2022年高中數(shù)學新人教版B版精品教案《2.4 正態(tài)分布》

2.4 正態(tài)分布〔第一課時〕

高二年級 數(shù)學 主講人：葉穗

一、

教材分析

正態(tài)分布是高中新教材人教B版選修2-3的第二章?隨機變量及其分布?的最

后一節(jié)內(nèi)容，正態(tài)分布在統(tǒng)計中是很常用的分布，它刻畫很多隨機現(xiàn)象，由中

心極限定理知一個隨機變量如果是眾多的、互不相干的、不分主次的偶然因素

作用結(jié)果之和，它就服從或近似服從正態(tài)分布，服從正態(tài)分布的隨機變量是一

種連續(xù)型隨機變量。該節(jié)內(nèi)容通過研究頻率分布直方圖、頻率分布折線圖、總

體密度曲線，引出擬合的函數(shù)式，進而得到正態(tài)分布的概念、分析正態(tài)曲線的

特點，最后研究了它的應(yīng)用。

正態(tài)分布密度函數(shù)的推導是十分困難的，一般教材書采用直接給出正態(tài)分布

密度函數(shù)表達式的方法，通過分析正態(tài)分布密度曲線的解析表達式，得到正態(tài)

分布密度曲線的特點，借助比照不同參數(shù)的正態(tài)分布密度曲線的圖像，得到兩

個參數(shù)的含義，并直接給出了正態(tài)分布隨機變量分別取值在三個常用領(lǐng)域的概

率。

二、

學情分析

在必修三的學習中，學生已經(jīng)掌握了統(tǒng)計等知識，這為學生理解利用頻率分

布直方圖來研究小球的分布規(guī)律奠定了根底。但正態(tài)分布的密度函數(shù)表達式較

為復雜抽象，學生理解比擬困難。

三、

教學目標

（一）

知識與技能

1.了解正態(tài)分布密度曲線的來源，理解正態(tài)分布的概念及其曲線特點；

3.掌握利用3原那么解決一些簡單的與正態(tài)分布有關(guān)的概率計算問題；

4.掌握正態(tài)分布在實際生活中的應(yīng)用和作用.

（二）

過程與方法

1.通過高爾頓板試驗、頻率分布直方圖、折線圖認識正態(tài)曲線，體驗從有限

到無限的思想方法;

2.通過借助幾何畫板，了解正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義.

（三）

情感態(tài)度與價值觀

1.通過經(jīng)歷直觀動態(tài)的高爾頓試驗，提高學生學習數(shù)學的興趣;

2.通過教學中一系列的探究過程使學生體驗發(fā)現(xiàn)的快樂，形成積極的情感，

培養(yǎng)學生的進取意識和科學精神.

四、

教學重、難點

（一）

教學重點:正態(tài)分布密度曲線的特點；利用3原那么解決一些簡單的與正

態(tài)分布有關(guān)的概率計算問題.

（二）

教學難點:在現(xiàn)實生活中什么樣的隨機變量服從正態(tài)分布,正態(tài)分布密度

曲線所表示的意義.

五、

教學過程

（一）

創(chuàng)設(shè)情境

1、

引入：街頭的釘板賭博游戲，你認為中獎概率低的主要原因是什么？

生：小球落入兩端的概率要比落到中間的概率小。

師：這是為什么呢？

2、試驗：計算機模擬高爾頓釘板實驗，研究小球掉落的分布規(guī)律

3、

問題探究：

（1）

在小球投放前，你知道這個小球落到哪個球槽中嗎？

生：不能確定小球落到哪個球槽，因為是隨機試驗，落到哪個球槽中，是一

個隨機事件。

（2）

觀察小球掉落球槽的分布規(guī)律，并畫出其頻率分布直方圖

生：中間高，兩邊地

師：如何畫出其頻率分布直方圖？

生：以球槽的編號為橫坐標，以小球落入各個球槽內(nèi)的頻率/組距值為縱坐

標建立直角坐標系并畫出頻率分布直方圖

（3）

當投放大量的小球，球槽不斷縮小時，球槽內(nèi)小球的分布情況的規(guī)律如何？

△總結(jié)：當投放大量的小球，球槽不斷縮小時，球槽內(nèi)小球頻率分布的形狀越

來越趨近于一條光滑的鐘形曲線.

