冪函數奇偶性

學法指導

奇偶性是冪函數的翅膀

開遠市教科所

趙宏偉

冪函數是高中數學的一個內容，也是函數的重要

模型，如何很好地掌握冪函數的圖像和性質呢？首先要

識記冪函數在第一象限內的圖像，其次分析冪函數的

奇偶性，得出整個冪函數的圖像與性質．

冪函數y=x

αα

在第一象限的圖像如圖在α取值不同

1所示，圖像恒

過（1,1）.冪指數α＞0時，圖像過點（0,0）,為增函數，其中的情況下的圖像.

0＜α＜1，函數圖像上凸遞增；α＞1，函數圖像下凸遞增；

α=0時為直線y=1（除去點（0,1））；α＜0時為減函數．

像分布在第一、二象限；若冪函數是非奇非偶函數，等

價于冪函數的圖像只分布在第一象限．運用奇偶性可以

減少對冪函數圖像的整體記憶，只需記憶第一象限的

圖像特征，運用奇偶性可以整體分析冪函數的圖像，對

冪函數的圖像進行整體把握．下表為y=x

O

O

O

O

O

O

冪函數在第四象限沒有圖像，在第二、第三象限的

圖像要結合奇偶性才能得出．

若冪函數是奇函數，等價于冪函數的圖像分布在

第一、三象限；若冪函數是偶函數，等價于冪函數的圖

OO

O

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學法指導

n

n∈N，（m，

例１冪函數y=x

且m、n互質）的圖像

如圖2所示，則（）

m

*

例４已知函數y=x

n-2n-3

2

（n∈Z）

的圖像與兩坐標軸

都無公共點，且其圖像關于y軸對稱，求n的值．

分析：因為冪函數圖像與y軸無公共點，所以n

-2

n-

3≤0,，解得-1≤n≤3，又因為n∈Z，所以n=0，±1,2,3.又

因為圖像關于y軸對稱，所以n

-2

n-3為偶數．檢驗：當n=

0時，nn-3=-3不是偶數；當n=1時，nn-3=-4為偶

-2-2

數；當n=-1時，n

-2-2

n-3=0為偶數；當n=2時，nn-3=-3

22

22

2

2

m

A.m、n為奇數且

＜1.

n

B.m為偶數，n為奇數，

且

C.m為偶數，n為奇數，且

D.m奇數，n為偶數，

且

m

＞1.

n

m

＜1.

n

不是偶數；當n=3時，n

-2

n-3=0為偶數．因此，n的值

為-1，1或3．

例５已知函數f(x)=x

-2m+m+3

2

2

為偶函數，

（m∈Z）

f(3)＜f(5)，且，求m的值，并確定f(x)的解析式．

分析：∵冪函數f(x)=x

2

-2+m+3

m

2

（m∈Z）

為偶函數，

-2m+m+3

2

m

＞1.

n

nm

＜1，＞

即

mn

∴-2m必為偶數．又∵f(3)＜f(5)，即冪函數f(x)=x

+m+3

分析：

根據冪函數的圖像得，x∈R，0＜

n

m

m

n

（m∈Z）

在第一象限內是增函數．∴根據冪函數的圖像在

第一象限的走向得-2m

+m+3

＞0．解得-1＜m＜．

2

1，

又y=x且冪函數的圖像關于y軸對稱，所以

=，

姨

x

3

2

2

n為偶數，m為奇數．故選D．

1

例２冪函數的圖像過點（2，

）

，則它的單調遞增

4

區間是()

B.（0，＋∞)A.(0，＋∞)

D.(－∞，0)C.(－∞，＋∞)

又∵m∈Z，

即∴m=0或1．經檢驗：當m=0時，-2m

+m+

3=3+m+3=2

，為奇數（舍去）；當m=1時，-2m，為偶數．因

此，m＝1，f(x)=x

．

11

44

2

2

例６若

（3-2＜

m）

（m+1）

，

求實數m的取值范圍．

1

1

分析：冪函數y=x

α

的圖像過點

（2，，則α=-2.所

）

4

以冪函數y=x是偶函數，圖像分布在第一、二象限，且

在第一象限內是減函數，由對稱性知，在第二象限是增

函數，故選D．

1

-2

分析：根據已知條件，構造冪函數y=x

模型，

冪函

1

4

數y=x［0，+∞），是非奇非偶函數，且在第

的定義域是

11

44

4

（3-2＜

m）

一象限內是增函數．所以（m+1）3-

等價于

2m＞m+1≥0，解得-1≤m＜

2

．

3

α

例３函數y=x

的圖像是

（）

3

綜上所述，掌握冪函數y=x

的圖像在第一象限

內的走向是關鍵，奇偶性又是冪函數的隱形翅膀，支

撐著整個冪函數的圖像，突破了教材對冪函數的指

1

1,2,3}，

的限制，數α∈{-1，從而指數α可以自由翱

2

1

分析：根據冪函數y=x

的圖像在第一象限內的走

1

3

翔在有理數之間，避免了一些不必要的討論，深化和

拓展了思維.

◇責任編輯張瑩◇

·7、82015

中學教師

又因為函數y=x故選B．

是奇函數，

向，

3

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