06年考研數二真題及答案解析(word)

2024年2月9日發(作者：成和)

2006年全國碩士研究生入學考試數學（二）

一、填空題

（1）曲線y?x?4sinx的水平漸近線方程為 .

5x?2cosx?1?（2）設函數f(x)??x3??（3）廣義積分?x0sint2dt,x?0,x?0在x?0處連續，則a? .

a,???0xdx? .

(1?x2)2y(1?x)的通解是 .

xdydxA?0（4）微分方程y??y（5）設函數y?y(x)由方程y?1?xe確定，則= .

（6）設矩陣A?? .

二、選擇題

?21??，E為2階單位矩陣，矩陣B滿足BA?B?2E，則B=

?12??（7）設函數y?f(x)具有二階導數，且f?(x)?0,f??(x)?0，?x為自變量x在x0處的增量，?y與dy分別為f(x)在點x0處對應的增量與微分，若?x?0，則

（A）0?dy??y.

（C）?y?dy?0.

（B）0??y?dy.

（D）dy??y?0. 【 】

（8）設f(x)是奇函數，除x?0外處處連續，x?0是其第一類間斷點，則（A）連續的奇函數.

（C）在x?0間斷的奇函數

（9）設函數g(x)可微，h(x)?e

（A）ln3?1.

（C）?ln2?1.

x1?g(x)?x0f(t)dt是

（B）連續的偶函數

（D）在x?0間斷的偶函數. 【 】

,h?(1)?1,g?(1)?2，則g(1)等于

（B）?ln3?1.

（D）ln2?1. 【 】

?2x

（10）函數y?C1e?C2e

?xex滿足一個微分方程是

x（A）y???y??2y?3xe.

（C）y???y??2y?3xe.

x

（B）y???y??2y?3e.

（D）y???y??2y?3e.

1

xx

?（11）設f(x,y)為連續函數，則?40d??f(rcos?,rsin?)rdr等于

01 （A）??220dx?dy?1?x2xf(x,y)dy. （B）??220dx?dy?1?x20f(x,y)dy.

（C）2201?y2yf(x,y)dx. （D）2201?y20

f(x,y)dx. 【 】（12）設f(x,y)與?(x,y)均為可微函數，且?1y(x,y)?0. 已知(x0,y0)是f(x,y)在約束條件?(x,y)?0下的一個極值點，下列選項正確的是

（A）若fx?(x0,y0)?0，則fy?(x0,y0)?0.

（B）若fx?(x0,y0)?0，則fy?(x0,y0)?0.

（C）若fx?(x0,y0)?0，則fy?(x0,y0)?0.

（D）若fx?(x0,y0)?0，則fy?(x0,y0)?0. 【 】

（13）設a1,a2,?,a,均為n維列向量，A是m?n矩陣，下列選項正確的是

（A）若a1,a2,?,a,線性相關，則Aa1,Aa2,?,Aa,線性相關.

（B）若a1,a2,?,a,線性相關，則Aa1,Aa2,?,Aa,線性無關.

（C）若a1,a2,?,a,線性無關，則Aa1,Aa2,?,Aa,線性相關.

（D）若a1,a2,?,a,線性無關，則Aa1,Aa2,?,Aa,線性無關. 【 】

（14）設A為3階矩陣，將A的第2行加到第1行得B，再將B的第1列的-1倍加到第2?110???列得C，記P??010?，則

?001???（A）C?PAP.

（C）C?PAP.

T?1

（B）C?PAP.

（D）C?PAP.

T?1三 解答題

15．試確定A，B，C的常數值，使得e(1?Bx?Cx)?1?Ax?o(x)，其中o(x)是當

x233x?0時比x3的高階無窮小。

2

arcsinexdx 16．求?ex17．

設區域D??(x,y)x2?y2?1,x?0?

1?xy計算二重積分I???dxdy221?x?yD18．

設數列?xn?滿足0?x1??,xn?1?sinxn(n?0,1,2,?)證明: (1) limxn?1存在,并求極限x??

x2(2)計算lim(n?1)xnx??xn19．

1證明: 當0

bsinb?2cosb??b?asina?acosa??a20 設函數f?u?在?0??,?內具有二階導數且,z?f?x2?y2?滿足等式?2z?2z??0

?x2?y2(Ⅰ)驗證f???u??f??u??0.

u(Ⅱ)若f?1??0,f??1??1,求函數f?u?的表達式.

