天津市楊村一中、寶坻一中等2020-2021學年高一下學期期末四校聯考 數學

2024年1月4日發(作者：地理人教版)

天津市2020～2021學年度第二學期期末四校聯考

高一數學

一、選擇題（本題共8小題，共32分）

1．設復數z滿足z?2?i??2?i，則z在復平面內對應的點位于（

）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

2．一支田徑隊有男、女運動員98人，其中男運動員有56人．按男、女比例用分層隨機抽樣的方法，從全體運動員中抽出一個容量為28的樣本，那么應抽取女運動員的人數是（

）

A．12 B．15 C．18 D．21

?,?為兩個不同的平面，3．已知m,n為兩條不同的直線，則下列命題中正確的是（

）

A．m??,n??,m//?,n//???//?

C．?//?,m??,n???m//n

B．n//m,n???m??

D．m??,m?n?n//?

4．已知向量a?(1,3),b?(2,?4)，則下列結論錯誤的是（

）

A．(a?b)?a B．|2a?b|?25

D．b在a方向上的投影是10

C．向量a,b的夾角為3π

4

5．在△ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c，已知csinC?(2a?b)sinB?(a?b)sinA，則C?（

）

A．?

6 B．?2?

或33 C．2?

3 D．5??

或666．一組數據從小到大的順序排列為1，2，2，x，5，10，其中x?5，已知該組數據的中位數是眾數的A．2

3倍，則該組數據的標準差為（

）

2 B．3 C．4 D．9

7．四棱錐P?ABCD中，底面ABCD是邊長為2的正方形，PA?底面ABCD，異面直線AC與PD所成的角的余弦值為A．48? B．36?

10，則四棱錐外接球的表面積為（

）

5 C．12? D．9?

8．在直角梯形ABCD中，AD?AB，CD//AB，AB?2AD?2DC?2，E為BC邊上一點，BC?3EC，F為直線AE上一點，則CF?FB的最大值為（

）

A．6

13 B．?6

13 C．9

20 D．?9

20二、填空題（本題共5小題，共25分）

9．若復數z滿足：z(1?i)?|1?3i| (i為虛數單位)，則復數z的虛部是__________.

10．如果生男孩和生女孩的概率相等,則有3個小孩的家庭中恰有1個女孩的概率是_______．

11．已知一個圓錐的底面半徑為1，側面展開圖是圓心角為120°的扇形，則圓錐的側面積等于_________.

12．如圖所示，在棱長為2的正方體ABCD?A1B1C1D1中，E，F，G分別為所在棱的中點，則下列結論中正確的序號是___________.

①三棱錐D1?EFG的體積為③BD1//EG

1

3

；

②BD1//平面EFG

④AB1?EG

13．在△ABC中，AB?4，AC?3，∠BAC=90?，D在邊BC上，延長AD到P，使得AP?9，若PA?mPB?(?m)PC（m為常數，且m?0），且PA?tPD，則實數32t的值為_______；則CD的長度是________.

三、解答題（本大題共5小題，共63分）

14．（本題滿分12分）

在△ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c，已知2cosC(acosB?bcosA)?c

（Ⅰ）求角C；

（Ⅰ）若c?

15．（本題滿分12分）

如圖，在四棱錐P?ABCD中,底面ABCD是矩形，PA?PD,PA?AB,N是棱7，△ABC的面積為33，求△ABC的周長.

2AD的中點.

(Ⅰ)求證：平面PAB?平面PAD；

(Ⅰ)設AB?AD?AP?2，求點N到平面PAC的距離.

16．（本題滿分13分）

某校從參加高一年級期中考試的學生中隨機抽取60名學生，將其數學成績(均為整數)分成六段[40,50)，[50,60)，…，[90,100]后得到如下部分頻率分布直方圖．觀察圖形的信息，回答下列問題：

（Ⅰ）求分數在[70，80)內的頻率，并補全這個頻率分布直方圖；

（Ⅰ）統計方法中，同一組數據常用該組區間的中點值作為代表，據此估計本次考試的平均分和中位數；

（Ⅰ）用分層抽樣的方法在分數在[60，80)內學生中抽取一個容量為6的樣本，將該樣本看成一個總體，從中任取2人，求至多有1人的分數在[70，80)內的概率.

17．（本題滿分13分）

某社區舉辦《“環保我參與”有獎問答比賽》活動，某場比賽中，甲?乙?丙三個家庭同時回答一道有關環保知識的問題.已知甲家庭回答正確這道題的概率是個家庭都回答錯誤的概率是答是否正確互不影響.

（Ⅰ）求乙?丙兩個家庭各自回答正確這道題的概率；

（Ⅰ）求甲?乙?丙三個家庭中不少于2個家庭回答正確這道題的概率.

3，甲?丙兩411，乙?丙兩個家庭都回答正確的概率是.若各家庭回124

18．（本題滿分13分）

如圖，四棱錐P-ABCD中，側面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD，1AD,?BAD??ABC?90o,E是PD的中點．

2（Ⅰ）證明：直線CE∥平面PAB；

（Ⅰ）求直線PC與平面ABCD所成角;

AB?BC?（Ⅰ）點M在棱PC上，且直線BM與底面ABCD所成角為45，求二面角M?AB?D的余弦值．

o

天津市2020～2021學年度第二學期期末四校聯考

高一數學參考答案

1—8：D A B D C B D C

9．?1；

14．解：

10．3；

8 11．3?；

12．ⅠⅠⅠ； 13．；3218

5（Ⅰ）∵2cosC(acosB?bcosA)?c

由正弦定理得2cosC(sinAcosB?sinBcosA)?sinC

………………2分

Ⅰ2cosCsin(A?B)?sinC

Ⅰsin(A?B)?sinC?0

ⅠcosC?

