函數

一次函數知識點總結

（一）函數

1、變量：在一個變化過程中可以取不同數值的量。

常量：在一個變化過程中只能取同一數值的量。

2、函數：一般的，在一個變化過程中，如果有兩個變量x和y，并且對于x的每一個確定的值，y都有唯一確定的值

與其對應，那么我們就把x稱為自變量，把y稱為因變量，y是x的函數。

*判斷Y是否為X的函數，只要看X取值確定的時候，Y是否有唯一確定的值與之對應

3、定義域：一般的，一個函數的自變量允許取值的范圍，叫做這個函數的定義域。

4、確定函數定義域的方法：

（1）關系式為整式時，函數定義域為全體實數；

（2）關系式含有分式時，分式的分母不等于零；

（3）關系式含有二次根式時，被開放方數大于等于零；

（4）關系式中含有指數為零的式子時，底數不等于零；（5）實際問題中，函數定義域還要和實際情況相符合，使之

有意義。

5、函數的解析式：用含有表示自變量的字母的代數式表示因變量的式子叫做函數的解析式

6、函數的圖像

一般來說，對于一個函數，如果把自變量與函數的每對對應值分別作為點的橫、縱坐標，那么坐標平面內由這些

點組成的圖形，就是這個函數的圖象．

7、描點法畫函數圖形的一般步驟

第一步：列表（表中給出一些自變量的值及其對應的函數值）；

第二步：描點（在直角坐標系中，以自變量的值為橫坐標，相應的函數值為縱坐標，描出表格中數值對應的各點）；

第三步：連線（按照橫坐標由小到大的順序把所描出的各點用平滑曲線連接起來）。

8、函數的表示方法

列表法：一目了然，使用起來方便，但列出的對應值是有限的，不易看出自變量與函數之間的對應規律。

解析式法：簡單明了，能夠準確地反映整個變化過程中自變量與函數之間的相依關系，但有些實際問題中的函數

關系，不能用解析式表示。

圖象法：形象直觀，但只能近似地表達兩個變量之間的函數關系。

(二)、平面直角坐標系

1、定義：平面內畫兩條互相垂直且有公共原點的數軸，就組成了平面直角坐標系。其中水平的數軸叫做橫軸（或

x軸），取向右為正方向；豎直的數軸叫做縱軸（y軸），取向上為正方向；兩軸的交點O叫做原點。在平面內，原點

的右邊為正，左邊為負，原點的上邊為正，下邊為負。

2、坐標平面內被x軸、y軸分割成四個部分，按照“逆時針方向”分別為第一象限、第二象限、第三象限、第四

象限

注意：x軸、y軸原點不屬于任何象限。

3、平面直角坐標系中的點分別向x軸、y軸作垂線段，在x軸上垂足所顯示的數稱為該點的橫坐標，在y軸上垂

足所顯示的數稱為該點的縱坐標。點的坐標反映的是一個點在平面內的位置。

寫坐標的規則：橫坐標在前，縱坐標在后，中間用“，”隔開，全部用小括號括起來。

如P（3，2）橫坐標為3，縱坐標為2。

特別注意坐標的順序不同，表示的就是不同位置的點。

所以點的坐標是一對有順序的實數，稱為有序實數對。

4、平面直角坐標系中的點與有序實數對一一對應。

5、坐標的特征

(1)在第一象限內的點,橫坐標是正數,縱坐標是正數；在第二象限內的點,橫坐標是負數,縱坐標是正數；

在第三象限內的點,橫坐標是負數,縱坐標是負數；在第四象限內的點,橫坐標是正數,縱坐標是負數；

(2)x軸上點的縱坐標等于零；y軸上點的橫坐標等于零．

6、對稱點的坐標特征

(1)關于x軸對稱的兩點：橫坐標相同，縱坐標絕對值相等，符號相反；

(2)關于y軸對稱的兩點：橫坐標絕對值相等，符號相反，縱坐標相同；

(3)關于原點對稱的兩點：橫坐標絕對值相等，符號相反，縱坐標也絕對值相等，符號相反。

(4)第一、三象限角平分線上點：橫坐標與縱坐標相同；

(5)第二、四象限角平分線上點：橫坐標與縱坐標互為相反數。

7、點到兩坐標軸的距離

點A（a，b）到x軸的距離為|b|，點A（a，b）到y軸的距離為|a|。

（三）一次函數

1、一次函數的定義

一般地，形如

ykxb??