?x?l2?1,21 已知曲線L的方程為?2?y?4l?t（Ⅰ）討論L的凹凸性；

(t?0),

（Ⅱ）過點（-1，0）引L的切線，求切點(x0,y0)，并寫出切線的方程；

（Ⅲ）求此切線與L（對應于x?x0的部分）及x軸所圍成的平面圖形的面積。

22 已知非齊次線性方程組

?x1?x2?x3?x4??1??4x1?3x2?5x3?x4??1有3個線性無關的解

?ax?x?3x?bx?134?12Ⅰ證明方程組系數矩陣A的秩r?A??2

3

Ⅱ求a,b的值及方程組的通解

23 設3階實對稱矩陣A的各行元素之和均為3,向量?1???1,2,?1?,?2??0,?1,1?是線性方程組Ax=0的兩個解, (Ⅰ)求A的特征值與特征向量 (Ⅱ)求正交矩陣Q和對角矩陣A,使得QTAQ?A.

4

TT

題解 高數

一、填空題

（1）曲線y?x?4sinx的水平漸近線方程為5x?2cosxy?15

4sinxx?1

?limy?limx??x??2cosx55?x1??1x2?3?sintdt,（2）設函數f(x)??x0?a,?x?0x?0 在x=0處連續，則a=13

sm(x2)1?limf(x)?lim?

2x?0x?03x3??（3）廣義積分???0xdx?22(1?x)??12

??0xdx1?(1?x2)22?0d(1?x2)11???(1?x2)22(1?x2)??0?0?11?

22 （4）微分方程y??y(1?x)的通解是xyy?cxe?xdydxx?0（5）設函數y?y(x)由方程y?1?xe確定，則

當x=0時，y=1，

又把方程每一項對x求導，y???e?xey?

y?(1?xe)??eyy??e

yy

y?x?0ey??1?xeyx?0y?1??e

二、選擇題

（7）設函數y?f(x)具有二階導數，且f?(x)?0,f??(x)?0,?x為自變量x在點x0處的增量，?y與dy分別為f(x)在點x0處對應增量與微分,若?x?0，則[A]

（A）0?dy??y （B）0??y?dy

5

（C）?y?dy?0 （D）dy??y?0

由f?(x)?0可知f(x)嚴格單調增加

f??(x)?0可知f(x)是凹的

即知

（8）設f(x)是奇函數，除x?0外處處連續，x?0是其第一類間斷點，則

x

?f(t)dt是[B]

0（A）連續的奇函數

（C）在x=0間斷的奇函數

（B）連續的偶函數

（D）在x=0間斷的偶函數

（9）設函數g(x)可微,h(x)?e1?g(x),h?(1)?1,g?(1)?2,則g(1)等于[C]

（A）ln3?1

（C）?ln2?1

1?g(1)（B）?ln3?1

（D）ln2?1

∵

h?(x)?g?(x)e1?g(x)，1?2e（10）函數y?c1ex?c2?2x?xex滿足的一個微分方程是[D]

（A）y???y??2y?3xex

（C）y???y??2y?3xe

x

（B）y???y??2y?3ex

（D）y???y??2y?3e

x∵ 特征根為1和-2，故特征方程為(??1)(??2)?0

?41（11）設f(x,y)為連續函數，則d?022??f(rcos?,rsin?)rd?等于[C]

01?x2 （A）?dx?0xf(x,y)dy （B）?dx?00221?x2f(x,y)dy

221?y2221?y2 （C）?dy?0yf(x,y)dx （D）?dy?00f(x,y)dx

(x,y)（12）設f(x,y)與?均為可微函數，且??y(x,y)?0,已知(x0,y0)是f(x,y)在約束條件?(x,y)?0下的一個極值點，下列選項正確的是[D]

（A）若fx?(x0,y0)?0,則fy?(x0,y0)?0

6

（B）若fx?(x0,y0)?0,則fy?(x0,y0)?0

（C）若fx?(x0,y0)?0,則fy?(x0,y0)?0

（D）若fx?(x0,y0)?0,則fy?(x0,y0)?0

令 F?f(x,y)???(x,y)

?(x,y)?0?Fx??fx?(x,y)???x??Fy??fy?(x,y)????y(x,y)?0?F???(x,y)?0??(1)(2)

今

??y(x0,y0)?0,????fy?(x0,y0)??y(x0,y0)代入(1) 得

fx?(x0,y0)??(x0,y0)fy?(x0,y0)?x

??y(x0,y0)?(x0,y0)?0則fy?(x0,y0)?0 故選[D] 今

fx?(x0,y0)?0,?fy?(x0,y0)?x

7

三、解答題

（15）試確定A，B，C的常數值，使ex(1?Bx?Cx2)?1?Ax?o(x3)其中o(x3)是當x?0時比x3的高階無窮小.

x2x3??o(x3)代入已知等式得 解：泰勒公式e?1?x?26x

x2x3[1?x???o(x3)][1?Bx?Cx2]?1?Ax?o(x3)

26整理得

11??B1?(B?1)x?(C?B?)x2???C???o(x3)?1?Ax?o(x3)

26??2比較兩邊同次冪函數得

B+1=A ①

1=0 ②

2B1?C??0 ③

26B12??0則B?? 式②-③得

2331A? 代入①得

31C? 代入②得

6C+B+

arcsinexdx （16）求?xe

arcsinexxarcsintx解：原式=?de令e?t?t2dt

(ex)2

1arcsintdt???arcsintd()????

