勾股定理章起始課教學(xué)研究

2024年2月15日發(fā)(作者：阿里巴巴logo)

勾股定理章起始課教學(xué)研究

摘要：以人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)“勾股定理”一章為研究內(nèi)容，從“是什么”、“為什么學(xué)”、“學(xué)什么”和“怎樣學(xué)”這四個(gè)維度進(jìn)行闡述如何利用好本章的章引言部分以上好本章的起始課，讓學(xué)生清楚本章學(xué)習(xí)的內(nèi)容、方法和數(shù)學(xué)思想等，幫助學(xué)生形成良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

關(guān)鍵詞：勾股定理；章引言；章起始課；認(rèn)知結(jié)構(gòu)

勾股定理，是初中階段學(xué)習(xí)的一個(gè)基本的幾何定理，也是非常重要的高頻考點(diǎn)。說的是在直角三角形中，兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方。最早由我國西周初的數(shù)學(xué)家商高提出，因此又叫做商高定理，該發(fā)現(xiàn)早于古希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯五百多年。之所以稱之為“勾股定理”，是因?yàn)樵谥袊糯鷮⒅苯侨切畏Q作“勾股形”，即稱較短的直角邊為“勾”，稱較長的直角邊為“股”，稱斜邊為“弦”，這也就有了我們最常聽到的“勾三股四弦五”。

章起始課，顧名思義，就是新章節(jié)的第一堂課，這堂課不是簡單的知識(shí)講授，而是系統(tǒng)地綜述該章節(jié)的基本知識(shí)，運(yùn)用恰當(dāng)?shù)姆椒?，幫助學(xué)生建立起一個(gè)新章節(jié)的知識(shí)結(jié)構(gòu)，然后通過后面的學(xué)習(xí)不斷地豐富這個(gè)知識(shí)結(jié)構(gòu)，并且通過這個(gè)結(jié)構(gòu)理解各個(gè)知識(shí)間的關(guān)系，新舊知識(shí)建立聯(lián)結(jié)，使得知識(shí)“活起來”。在這個(gè)過程中，章起始課起到一個(gè)總覽全章、承前啟后的作用。那么如何上好章起始課、幫助學(xué)生建立好新章節(jié)的知識(shí)結(jié)構(gòu)呢？筆者通過細(xì)心研讀中學(xué)教材，發(fā)現(xiàn)上好章起始課其實(shí)并不難，因?yàn)樵谥袑W(xué)階段的教材中，在每一章的最開始，都有一個(gè)“章引言”部分，不止是數(shù)學(xué)，物理、化學(xué)等學(xué)科都有章引言部分，章引言充當(dāng)?shù)氖且粋€(gè)“先行組織者”的角色，因此筆者認(rèn)為，教師引導(dǎo)學(xué)生利用好每一章的章引言，便是上好章起始課的基礎(chǔ)。但是在實(shí)際教學(xué)當(dāng)中，有很多老師對(duì)于章引言這一先行組織者沒有引起足夠的重視，不能夠很好地幫助學(xué)生在新章節(jié)第一堂課建立起良好的知識(shí)框架和認(rèn)知結(jié)構(gòu)，同時(shí)不利于學(xué)生對(duì)新章節(jié)內(nèi)容進(jìn)行初步的思維建構(gòu)。

對(duì)于人教版初中數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè)第十七章勾股定理，要怎樣利用好章引言，上好本章的章起始課呢？筆者認(rèn)為，對(duì)于任意一個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)，都可以從“是什么”、“為什么學(xué)”、“學(xué)什么”和“怎樣學(xué)”這四個(gè)維度進(jìn)行分析，下面筆者將從這四個(gè)維度，對(duì)如何上好勾股定理的章起始課進(jìn)行詳細(xì)闡述。

1.