（

k

，

b

是常數，且

0k?

）的函數，叫做一次函數，其中x是自變量。當

0b?

時，一次

函數

ykx?

，又叫做正比例函數。

⑴一次函數的解析式的形式是

ykxb??

，要判斷一個函數是否是一次函數，就是判斷是否能化成以上形式．

⑵當

0b?

，

0k?

時，

ykx?

仍是一次函數．⑶當

0b?

，

0k?

時，它不是一次函數．

⑷正比例函數是一次函數的特例，一次函數包括正比例函數．

2、正比例函數及性質

一般地，形如y=kx(k是常數，k≠0)的函數叫做正比例函數，其中k叫做比例系數.

注：正比例函數一般形式y=kx(k不為零)①k不為零②x指數為1③b取零

當k>0時，直線y=kx經過三、一象限，從左向右上升，即隨x的增大y也增大；當k<0時，?直線y=kx經過二、

四象限，從左向右下降，即隨x增大y反而減小．

(1)解析式：y=kx（k是常數，k≠0）

(2)必過點：（0，0）、（1，k）

(3)走向：k>0時，圖像經過一、三象限；k<0時，?圖像經過二、四象限

(4)增減性：k>0，y隨x的增大而增大；k<0，y隨x增大而減小

(5)傾斜度：|k|越大，越接近y軸；|k|越小，越接近x軸

3、一次函數及性質

一般地，形如y=kx＋b(k,b是常數，k≠0)，那么y叫做x的一次函數.當b=0時，y=kx＋b即y=kx，所以說正比例

函數是一種特殊的一次函數.

注：一次函數一般形式y=kx+b(k不為零)①k不為零②x指數為1③b取任意實數

一次函數y=kx+b的圖象是經過（0，b）和（-

k

b

，0）兩點的一條直線，我們稱它為直線y=kx+b,它可以看作由直

線y=kx平移|b|個單位長度得到.（當b>0時，向上平移；當b<0時，向下平移）

（1）解析式：y=kx+b(k、b是常數，k?0)（2）必過點：（0，b）和（-

k

b

，0）

（3）走向：k>0，圖象經過第一、三象限；k<0，圖象經過第二、四象限

b>0，圖象經過第一、二象限；b<0，圖象經過第三、四象限

?

?

?

?

?

?

0

0

b

k

直線經過第一、二、三象限?

?

?

?

?

?

0

0

b

k

直線經過第一、三、四象限

?

?

?

?

?

?

0

0

b

k

直線經過第一、二、四象限?

?

?

?

?

?

0

0

b

k

直線經過第二、三、四象限

（4）增減性：k>0，y隨x的增大而增大；k<0，y隨x增大而減小.

（5）傾斜度：|k|越大，圖象越接近于y軸；|k|越小，圖象越接近于x軸.

（6）圖像的平移：當b>0時，將直線y=kx的圖象向上平移b個單位；

當b<0時，將直線y=kx的圖象向下平移b個單位.

一次

函數

??0kkxbk???

k

，

b

符號

0k?0k?

0b?0b?0b?0b?0b?

0b?

圖象

Ox

y

y

x

OOx

yy

xOOx

yy

xO

性質

y隨x的增大而增大y隨x的增大而減小

4、一次函數y=kx＋b的圖象的畫法.

