何天成:從高聯(lián)到IMO金牌,超詳細數(shù)學競賽學習方法(一)

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何天成：從高聯(lián)到IMO金牌，超詳細數(shù)學競賽學習方法（一）

本文作者何天成，第58屆國際數(shù)學奧林匹克（IMO）金

牌獲得者，華南師大附中2017屆畢業(yè)生，北京大學數(shù)學科

學學院2017級新生。本文首發(fā)于數(shù)學新星網(wǎng)。作者非常詳

細地闡述了從高聯(lián)一試/二試，到參加CMO，國家集訓隊，走

向IMO，各級競賽的心路歷程和學習方法，對于參加競賽的

同學具有非常大的指導意義，因為篇幅較長，故分為三篇分

享給大家。請看過的同學溫故知新，沒看過的同學一定要認

真做好筆記，滿滿的干貨~正文如下：2017年7月，我有幸

作為中國國家隊的一員參加了第 58 屆國際中學生數(shù)學奧

林匹克競賽（ IMO ) ，并獲得了一枚金牌。回顧六年競賽

之路，我從開始的一個懵懂無知的新人，一路上經(jīng)歷了不少

挫折，走了不少彎路，在跌跌撞撞中算是摸索出了自己的一

套學習競賽的方法，最后的結(jié)局也是幸運的。而正是這份幸

運，讓我覺得有責任把自己學習數(shù)學競賽的經(jīng)驗與心得分享

出來，希望后來者能吸取我的經(jīng)驗和教訓，找到自己的不足，

并更好地看清未來。

引 言對于一場考試，我喜歡用以下 3 個參數(shù)來衡量最終

的分數(shù)：最終分數(shù)=實力分 x 運氣分 x 狀態(tài)分。其中實力，

運氣，狀態(tài)均為非負實數(shù)。

這里，“實力”顧名思義，盡管不好量化，但是一般來說實

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力相差很大還是能看出來的。

“運氣”主要代表“題目是否對路”，比如一個擅長幾何的

選手參加一場幾何送分的考試，當然運氣分較低；而參加一

場幾何難度他剛剛好能做出來的考試，運氣分就比較高了。

當然，運氣分是取決于考試本身的，可以認為主觀上不能改

變它，但是在集訓隊這樣的多次考試中，平均下來，運氣會

比較穩(wěn)定；并且，我們可以用比如“補短板”或者“狂刷一

科”等方法改變運氣分的波動大小。另一方面的運氣來自于

改卷，即能不能得到預想中的分數(shù)，這一點理論上來說也是

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的賭博，比如就想聯(lián)賽做出倆題混一等獎，然后狂刷代數(shù)與

幾何之類的。我對這種方法不予評價，但反正我自己的經(jīng)歷

是，凡是賭博的情況都必輸，實力不到說啥都沒用，不如按

部就班的來，讀者可以自己考慮實力不夠的時候的做法。

第二點大概就是關(guān)于過程的書寫，事實上，很多人對自己的

過程非常有自信。如果你批改過其他人的過程，總會覺得“這

啥意思啊？搞了半天都不知道想干啥”或者“這里一句話帶

過根本就不顯然嘛”。一般來說，過程寫不好有兩種：如果

你講都講不清楚，那么可能是語文學的不好，請回爐再造；

如果跟別人講思路的時候別人可以理解，但是過程寫不好的

話，可能是沒有掌握好寫過程的技巧。寫過程的主要目的有

兩個：一是要準確，不能讓老師誤解你的意思；二是要通俗

易懂，節(jié)省老師的時間，讓老師能夠比較容易get到你的過

程的脈絡(luò)。

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而第二點其實容易被忽視。我經(jīng)常看到有些過程一路往下