2ttt1?t????

arcsinttdtarcsint1(?2udu)??令1?t2?u????

222tt2u(1?u)t1?tarcsintdu??2

tu?18

??arcsint1u?1?ln?C

t2u?1

arcsinexarcsinex11?e2x?1??dx???ln?C

2xexex21?e?1（17）設區域D?{(x,y)|x2?y2?|,x?0}

計算二重積分I?1?xydxdy

22??1?x?yD

?解：用極坐標系????21?xydxdy?0?

22??1?x?yD?1

r??2I??d??dr?ln(1?r)?ln2

21?r22?00?2

（18）設數列{xn}滿足0?x1??，xn?1?sinxn(n?1,2,3,?)

證明：（1）limxn?1存在，并求極限

n??1

?xn?1?xn2 （2）計算lim??

n???xn?證：（1）?x2?sinx1,?0?x2?1,因此n?2

xn?1?sinxn?xn,{xn}單調減少有下界??xn?0?

根據準則1，limxn?A存在

n??在xn?1?sinxn兩邊取極限得A?sinA?A?0

因此limxn?1?0

n??1

?sinxn?xn2（2）原式?lim?為"1?"型

?n???xn?

? 離散散不能直接用洛必達法則

limt?t2?sint?0t2???e先考慮

lim??t?0?t?11?sit?nln?t?

9

lim1t?02t? 用洛必達法則?e1(tcost?sint)?sintt2t

?elimt?0tcost?sint2t3?et?0lim?t2??t3?t?1??0(t2)???t??0(t3)??2???6????2t3

?e?11?33????t?0(t)?26?lim2t3t?0?e

1

?a?16（19）證明：當0?a?b??時，bsinb?2cosb??b?asina?2cosa?證：令f(x)?xsinx?2cosx??x

只需證明0?a?x??時,f(x)單調增加（嚴格）

f?(x)?sinx?xcosx?2sinx??

?xcosx?sinx??

f??(x)?cosx?xsinx?cosx??xsinx?0

?f?(x) 單調減少（嚴格）

又f?(?)??cos????0

故0?a?x??時f?(x)?0則f(x)單調增加（嚴格）

由b?a則f(b)?f(a)

得證

（20）設函數f(u)在(0,??)內具有二階導數，且Z?f?x2?y2滿足等式

??2z?2z??0

?x2?y2（I）驗證

f??(u)?f?(u)?0

u（II）若f(1)?0,f?(1)?1 求函數f(u)的表達式

證：（I）?z?f??x?x2?y2?xx?y22;?z?f??y?x2?y2?yx?y22

10

?2z?f??2?x?2z?f???y2??x?y22??x2?f?22?x?y?y2?f?22?x?y?得f????x?y22??x?y?2y2232

x?y22x?y22??x?y?22x2232

?2z?2z代入方程2?2?0?x?y?f??(u)?f?(u)?0成立u?x?y22??f?(x2?y2)x?y2?0

（II）令f?(u)?p,則dppdpduc??;?????c,p?

duupuu

?f?(1)?1,c?1,f(u)?ln|u|?c2,由f(1)?0,c2?0?f(u)?ln|u|

?x?t2?1（21）已知曲線L的方程?2?y?4t?t（I）討論L的凹凸性

(t?0)

（II）過點(?1,0)引L的切線，求切點(x0,y0)，并寫出切線的方程

（III）求此切線與L（對應x?x0部分）及x軸所圍的平面圖形的面積

解：（I）dxdydy4?2t2?2t,?4?2t,???1

dtdtdx2tt

?dy?d??1d2y1?2?1?dx?????????0(t?0處)

2?3dx?dx2dtt2tt??dt?曲線L(在t?0處)是凸

?2?22，

?1?(x?1)，設x0?t0?1，y0?4t0?t0?t?

（II）切線方程為y?0??

2則4t0?t0???2?2232?1?(t0?2),4t0?t0?(2?t0)(t0?2)

?t0?

得t0?t0?2?0,(t0?1)(t0?2)?0?t0?0?t0?1

點為（2，3），切線方程為y?x?1

2

11

（III）設L的方程x?g(y)

則S????g(y)?(y?1)???dy

3?0t2?4t?y?0解出t?2?4?y得x?2?4?y??2?1

由于（2，3）在L上，由y?3得x?2可知x?2?4?y??2?1?g(y)

S???9?y?44?y?(y?1)?dy

??0333????(10?2y)dy?4?4?ydy

002?(10y?y2)?4?4?yd(4?y)?21?4??(4?y)030333320

8642?21???3?

