三角形、角平分線及練習.

2023年12月10日發(作者：小孩改名申請書)

三角形單元復習與鞏固

知識網絡

目標認知

學習目標

1.了解三角形的邊、高、中線、角平分線的定義及性質；

2.掌握三角形的內角和及多邊形的內角和公式；

3.通過三角形的內角和來確定三角形的外角和以及多邊形的外角和；

4.會利用多邊形的內角和公式求多邊形的邊數、角度數、外角度數等；

5.掌握多邊形內角和性質的應用.

重點

三角形的三邊關系,以及三角形內角和定理的綜合應用.

難點

本章的難點是鑲嵌問題，它綜合運用到多邊形內角和以及正多邊形等知識.

知識要點梳理

知識點一：三角形的有關的概念

1.三角形定義：由不在同一直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形，組成三角形的線段叫做三角形的邊，相鄰兩邊上的公共點叫做三角形的頂點，相鄰兩邊所組成的角叫做三角形的內角，簡稱三角形的角.

注意：通過三角形的定義可知，三角形的特征有：①三條線段；②不在同一條直線上；③首尾順次連接. 這是判定是否是三角形的標準.

2.三角形的表示方法：“三角形”用符號“△”表示，頂點是A，B，C的三角形，記作“△ABC”，讀作“三角形ABC”.

3.三角形的分類

4.三角形的三邊關系

①三邊關系性質：三角形的任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊，三角形的三邊關系反應了任意三角形邊的限制關系.

②三邊關系的應用：判斷三條線段能否組成三角形，若兩條較短的線段長之和大于最長線段的長，則這三條線段可以組成三角形；反之，則不能組成三角形. 當已知三角形兩邊長，可求第三邊長的取值范圍.

注意：①這里的“兩邊”指的是任意的兩邊. 對于“兩邊之差”它可能是正數，也可能是負數，一般地取“差”的絕對值；②三角形的三邊關系是“兩點之間，線段最短”的具體應用.

知識點二：三角形的高、中線、角平分線

1.三角形的高：從三角形的一個頂點向它的對邊所在的直線作垂線，頂點和垂足之間的線段叫做三角形的高.

注意：

①三角形的高線是一條線段；

②銳角三角形的三條高都在三角形內，三條高的交點也在三角形內部；鈍角三角形有兩條高落在三角形的外部，一條在三角形內部，三條高所在直線交于三角形外一點；直角三角形有兩條高恰好是三角形的兩條直角邊，另一條在三角形的內部，它們的交點是直角的頂點.

③三角形的三條高交于一點，這一點叫做三角形的垂心.

2.三角形的中線：在三角形中，連接一個頂點和它對邊的中點的線段叫做三角形的中線.

注意：

①三角形的中線是一條線段；

②三角形的每一條中線將三角形分成兩個面積相等的三角形；

③三角形三條中線交于三角形內一點，這一點叫做三角形的重心.

3.三角形的角平分線：在三角形中，一個內角的平分線和對邊相交，這個角的頂點與交點之間的線段叫做三角形的角平分線.

注意：

①三角形的角平分線是一條線段；

②三角形的三條角平分線交于三角形內一點，這一點叫做三角形的內心.

知識點三：三角形的內角與外角

1.三角形的內角：

（1）定義：三角形中相鄰兩邊組成的角，叫做三角形的內角.

（2）三角形內角和定理：三角形三個內角的和等于180°.

（3）三角形內角和定理的作用：①在三角形中已知任意兩個角的度數可以求出第三個角的度數；②已知三角形三個內角的關系，可以求出其內角度數；③求一個三角形中各角之間的關系.

2.三角形的外角

（1）定義：三角形的一邊與另一邊的延長線組成的角，叫做三角形的外角. 三角形的外角和為360°.

（2）特點：①外角的頂點在三角形的一個頂點上；

②外角的一條邊是三角形的一邊；

③外角的另一條邊是三角形某條邊的延長線.

（3）性質：①三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和.