根據幾何知識：經過兩點能畫出一條直線，并且只能畫出一條直線，即兩點確定一條直線，所以畫一次函數的圖

象時，只要先描出兩點，再連成直線即可.一般情況下：是先選取它與兩坐標軸的交點：（0，b），.即橫坐標

或縱坐標為0的點.

b>0b<0b=0

k>0

經過第一、二、三象限經過第一、三、四象限經過第一、三象限

圖象從左到右上升，y隨x的增大而增大

k<0

經過第一、二、四象限經過第二、三、四象限經過第二、四象限

圖象從左到右下降，y隨x的增大而減小

5、正比例函數與一次函數之間的關系

一次函數y=kx＋b的圖象是一條直線，它可以看作是由直線y=kx平移|b|個單位長度而得到（當b>0時，向上平

移；當b<0時，向下平移）

“正比例函數”與“成正比例”的區別：

正比例函數一定是y=kx這種形式，而成正比例則意義要廣泛得多，它反映了兩個量之間的固定正比例關系，如

a+3與b-2成正比例，則可表示為：a+3=k（b-2）（k≠0）

6、正比例函數和一次函數及性質

正比例函數一次函數

概念一般地，形如y=kx(k是常數，k≠0)

的函數叫做正比例函數，其中k

叫做比例系數

一般地，形如y=kx＋b(k,b是常數，k≠0)，那么

y叫做x的一次函數.當b=0時，是y=kx，所以

說正比例函數是一種特殊的一次函數.

自變量范圍X為全體實數

圖象一條直線

必過點（0，0）、（1，k）

（0，b）和（-

k

b

，0）

走向k>0時，直線經過一、三象限；

k<0時，直線經過二、四象限

k＞0，b＞0,直線經過第一、二、三象限

k＞0，b＜0直線經過第一、三、四象限

k＜0，b＞0直線經過第一、二、四象限

k＜0，b＜0直線經過第二、三、四象限

增減性k>0，y隨x的增大而增大；（從左向右上升）

k<0，y隨x的增大而減小。（從左向右下降）

傾斜度|k|越大，越接近y軸；|k|越小，越接近x軸

圖像的

平移

b>0時，將直線y=kx的圖象向上平移b個單位；

b<0時，將直線y=kx的圖象向下平移b個單位.

6、直線

11

bxky??（0

1

?k）與

22

bxky??（0

2

?k）的位置關系

（1）兩直線平行?

21

kk?且

21

bb?（2）兩直線相交?

21

kk?

（3）兩直線重合?

21

kk?且

21

bb?（4）兩直線垂直?1

21

??kk

7、用待定系數法確定函數解析式的一般步驟：

（1）根據已知條件寫出含有待定系數的函數關系式；

（2）將x、y的幾對值或圖象上的幾個點的坐標代入上述函數關系式中得到以待定系數為未知數的方程；

（3）解方程得出未知系數的值；

（4）將求出的待定系數代回所求的函數關系式中得出所求函數的解析式.

8、一元一次方程與一次函數的關系

任何一元一次方程都可以轉化為ax+b=0（a，b為常數，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以轉化為：當某個一

次函數的值為0時，求相應的自變量的值.從圖象上看，相當于已知直線y=ax+b確定它與x軸的交點的橫坐標的值.

9、一次函數與一元一次不等式的關系

任何一個一元一次不等式都可以轉化為ax+b>0或ax+b<0（a，b為常數，a≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以

看作：當一次函數值大（小）于0時，求自變量的取值范圍.

10、一次函數與二元一次方程組

（1）以二元一次方程ax+by=c的解為坐標的點組成的圖象與一次函數

b

c

x

b

a

???y

的圖象相同.

（2）二元一次方程組222

111

cybxa

cybxa

??

??

的解可以看作是兩個一次函數2

2

2

2

2

1

1

1

1

1

y

y

b

c

x

b

a

b

c

x

b

a

???

???

的圖象的交點.

11、一次函數的圖像與兩坐標軸所圍成三角形的面積

一次函數y=kx＋b的圖象與兩條坐標軸的交點：與y軸的交點（0，b），與x軸的交點（

k

b

-

，0）.直線y=kx＋b

（b≠0）與兩坐標軸圍成的三角形面積為

k

b

b

k

b

22

1

s

2

????