是什么——了解核心內(nèi)容，初步理解概念

章引言中提及“在我國古代，人們將直角三角形中短的直角邊叫做勾，長的直角邊叫做股斜邊叫做弦，根據(jù)我國古代數(shù)學(xué)書《周髀算經(jīng)》記載，在約公元前1100年，人們就已經(jīng)知道，如果勾是三、股是四，那么弦是五。后來人們進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)并證明了關(guān)于直角三角形三邊之間的關(guān)系——兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方，這就是勾股定理”。這段話，從勾股定理的源頭出發(fā)，簡要介紹了勾股定理的由來，并且闡述了勾股定理的內(nèi)容。一方面，體現(xiàn)源遠(yuǎn)流長的數(shù)學(xué)文化，另一方面，使學(xué)生對(duì)勾股定理的內(nèi)容進(jìn)行了初步了解，發(fā)現(xiàn)勾股定理好像其實(shí)并不難，它只是直角三角形中三邊之間的一種關(guān)系，從而降低了學(xué)生對(duì)新知識(shí)的畏懼感，進(jìn)而能夠更好地調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性。

1.

為什么學(xué)——領(lǐng)悟?qū)W習(xí)意義，激發(fā)學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)

章引言中第一段提及“章前圖中左側(cè)的圖案是2002年在北京召開的國際數(shù)學(xué)大會(huì)的會(huì)徽，它與數(shù)學(xué)中著名的勾股定理有著密切的關(guān)系”。文中所說的“國際數(shù)學(xué)大會(huì)會(huì)徽”指的是3世紀(jì)我國漢代的趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時(shí)給出的一個(gè)圖案，即人們所稱的“趙爽弦圖”。之所以在開篇著重介紹“趙爽弦圖”作為國際數(shù)學(xué)大會(huì)的會(huì)徽，是要從側(cè)面強(qiáng)調(diào)勾股定理的重要地位與作用。此時(shí)應(yīng)該將“趙爽弦圖”單獨(dú)拿出來，引導(dǎo)學(xué)生探索該圖形的深?yuàn)W之處（但是要注意這個(gè)地方要點(diǎn)到為止，課本23和24頁會(huì)對(duì)該圖進(jìn)行詳細(xì)介紹，用于證明勾股定理），此外，再通過多媒體技術(shù)展示生活中用到的勾股定理，比如電線桿的牽拉線的長度、斜坡長度如何求得之類的現(xiàn)實(shí)問題。這些問題旨在強(qiáng)調(diào)勾股定理的應(yīng)用價(jià)值，

此外還應(yīng)強(qiáng)調(diào)學(xué)習(xí)勾股定理的文化價(jià)值（如：數(shù)學(xué)文化中提及的數(shù)學(xué)史）。讓學(xué)生對(duì)即將學(xué)習(xí)的勾股定理充滿好奇，調(diào)動(dòng)學(xué)生對(duì)勾股定理的好奇心。

1.

學(xué)什么——把握知識(shí)重點(diǎn)，學(xué)習(xí)有的放矢

在本章章引言中最后一段強(qiáng)調(diào)：“本章我們將探索并證明勾股定理及其逆定理，并運(yùn)用這兩個(gè)定理去解決相關(guān)問題，由此可以加深對(duì)直角三角形的認(rèn)識(shí)”。短短兩行多文字，言簡意賅，直接點(diǎn)出了本章的學(xué)習(xí)內(nèi)容，將重點(diǎn)知識(shí)單擺浮擱，并且強(qiáng)調(diào)知識(shí)的形成過程是“探索并證明”，也就是說，這兩個(gè)定理不是由老師直接給出，而是讓學(xué)生來推理證明，一方面能夠加強(qiáng)學(xué)生的邏輯推理能力，另一方面能夠使學(xué)生更好地掌握本章重點(diǎn)內(nèi)容，有利于他們形成良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。在獲得了這兩個(gè)定理之后，還要會(huì)應(yīng)用這兩個(gè)定理去解決相關(guān)問題。通過簡單的幾句話直接指明要點(diǎn)，接下來就是引導(dǎo)學(xué)生完成“探索并證明”的過程。

1.