②三角形的一個外角大于與它不相鄰的任何一個內角.

知識點四：多邊形

1.多邊形的定義：在平面內，由一些線段首尾順次相接組成的圖形叫做多邊形. 各個角都相等，各條邊都相等的多邊形叫做正多邊形.

注意：各個角都相等、各條邊都相等是正多邊形的必備條件，二者缺一不可. 如四條邊都相等的四邊形不一定是正方形，四個角都相等的四邊形也不一定是正方形，只有滿足四邊都相等且四個角都相等的四邊形才是正方形.

2.多邊形的對角線：連接多邊形不相鄰的兩個頂點的線段，叫做多邊形的對角線.

從邊形的一個頂點出發，可以畫

條對角線，邊形一共有條對角線.

3.多邊形的內角和公式：邊形的內角和為

內角和公式的應用：①已知多邊形的邊數，求其內角和；

②已知多邊形內角和，求其邊數.

4.多邊形的外角和定理：多邊形的外角和等于360°.

外角和定理的應用：①已知外角度數，求正多邊形邊數；

②已知正多邊形邊數，求外角度數.

. 知識點五：鑲嵌

1.平面鑲嵌的定義：用一些不重疊擺放的多邊形把平面的一部分完全覆蓋，叫做多邊形覆蓋平面（或平面鑲嵌）.

2.鑲嵌的條件：當圍繞一點拼在一起的幾個多邊形的內角加在一起恰好組成一個周角時，就能拼成一個平面圖形.

規律方法指導

三角形是最簡單的多邊形，是研究復雜圖形的基礎，在解決多邊形的內角和問題時，通常轉化為與三角形相關的角來解決.三角形有很多重要性質，如穩定性，三角形內角和等于180°等，這些在生產和生活中有廣泛的應用. 通過本章學習可以進一步豐富對圖形的認識和感受，提高同學們的思考和說服能力. 在運用多邊形的內角和公式與外角的性質求值時，常與方程思想相結合. 數形結合思想和轉化思想在本章中體現較為明顯，如三角形的三邊關系、內角和、外角和的語言表述與符號、數字之間的互化；多邊形問題通過連接對角線轉化為三角形問題等. 本章內容是中考的必考內容，主要考查三角形的三邊關系、三角形內角和、多邊形內角和、平面鑲嵌及其簡單的應用，常以填空題、選擇題的形式命題.

三角形單元測評

一．選擇題(每小題3分，共30分)

1．圖中三角形的個數是( )

( ).

A. 8 B．9 C．10 D．11

2．若一個三角形的三條高的交點正好是三角形的某個頂點，則這個三角形是( )．

A．直角三角形 B．銳角三角形 C．鈍角三角形 D．以上都不對

3．已知三角形的三邊長分別為4，5，x，則x不可能是( )．

A．3 B．5 C．7 D．9

4．如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1中，連接AB1，AC，B1C，則△AB1C的形狀一定是

A．鈍角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等邊三角形

5．已知α、β是兩個鈍角，計算的值，甲、乙、丙、丁四位同學算出了四種不同的答案，

其中只有一個答案是正確的，則正確的是( ).

A．86° B．76° C．48° D．24°

6．三角形的三個內角中，至少有一個角的度數不會大于( ).

A．30° B．40° C．50° D．60°

7．將一副直角三角尺如圖所示放置，已知AE∥BC，則∠AFD的度數是( ).

A．45° B．50° C．60° D．75°

8．小明家裝修房屋，用同樣的正多邊形瓷磚鋪地，頂點對著頂點，為鋪滿地面而不重疊，瓷磚的形狀

可能有( ).

A．正三角形、正方形、正六邊形 B．正三角形、正方形、正五邊形

C．正方形、正五邊形 D．正三角形、正方形、正五邊形、正六邊形

9．若一個n邊形有n條對角線，則n為( ).

A．4 B．5 C．6 D．7

10．如圖所示，AB∥CD，則x的大小為( ).