推，密密麻麻一大堆，又不知道他想干什么；語言又完全用

的是集合的方法，全都是定義和運算，讓人摸不著頭腦。這

時候，一旦出現(xiàn)一些筆誤，很有可能老師就“如釋重負”地

圈起來給0分了。這就像寫一篇議論文，要是你一直舉例子

不立論，當然不會給高分。

這就需要把證明的脈絡(luò)清晰地刻畫出來，常見的連詞有：證

明分為如下幾步、下面證明一個引理（結(jié)論）、我們斷言（證

明）以下結(jié)論、我們只需證明如下結(jié)論即可證明此題等。這

樣的好處是，如果你斷言的關(guān)鍵步驟恰好是答案中的步驟，

或者老師知道是對的，那么老師就大致知道你做出來，只需

驗證一下細節(jié)即可；就算你的證明出現(xiàn)了一些漏洞，老師也

能知道你做出了什么，會更容易得到步驟分。

當然，還有一個大大增加可讀性的方法：畫圖。特別是組合

題，很多組合題用代數(shù)語言表達很繁瑣，不易找到重點，也

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扯西扯，然后說證畢——做不出來就做不出嘛，要承認自己

就是在混分，至于能給幾分就看你做了什么結(jié)論了；但總有

一些人不會做就瞎搞一通然后證畢。這樣的人多了，就加大

了老師判卷子的難度，就會連累一些“好人”。反正我覺得，

要是明知道是錯的還寫證畢，絕對是敗人品的行為。

狀態(tài)方面，我覺得有兩點：一是平時加強模擬考試——模擬

考試絕對不僅僅指的是做一套題那么簡單！我覺得模擬考試

要起到效果，必須完完全全地模擬真實的情況。特別是 4、

5 小時的考試，很多人只是開始兩個小時上三板斧，然后消

極怠工，這其實一點效果都沒有。真實考試有 4、5小時呢，

要是平時這么模擬，真實考試的最后 2 個小時難道你就能

繼續(xù)保持極高的做題狀態(tài)嗎？二是平時做題最好“認真對

待”，兩天的考試可以帶一些心理負擔，這樣真正考 CMO這

樣的考試萬一面對第一天考試失利，就不會心理太崩盤。

各級競賽 一全國高中數(shù)學聯(lián)賽

全國高中數(shù)學聯(lián)賽是高中競賽的第一步，但其實也是不確定

性最大的一步。不同的省份有不同的聯(lián)賽的備考攻略。如果

你來自一些超級聯(lián)賽強省，比如上海、浙江等，那么你的一

試水平一定要過硬，因為正常的年份很可能會出現(xiàn)很多人二

試并列拼一試的情況；但如果是中等的省份，就拿廣東舉例

吧，在大部分年份二試 3 題＋ 一試 90 分可以進省隊，并

且二試 2 題的話幾乎進不了省隊，所以其實只需要做“適

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當”的一試練習，然后把重點放在二試上。

注意，這里的“ x 題”指的是最終得分，不同的省改卷嚴

格程度不一，但是一般來說，被判錯是少數(shù)，并且很有可能

是自己的問題（有些人經(jīng)常寫偽證自己看不出來，或者寫過

程水平太差確實沒法看，卻自我感覺良好），所以在備考的

過程中要訓練自己的書寫，要盡量寫的嚴謹、工整，避免被

判錯；但至于最終結(jié)果要是還是被判錯了，也沒辦法啊，盡

力而為，問心無愧。

由于聯(lián)賽的考場很多，并且各地規(guī)則不一，請盡量熟悉自己

將去到的考場與考試細則，并在考前做好充足的準備，避免

出現(xiàn)考試之外的問題。筆者在參加聯(lián)賽的過程中曾經(jīng)遇到過

以下問題（都是血的教訓啊） :

考場偏僻，當天起的很早趕赴考場，很疲倦；考場空調(diào)直吹，

極冷；教室很大，老師發(fā)卷不及時，導致開考 5 分鐘才拿

到卷子；考試要求換草稿紙（收一張給一張）；洗手間較少，

要等很久等等。總之，在考試之前，一定要做好充分的準備，

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考試結(jié)束后再想，在考試的時候一定要保證“分數(shù)最大化”，

該跳過的題就跳過，這樣在真正的聯(lián)賽中才不容易手忙腳

亂。

聯(lián)賽有一個不太好的地方：答題的區(qū)域非常小，尤其是二試

第一題，要是想到了一個很復雜的方法，有可能要挖掉一大

半第二題的空間才能寫下。因此在模擬的過程中也要注意這

一點千萬千萬不能寫錯！在考場上若是發(fā)現(xiàn)寫了一大半的過

程都是錯的，修正思路很長，真是欲哭無淚……不差這幾分

鐘，要想好了再寫，多花點時間寫，表達盡量清楚，因為聯(lián)

賽時間緊。還有一個問題就是如何快速寫出合要求的過程，

這也是需要平時訓練的。很可能最后留給一試最后一題的時

間只有 5 分鐘了，如果你快速讀完題目后直接開始寫，抓

得分點，說不定最后能有 10 分。

總之，模擬考試的最高境界就是“平時如考試，考試如平時”。

平時訓練的過程中一定要計時作答，做不出來的題也要寫上

已得到的結(jié)論，完全模擬考試的狀態(tài)。同時，在一試二試都

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概就是所謂的“90分”標準。我個人認為90分應(yīng)該是適當

訓練可以達到的，而且在訓練得當?shù)那闆r下，基本可以保證

拿到這個分數(shù)。當然，我的訓練其實不多，（因為前而說的

弱省原因），但是也不算少。首先，如果你剛學高中競賽，

對一試的知識點掌握的還不透徹，那么大概還是需要把套路

過一遍的——這個過程有點像準備高考，但是要求更高。如

果有教練當然極好，讓教練幫著補補就好了；如果自學的話，

大概需要做一些題。一試我能想到的問題大概是下面的這些

東西：

解析幾何，其實來來回回方法就那么幾種：設(shè)直線方程配合

韋達定理，設(shè)點，設(shè)參數(shù)方程；還有稍高級的方法，比如幾

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次曲線之類的嘛，那么比如把 x , y 坐標平方乘系數(shù)加加