………………3分

1

2 ………………5分

又C?(0,?)ⅠC??3 ………………6分

（Ⅰ）由題意：133

absinC?22

22

………………7分

………………8分 Ⅰab?6

2

由余弦定理c?a?b?2abcosC

得：7?a?b?ab

Ⅰ(a?b)?3ab?7

Ⅰa?b?5

………………11分

………………12分

222 ………………10分

Ⅰ周長為5?7

15．【解析】

（Ⅰ）在矩形ABCD中，AB?AD.

又ⅠAB?PA,PA?AD?A

…………………………1分

………………………………3分

ⅠAB?面PAD

………………………………4分

………………………………5分 又AB?面PAB，面PAB?面PAD

（Ⅰ）在?PAD中，PA?PD，N是棱AD的中點，ⅠPN?AD

由（1）知AB?平面PAD，ⅠAB?PN.

又ⅠAB?AD?A，ⅠPN?平面ABCD……………………………7分

ⅠAB?AD?AP?2，PA?PD

ⅠPN?3?2?3,ⅠCD//AB,ⅠCD?面PAD…………………8分

2ⅠPD?面PAD， ⅠCD?PD

所以，在?PAC中，PA?2,AC?PC?22，

1S?PAC??2?2?22?2?1?7.

……………9分

設點N到平面PAC的距離為d，則VN?PAC?VP?NAC.………………10分

Ⅰ111S?PAC?d?S?NAC?PN，即7d??1?2?3，解得d?21.

3327Ⅰ點N到平面PAC的距離為21.

7

……………12分

16．解：

（Ⅰ）1－(0.05＋0.1＋0.15＋0.15＋0.25) = 0.30

（補全直方圖略）

……3分

（Ⅰ）平均數為45×0.1＋55×0.15＋65×0.15＋75×0.3＋85×0.25＋95×0.05 = 71

………5分

設中位數為x，則0.4?（x?70)?0.03?0.5，x?2203

………7分

（Ⅰ）由題意知[60,

70)中抽2人，設為A1A2，[70, 80)中抽取4人，設為B1B2B3B4則A2）,（A1, B1）,（A1,

B2）,（A1, B3）B4）,任取兩人共有15種取法（A1, ，（A1,

（A2,

B1）,（A2,

B2）,（A2, B3）,（A2,

B4）,（B1,

B2）,（B1, B3）,（B1, B4）,（B2,B3）,（B2, B4）,（B3, B4）.

……………10分

至多有一人在[70, 80）總有9種情況?p(A)?93?155

……13分

17．解：

（Ⅰ）記“甲回答對這道題”、“乙回答對這道題”、“丙回答對這道題”分別為事件A、B、C，

1?P(A)?P(C)???123?1，

則P?A??，且有?P(B)?P(C)?4?4?

………3分

1?[1?P(A)][1?P(C)]???12即?，

1?P(B)P(C)??4?32解得P?B??，

P?C??．

83

……………5分

……………6分

（Ⅰ）有0個家庭回答正確的概率為P0?PABC?PAPBPC?

????????1515???

48396 …………8分

有1個家庭回答正確的概率為

P1?PABC?ABC?ABC?P?A?PBPC?PAP?B?PC?PAPBP?C???????????????

?3511311527?????????

48348348324

…………11分

所以不少于2個家庭回答正確這道題的概率為P?1?P0?P1?1?

18．解：

（Ⅰ）取PA的中點為F，連接EF，BF

ⅠE為PD的中點，ⅠEF//AD, 且EF=5721??

962432 …………13分

1AD

211AD又AB=BC=，ⅠBC//AD，

22ⅠEF//BC,EF?BC Ⅰ四邊形BCEF為平行四邊形， ……2分

ⅠCE//BF

又BF?平面PAB，CE?平面PAB，Ⅰ直線CEⅠ平面PAB，

…4分

（Ⅰ）取AD的中點O連接PO，CO，

Ⅰ面PAD為等邊三角形，ⅠPOⅠAD，

又Ⅰ面PADⅠ面ABCD，ⅠPOⅠ面ABCD，

Ⅰ?PCO為直線PC與平面ABCD所成角， ………………6分

設AD=2，則PO?3，易得四邊形ABCO為矩形，ⅠCO=AB=1，

Ⅰtan?PCO?3，Ⅰ?PCO??，

3?直線PC與平面ABCD所成角為3.

（Ⅰ）M在底面ABCD的射影落在N在OC上，

…………8分

設AD?2，由（Ⅰ）知?PCO??3，

又直線BM與底面ABCD所成的角為45°，Ⅰ?MBN?45?，ⅠBN=MN

又?PCO??3，CN?3MN，又BC=1，且BC2?CN2?BN2

366122BN?MN?Ⅰ1?BN?BN，，，

223作NQ?AB于Q，連接MQ，ⅠAB?MN，ⅠAB?面MNQ，ⅠAB?MQ，

所以?MQN為二面角M?AB?D的平面角，

2

……11分

?6?10，

MQ?12????2?2?10QN10Ⅰcos?MQN?，則二面角M?AB?D的余弦值為.

?5MN5………13分