怎么學(xué)——掌握學(xué)習(xí)方法，獲得系統(tǒng)知識(shí)

至于勾股定理及其逆定理的探索證明，在章引言中并沒有提及，但是在本章第一節(jié)以很長的篇幅介紹了勾股定理的證明。從畢達(dá)哥拉斯的“瓷磚問題”入手，緊接著展現(xiàn)出一個(gè)最簡單的“畢達(dá)哥拉斯樹”，也就是人們常說的“勾股樹”。此時(shí)，一定要讓學(xué)生親自去探索這一部分內(nèi)容，一方面可以讓學(xué)生更多的了解數(shù)學(xué)史，另一方面學(xué)生親自探索的知識(shí)會(huì)更加牢固。至于如何進(jìn)行引導(dǎo)，筆者認(rèn)為，幾何畫板將是一個(gè)不錯(cuò)的選擇。運(yùn)用幾何畫板，將畢達(dá)哥拉斯發(fā)現(xiàn)的瓷磚問題用不同顏色區(qū)分開來，多劃分幾個(gè)區(qū)域，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題，進(jìn)而，用幾何畫板畫出“畢達(dá)哥拉斯樹”，盡量多的畫出勾股樹的“樹枝”，通過拖動(dòng)“根部”正方形的一個(gè)頂點(diǎn)，改變正方形的大小，觀察其它正方形的變化情況，逐步引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)其中的奧秘。也就是要求學(xué)生用已有的幾何知識(shí)和方法，通過觀察、比較，初步探索出畢達(dá)哥拉斯樹所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)知識(shí)，通過學(xué)生之間相互討論，最后老師總結(jié)給出結(jié)論：以等腰直角三角形兩直角邊為邊長的小正方形的面積的和，等于以斜邊為邊長的大正方形的面積，即等腰直角三角形的三邊之間有一種特殊的關(guān)

系，斜邊的平方等于兩直角邊的平方和。下一步，將采用從特殊到一般的探究方法，即繼續(xù)利用幾何畫板，通過拖動(dòng)畢達(dá)哥拉斯樹“樹枝”的正方形的一個(gè)頂點(diǎn)，改變?cè)撜叫蔚拇笮?，觀察其它正方形的變化情況，旨在引導(dǎo)學(xué)生觀察并猜測，對(duì)于非等腰的直角三角形，是否滿足兩直角邊為邊長的小正方形的面積的和等于以斜邊為邊長的大正方形的面積，即斜邊的平方是否等于兩直角邊的平方和。針對(duì)這一猜想進(jìn)行進(jìn)一步探究證明，此時(shí)就要結(jié)合趙爽弦圖利用幾何畫板引導(dǎo)學(xué)生一步步證明。

在學(xué)習(xí)本章知識(shí)的過程中，采用從特殊到一般的研究方法：先研究等腰直角三角形三邊之間的關(guān)系，在將其推廣到一般情況，研究非等腰直角三角形三邊之間的關(guān)系，進(jìn)而得到勾股定理及其逆定理。

通過上述針對(duì)初中數(shù)學(xué)第十七章《勾股定理》的章起始課和引言的研究分析，對(duì)于如何上好本章的章起始課提出了一些教學(xué)建議，筆者從四個(gè)維度系統(tǒng)全面地闡述了章起始課應(yīng)該給學(xué)生傳遞的信息，以及如何利用好幾何畫板引導(dǎo)學(xué)生通過自行探索獲取新知。具體的教學(xué)設(shè)計(jì)可以結(jié)合本文的研究內(nèi)容以及教學(xué)建議，根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平和教育環(huán)境等進(jìn)行合理的調(diào)整或改進(jìn)。在實(shí)際教學(xué)當(dāng)中，不僅要利用好章引言上好章起始課，還要利用好每一章后面知識(shí)結(jié)構(gòu)圖。兩者相結(jié)合會(huì)更有利于學(xué)生形成良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，從而為后面的學(xué)習(xí)打下良好的基礎(chǔ)。

參考文獻(xiàn)：

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周遠(yuǎn)方，方延偉，葉俊杰.“章引言”是起始課教學(xué)指路的明燈[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2015（05）.

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