求一個(gè)數(shù)的平方的巧算方法

2024年3月9日發(fā)(作者：孩子厭學(xué)原因)

求29

2

和82

2

的值。

　　解：29

2

=29×29

下面通過(guò)例題來(lái)說(shuō)明這一方法。

例 求993

2

和2004

2

的值。

?求一位數(shù)的平方的巧算方法

轉(zhuǎn)化成一個(gè)整十?dāng)?shù)乘以另一數(shù)，再加上零頭的平方數(shù)。

在乘法口訣的九九表中已經(jīng)被同學(xué)們熟知，所以個(gè)位數(shù)的平方值大家已經(jīng)在乘法口訣中

得以熟記，如7×7＝49（七七四十九）。

2×2＝43×3＝94×4＝165×5＝25

6×6＝367×7＝498×8＝649×9＝81

　　解：82

2

＝82×82

　　＝（29＋1）×（29-1）＋1

2

　　＝（82－2）×（82＋2）＋2

2

　　＝30×28＋1　　＝80×84＋4

　　＝840+1　　＝6720+4

　　＝841　　＝6724

由上例看出，因?yàn)?9比30少1，所以給29“補(bǔ)”1，這叫“補(bǔ)少”；因?yàn)?82比80多2

，所以從82中“移走”2，這叫“移多”。因?yàn)槭莾蓚€(gè)相同數(shù)相乘，所以對(duì)其中一個(gè)數(shù)“移

多補(bǔ)少”后，還需要在另一個(gè)數(shù)上“找齊”。本例中，給一個(gè)29補(bǔ)1，就要給另一個(gè)29減1

；給一個(gè)82減了2，就要給另一個(gè)82加上2。最后，還要加上“移多補(bǔ)少”的數(shù)的平方。

對(duì)于兩位數(shù)的平方，大多數(shù)同學(xué)能背熟了10～20的平方，

10×10＝10011×11＝12112×12＝14413×13＝16914×14＝196

15×15＝22516×16＝25617×17＝28918×18＝32419×19＝361

而21～99的平方就不大熟悉了。有沒(méi)有什么竅門，能夠迅速算出兩位數(shù)的平方呢？這里

向同學(xué)們介紹一種方法——湊整補(bǔ)零法。

　　解：993

2

=993×993

　　＝（993＋7）×（993-7）+7

2

　　＝1000×986＋49

　　＝986000＋49

　　＝986049

由湊整補(bǔ)零法計(jì)算35

2

，得：35×35＝40×30＋5

2

=1225

所謂

湊整補(bǔ)零法

，就是用所求數(shù)與最接近的整十?dāng)?shù)的差，通過(guò)移多補(bǔ)少，將所求數(shù)

這與三年級(jí)學(xué)的個(gè)位數(shù)是5的數(shù)的平方的速算方法結(jié)果相同。

這種方法不僅適用于求兩位數(shù)的平方值，也適用于求三位數(shù)或更多位數(shù)的平方值。

　　2004

2

=2004×2004

　　＝（2004-4）×（2004+4）＋4

2

　　＝2000×2008＋16

　　＝4016000＋16

　　＝4016016

奧數(shù)～巧算～

超鏈接：

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末位數(shù)是5的兩位數(shù)的平方的速算

末位數(shù)是5的兩位數(shù)平方，就等于用比十位數(shù)大1的數(shù)乘十位數(shù)，并在所得的積后寫上25。

請(qǐng)看：35的平方，等于十位數(shù)3加上1后，乘以十位數(shù)3，即（3+1）×3=12

再在這乘積12的后面寫上25就行了，也就是1225.

為什么可以這樣速算呢？

任何一個(gè)末位數(shù)是5的兩位數(shù)都可以寫成10a+5，a代表十位數(shù)。

有一個(gè)代數(shù)公式：(a+b)

2

=a

2

+2ab+b

2

。

因此，末位數(shù)是5的兩位數(shù)的平方都可以寫成：

(10a+5)2 =100a2+2×5+10a+25

=100a2+100a+25

=100a(a+1)+25

=a(a+1)×100+25。

這樣，用a乘上比a大1的數(shù)（a+1)，然后在它的后面寫上25，就得到它的平方數(shù)了。

　這幾道算式具有一個(gè)共同特點(diǎn)，兩個(gè)因數(shù)都是兩位數(shù)，一個(gè)因數(shù)的十位數(shù)與個(gè)位數(shù)相同

，另一因數(shù)的十位數(shù)與個(gè)位數(shù)之和為10。這類算式有非常簡(jiǎn)便的速算方法。

　　例5 88×64＝？

　　分析與解：由乘法分配律和結(jié)合律，得到

　　88×64

　　＝（80＋8）×（60＋4）

　　＝（80＋8）×60＋（80＋8）×4

　　＝80×60＋8×60＋80×4＋8×4

　　＝80×60＋80×6＋80×4＋8×4

　　＝80×（60＋6＋4）＋8×4

　　＝80×（60＋10）＋8×4

　　＝8×（6＋1）×100+8×4。

　　于是，我們得到下面的速算式：

　　由上式看出，積的末兩位數(shù)是兩個(gè)因數(shù)的個(gè)位數(shù)之積，本例為8×4；積中從百位起前面

的數(shù)是“個(gè)位與十位相同的因數(shù)”的十位數(shù)與“個(gè)位與十位之和為10的因數(shù)”的十位數(shù)加1

的乘積，本例為8×（6＋1）。

　　又例 77×91＝？

　　解：由上例的解法得到7×1=7

　　當(dāng)兩個(gè)因數(shù)的個(gè)位數(shù)之積是一位數(shù)時(shí)，應(yīng)在十位上補(bǔ)一個(gè)0，本例為7×1＝07。

　　用這種速算法只需口算就可以方便地解答出這類兩位數(shù)的乘法計(jì)算

。

兩個(gè)因數(shù)都是兩位數(shù)，一個(gè)因數(shù)的十位數(shù)與個(gè)位

數(shù)相同，另一因數(shù)的十位數(shù)與個(gè)位數(shù)之和為10。這類算式的簡(jiǎn)便

速算方法

如算式：　　66×46，73×88，19×44。

奧數(shù)～巧算～

（a4）68

=

（a1）37

=

2

2

（b4）82×44

=

（b5）37×33

=

（b2）66×55

=

（b1）77×28

=

練習(xí)計(jì)算下列各題

2

（a2）53

=

（a5）108

=

2

（a6）397

=

2

（a3）91

=

2

（b6）46×99

=

（b3）33×19

=

奧數(shù)～巧算～