A．35° B．45° C．75° D．85°

二．填空題(每小題3分，共30分)

11．直角三角形的兩銳角的平分線的交角的度數為_____________.

12．一個三角形的兩邊長分別為3和7，且第三邊長為整數，這樣的三角形的周長最小值是________.

13．如圖，△ABC中，AD、CE是△ABC的兩條高，BC＝5cm，AD＝3cm，CE＝4cm，則AB的長為________.

14．如圖，在△ABC中，∠A＝42°，∠ABC和∠ACB的三等分線分別交于點D、E，則∠BDC的度數是____.

15．如圖，已知AB∥CD，直線EF分別交AB、CD于點E、F，EG平分∠BEF交CD于點G，如果∠1＝50°，那么∠2的度數是_____________.

16．已知在正方形網絡中，每個小方格都是邊長為1的正方形，A、B兩點在正方形網絡的交叉點上，位置如圖所示，點C也在此網絡的交叉點上，且以A、B、C為頂點的三角形的面積為1平方單位，則點C的個數為_____________，請在圖中標示出來.

17．把一張長方形的紙片按圖所示的方式折疊，EM、FM為折痕，折疊后的C點落在MB′的延長線上,那么∠EMF的度數是_____________.

18．(1)在凸多邊形中，銳角最多能有_____________個；

(2)在凸多邊形中，小于108°的內角最多有_____________個.

19．在一個頂點處有一個正十邊形和一個正三角形，則還要有一個正_____邊形，才能進行平面鑲嵌.

20．如圖所示，一樣大小的立方體木塊堆放在房間一角，一共壘了10層，這10層中從正面看不見的木塊有_____________個.

三．解答題(共60分)

21．(6分)a，b，c是三角形的三條邊長，

化簡： |a＋b＋c| －|a－b－c|－|a－b＋c|－|a＋b－c|.

22．(6分)已知n邊形的每個內角與其外角的差為90°，求內角的度數與邊數n.

23．(8分)如圖，在△ABC中，已知點D、E、F分別為BC、AD、CE的中點，且SΔABC＝4cm2，求陰影面積SΔEBF.

24．(8分)如圖，△ABE和△ADC是△ABC分別沿著AB、AC邊翻折180°形成的，若∠1∶∠2∶∠3＝28∶5∶3，求α的度數.

25．(10分)如圖所示，五個半徑為2的圓，圓心分別是A、B、C、D、E，求圖中陰影部分的面積和是多少？

26．(10分)如圖，已知△ABC三個內角的平分線相交于點O，OG⊥AB，垂足為G，∠1＝∠AOE，∠2＝∠BOG，試說明∠1＝∠2.

27．(12分)如圖所示，在△ABC中，∠1＝∠2，∠C＞∠B，E為AD上一點，且EF⊥BC于F.

(1)試探索∠DEF與∠B、∠C的等量關系；

(2)如圖所示，當點E在AD的延長線上時，其他條件都不變，你在(1)中探索得到的結論是否還成立？并說明理由.

答案與解析

一．選擇題

1.B.

2.A.(提示：直角三角形三條高相交于直角頂點上.)

3.D.(提示：根據三角形三邊關系)

4.D.(提示：△AB1C的三邊分別是正方形的對角線.) 5.C.(提示：將選項分別代入，使180°＜α＋β＜360°的值為正確的答案.＝

6.D.(提示：假設三角形的三個內角都大于60°，則三角形的內角和就大于180°，所以三角形三個內角中至少有一個角的度數不會大于60°.)

7.D.(提示：因為AE∥BC，所以∠EDC＝∠E＝45°，又因為∠C＝30°，

所以∠ AFD＝∠FDC+∠C＝45°+30°＝75°.)

8.A

9.B.(提示：由題意知，把選項分別代入此方程，當n＝5時，方程成立.)

10.C.(提示：五邊形的內角和是(5－2)×180°＝540°.由AB∥CD可得∠B＝180°－60°＝120°，所以x＝540°－135°－120°－60°－150°，所以x＝75°.)