減減說不定就全部消掉了。

當然，做解析多了之后，要總結(jié)經(jīng)驗，在花了一定時間做不

下去，一定要趕緊止損，換個方法，說不定不費很大力氣就

做出來了。最后，要記住，驗證平行坐標軸的情況。

數(shù)列技術(shù)含量稍高，不過絕大多數(shù)數(shù)列問題都是可以用局部

不等式或者裂項做出來的。少數(shù)有高級技巧，比如積分估計，

三角函數(shù)換元之類的。個人覺得數(shù)列其實難度很難估測，有

的題目確實有難度。當然，就聯(lián)賽的真題來看，數(shù)列題目并

沒有很多模擬題那么難，需要注意的是一定不能著急的瞎放

縮，要多變形 ——絕大部分的數(shù)列都是用代數(shù)變形后裂項

做出的。

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然后做幾個題試試手感，之后就再也不會為立體幾何擔心

啦！

剩下的題目，算是其他題目吧，其實套路也有不少，需要大

量練習，通過練習逐漸學會一些技巧。每個人都是從 30 分

做到100分的嘛，開始不要著急，如果遇到完全沒有辦法的

題目可以適當想想暫時跳過，記住答案里面的關(guān)鍵點，在下

一次見到類似的方法時不要忘記就好。

一般來說，在經(jīng)過至多一年的學習，一試水平大概就可以達

到“90分”目標，偶爾能全對，但也可能算錯很多題劃水。

這個時候，基礎(chǔ)的東西都學會了，剩下的提分點就在考試的

狀態(tài)上了。關(guān)于一試的時間分配，我個人的習慣是，30 分

鐘做完填空題，然后一道一道地做大題（前兩個大題大約做

10到 15分鐘，最后二個比較難的話就一直做），但是最后

至少留下 10 分鐘檢查。我覺得在練習的過程中找到自己熟

悉的節(jié)奏很重要，并且考試的時候要嚴格執(zhí)行之前的策略，

不要為了貪最后一個題目放棄檢查（當然，如果你的習慣是

不檢查，也可以）。

我推薦在至少離考試還有 2 個月的時候開始進行一試模擬

訓練，大概每 2 到 3 天做一套計時的一試題。開始的時候

肯定狀態(tài)不會太好，容易算錯，但是經(jīng)過比較長的熟悉之后，

在離考試將近一個月左右的時候應(yīng)該問題就不大了。但是狀

態(tài)還是要繼續(xù)保持，如果突然出現(xiàn)狀態(tài)特別差，不要疲勞作

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戰(zhàn)，可以先休息調(diào)整一下再仔細分析在考試過程中出現(xiàn)的時

間分配問題（錯的多的情況往往是因為花了過多時間做難題

導致時間分配不均）。

2

二 試

聯(lián)賽不確定性最大的地方，大概就在于二試。

我認為聯(lián)賽二試是數(shù)學競賽中最不容易穩(wěn)定發(fā)揮的考試。時

間太短導致隨機性很大，盡管題目一般本質(zhì)不算太難，卻也

都有關(guān)鍵的步驟。從二試到之后的“大題”訓練是數(shù)學競賽

的重點，不過好在聯(lián)賽二試的題目，說難也不難，相對 CMO

等之后的考試而言套路比較少。個人認為有集訓隊實力的同

學應(yīng)該做聯(lián)賽二試的題目不會很困難，具體的專題訓練寫在

之后了。

這里只提一點聯(lián)賽二試要注意的問題：聯(lián)賽二試時間確實很

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關(guān)于具體的答題，我覺得最要注意的就是不能“超綱”了。

有些人在培訓中得到了很多很強的結(jié)論和性質(zhì)，但是在聯(lián)賽

中，要謹慎使用，最好給出證明（也可以留個空位，看情況，

有時間最后補）。特別的，幾何題非常不推薦用復數(shù)法，重

心坐標！不到萬不得己，不要采用這幾個方法（當然，要是

真的不行就死馬當活馬醫(yī)吧）。

反正，要是有分，你要慶幸；要是沒分，不要怨改卷老師。

這些“高級”方法或多或少需要用到一些考綱外的性質(zhì)，可

能會扣分；并且計算法解幾何出現(xiàn)筆誤其實很正常。聯(lián)賽幾

何，一般來說最好算的方法是三角，可以多練練三角計算（當

然，純幾何也是要練習的）。（未完待續(xù)...）

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