人教版初三數學上冊三角形內心與外心

2024年3月23日發(作者：考研英語二答案)

武漢市新洲思源實驗學校導學案

編號：

２４１５

九 年級 數學 教學案系列 授課累計： 節

備課日期： 2015年 11 月 ２６日 主備人： 陶 鑫 審核人：

課 題

內心與外心（一）

方

法

技

借助切線長定理及勾股定理是解決三角形的內心與外心問題關鍵

巧

學習方式： 自主合作探究 課 型： 練習課

一． 基本圖形

A

C

D

探

O

E

I

A

B

１. 概念：

B

F

C

外心：圓在三角形外，經過三角形3個頂點，三角形外接圓的圓心，外心到3個頂點的距

離相等，它是 的交點。外心在三角形的 。

內心：圓在三角形內，與三邊都相切，三角形內切圓的圓心，內心到三邊的距離相等，它

是 的交點，內心在三角形的 。

２.（１）角度的轉換。

究

（2）切線長與邊長之間的轉換。

（３）面積的轉換（a、b、c為三邊長，r是內切圓的半徑）

A

D

E

I

B

F

C

３.線段的轉換。

⊙Ｏ為⊿ＡＢＣ的外接圓，點Ｉ為⊿ＡＢＣ的內心

C

則有：

學

A

I

B

O

二． 特殊圖形中的應用。

C

.ＡＢ為⊙Ｏ的直徑，Ｃ為⊙Ｏ上一點，Ｉ為⊿ＡＢＣ的內心，

ＡＣ＝８，ＢＣ＝６．

I

（１）求ＩＣ的長。

A

B

C

I

（２）若弧ＡＤ＝弧ＢＤ，求ＩＤ的長。

A

B

習

D

C

I

（３）求ＯＩ的長。

A

O

B

三．綜合應用

１.如圖，點I和O分別是△ABC的內心和外心，則∠AIB和∠AOB的關系為（ ）

C

A、

?AIB??AOB

B、

?AIB??AOB

C、

2?AIB?

1

?AOB?180

D、

2?

1

I

O

2

AOB?