（二）

引入概念

1、

正態(tài)曲線

當重復次數(shù)增加時，曲線就是〔或近似是〕以下函數(shù)的圖像：

其中實數(shù)和為參數(shù).的圖像為正態(tài)分布密度曲線,簡稱正態(tài)曲線.

△特別地，當時，相應(yīng)的函數(shù)表示式為，相應(yīng)的曲線稱為標準正態(tài)曲線.

2、

正態(tài)曲線對應(yīng)區(qū)間概率的計算

探究：如果用表示落下的小球第一次與高爾頓釘板底部接觸時的坐標，那么

（1）

是隨機變量嗎？

生：是隨機變量，且是連續(xù)型隨機變量

（2）

落在區(qū)間的概率為？

3、

如果對于任何實數(shù),隨機變量滿足

那么稱X的分布為正態(tài)分布,記,服從正態(tài)分布，那么記為.

是反映隨機變量取值的平均水平的特征數(shù)，可以用樣本均值去估計;

是衡量隨機變量總體波動大小的特征數(shù)，可以用樣本標準差去估計.

4、

現(xiàn)實生活中的正態(tài)分布

正態(tài)分布是生活中常用的分布，也稱為高斯分布，德國的10馬克紙幣上就

印有高斯的頭像和正態(tài)分布曲線，以前的德國硬幣上也印刻了正態(tài)分布曲線。

經(jīng)驗說明，一個隨機變量如果是眾多的、互不相干的、不分主次的偶然因素

作用的結(jié)果之和，它就服從或近似服從正態(tài)分布。

例如：

測量：長度測量誤差、某一地區(qū)同年齡人的身高、體重、肺活量

生物：一定條件生長的小麥的株高、穗長、單位面積產(chǎn)量等

生產(chǎn)：正常生產(chǎn)條件下各種產(chǎn)品的質(zhì)量指標

氣象：某地每年七月份的平均氣溫、平均溫度、降雨量

△總結(jié)：正態(tài)分布在統(tǒng)計學中是很重要的分布，研究的是連續(xù)型隨機變量的

概率分布規(guī)律.

（三）

分析性質(zhì)

1、

正態(tài)曲線的特點

（1）

曲線位于x軸上方,與x軸不相交;

（2）

曲線是單峰的,它關(guān)于直線對稱；

（3）

曲線在處到達峰值;

（4）

當一定時,曲線隨著的變化而沿x軸平移;

（5）

當一定時,曲線的形狀由確實定

越小,曲線越“瘦高〞,表示總體的分布越集中;

越大,曲線越“矮胖〞,表示總體的分布越分散.

2、

正態(tài)曲線下的面積規(guī)律

(1)

對稱區(qū)域面積相等;

(2)X軸與正態(tài)曲線所夾面積恒等于1.

3、

特殊區(qū)間的概率〔3原那么〕

△小概率事件：〔一般不超過5 ％ 〕，通常稱這些情況發(fā)生為小概率事件。

六、

例題講解

例1.設(shè)兩個正態(tài)分布和的密度函數(shù)圖像如下圖，那么有〔 〕

A．

B．

C．

D．

例2.如圖，是一個正態(tài)曲線，試根據(jù)圖象寫出其正態(tài)分布的概率密度函數(shù)的解

析式，求出總體隨機變量的期望和方差。

例3.在某次數(shù)學考試中，考生的成績服從一個正態(tài)分布，即.

〔1〕試求考試成績位于區(qū)間(70,110)上的概率是多少？

〔2〕假設(shè)這次考試共有2021名考生，試估計考試成績在(80,100)間的考生大

約有多少人？

例4、一次考試共有60名同學參加，考生的成績，據(jù)此估計，大約應(yīng)有57人

的分數(shù)在以下哪個區(qū)間內(nèi)？〔 〕

A.(90,110] B.(95,125] C.(100,12021 D.(105,115]

七、

課堂小結(jié)

（一）

總結(jié)

（二）

布置作業(yè)

課本P 習題2.4 A組 1、2 B組 1、2

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