二．填空題

11.45°或135°.(提示：兩條平分線相交成4個角，有兩組對頂角，所以有兩個不相同的度數.)

12.15.(提示：由三角形三邊關系知x可以取5，6，7，8，9，所以三角形的周長最小值為15.)

13..(提示：在△ABC中，2S△ABC＝BC×AD＝AB×CE)

14.88°.(提示：因為DB、EB三等分∠ABC，DC、EC三等分∠ACB，所以∠DBC＋∠DCB＝(∠ABC＋∠ACB)＝(180°－∠A)＝92°， 所以∠BDC＝180°－92°＝88°。)

15.65°.(提示：因為AB∥CD，所以∠BEF＝180°－∠1＝180°－50°＝130°，又因為EG平分∠BEF， 所以∠GEF＝65°，所以∠2＝180°－∠1－∠GEF＝180°－50°－65°＝65°.)

16.4.(提示：因為SΔABC＝×底邊×高，所以底邊為1個單位，高為兩個單位可使三角形的面積為1個平方單位. 如圖所標示的C的位置，都可以使△ABC的面積為1平方單位.

17.90°.(提示：把折疊圖形展開，再由折痕得出EM平分∠BMB′，MF平分∠B′MC，而∠BMB′與∠B′MC互補，所以EM⊥MF，即∠EMF＝90°.)

18.(1)由于多邊形的外角和是360°，由360°÷90°＝4可知，一個多邊形最多只能有三個外角是鈍角，從而一個多邊形的內角中最多只能有3個銳角；

(2)當一個內角小于108°時，與其相鄰的外角大于72°，而多邊形的外角和是360°，所以這樣的外角必定少于5個，最多有4個.

19.十五.(提示：由一個頂點處的各內角之和為360°，

知第三個多邊形的內角為360°－＝156°，故其外角為180°－156°＝24°，所以第三個正多邊形的邊數為).

20.165.(提示：由于木塊是大小一樣的立方體，實際上它每一層的表面都是正方形的鑲嵌，且每一層表面呈等腰直角三角形，因此每一層去掉斜邊上的正方形的個數，余下的正方形的個數就是看不見的木塊的個數. 把立方體壘的每一層的表面看成是正方形鑲嵌，因而看不見的正方形分布如圖所示：

?

累加計算，得0+(0+1)+(1+2)+?+(1+2+?+8+9)＝0+1+3+6+?+45＝165(個).)

三．解答題

21.解：根據三角形的三邊的關系有：a－b＜c，a＋c＞b，a＋b＞c，

則a－b－c＜0，a－b＋c＞0，

所以，原式＝a＋b－c＞0(a＋b＋c)＋(a－b－c)－(a－b＋c)－(a＋b－c)＝0

22.解：設內角度數為，外角度數為y，則

解得

。所以n＝＝8.

23.解：在ΔABD中，E為AD的中點，所以SΔEBD＝SΔABD，同理SΔEDC＝SΔADC， 所以SΔEBD＋SΔEDC＝SΔABD＋SΔADC＝SΔABC，

即SΔEBC＝2EBC＝1cm.

SΔABC＝2cm2。在ΔEBC中，點F為EC中點，所以SΔEBF＝SΔ

24.解：由∠1∶∠2∶∠3＝28∶5∶3，設∠1＝28k，∠2＝5k，∠3＝3k，

∴∠1+∠2+∠3＝36k＝180°，∴k＝5°. 即∠2＝25°，∠3＝15°.

∠a＝2(∠2+∠3)＝2×(25°+15°)＝80°.

25.解：五邊形ABCDE的內角和為(5－2)×180°＝540°，540°÷360°＝.所以五個陰影部分(五個扇形)的面積和是個圓的面積. 因此，陰影部分的面積為×π×22＝6π.(解答本題的關鍵是在圖中抽象出五邊形，然后利用五邊形的內角和求出陰影部分中圓的個數.)

