任務。

學好高中生物的三種常用方法

生物學科雖然在中學課程中不是主要學科，但是生物學是二十一世紀最有發展

前景的學科之一，它作為自然科學領域的帶頭學科，將會有極大的發展空間;另

一方面，人類社會在新世紀面臨的人口、糧食、資源、環境和健康問題將更加

突出，而這些問題的解決，都將在很大程度上依賴于生物科學的進步;而且生物

學在高考理科綜合試卷中占有舉足輕重的地位。因此，我們沒有理由不學好生

物。下面是清華大學附屬中的老師對學好高中生物學的一些建議：

1.掌握基本知識要點，“先記憶，后理解”

與學習其它理科一樣，生物學的知識也要在理解的基礎上進行記憶，但是，高

中階段的生物學還有著與其它理科不一樣的特點。

對于大家學習了許多年的數學、物理、化學來說，這些學科的一些基本思維要

素同學們已經一清二楚，比如：數學中的未知數X、化學中的原子、電子以及

物理中的力、光等等。而對于生物學來說，同學們要思考的對象即思維元素卻

是陌生的細胞、組織、各種有機物和無機物以及他們之間奇特的邏輯關系。因

此同學們只有在記住了這些名詞、術語之后才有可能掌握生物學的邏輯規律，

既所謂“先記憶，后理解”。

2.弄清知識內在聯系，“瞻前顧后”、“左顧右盼”

如：關于DNA，我們會分別在“緒論”、“組成生物體的化合物”和“生物的

遺傳和變異”這三個地方學到，但教材中在三個地方的論述各有側重，同學們

要前后聯系起來思考，既所謂“瞻前顧后”。又如：在學習細胞的結構時，我

們會學習許多細胞器，那么這些細胞器的結構和功能有何異同呢?這需要大家做

了比較才能知道，既所謂“左顧右盼”。

3.深刻理解重點知識，讀書做到“六個W”

對于一些重點和難點知識，大家要深刻理解。如何才能深刻理解呢?大家讀書時

要時時思考“六個W”。這六個W分別是：

Who—→誰或什么結構

What—→發生了什么變化或有什么

How—→怎樣發生的

When—→什么時間或什么順序

Where—→在什么場所或結構中發生的

Why—→為什么會發生這樣的變化

大家在思考中經常將這六個W連起來思考肯定會有不小的收獲。除了上述三點

以外，同學們還要堅持在學習中不斷探索適合自己的學習方法。用辛勤的汗水

和科學的方法一定可以換回優異的生物學習成績!