2

?AIB?180

AB

２.如圖，⊙Ｏ為⊿ＡＢＣ的外接圓，ＢＣ為直徑，ＡＤ平分∠ＢＡＣ交⊙Ｏ于Ｄ，點Ｍ為

⊿ＡＢＣ的內心

（１） 求證：ＢＣ＝

2

ＤＭ

A

M

C

B

O

當

D

（２） 連ＯＭ，若ＤＭ＝

52

，ＡＢ＝８，求ＯＭ的長。

堂

訓

（３）若Ｅ為劣弧ＡＢ的上一點，且弧ＡＣ＝弧ＡＥ，連ＢＥ，ＡＦ⊥ＢＥ于Ｆ，

練

①求證：ＤＥ是⊙Ｏ的切線。

F

E

A

M

C

B

O

D

②若ＡＦ＝４，ＥＦ＝２，求⊙Ｏ的半徑與ＤＭ的長。

F

E

A

M

C

B

O

D

２. 如圖，ＣＢ為⊙Ｏ的弦，Ｇ為弧ＡＢ的中點，且ＢＧ＝ＧＭ，ＡＭ的延長線交⊙Ｏ于

課

Ｄ，連ＡＣ．

GA

（１） 求證：弧ＢＤ＝弧ＤＣ．

M

C

B

O

后

D

拓

（２）若ＣＢ為直徑，且ＣＢ＝１０，ＡＣ＝６，求Ｓ

⊿ＡＣＭ

．

展

G

A

M

C

B

O

D

武漢市新洲思源實驗學校導學案

編號：

２４１６

九 年級 數學 教學案系列 授課累計： 節

備課日期： 2015年 11 月 ２６日 主備人： 陶 鑫 審核人：

課 題

內心與外心（二）

方

法

技

借助切線長定理及勾股定理是解決三角形的內心與外心問題關鍵

巧

學習方式： 自主合作探究 課 型： 練習課

一．基本圖形及基本結論。

C

A

C

I

O

D

A

B

探

E

O

B

I

A

B

F

C

２.（１）角度的轉換。

（2）切線長與邊長之間的轉換。

（３）面積的轉換（a、b、c為三邊長，r是內切圓的半徑）

究

（４）線段之間的關系。

二．當堂訓練。

1、如圖，O是△ABC的內心，過點O作EF∥AB，與AC、BC分別交E、F，則（ ）

A、EF＞AE+BF B、EF＜AE+BF C、EF=AE+BF D、EF≤AE+BF

A

AE

D

A

E

B

O

F

C

P

D

B

C

B

C

2、如圖，點E是△ABC的內心，延長AE交△ABC 的外接圓于點D，

連接BD、DC、EC，則圖中與BD相等的線段分別是____________________

D

學

３、如圖，在矩形ABCD中，連接AC，如果O為△ABC的內心，過O作OE⊥AD于E，作OF⊥CD

于F，則矩形OFDE的面積與矩形ABCD的面積的比值為__________

４、如圖，△ABC中，AB=AC，∠A=40°，延長AC到D，使CD=BC，點P是△ABD的內心，則

∠BPC=___________

5、如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，點O、I分別為△ABC的外心和內心，AC=6，BC=8，則OI

的值為_______________

B

A

C

P

I

I

O

I

習

B

OA

B

C

A

O

H

6、如圖，△ABC內接于⊙O，I是其內心，且AI⊥OI，若AC=9，BC=7，則AB=_______

7、如圖，半徑為2cm，圓心角為90°的扇形OAB的

AB

上有一運動的點P，從點P向半徑OA引垂線

PH交OA于點H，設△OPH的內心為I，那么當點P在

AB

上從點A運動到點B時，I所經過的路徑長

為_______________

三．綜合應用

１.如圖，AB是⊙O的直徑，點P為半圓上一點（不與A、B重合），點I為△ABP的內心，連接PI交

⊙O于點M，IN⊥BP于N，下列結論： ①∠APM=45°；②AB=

2

IM；③∠BIM=∠BAP；

④

IN?OB

2

PM

=

2

；其中正確的個數有________________

P

I

A

O

B

當

M

２.如圖，△ABC中，下面說法正確的是（ ）

堂

①若O是△ABC的外心，∠A=50°，則∠BOC=100°；

②若O是△ABC的，∠A=50°，則∠BOC=115°；

③若BC=6，AB+AC=10，則△ABC的面積的最大值是12；

訓

④△ABC的面積是12，周長是16，則其內切圓的半徑是1；

練

３、如圖，等腰△ABC 中，AB=AC，以AB為直徑作⊙O，分別交AC、BC于D、E兩點，過B點的

切線交OE的延長線于點F，連結FD，則下列結論： ①

DE?BE

；②FD是⊙O的切線；③∠C=∠DFB；

④E為△BDF的內心。 其中一定成立的結論有_______________。

C

D

F

E

A

O

B

４、如圖，BC是⊙O的直徑，半徑為R，A為半圓上一點，I為△ABC的內心，延長AI交BC于D點，

交⊙0于點E，作IF⊥BC，連接AO，BI。下列結論：①AB+AC=BC+2IF；②4∠AIB-∠BOA=360°；

③EB=EI；④

IF?R

AE

為定值，其中正確的結論有（ ）

A、①③④ B、①②③ C、①②③④ D、①②④

E

B

F

D

I

O

A

C

５、已知，如圖：在平面直角坐標系中，點D是直線

y??x

上一點，過O、D兩點的圓⊙

O

1

分別交

x

軸、

y

軸于點A和B。

課

（1）當A（-12，0），B（0，-5）時，求

O

1

的坐標；

（2）在（1）的條件下，過點A作⊙

O

1

的切線與BD的延長線相交于點C，求點C的坐標；

（3）若點D的橫坐標為

?

7

2

，點I為△ABO的內心，IE⊥AB于E，當過O、D兩點的⊙

O

后

1

的大小發

生變化時，其結論：

AE?BE

的值是否發生變化？若不變，請求出其值；若變化，請求出變化范圍；

y=-x

y

C

y

D

D

拓

y

AO

AO

D

x

x

AO

I

O

1

x

O

1

E

B

O

1

B

B

y=-x

展