26.如圖，

∵AF、CE、BD分別是三角形各角的平分線，

∴∠3＝∠CAB，∠4＝∠ACB，∠5＝∠ABC，

又∵∠ ACB+∠ABC+∠CAB＝180°，∴∠3+∠4+∠5＝90°，

又∵ OG⊥AB，∴∠OGB＝90°，∴∠2+∠5＝90°，∴∠2＝∠3+∠4，

又∵∠1＝∠3+∠4，∴∠1＝∠2.

27.思路分析：本題的關鍵是尋找∠DEF與∠B、∠C之間的聯系，由三角形的內角、外角定理，可通過∠1(或∠2)、∠EDF做為橋梁解決.

(1)∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠BAC。∵∠BAC＝180°－(∠B＋∠C) ∴∠1＝[180°－(∠B＋∠C)]＝90°－(∠B＋∠C)

∴∠EDF＝∠B＋∠1＝∠B＋90°－(∠B＋∠C)＝90°＋(∠B－∠C)

又∵EF⊥BC，∴∠EFD＝90°，

∴∠DEF＝90°－∠EDF＝90°－

(2)當點E在AD的延長線上時，其余條件都不變，(1)中所得的結論仍成立，理由同(1).

角平分線的性質

一、目標認知

學習目標：

1．使學生掌握角平分線性質定理及逆定理，并能用定理進行推理論證。

2．在通過：觀察——猜想——實踐——探究的獲取知識的過程中，培養邏輯思維能力、分析問題和解決問題的能力。

3．通過圖形變換及證明題的推理論證，滲透事物間相互轉化的思想，培養嚴謹的學習態度。

重點：

角平分線性質定理及逆定理的應用。

難點：

熟悉圖形變換，能將復雜圖形分解成簡單的基本圖形

二、知識要點梳理

知識點一：

角的平分線的性質：角的平分線上的點到角兩邊的距離相等。

要點詮釋：

圖形表示：

若CD平分∠ADB,點P是CD上一點PE⊥AD于點E，

PF⊥BD于點F，則PE=PF。

知識點二：

角平分線的判定：到角兩邊距離相等的點在角的平分線上。

要點詮釋： 圖形表示：

若PE⊥AD于點E，PF⊥BD

于點F，PE=PF，則PD平分∠ADB

知識點三：

角平分線的尺規作圖

要點詮釋：

（1）以O為圓心，適當長為半徑畫弧，交OA于D，交OB于E。

（2）分別以D、E為圓心，大于1/2DE的長為半徑畫弧，兩弧在∠AOB內部交于點C。

（3）畫射線OC。射線OC即為所求。

知識點四：

三角形三個內角平分線的性質

要點詮釋：

三角形三條內角平分線交于一點，且這一點到三角形三邊的距離相等。

三、規律方法指導

1． 角的平分線是射線，三角形的角平分線是線段。

2． 證明線段相等的方法：1）三角形全等；2）角的平分線的性質。

3． 證明角相等的方法：1）三角形全等；2）角的平分線的判定。

學習成果測評

基礎達標：

1.已知，點P是△ABC的角平分線AD上一點,PE⊥AB于E,PF⊥AC于F，則PE=________,AE=_________.點Q在△ABC內，QM⊥BC于點M，QN⊥BA于點N，QM=QN，則點Q在___________________________.

2.到一個角兩邊距離相等的點在_______;在角平分線上的點到這個角兩邊的_____相等。

3.如果三角形內一點到三條邊的距離相等，那么這點是三角形三條_________線的交點。

4.角平分線可以看做是_____________相等的所有點的集合

5.已知如圖點D是△ABC的兩外角平分線的交點，下列說法

（1）AD=CD (2)D到AB、BC的距離相等

（3）D到△ABC的三邊的距離相等 （4）點D在∠B的平分線上

其中正確的說法的序號是_____________________.