333

12

線代

(6) 設A= 2 1 ,2階矩陣B 滿足BA=B +2E,則|B|= .

-1 2

解:由BA=B +2E化得B(A-E)=2E,兩邊取行列式,得

|B||A-E|=|2E|=4,

計算出|A-E|=2,因此|B|=2.

(13)設?1,?2,…,?s 都是n維向量，A是m?n矩陣，則（ ）成立.

(A) 若?1,?2,…,?s線性相關,則A?1,A?2,…,A?s線性相關.

(B) 若?1,?2,…,?s線性相關,則A?1,A?2,…,A?s線性無關.

(C) 若?1,?2,…,?s線性無關,則A?1,A?2,…,A?s線性相關.

(D) 若?1,?2,…,?s線性無關,則A?1,A?2,…,A?s線性無關.

解: (A)

本題考的是線性相關性的判斷問題,可以用定義解.

若?1,?2,…,?s線性相關,則存在不全為0的數c1,c2,…,cs使得

c1?1+c2?2+…+cs?s=0,

用A左乘等式兩邊,得

c1A?1+c2A?2+…+csA?s=0,

于是A?1,A?2,…,A?s線性相關.

如果用秩來解,則更加簡單明了.只要熟悉兩個基本性質,它們是:

1.??1,?2,…,?s?線性無關? r(?1,?2,…,?s?)=s.?2. r(AB)? r(B).

矩陣(A?1,A?2,…,A?s)=A(??1,??2,…,?s?),因此

r(A?1,A?2,…,A?s)? r(?1,??2,…,?s?).

由此馬上可判斷答案應該為(A).

(14)設A是3階矩陣,將A的第2列加到第1列上得B,將B的第1列的-1倍加到第2列上得C.記 1 1 0

P= 0 1 0 ,則

0 0 1

-1-1(A) C=PAP. (B) C=PAP.

TT(C) C=PAP. (D) C=PAP.

解: (B)

用初等矩陣在乘法中的作用得出

B=PA ,

1 -1 0

C=B

0 1 0 =BP-1= PAP-1.

0 0 1

(22)已知非齊次線性方程組

??????????????????????x1+x2+x3+x4=-1,

4x1+3x2+5x3-x4=-1，

??????????? ax1+x2+3x3+bx4=1

有3個線性無關的解.

13

① 證明此方程組的系數矩陣A的秩為2.

② 求a,b的值和方程組的通解.

解:① 設?1,?2,?3是方程組的3個線性無關的解,則?2-?1,?3-?1是AX=0的兩個線性無關的解.于是AX=0的基礎解系中解的個數不少于2,即4-r(A)?2,從而r(A)?2.

又因為A的行向量是兩兩線性無關的,所以r(A)?2.

兩個不等式說明r(A)=2.

② 對方程組的增廣矩陣作初等行變換:

1 1 1 1 -1 1 1 1 1 -1

(A|?)= 4 3 5 -1 -1 ? 0 –1 1 –5 3 ,

a 1 3 b 1 0 0 4-2a 4a+b-5 4-2a

由r(A)=2,得出a=2,b=-3.代入后繼續作初等行變換:

1 0 2 -4 2

? 0 1 -1 5 -3 .

0 0 0 0 0

得同解方程組

x1=2-2x3+4x4，

x2=-3+x3-5x4，

TT T求出一個特解(2,-3,0,0)和AX=0的基礎解系(-2,1,1,0),(4,-5,0,1).得到方程組的通解:

TTT(2,-3,0,0)+c1(-2,1,1,0)+c2(4,-5,0,1), c1,c2任意.

TT(23) 設3階實對稱矩陣A的各行元素之和都為3,向量?1=(-1,2,-1),??2=(0,-1,1)都是齊次線性方程組AX=0的解.

① 求A的特征值和特征向量.

② 求作正交矩陣Q和對角矩陣?,使得

T

QAQ=?.

TTT解:① 條件說明A(1,1,1)=(3,3,3),即

?0=(1,1,1)是A的特征向量,特征值為3.又?1,?2都是AX=0的解說明它們也都是A的特征向量,特征值為0.由于?1,?2線性無關, 特征值0的重數大于1.于是A的特征值為3,0,0.

屬于3的特征向量:c?0, c?0.

屬于0的特征向量:c1?1+c2?2, c1,c2不都為0.

② 將?0單位化,得?0=(333T,,).

33322T666T,),??2=(-,,).

22366對?1,?2作施密特正交化,的?1=(0,-作Q=(?0,?1,?2),則Q是正交矩陣,并且

3 0 0

T-1

QAQ=QAQ= 0 0 0 .

0 0 0

14