6.已知△ABC的三條內角平分線AD、BE、CF下列說法：

（1）△ABC的內角平分線上的點到三邊的距離相等；

（2）三角形的三條內角平分線交于一點；

（3）三角形的內角平分線位于三角形的內部；

（4）三角形的任一條內角平分線將三角形分成面積相等的兩部分

其中正確的說法的個數是（ ）

A.4 B.3 C.2 D.1

7.已知△ABC中，AB=AC,AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB于點E，DF⊥AC于點F，下列說法：

（1） AD上任意一點到點C、點B的距離相等；

（2） AD上任意一點到AB、AC的距離相等；

（3） BD=CD,AD⊥BC

（4） ∠BDE=∠CDF

其中，正確說法的個數是（ ）

A.4 B.3 C.2 D.1

8.到三角形三邊距離相等的點是（ ）

A.三角形三條高線的交點。 B。三角形三條中線的交點。

C．三角形三邊垂直平分線的交點。 D。三角形三條內角平分線的交點

9.在△ABC中∠B=90°，CD是△ABC的角平分線，DE⊥AC于點E，E到AB、CD的距離相等，則∠A的度數是（ ）

A.30° B.45° C.60° D.75°

10.已知，如圖AD、BE是△ABC的兩條高線，AD與BE交于點O，AD平分∠BAC，BE平分∠ABC，下列結論：

（1）CD=BD, (2)AE=CE (3)OA=OB=OD=OE (4)AE+BD=AB

其中正確結論的個數是（ ）

A.1 B.2 C.3 D.4

11.已知：直線a、b相交于點O,l是不過點O的任意一條直線，若l上有到a、b的距離相等的點，則這樣的點最多可能有（ ）

A.1個 B．2個 C．3個 D．4個

12．已知，如圖AD是△ABC的角平分線，∠B=90°,BC=48,BD:CD=5:7

求：點D到AC的距離

13．已知，如圖△ABC中，AB=AC，D是BC的中點。

求證：D到AB、AC的距離相等。

14．已知，如圖AF、CF是△ABC的外角∠DAC、∠ACE的平分線 求證：點F必在∠B的平分線上。

15．已知，如圖直線L1,L2,L3,表示相互交叉的公路，現在需要建設一個貨物中轉站，要求它到三條公路的距離相等，請你確定貨物中轉站的位置。

16．已知，如圖，BD是△ABC的角平分線，∠A=90°,AB=AC,DE⊥BC于E。

求證：△CDE的周長等于BC。

17．已知，如圖，∠C=∠D=90°,E是CD上一點，AE、BE分別平分∠DAB、∠ABC。

求證：E是CD的中點。

18．已知，如圖CD是△ABC的角平分線，E是BC上的點，∠B=60°,∠ACE=∠CAE=20°.

求：∠CDE的度數

答案與解析：

1． PF,AF,∠B的平分線

2． 這個角的平分線上；距離

3． 內角平分。

4． 到這個角兩邊距離相等

5． (2)(3)(4)

6． C

7． A

8． D

9． A

10. C

11. B

12. 20.提示過點D作DE⊥AC于點E

13. 提示：連接AD,證△ABD△ACD,得∠BAD=∠CAD

14. 提示：過F分別作AC、AD、CE的垂線段，并證明這三條垂線段相等

15. 有四處，即△ABC的內外角平分線的交點

16. 證AD=DE,AB=BE即可

17. 提示：過E作EF⊥AB于點F，證DE=EF，EF=CE即可

18. 提示：過D作DF⊥AC于點F，DG⊥AE于點G，DH⊥BC于點H，由角平分線的性質可得DF=DH,三角形的全等可得DF=DG，所以有DF=DG=DH,可證DE是∠AEB的角平分線，所以易得∠CDE=10°

能力提升：

如圖所示：在△ABC中，AB=AC，∠A=100°，BD平分∠ABC。

求證：AD+BD=BC

答案與解析：

提示：在BC上截取BE=AB，可得AD=DE，在BC上再截取BF=BD，可得∠DEF=∠DFE,有DE=DF。

通過∠A=100°，BD平分∠ABC，可得∠FCD=∠FDC=40°，所以有DF=FC，結論得證。